NIM : 220605110070

KELAS : A

MATKUL : LINEAR ALGEBRA

DOSEN PENGAMPU : Prof.Dr.Suhartono,M.Kom

JURUSAN : TEKNIK INFORMATIKA

LEMBAGA : UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG

Dalam banyak kasus, kita harus menghitung Ar, di mana A adalah matriks persegi berukuran n × n dan r adalah sebuah bilangan bulat positif yang besar. Dalam kasus ini, jika kita menghitung Ar secara langsung, maka waktu komputasi menjadi mahal dan juga kita mungkin akan mendapatkan hasil numerik yang besar kesalahan yang besar di dalam komputer. Oleh karena itu, kami ingin menyederhanakan Ar sehingga kami dapat menghitungnya secara efisien. Salah satu ide kunci untuk menyederhanakan Ar adalah diagonalisasi. Dalam bagian ini ini kita akan mendiskusikan diagonalisasi pada sebuah matriks bujur sangkar.

Kemudian, dengan menggunakan fungsi eigen() dari R, kita memiliki

A <- matrix(c(2, -1, 1, -1, -3, 1, 3, 3, 3), 3, 3)
eigen(A)
## eigen() decomposition
## $values
## [1]  4.397382 -3.824458  1.427076
## 
## $vectors
##           [,1]       [,2]       [,3]
## [1,] 0.7437078  0.2542122  0.8674476
## [2,] 0.1624484  0.9508909 -0.3981322
## [3,] 0.6484668 -0.1765859 -0.2983713
A <- matrix(c(1, 0, 3, -2, 2, -3, 1, -3, -2), 3, 3)
eigen(A)
## eigen() decomposition
## $values
## [1]  4.50349224 -3.56576496  0.06227272
## 
## $vectors
##            [,1]        [,2]       [,3]
## [1,]  0.5276592 -0.01504018 -0.7715961
## [2,] -0.6521968 -0.47442002 -0.5343413
## [3,]  0.5442565 -0.88017012 -0.3451359

Jika Anda ingin memiliki matriks D; Q dari nilai eigen dan vektor eigen dari A dalam R, kita dapat melakukannya:

p <- eigen(A)$vectors
D <- diag(eigen(A)$values)
p %*% D %*% solve(p)
##               [,1] [,2] [,3]
## [1,]  1.000000e+00   -2    1
## [2,] -7.008283e-16    2   -3
## [3,]  3.000000e+00   -3   -2

Untuk menghitung batas ini, pertama-tama kita perlu mendiagonalisasi P. Dalam R kita akan menggunakan fungsi eigen() untuk mendiagonalisasi matriks transisi P. Pertama-tama, definisikan matriks:

A <- matrix(c(1/4, 1/5, 1/3, 1/6, 1/4, 1/5, 1/3,1/3, 1/4, 2/5, 1/6, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/6), 4, 4)
p <- eigen(A)$vectors
D <- diag(eigen(A)$values)
p %*% D %*% solve(p)
##              [,1]         [,2]         [,3]         [,4]
## [1,] 0.2500000+0i 0.2500000+0i 0.2500000+0i 0.2500000+0i
## [2,] 0.2000000-0i 0.2000000+0i 0.4000000+0i 0.2000000+0i
## [3,] 0.3333333+0i 0.3333333-0i 0.1666667-0i 0.1666667+0i
## [4,] 0.1666667+0i 0.3333333+0i 0.3333333+0i 0.1666667+0i
ini <- c(1/4, 1/4, 1/4, 1/4)
ini %*% p %*% D^(10000) %*% solve(p)
##              [,1]        [,2]         [,3]         [,4]
## [1,] 0.2435175+0i 0.276212+0i 0.2841037+0i 0.1961669+0i