NIM : 220605110070

KELAS : A

MATKUL : LINEAR ALGEBRA

DOSEN PENGAMPU : Prof.Dr.Suhartono,M.Kom

JURUSAN : TEKNIK INFORMATIKA

LEMBAGA : UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG

=================== Null Space, Column Space, and Row Spaces =====================

Kita telah membahas bagaimana menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan bentuk bentuk eselon dari matriks yang diperbesar di Bab 1 dan menggunakan aturan Cramer di Bagian 3.5. Di sini, kita menggunakan ruang nol dari matriks koefisien untuk menemukan semua solusi dari sistem persamaan linear.

library(pracma)
## Warning: package 'pracma' was built under R version 4.2.3
A <- matrix(c(1, -1, 4, 0, 2, 0, -1, 0, -1, -1, 5, 0),
nrow=3, ncol=4, byrow=TRUE)
rref(A)
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    0 -0.5    0
## [2,]    0    1 -4.5    0
## [3,]    0    0  0.0    0

di R kita bisa menggunakan fungsi Null() dari paket MASS untuk menghitung vektor-vektor yang mencakup ruang nol dari sebuah matriks A. Kita akan menggunakan contoh di awal untuk mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi ini di R. Pertama-tama kita memuat paket dan mendefinisikan matriksnya:

library(MASS)
A <- matrix(c(1, -1, 4, 2, 0, -1, -1, -1, 5),
nrow=3, ncol=3, byrow=TRUE)
Null(t(A))
##           [,1]
## [1,] 0.1078328
## [2,] 0.9704950
## [3,] 0.2156655
library(pracma)
A <- matrix(c(1, -1, 4, 1, 0, 2, 0, -1, -2, 0, -1, -1, 5, 3, 0),
nrow=3, ncol=5, byrow=TRUE)
rref(A)
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]    1    0 -0.5   -1    0
## [2,]    0    1 -4.5   -2    0
## [3,]    0    0  0.0    0    0

Di sini kita menghitung ruang nol dari matriks A dengan fungsi Null dari dari paket MASS di R. Pertama, kita meng-upload pustaka MASS dan kemudian mendefinisikan matriks koefisien A dan vektor sisi kanan b:

library(MASS)
A <- matrix(c(1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,1,0,0,1,0,1), 4, 4, byrow=TRUE)
b <- c(4, 4, 4, 4)
v <- Null(t(A))
v
##      [,1]
## [1,]  0.5
## [2,] -0.5
## [3,] -0.5
## [4,]  0.5

Sekarang kita menghitung probabilitas untuk mengamati setiap tabel dengan baris jumlah baris dan jumlah kolom yang diberikan di bawah distribusi hipergeometrik. Kita dapat menggunakan fungsi dhyper() di R. Untuk t = 1, kita memiliki probabilitas untuk mengamati tabel x1 adalah

dhyper(4, 4, 4, 4)
## [1] 0.01428571
dhyper(3, 4, 4, 4)
## [1] 0.2285714

Nilai p-value untuk hipotesis tersebut adalah P(x1) + P(x2) = 0.01428571 + 0:2285714 = 0:2428571. Jika kita menggunakan fungsi fisher.test(), kita dapat melakukan uji eksak Fisher. Untuk ini, kita membuat tabel sebagai sebuah matriks dan memanggil fungsi fisher.test():

Tea <- matrix(c(3, 1, 1, 3), 2, 2, byrow = TRUE)
fisher.test(Tea, alternative = "greater")
## 
##  Fisher's Exact Test for Count Data
## 
## data:  Tea
## p-value = 0.2429
## alternative hypothesis: true odds ratio is greater than 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.3135693       Inf
## sample estimates:
## odds ratio 
##   6.408309