1 LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

1.1 Tiempo de espera en el banco

Suponga que la cantidad de tiempo que un cliente espera ser atendido en un banco tiene distribución exponencial con media 10 minutos.

1.1.1 ¿Cuál es la probabilidad que el cliente tenga que esperar más de 5 minutos en el banco hasta ser atendido?

En promedio ,1 llamadas (cada 10 minutos) λ=1/10

\(T~Exponencial(λ=1/10)\)

\((T>5)=1-P(T≤5)\)

1-pexp(5,rate = 1/10)
## [1] 0.6065307

1.1.2 Cuál es la probabilidad que el cliente tenga que esperar más de 15 minutos en ser atendido, si se sabe que llegó al banco hace 10 minutos?

\(P(T>15/T>10)\)

Una variable aleatoria X se dice que tiene la propiedad de falta de memoria si: P(X>t+s/X>t)=P(X>s) para todo s,t≥0.

Si X es el tiempo de duración (en horas) de un componente entonces la probabilidad que el componente dure al menos s horas adicionales es independiente del tiempo t que el componente estuvo funcionando.

La distribución exponencial tiene la propiedad de falta de memoria.

2 TIEMPO DE INTERARRIBO Y DE ESPERA

2.1 Solicitudes de servicio

Se sabe que las solicitudes de servicio llegan según un proceso de Poisson con tasa λ = 5 por hora.

En promedio ,(cada 1 hora) 5 solicitudes λ=5t

2.1.1 Cuál es la probabilidad de que se reciban 50 solicitudes de servicio durante un turno de 8 horas?

N(t1): Número de solicitudes que llegan durante un turno de t1 horas

N(8): Número de solicitudes que llegan durante un turno de 8 horas

N(t)~Poisson(λ)

N(t)~Poisson(5t)

N(8)~Poisson(5*8)

N(8)~Poisson(40)

P(x=50)

dpois(x = 50,lambda = 40)
## [1] 0.01770702

2.1.2 Cuál es la probabilidad de que se reciban más de 100 solicitudes de servicio durante un turno de 16 horas?

N(t1): Número de solicitudes que llegan durante un turno de t1 horas

N(16): Número de solicitudes que llegan durante un turno de 16 horas

N(t)~Poisson(λ)

N(t)~Poisson(5t)

N(16)~Poisson(5*16)

N(16)~Poisson(80)

\(P(N(16)>100)\)

1-ppois(100,lambda = 80)
## [1] 0.01316885

2.1.3 Cuál es la probabilidad de que luego de recibir la primera solicitud transcurran más de 15 minutos para recibir la segunda?

T :Tiempo (horas) entre la primera y la segunda solicitud

$T ~ Exponencial(λ=5) $

\(P(T>15/60)\)

1-pexp(15/60,rate = 5)
## [1] 0.2865048

2.1.4 Hallar la probabilidad de que transcurran entre 20 y 30 minutos para que lleguen 4 solicitudes

Sn :Tiempo (horas) hasta la llegada de la nsima solicitudes

\(S4 ~ Gamma(n=4,λ=5)\)

\(P(20/60≤S4≤30/60)= P(S4≤30/60)-P(S4≤20/60)\)

pgamma(30/60,shape = 4,rate = 5)-pgamma(20/60,shape = 4,rate = 5)
## [1] 0.1541567

2.2 Inmigrantes

Suponga que las personas inmigran un territorio según un proceso de Poisson con tasa λ = 1 por día.

N(t1): Número de de personas que imigrantes hasta al tiempo t

2.2.1 ¿Cuál es el tiempo esperado hasta que el décimo inmigrante arribe?

Sn: Tiempo(en dias) hasta que arriba el nsimo migrante

Sn~G(n=n,λ=1)

S10: Tiempo(en dias) hasta que arriba el decimo migrante

S10~G(n=10,λ=1)

E[X]=n/λ

E[S10]=10/1 =10

2.2.2 ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo transcurrido entre el décimo y el décimo primer arribo exceda los dos días?

T : Tiempo transcurrido (en dias ) entre el decimo y decimo primer arribo

T~E(11,λ=1)

P(X>2)

1-pexp(2,rate = 1)
## [1] 0.1353353

3 DISTRIBUCIÓN CONDICIONAL PARA LOS TIEMPOS DE ESPERA

Dado que N(t) = n, los tiempos de espera:

S1, S2, · · · , Sn

tienen la misma distribución que las estadísticas de orden correspondientes a n variables aleatorias independientes con distribuci ón uniforme en el intervalo (0, t), es decir:

\[f(s1, s2, · · · , sn|n) =\frac{n!}{t^{n}}\] para 0 < s1 < s2 < · · · < sn < t.

