Pregunta 1 – (20 puntos)

Un casino de la EAO recibe en promedio 8 clientes por hora durante las horas de almuerzo.

Preguntas

  1. Calcule la probabilidad de que reciba 5 clientes durante la próxima hora de almuerzo (6 puntos).
  2. Calcule la probabilidad de que no reciba ningún cliente durante la próxima media hora(6 puntos) .
  3. Grafique la distribución de probabilidad asociada (8 puntos).

Respuestas

Para este ejercicio utilizaremos una distribución de poisson, considerando que λ corresponde al promedio de eventos por intervalo de tiempo y k es el número de eventos que se desea calcular la probabilidad.

Parte a.

Para calcular la probabilidad de que lleguen 5 clientes en la prómina hora

lambdaHora = 8
ka = 5
probHora= dpois(ka,lambdaHora)
print(probHora)
## [1] 0.09160366

Parte b.

Como el promedio de llegada de clientes al casino cada hora es de 8, debemos ajustarlo al intervalo de media hora. Para ello dividiremos el promedio a la mitad representando asi λ para la media hora. Por lo que la probabilidad de que no llegue ningún cliente al casino en la próxima media hora es de:

lambdaMediaHora = 8/2
kb = 0
probMediaHora= dpois(kb,lambdaMediaHora)
print(probMediaHora)
## [1] 0.01831564

Parte c.

Para la grafica

library("ggplot2")
library("plotly")

clientes=seq(0,10)
distribucion = dpois(clientes,lambdaHora)
datos=data.frame(clientes,distribucion)

grafico = ggplot(data=datos,aes(x=clientes,y=distribucion))
grafico = grafico + geom_bar(stat="identity",fill="lightblue3", color="white", size = 0.1)
grafico = grafico + theme_bw() + ggtitle("Distribución de probabilidades - Poisson")
grafico = grafico + xlab("Número de clientes x hora") + ylab("Probabilidad")
ggplotly(grafico)

Pregunta 2 – (20 puntos)

Un estudio de tráfico registra el tiempo que tardan los automóviles en cruzar un puente durante las horas punta. En este estudio se observa que el tiempo de cruce varía entre 3 y 7 minutos. Si asume que sigue una distribución uniforme dentro de ese rango.

Preguntas

  1. Grafique la función de densidad correspondiente (6 puntos).
  2. Grafique la función de masa correspondiente (6 puntos).
  3. Calcule la media y la desviación estándar de la variable estudiada. Argumente y contextualice su respuesta (8).

Respuestas:

Parte a.

La función de densidad para una distribución uniforme se define como \[ f(x) \;=\; \frac{1}{{(b - a)}}\], donde “a” y “b” son los límites del intervalo. Para el desarrollo de este ejercicio se asume una distribucion de tiempo continuo y usando la biblioteca ggplot2 para graficar la funcion de densidad, la gráfica será una línea horizontal con altura 1 / (b - a) en el intervalo [a, b] y cero en cualquier otro lugar.

library("ggplot2")
library("plotly")

#Graficar
a=3
b=7

#generando conjunto de datos valores para x
x= seq(a,b,by=0.1)
y = 1/(b-a)
datos = data.frame(minutos = x, f_x = y)

grafico =ggplot(datos, aes(x = x, y = y))
grafico = grafico + theme_bw()
grafico = grafico + ylab("Densidad")
grafico = grafico + xlab("Minutos")
grafico = grafico + ggtitle("Densidad de probabilidad")
grafico = grafico + geom_density(fill="lightblue3", color="white", size = 0.1) + 
  coord_cartesian(ylim=c(0, 1))
ggplotly(grafico)

Parte b.

Dado que estamos trabajando con una variable aleatoria continua, no tenemos una función de masa. La función de masa se utiliza para variables aleatorias discretas. Por lo que consideraremos el tiempo de actividad como discreto para graficar y usando la biblioteca .

library("extraDistr")

#Graficar
x= seq(a,b,by=0.1)
y = 1/length(x)

grafico = ggplot(data=datos,aes(x=x,y=y))
grafico = grafico + geom_bar(stat="identity",fill="lightblue3", color="white", size = 0.1)
grafico = grafico + theme_bw() + ggtitle("Masa de probabilidades")
grafico = grafico + xlab("Minutos") + ylab("Masa") + coord_cartesian(ylim=c(0, 0.1))
ggplotly(grafico)

Parte c.

Para el cálculo de la media y la desviación estándar consideremos el intervalo de la actividad como discreto. Donde la media nos indicará el tiempo promedio que demoran los automóviles en cruzar el puente en las horas punta,aproximadamente 5 minutos y la desviación estandar, que corresponde a la dispersión de los datos alrededor de la media, lo que para este efecto nos indicará que hay una variabilidad aproximada de ± 1,155 minutos de tiempo en el cruce de los automóviles.

media = (a+b)/2
desviacion = round(sqrt(((b - a)^2) / 12),3)
print(paste(media,"±",desviacion))
## [1] "5 ± 1.155"

Pregunta 3 – (20 puntos)

Un grupo de curso está organizando su viaje de fin de año y deben seleccionar a 2 líderes para encargarse de las actividades y seguridad del viaje. Hay 8 estudiantes interesados en asumir el rol de lider. El profesor jefe decide que la selección de los líderes debe ser en equipos de dos estudiantes.

Preguntas

  1. ¿Cuántas combinaciones únicas de líderes se pueden formar? (5 puntos).
  2. Si se sabe que dos estudiantes, no pueden ser líderes al mismo tiempo ¿Cuántas combinaciones únicas de líderes se pueden formar considerando esta restricción? (5 puntos).

Respuestas

Parte a.

Para calcular cuantas combinaciones únicas de dos líderes se pueden formar, usaremos la fórmula de combinaciones: \[ C(n,r) = n! / r!(n−r)! \]

n = 8
r = 2
combinacion <- factorial(n)/(factorial(r)*factorial(n - r))
print(combinacion)
## [1] 28

Parte b.

Si consideramos que dos estudiantes no pueden ser lideres al mismo tiempo, debemos quitar la combinación que los incluya a ambos. Por lo que para complir con esta restricción podemos restar 1 al resultado de la parte a y tendriamos la cantidad de combinaciones para este apartado.

Referencias

Villalobos Cid, M., Villanueva Ilufi, M., Giglio Gutierréz, J., (2023). Estadística Computacional. Uvirtual. https://uvirtual.usach.cl/moodle/course/view.php?id=24173&section=9

Matemóvil., (21 de septiembre de 2020). Distribución de poisson. https://www.youtube.com/watch?v=MbevsnWYb5o

Villalobos Cid, M., (14 de mayo de 2020). Template - PEP 1. Uvirtual. https://uvirtual.usach.cl/moodle/course/view.php?id=24173&section=39