3.1 Ejemplo

3.1.1 Un servidor recibe trabajos de acuerdo a un proceso de Poisson con tasa 3 por minuto.

3.1.2 Suponga que dos trabajos llegaron entre las 10:00 y las 10:01.

3.1.3 Cuál es la probabilidad que el primero de estos trabajos haya llegado durante los primeros 20 segundos después de las 10:00 y el segundo trabajo durante los primeros 40 segundos después de las 10:00?

Considere ahora que existen k posibles tipos de eventos.La probabilidad que cualquiera de estos eventos sea clasificado como del tipo i depende del tiempo en el que dicho evento ocurre.Suponga que si un evento ocurre hasta el tiempo t entonces sera clasificado como del tipo i con probabilidad Pi (t) tal que:

\[\sum_{i=1}^{k}P_{i}(t) =1\]

independientemente de cualquier otro evento ocurrido previamente.

Si Ni(t), i = 1, · · · , k, representa el número de eventos de tipo i que ocurren hasta el tiempo t, entonces los Ni (t) son variables aleatorias independientes con distribución de Poisson tales que

3.2 Número de infecciones HIV

Existe un periodo de incubación relativamente largo desde el momento en que una persona ha sido infectada con el virus HIV hasta que los síntomas de la enfermedad aparezcan.

Como resultado, es difícil para un oficial de salud pública conocer el número de miembros de la población que se encuentran infectados en un momento determinado.

Se presenta un modelo aproximado que puede ser usado para obtener una primera estimación del número de individuos infectados.

Suponga que los individuos contraen el virus del HIV de acuerdo a un proceso de Poisson cuya tasa es λ y que el tiempo desde que el individuo contrae el virus del HIV hasta que aparecen los síntomas, es una variable aleatoria y con distribución exponencial cuya media es μ.

N(t)= Número de individuos que contrae el HIV al tiempo t \[N(t) \sim P(\lambda t)\] Y: Tiempo desde que el individuo contrae el virus del HIV hasta que aparecen los síntomas \[Y\sim Exp(\frac{1}{\lambda})\] Prob. Acumulada exponencial \[F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\]

Suponga además los tiempos de incubación de los individuos infectados son independientes.

Sea N1(t) el número de individuos que muestran los síntomas de la enfermedad al tiempo t y N2(t) el número de individuos que no han mostrado síntomas de la enfermedad al tiempo t.

Un individuo que contrae el virus ya habrá mostrado síntomas al tiempo s con probabilidad:

Entonces N1(t) y N2(t) son variables aleatorias independientes de Poisson con medias

Supongamos que conocemos el valor de N1(t) = n1 y que puede usarse como estimación de E(N1(t)), es decir:

Probabilidad de mostrar sintomas al tiempo s

\[P_1(s)= P(y≤s) = (1 - e^{-\lambda s})\]

Probabilidad de NOmostrar sintomas al tiempo s \[P_2(s)= P(y>s) = e^{-\lambda s}\]

N1(t)= Número de individuos que muestran sintomas del HIV al tiempo t

N2(t)= Número de individuos que no muestran sintomas del HIV al tiempo t

\[E(N_1(t)) = \lambda\int_{0}^{t} P_1(s) \cdot ds\] \[E(N_2(t)) = \lambda\int_{0}^{t} P_2(s) \cdot ds\]

Si t = 16 años, μ = 10 años y n1 = 220 mil, entonces:

\[\lambda=\frac{1}{\mu}\]

N1(t)= Número de individuos que muestran sintomas del HIV al tiempo t (años)

N2(t)= Número de individuos que no muestran sintomas del HIV al tiempo t (años)

El número de infectados sin síntomas de la enfermedad en el tiempo 16 es:

\[E(N_1(16)) =\lambda \int_{0}^{16} (1 - e^{-\lambda s}) \cdot ds\]

\[E(N_2(16)) =\lambda \int_{0}^{16} e^{-\lambda s} \cdot ds\] El número de infectados sin síntomas de la enfermedad en el tiempo 16 es: