Apostila de Matemática Financeira
Apostila de Matemática Financeira
Autor: Gean Pereira Damaceno¹; Orientador: Dr. Ernandes Guedes Moura²; Período: IX; Curso: Licenciatura em Matemática; email: geandamaceno030@gmail.com
09 junho, 2023, Campus - Uruçuí
1 O que é a Matemática Financeira?
A Matemática financeira é muito utilizada para a análise de operações financeiras simples e complexas.Educar mais Brasil
A matemática financeira é uma das áreas da matemática que estuda a variação do dinheiro ao longo do tempo. Ela é muito utilizada nas atividades financeiras do dia a dia, das mais simples às mais complexas.Quem deseja comprar um imóvel precisa escolher uma forma de
pagamento, à vista ou parcelado. Por meio da matemática financeira será
possível escolher a opção mais viável e que gere menos custos,
calculando, por exemplo, os juros incididos nas prestações do
financiamento ou o desconto na quitação no ato da compra. Dessa forma, a
matemática financeira tem uma importância fundamental para a vida das
pessoas.
História da matemática financeira
As antigas civilizações já se utilizavam da matemática para as atividades comerciais da época. Os sumérios realizavam empréstimos de sementes e o pagamento era feito com uma parte da colheita, uma forma de pagamento de juros. Na época não existia outra moeda de troca. As informações financeiras eram escritas em tábuas com dados como escrituras de vendas e notas promissórias. Muitos anos depois, muitos livros sobre o assunto produzidos no século XVII foram redescobertos no período do Renascimento. A aritmética de Treviso foi considerado o primeiro registro impresso de matemática financeira em 1478, quando apresentou aplicações e práticas do escambo.
Pierro Borghi publicou em 1484 a “Aritmética Comercial”, na Itália, fundamental para o desenvolvimento da matemática financeira por tratar de questões relacionadas ao comércio da época. As 17 edições da publicação, a última em 1557, mostram a importância desse legado. Outro destaque da época foi Filippo Calandri, que desenvolveu uma forma aritmética reconhecida como a primeira com problemas ilustrados.
Com o desenvolvimento do comércio e a comercialização de ouro e prata, muitos países criaram suas próprias moedas. Porém, as diferentes moedas entre os países causou problemas comerciais que foram solucionados com o surgimento dos cambistas.
Os cambistas eram responsáveis pela troca e comercialização entre as diferentes moedas e com o tempo passaram a emprestar e guardar dinheiro. O termo “banco” das instituições financeiras atuais faz referência aos cambistas que ficavam em bancos de madeira.
A evolução da economia e, consequentemente, da matemática financeira, permitiu que muitas situações consideradas impossíveis de serem resolvidas, hoje podem ser solucionadas por meio de técnicas e ferramentas específicas.
OBJETIVO
Este material têm por objetivo, o auxilio nas resoluções das atividades, para que o aluno desenvolva conhecimento, de forma prática e dinâmica, para que os discentes tenham suas curiosidades ao pesquisar mais sobre os assuntos em pauta.2 JUROS SIMPLES
Geralmente, os juros simples pagos ou recebidos durante um determinado período são uma porcentagem fixa do valor do principal que foi emprestado ou investido.Os juros simples são baseados no total do valor de um empréstimo ou depósito. Juros simples e Compostos
j= juros
C= Valor inicial da transação, chamdo em matemática financeira de Capittal
t= Período da transação (tempo)
i = taxa de juros ( valor normalmente expresso em porcentagem)
2.0.1 Equação do Juros Simples
\[J=c\cdot i\cdot t\] Exemplo: Gean Damaceno, pretende investir um capital em uma instituição financeira, ele tem um capital de R$15.000,00 Reais. ao pesquisar as taxas de juros, ele encontrou uma intituição, que pagava 3% ao mes, ele queria em um prazo de 24 meses. Qual o juros, ao final da aplicação?
2.0.2 Montando a função do juros simples, temos:
J_s<-function(c, i, t){
j<-c*(i/100)*t
return(j)
}
J_s(15000, 3, 24)#Logo efetuado o cálculo pela função, temos o juros.## [1] 108002.0.3 Criando o Gráfico do juros simples, em função do tempo, temos:
Juros_simples<-function(t){
15000*3/100*t
}
curve(Juros_simples, col="pink", lwd=3,xlab="Tempo",ylab="Montante",main="Juros simples")
Podemos analisar o gráfico do juros simples, será uma "linha reta" uma regressão linear. Daí, concluímos que a variável (y = Montante) é dependente da variável (x = tempo), ou seja, uma função linear, esse tipo de juros, não é aplicado em intituições financeiras, devido elas perderem lucros, elas preferem aplicar juros compostos, como veremos adiante.2.0.4 Montante
O montante equivale ao valor futuro de uma operação financeira, incluindo ao valor do capital inicial os juros correspondentes ao período em questão. Montante
\[M= j + c\]
2.0.5 Usando o capital e juros da questão anterior, temos o seguinte Montante
M = 10800 + 15000 => 25.800,00
3 JUROS COMPOSTOS
Os juros compostos geralmente são fatores importantes nas transações comerciais, investimentos ou produtos financeiros. Eles estão normalmente ligados a itens que se estendem por vários períodos ou anos.os juros compostos são calculados sobre o valor total + os juros simples cobrados sobre ele – é o chamado “juros sobre juros”. Eles são mais comuns em investimentos a longo prazo.Juros simples e Compostos
M= montante
C= capital
i= taxa de juros
t = período de tempo
3.0.1 Equação do juros compostos
\[M=c(1+i)^{t}\]
3.0.2 Montando a função do juros compostos, temos:
J_c<-function(c, i, n)
{
j<-c*(1+i/100)^n
return(j)
}
J_c(50000, 4, 6)#(c=capital, i=taxa, n=períodos) montando a função genérica do juros compostos## [1] 63265.95Criando uma curva em função do tempo, temos:
Juros_Compostos<-function(t){
M<- 600*(1+0.1)^t
return(M)
}
curve(Juros_Compostos,0,50,col="green",lwd=3,xlab="Tempo",ylab="Montante",main="Juros compostos")
Ao criar o gráfico para a função dos juros compostos, podemos obervar que o crescimento do luvro, será de forma exponencial,como mostra a figura o gráfico.Exemplo Juros compostos.
Ao analisar as taxas de investimentos nas instituições financeiras, Gean Damaceno chegou a uma conclusão. Vai aplicar seu capital de R$50.000,00 Mil reais, a juros compostos, com taxa de 4% ao mês, em um período de 48 meses. Qual o juros a receber, ao final da aplicação?
## [1] 328526.44 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS (Valor futuro e Valor Atual)
O Valor futuro refere-se à capitalização de um bem financeiro qualquer. O investimento pode ser um imóvel, ações, cotas em um fundo, etc.Valor futuro e valor presente
VF = valor futuro
P = prestação
n = numero do período
i = taxa
\[V_F=P\cdot \frac{(1+i)^{n}-1}{i}\] Exemplo:(Q-247) Uma pessoa deposita mensalmente R$700,00 num fundo que rende juros compostos, à taxa de 1.3% ao mês, são feitos 25 depósitos. Qual será seu montante 3 meses após ter feito o ultimo depósito?
Criando a função do valor futuro, temos:
Valor_futuro<-function(p, i, n){
VF<-p*(((1+i/100)^n-1))/(i/100)
return(VF)
}
Valor_futuro(700, 1.3, 28)#calculando o valor fututo, com (p=prestação, i=taxa, n=período)## [1] 23460.91logo, o valor futuro será de R$23.460,91
Valor presente ou valor atual refere-se a uma quantia hoje em dinheiro corrente.Valor futuro e valor presente
VA = valor atual
P = prestação
n = numero
i = taxa
\[V_A=P\cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\] Exemplo: Uma televisão de LCD de 32 polegadas é vendida em quatro prestações mensais de R$ 500,00, sendo a primeira paga um mês após a compra. Sabendo que a loja opera com uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, qual o valor do preço à vista? Brasil Escola
Valor_atual<-function(p, i, n){
VA<-p*(1-(1+i/100)^-n)/(i/100)
return(VA)
}
Valor_atual(500, 4, 4)#calculando o valor atual, (p=prestação, i=taxa, n=período)## [1] 1814.9485 TAXA EQUIVALENTE
Taxas Equivalentes são taxas que quando aplicadas ao mesmo capital, num mesmo intervalo de tempo, produzem montantes iguais. Essas taxas devem ser observadas com muita atenção, em alguns financiamentos de longo prazo, somos apenas informados da taxa mensal de juros e não tomamos conhecimento da taxa anual ou dentro do período estabelecido, trimestre, semestre entre outros.Brasil Escola
Equação da taxa Equivalente \[1+ia=(1+ip)^n\] ia = taxa anual
ip = taxa período
n = numero de período
Exemplo: Qual a taxa anual de juros equivalente a 2% ao mês?“Brasil Escola
Vamos responder essa pergunta, criando uma função para resolver de forma automática para encontrarmos a taxa anual, basta você substituir os valores de (ia= taxa anual, n= número de período) daí, temos:
taxa_efetiva<-function(ip, n){
ia<-((1+ip/100)^n-1)*100
return(ia)
}
taxa_efetiva(2, 12)#calculado a taxa anual(ip=taxa período, n=número de período)## [1] 26.82418Vamos descobrir a taxa equivalente, mensal. Para isso, vamos criar uma função, para resolver de forma automática, a resolução.
Exemplo: Determine a taxa mensal equivalente a 100% ao ano, e a 39% ao trimestre.
Criando a função para descobrir a taxa mensal, temos. vai ser em função do (ip= taxa período), temos
taxa_efetivadoip<-function(ia, n){
ip<-((1+ia/100)^{1/n}-1)*100
return(ip)
}
taxa_efetivadoip(39, 3)#calculando a taxa equivalente(ia=taxa anual, n=número de período)## [1] 11.6019Taxa Nominal ou efetiva com capitalização K vezes
taxa Nominal (Aparente) • Período de capitalização é igual ao prazo da taxa
\[I_E= Taxa-efetiva\]
\[k=\frac {Período-da -taxa}{Período-da-capitalização}\]
\[I_E=(1+ \frac{1}{k})^k-1\]
6 DESCONTOS
Os descontos, como o próprio nome diz , é um desconto cedido à alguém ou uma instituição por quitar sua dívida antecipadamente. Para quem ainda ficou na dúvida, o conceito de desconto é o antônimo de juro, enquanto o juro é dado para estender o prazo para pagamento, o desconto é dado por antecipação desse prazo.
Os descontos se dividem em dois grupos e subgrupos, que são: Desconto simples e Desconto composto; Desconto Comercial ou por fora e Desconto racional ou por dentro, respectivamente.
Todo desconto tem algo em comum, seja ele simples ou composto que é:Matemática financeira Descontos
\[D= N-A\] D = valor do descontos
N = Valor nominal (valor inicial)
A = Valor atual
6.1 Desconto Comercial Simples ou Por fora
O desconto é calculado sobre o valor nominal do produto ou serviço.Matemática financeira Descontos \[D_c=N \cdot i \cdot t\] \[A=N \cdot (1- i \cdot t)\]
Onde:
DC = desconto comercial
N = valor nominal
i = taxa
t = tempo
A = valor atual
Exemplo: Um boleto de R$2.500,00 com vencimento para daqui a 3 meses foi antecipado com taxa de desconto simples comercial de 2%a.m. Calcule o valor do desconto e o valor atual. Solução do exercício: nesse exercício todos os dados necessários para calcular o desconto diretamente pela fórmula foram dados: valor nominal, taxa de desconto e o prazo. Foi informado também que o desconto é comercial. Vamos aplicar a fórmula: Matemática financeira Descontos
Desconto_comercial<-function(n, i, t){
Dc<-n*i/100*t
return(Dc)
}
Desconto_comercial(2500, 2, 3)#calculando o desconto, (n=valor nominal, i=taxa, t=tempo)## [1] 150Calculamos que o desconto foi de:
R$150,00.
Agora vamos calcular o valor atual utilizando a fórmula geral do desconto.
Valor_atual<-function(n, a){
Va<-(n-a)
return(Va)
}
Valor_atual(2500, 150)#calculando o valor atual, (n=valor nominal, a=valor atual)## [1] 2350Portanto, o valor atual é de:
R$2.350,00
6.2 Desconto Racional Simples ou Por dentro
O desconto é calculado sobre o valor atual do produto ou serviço.Matemática financeira Descontos
\[D_r=A\cdot i \cdot t\] \[A=\frac{N}{1+i \cdot t}\]
Onde:
Dr = desconto racional
N = valor nominal
i = taxa
t = tempo
A = valor atual
Exemplo: Um comerciante recebeu um cheque para daqui a 4 meses no valor de R$10.000,00 como pagamento . Como precisa de dinheiro imediatamente, ele foi a um banco para descontar o cheque. A taxa mensal de desconto é de 3,2%. Quanto o comerciante conseguiu antecipar e qual foi o valor do desconto? Considere a modalidade de desconto simples racional. Solução do exercício: foi dado o valor nominal do cheque, o prazo e a taxa. Nesse caso, vamos utilizar a fórmula do valor atual racional.Matemática financeira Descontos
Valor_atual<-function(n, i, t){
va<-n/(1+i/100*t)
return(va)
}
Valor_atual(10000, 3.2, 4)#calculando o valor atual, (n=valor nominal, a=valor atual)## [1] 8865.248O valor atual (antecipado) é de:
R$8.865,24.
Vamos usar a fórmula geral do desconto para calcular o valor do desconto.
Valor_desconto<-function(n, a){
Vd<-(n-a)
return(Vd)
}
Valor_desconto(10000, 8865.248)#calculando o desconto, (n=valor nominal, a=valor atual)## [1] 1134.752Portanto o valor do desconto é de:
R$1.134,75.
6.3 Desconto Comercial Composto ou Por fora
O desconto é calculado sobre o valor nominal do produto ou serviço. O que irá diferir é que no Valor Atual a taxa é multiplicada sobre ela mesma, dependendo do tempo, e não sobre o tempo, como acontecia no desconto simples.Matemática financeira Descontos Dc = desconto Composto Comercial
N = valor nominal
i = taxa
t = tempo
A = valor atual
\[A=N \cdot {(1-i)^t}\]
Exemplo: (BNB – FGV). Um título de valor nominal R$ 8.800,00 é pago dois
meses antes do vencimento com desconto comercial composto a uma taxa de
5% ao mês. O valor descontado é de: Desconto
composto
Valorcomercial_composto<-function(n, i, t){
Vcc<-n*(1-i/100)^t
return(Vcc)
}
Valorcomercial_composto(8.800, 5, 2)#calculando o desconto, (n=valor nominal, i=taxa, t=tempo)## [1] 7.942O valor descontado será de:
R$7.942,00
6.4 Desconto Racional Composto ou Por dentro
O desconto é calculado sobre o Valor Atual do produto ou serviço. O que irá diferir é que no Valor Atual a taxa é multiplicada sobre ela mesma, dependendo do tempo, e não sobre o tempo, como acontecia no desconto simples.Matemática financeira Descontos Dr = desconto racional composto
N = valor nominal
i = taxa
t = tempo
A = valor atual
\[A=\frac {N}{(1+i)^t}\]
Exemplo: Um comerciante emite um boleto no valor de R$ 2.000,00 com data
de vencimento para 4 meses. Para antecipar esse boleto o banco cobre uma
taxa de juros de 2%a.m.Calcule o valor do desconto racional compostoDesconto
composto
Descontoracional_composto<-function(n, i, t){
Dcr<-n/(1+i/100)^t
return(Dcr)
}
# Assim, para resolver o exercício acima, temos;
#calculando o desconto, (n=valor nominal, i=taxa, t=tempo)
Descontoracional_composto(2000, 2, 4)## [1] 1847.691O valor do desconto Racional composto, foi de:
R$1.847,69
7 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PRICE
O sistema de amortização Price, ou sistema de amortização francês, é um metodo usado em amortização de empréstimo cuja principal caractrísticaprestações (ou parcelas) iguais. O metodo foi apresentado em 1771 por Richard Price em sua obra “Observações sobre Pagamentos Remissivos”. O metodo foi idealizado pelo seu autor para pensões e aposentadorias. No entanto, foi a partir da 2ª revolução industrial que sua metodologia de cálculo foi aproveitada para cálculos de amortização de empréstimo.wikipedia
7.1 Para encontrarmos a prestação no Sistema PRICE, temos a seguinte equação e função pronta.
\[P_k=\frac{D_0\cdot i} {1-(1+i)^{-n}}\]
7.2 Foi criando uma função para encontrar a prestação, como ela é constante, todas as prestações seguem o mesmo valor.
Prestação<-function(D0, i, n)
{
pk<-(D0*i/100)/1-(1+i/100)^-n
return(pk)
}
Prestação(200, 10, 6)#calculando a prestação, (D0=valor inicial, i=taxa, n=número de período)## [1] 19.435537.3 Para encontrarmos o juros no Sistema PRICE, temos a seguinte equaçãoo, JK
\[J_k=i\cdot D_{k-1}\]
7.4 Para encontrarmos a amortização no Sistema PRICE, temos a seguinte equação, Ak
\[A_k=P_k-j_k\]
7.5 Para encontrarmos a divida no Sistema PRICE, temos a seguinte equação Dk
\[D_k=D_{k-1}-A_{k}\]
7.6 Para encontrarmos a divida no PRICE, em qualquer momento, temos a seguinte equação e função pronta, basta substituir os valores no lugar de (Dk, i, n, k)
DK = divida do empréstimo
i = taxa sobre o valor emprestado
n = quantidade de período
k = o período que quero saber
7.7 Criando uma função generica, para saber a dívida em qualquer momento, temos:
Divida_n<-function(pk, i, n, k){
Div<-pk*(1-(1+i/100)^-(n-k))/(i/100)
return(Div)
}
Divida_n(20, 1, 4, 3) ## [1] 19.80198 exemplo de como usar a função para encontrar a dívida em qualquer momento, os valores de pk, i, n,k foi eu que substimei.7.8 Lembrando que {Pk = prestação}, este método é ideal para sabermos a divída em um período distante da dívida inicial. Para encontrarmos de forma manual.
\[D_k=P_k \cdot \frac{1-(1+i)^{-{(n-k)}}}{i}\]
pk = prestação
i = taxa
n = período
k = o período que você quer saber sua divída.
7.8.1 Exemplo de como encontrar a divida em qualquer momento,temos a equação acima. Mas, foi criado uma função, que ao substituir os valores de (Pk, i, n, k) você já encontra de forma automática.
Divida_n<-function(pk, i, n, k){
Div<-pk*(1-(1+i/100)^-(n-k))/(i/100)
return(Div)
}
Divida_n(64.49938, 1, 150, 100)## [1] 2528.125para encontrarmos a dívida em qualquer momento, temos a seguinte função, (pk=prestação, i=txa, n=número de períodos, k= o período que eu quero)8 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO SAC
O Sistema de Amortização Constante, também conhecido como SAC, como o próprio nome já diz, é aquele em que o valor amortizado é sempre constante, ou seja, é sempre igual. Brasil Escola
8.1 Para calcularmos o valor da Amortização, temos a seguinte equação.
\[A_k=\frac{D_0}{n}\]
8.2 Para encontrarmos o juros no Sistema SAC, temos a seguinte equaçãoo, JK
\[J_k=i\cdot D_{k-1}\]
8.3 Para encontrarmos a prestação no Sistema SAC, temos a seguinte equação, Pk
\[P_k=J_k+A_k\]
8.4 Para encontrarmos a divida no Sistema SAC, temos a seguinte equação Dk
\[D_k=D_n-A_{n-1}\] cCriando uma rotina genérica para fazermos o calculo do sistema de amortização SAC, TEMOS:
SAC<-function(i,n,D0){
i=i/100
n<-n
k<-0:n
# Vetores nulos
pk<-c();Ak<-c();jk<-c();Dk<-c()
# Manualmente o primeiro elemento
pk[1]<-0;Ak[1]<-0;jk[1]<-0;Dk[1]<-D0
# Ak
for (a in 2:(n+1)) {
Ak[a]<-Dk[1]/n
}
Ak
# Dk
for(d in 2:(n+1)){
Dk[d]<-(n-d+1)*Dk[1]/n
}
Dk
#jk
for(j in 2:(n+1)){
jk[j]<-i*Dk[j-1]
}
jk
#pk
for (p in 2:(n+1)) {
pk[p]<-Ak[p]+jk[p]
}
pk
tabela_SAC<-cbind(k,pk,Ak,jk,Dk)
soma_SAC<-apply(tabela_SAC, 2, sum)
tabela_fim<-rbind(tabela_SAC,soma_SAC)
tabela_fim[nrow(tabela_fim),ncol(tabela_fim)]<-0
tabela_fim[nrow(tabela_fim),1]<-0
return(tabela_fim)
}
SAC(5,10,250) #Criando a tabela pelo sistema SAC, (i=taxa, n=período, D0=valor inicial)## k pk Ak jk Dk
## 0 0.00 0 0.00 250
## 1 37.50 25 12.50 225
## 2 36.25 25 11.25 200
## 3 35.00 25 10.00 175
## 4 33.75 25 8.75 150
## 5 32.50 25 7.50 125
## 6 31.25 25 6.25 100
## 7 30.00 25 5.00 75
## 8 28.75 25 3.75 50
## 9 27.50 25 2.50 25
## 10 26.25 25 1.25 0
## soma_SAC 0 318.75 250 68.75 0(n, i, D0) n = números de período, i = taxa sobre o valor, D0 = VALOR da divída inicial. com isso, ao substituir os valores, temos a seguinte tabela. Veremos alguns exemplos mais adiante.9 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO SAM
É um sistema de amortização de dívidas onde os juros de um empréstimo são pagos periodicamente, porém a quitação do empréstimo se dá por meio de uma única parcela que deverá ser paga ao final do contrato. Brasil escola
sam<-function(n, i, D0){i<-i/100
n<-n
k<-1:n
## Criando meus vetores nulos
pk<-c(); ak<-c(); jk<-c(); dk<-c()
## Dando valores ao 1º elemento de cada vetor
pk[1]<-0; ak[1]<-0;jk[1]<-0;dk[1]<-D0
## Recorrência
for(d in 2:(n-1)) {dk[d]<-dk[1]
}
dk[n]<-0
## Juros jk
for (j in 2:n) {jk[j]<-i*dk[1]
}
## amortização ak
for (a in 2:(n-1)) {ak[a]<-0
}
ak[n]<-dk[1]
## Prestação pk
pk<-ak+jk
for (p in 2:n) {pk[p]<-ak[p]+jk[p]
}
tabela<-cbind(k,pk,ak,jk,dk)
tabela
soma<-apply(tabela, 2, sum)
soma
tabelasoma<-rbind(tabela,soma)
tabelasoma
tabelasoma[nrow(tabelasoma),1]<-0
tabelasoma
tabelasoma[nrow(tabelasoma),ncol(tabelasoma)]<-0
tabelasoma
sam<-tabelasoma
return(sam)
}
sam(5,10,50000)#Criando a tabela pelo sistema SAM, (i=taxa, n=período, D0=valor inicial) ## k pk ak jk dk
## 1 0 0 0 50000
## 2 5000 0 5000 50000
## 3 5000 0 5000 50000
## 4 5000 0 5000 50000
## 5 55000 50000 5000 0
## soma 0 70000 50000 20000 0(n, i, D0) n = números de período, i = taxa sobre o valor, D0 = VALOR da divída inicial. com isso, ao substituir os valores, temos a seguinte tabela. Veremos alguns exemplos mais adiante.- Como você observou, ao substituir os valores de (n, i, D0) na função criada pelos os autores, já encontramos todos os valores, dos juros e a ultima prestação somado com o juros.
n = quantidade de Período
i = taxa a ser aplicada sobre a dívida
D0 = valor da dívida inicial
9.1 Questões de fixação dos sistema de Amortizações PRICE, SAC e SAM
9.1.1 Exemplo 1. Faça as planilhas de amortização de uma dívida de 250u.m. em 5 pagamentos mensais, com juros de 10% ao mês:
9.1.2 a) Pela tabela Price;
Price<-function(n,i,D0){
n<- n
i<-i/100
k<-0:n
# Agora vamos criar vetores nulos
pk<-c();Ak<-c(); jk<-c();Dk<-c()
# Agora vamos preencher os primeiros valores de cada vetor nulo
pk[1]<-0; Ak[1]<-0; jk<-0; Dk[1]<-D0
# Preenchendo na ordem específica
# Pk
for (p in 2:(n+1)) {
pk[p]<- i*Dk[1]/(1-(1+i)^(-n))
}
pk
# Preencher Dk
for(d in 2:(n+1)) {
Dk[d]<-Dk[1]*(1-(1+i)^-(n-d+1))/(1-(1+i)^(-n))
}
Dk
# Preencher jk
for(j in 2:(n+1)){
jk[j]<-i*Dk[j-1]
}
jk
# Preencher Ak
Ak<- pk-jk
Ak
price<-cbind(k,pk,Ak,jk,Dk)
soma_Price<-apply(price, 2,sum)
tabela_fim<-rbind(price,soma_Price)
tabela_fim[nrow(tabela_fim),ncol(tabela_fim)]<-0
tabela_fim[nrow(tabela_fim),1]<-0
return(tabela_fim)}
Price(20,15,2500) ## k pk Ak jk Dk
## 0 0.0000 0.00000 0.00000 2500.0000
## 1 399.4037 24.40368 375.00000 2475.5963
## 2 399.4037 28.06423 371.33945 2447.5321
## 3 399.4037 32.27386 367.12981 2415.2582
## 4 399.4037 37.11494 362.28874 2378.1433
## 5 399.4037 42.68218 356.72149 2335.4611
## 6 399.4037 49.08451 350.31917 2286.3766
## 7 399.4037 56.44719 342.95649 2229.9294
## 8 399.4037 64.91426 334.48941 2165.0152
## 9 399.4037 74.65140 324.75227 2090.3638
## 10 399.4037 85.84911 313.55456 2004.5146
## 11 399.4037 98.72648 300.67720 1905.7882
## 12 399.4037 113.53545 285.86822 1792.2527
## 13 399.4037 130.56577 268.83791 1661.6869
## 14 399.4037 150.15064 249.25304 1511.5363
## 15 399.4037 172.67323 226.73044 1338.8631
## 16 399.4037 198.57422 200.82946 1140.2889
## 17 399.4037 228.36035 171.04333 911.9285
## 18 399.4037 262.61440 136.78928 649.3141
## 19 399.4037 302.00656 97.39712 347.3075
## 20 399.4037 347.30754 52.09613 0.0000
## soma_Price 0 7988.0735 2500.00000 5488.07352 0.0000Com isso, temos a seguinte tabela concluída, calculada de forma automática, pela rotina criada na linguagem de programação Rstudio.9.2 b) Pela tabela SAC
SAC<-function(i,n,D0){
i=i/100
n<-n
k<-0:n
# Vetores nulos
pk<-c();Ak<-c();jk<-c();Dk<-c()
# Manualmente o primeiro elemento
pk[1]<-0;Ak[1]<-0;jk[1]<-0;Dk[1]<-D0
# Ak
for (a in 2:(n+1)) {
Ak[a]<-Dk[1]/n
}
Ak
# Dk
for(d in 2:(n+1)){
Dk[d]<-(n-d+1)*Dk[1]/n
}
Dk
#jk
for(j in 2:(n+1)){
jk[j]<-i*Dk[j-1]
}
jk
#pk
for (p in 2:(n+1)) {
pk[p]<-Ak[p]+jk[p]
}
pk
tabela_SAC<-cbind(k,pk,Ak,jk,Dk)
soma_SAC<-apply(tabela_SAC, 2, sum)
tabela_fim<-rbind(tabela_SAC,soma_SAC)
tabela_fim[nrow(tabela_fim),ncol(tabela_fim)]<-0
tabela_fim[nrow(tabela_fim),1]<-0
return(tabela_fim)
}
SAC(5,10,250)#Criando a tabela pelo sistema SAC, (i=taxa, n=período, D0=valor inicial)## k pk Ak jk Dk
## 0 0.00 0 0.00 250
## 1 37.50 25 12.50 225
## 2 36.25 25 11.25 200
## 3 35.00 25 10.00 175
## 4 33.75 25 8.75 150
## 5 32.50 25 7.50 125
## 6 31.25 25 6.25 100
## 7 30.00 25 5.00 75
## 8 28.75 25 3.75 50
## 9 27.50 25 2.50 25
## 10 26.25 25 1.25 0
## soma_SAC 0 318.75 250 68.75 09.3 Exemplo 2. Considere a amortização de uma dívida de 5000 u.m., em 150 meses, com juros de 1% ao mês, pela tabela Price. Determine:
9.4 a) Equação para encontrar o Pk, { Pk = Prestação}, temos:
\[P_k=\frac{D_0\cdot i} {1-(1+i)^{-n}}\]
9.5 a) O valor da centésima prestação
\[P_{100}=\frac {64.49938\cdot {(1-(1+0.1)^{-(150-100)})}}{0.01}\]
9.5.1 Para encontrarmos a divida em qualquer momento, de maneira manual, temos a seguinte equação.
\[D_k=P_k \cdot \frac{1-(1+i)^{-{(n-k)}}}{i}\]
9.5.2 Encontrando o mesmo valor da divida em qualquer momento, pela função criada pelos os autores, temos:
Divida_n<-function(pk, i, n, k){
Div<-pk*(1-(1+i/100)^-(n-k))/(i/100)
return(Div)
}
Divida_n(64.49938, 1, 150, 100)## [1] 2528.125calculando a dívida em qualquer momento(pk=prestação, i=taxa, n=período, k= a dívida naquele momento)9.6 Refazendo o problema anterior pelo SAC.
SAC<-function(i,n,D0){
i=i/100
n<-n
k<-0:n
# Vetores nulos
pk<-c();Ak<-c();jk<-c();Dk<-c()
# Manualmente o primeiro elemento
pk[1]<-0;Ak[1]<-0;jk[1]<-0;Dk[1]<-D0
# Ak
for (a in 2:(n+1)) {
Ak[a]<-Dk[1]/n
}
Ak
# Dk
for(d in 2:(n+1)){
Dk[d]<-(n-d+1)*Dk[1]/n
}
Dk
#jk
for(j in 2:(n+1)){
jk[j]<-i*Dk[j-1]
}
jk
#pk
for (p in 2:(n+1)) {
pk[p]<-Ak[p]+jk[p]
}
pk
tabela_SAC<-cbind(k,pk,Ak,jk,Dk)
soma_SAC<-apply(tabela_SAC, 2, sum)
tabela_fim<-rbind(tabela_SAC,soma_SAC)
tabela_fim[nrow(tabela_fim),ncol(tabela_fim)]<-0
tabela_fim[nrow(tabela_fim),1]<-0
return(tabela_fim)
}
SAC(n=150,i=1,D0=5000)#Criando a tabela pelo sistema SAC, (i=taxa, n=período, D0=valor inicial)## k pk Ak jk Dk
## 0 0.00000 0.00000 0.0000000 5000.00000
## 1 83.33333 33.33333 50.0000000 4966.66667
## 2 83.00000 33.33333 49.6666667 4933.33333
## 3 82.66667 33.33333 49.3333333 4900.00000
## 4 82.33333 33.33333 49.0000000 4866.66667
## 5 82.00000 33.33333 48.6666667 4833.33333
## 6 81.66667 33.33333 48.3333333 4800.00000
## 7 81.33333 33.33333 48.0000000 4766.66667
## 8 81.00000 33.33333 47.6666667 4733.33333
## 9 80.66667 33.33333 47.3333333 4700.00000
## 10 80.33333 33.33333 47.0000000 4666.66667
## 11 80.00000 33.33333 46.6666667 4633.33333
## 12 79.66667 33.33333 46.3333333 4600.00000
## 13 79.33333 33.33333 46.0000000 4566.66667
## 14 79.00000 33.33333 45.6666667 4533.33333
## 15 78.66667 33.33333 45.3333333 4500.00000
## 16 78.33333 33.33333 45.0000000 4466.66667
## 17 78.00000 33.33333 44.6666667 4433.33333
## 18 77.66667 33.33333 44.3333333 4400.00000
## 19 77.33333 33.33333 44.0000000 4366.66667
## 20 77.00000 33.33333 43.6666667 4333.33333
## 21 76.66667 33.33333 43.3333333 4300.00000
## 22 76.33333 33.33333 43.0000000 4266.66667
## 23 76.00000 33.33333 42.6666667 4233.33333
## 24 75.66667 33.33333 42.3333333 4200.00000
## 25 75.33333 33.33333 42.0000000 4166.66667
## 26 75.00000 33.33333 41.6666667 4133.33333
## 27 74.66667 33.33333 41.3333333 4100.00000
## 28 74.33333 33.33333 41.0000000 4066.66667
## 29 74.00000 33.33333 40.6666667 4033.33333
## 30 73.66667 33.33333 40.3333333 4000.00000
## 31 73.33333 33.33333 40.0000000 3966.66667
## 32 73.00000 33.33333 39.6666667 3933.33333
## 33 72.66667 33.33333 39.3333333 3900.00000
## 34 72.33333 33.33333 39.0000000 3866.66667
## 35 72.00000 33.33333 38.6666667 3833.33333
## 36 71.66667 33.33333 38.3333333 3800.00000
## 37 71.33333 33.33333 38.0000000 3766.66667
## 38 71.00000 33.33333 37.6666667 3733.33333
## 39 70.66667 33.33333 37.3333333 3700.00000
## 40 70.33333 33.33333 37.0000000 3666.66667
## 41 70.00000 33.33333 36.6666667 3633.33333
## 42 69.66667 33.33333 36.3333333 3600.00000
## 43 69.33333 33.33333 36.0000000 3566.66667
## 44 69.00000 33.33333 35.6666667 3533.33333
## 45 68.66667 33.33333 35.3333333 3500.00000
## 46 68.33333 33.33333 35.0000000 3466.66667
## 47 68.00000 33.33333 34.6666667 3433.33333
## 48 67.66667 33.33333 34.3333333 3400.00000
## 49 67.33333 33.33333 34.0000000 3366.66667
## 50 67.00000 33.33333 33.6666667 3333.33333
## 51 66.66667 33.33333 33.3333333 3300.00000
## 52 66.33333 33.33333 33.0000000 3266.66667
## 53 66.00000 33.33333 32.6666667 3233.33333
## 54 65.66667 33.33333 32.3333333 3200.00000
## 55 65.33333 33.33333 32.0000000 3166.66667
## 56 65.00000 33.33333 31.6666667 3133.33333
## 57 64.66667 33.33333 31.3333333 3100.00000
## 58 64.33333 33.33333 31.0000000 3066.66667
## 59 64.00000 33.33333 30.6666667 3033.33333
## 60 63.66667 33.33333 30.3333333 3000.00000
## 61 63.33333 33.33333 30.0000000 2966.66667
## 62 63.00000 33.33333 29.6666667 2933.33333
## 63 62.66667 33.33333 29.3333333 2900.00000
## 64 62.33333 33.33333 29.0000000 2866.66667
## 65 62.00000 33.33333 28.6666667 2833.33333
## 66 61.66667 33.33333 28.3333333 2800.00000
## 67 61.33333 33.33333 28.0000000 2766.66667
## 68 61.00000 33.33333 27.6666667 2733.33333
## 69 60.66667 33.33333 27.3333333 2700.00000
## 70 60.33333 33.33333 27.0000000 2666.66667
## 71 60.00000 33.33333 26.6666667 2633.33333
## 72 59.66667 33.33333 26.3333333 2600.00000
## 73 59.33333 33.33333 26.0000000 2566.66667
## 74 59.00000 33.33333 25.6666667 2533.33333
## 75 58.66667 33.33333 25.3333333 2500.00000
## 76 58.33333 33.33333 25.0000000 2466.66667
## 77 58.00000 33.33333 24.6666667 2433.33333
## 78 57.66667 33.33333 24.3333333 2400.00000
## 79 57.33333 33.33333 24.0000000 2366.66667
## 80 57.00000 33.33333 23.6666667 2333.33333
## 81 56.66667 33.33333 23.3333333 2300.00000
## 82 56.33333 33.33333 23.0000000 2266.66667
## 83 56.00000 33.33333 22.6666667 2233.33333
## 84 55.66667 33.33333 22.3333333 2200.00000
## 85 55.33333 33.33333 22.0000000 2166.66667
## 86 55.00000 33.33333 21.6666667 2133.33333
## 87 54.66667 33.33333 21.3333333 2100.00000
## 88 54.33333 33.33333 21.0000000 2066.66667
## 89 54.00000 33.33333 20.6666667 2033.33333
## 90 53.66667 33.33333 20.3333333 2000.00000
## 91 53.33333 33.33333 20.0000000 1966.66667
## 92 53.00000 33.33333 19.6666667 1933.33333
## 93 52.66667 33.33333 19.3333333 1900.00000
## 94 52.33333 33.33333 19.0000000 1866.66667
## 95 52.00000 33.33333 18.6666667 1833.33333
## 96 51.66667 33.33333 18.3333333 1800.00000
## 97 51.33333 33.33333 18.0000000 1766.66667
## 98 51.00000 33.33333 17.6666667 1733.33333
## 99 50.66667 33.33333 17.3333333 1700.00000
## 100 50.33333 33.33333 17.0000000 1666.66667
## 101 50.00000 33.33333 16.6666667 1633.33333
## 102 49.66667 33.33333 16.3333333 1600.00000
## 103 49.33333 33.33333 16.0000000 1566.66667
## 104 49.00000 33.33333 15.6666667 1533.33333
## 105 48.66667 33.33333 15.3333333 1500.00000
## 106 48.33333 33.33333 15.0000000 1466.66667
## 107 48.00000 33.33333 14.6666667 1433.33333
## 108 47.66667 33.33333 14.3333333 1400.00000
## 109 47.33333 33.33333 14.0000000 1366.66667
## 110 47.00000 33.33333 13.6666667 1333.33333
## 111 46.66667 33.33333 13.3333333 1300.00000
## 112 46.33333 33.33333 13.0000000 1266.66667
## 113 46.00000 33.33333 12.6666667 1233.33333
## 114 45.66667 33.33333 12.3333333 1200.00000
## 115 45.33333 33.33333 12.0000000 1166.66667
## 116 45.00000 33.33333 11.6666667 1133.33333
## 117 44.66667 33.33333 11.3333333 1100.00000
## 118 44.33333 33.33333 11.0000000 1066.66667
## 119 44.00000 33.33333 10.6666667 1033.33333
## 120 43.66667 33.33333 10.3333333 1000.00000
## 121 43.33333 33.33333 10.0000000 966.66667
## 122 43.00000 33.33333 9.6666667 933.33333
## 123 42.66667 33.33333 9.3333333 900.00000
## 124 42.33333 33.33333 9.0000000 866.66667
## 125 42.00000 33.33333 8.6666667 833.33333
## 126 41.66667 33.33333 8.3333333 800.00000
## 127 41.33333 33.33333 8.0000000 766.66667
## 128 41.00000 33.33333 7.6666667 733.33333
## 129 40.66667 33.33333 7.3333333 700.00000
## 130 40.33333 33.33333 7.0000000 666.66667
## 131 40.00000 33.33333 6.6666667 633.33333
## 132 39.66667 33.33333 6.3333333 600.00000
## 133 39.33333 33.33333 6.0000000 566.66667
## 134 39.00000 33.33333 5.6666667 533.33333
## 135 38.66667 33.33333 5.3333333 500.00000
## 136 38.33333 33.33333 5.0000000 466.66667
## 137 38.00000 33.33333 4.6666667 433.33333
## 138 37.66667 33.33333 4.3333333 400.00000
## 139 37.33333 33.33333 4.0000000 366.66667
## 140 37.00000 33.33333 3.6666667 333.33333
## 141 36.66667 33.33333 3.3333333 300.00000
## 142 36.33333 33.33333 3.0000000 266.66667
## 143 36.00000 33.33333 2.6666667 233.33333
## 144 35.66667 33.33333 2.3333333 200.00000
## 145 35.33333 33.33333 2.0000000 166.66667
## 146 35.00000 33.33333 1.6666667 133.33333
## 147 34.66667 33.33333 1.3333333 100.00000
## 148 34.33333 33.33333 1.0000000 66.66667
## 149 34.00000 33.33333 0.6666667 33.33333
## 150 33.66667 33.33333 0.3333333 0.00000
## soma_SAC 0 8775.00000 5000.00000 3775.0000000 0.000009.7 Exemplo 3. Faça as planilhas de amortização de uma dívida de 150u.m. em 8 pagamentos mensais, com juros de 10% ao mês:
9.8 a) Pela tabela Price;
Price<-function(n,i,D0){
n<- n
i<-i/100
k<-0:n
# Agora vamos criar vetores nulos
pk<-c();Ak<-c(); jk<-c();Dk<-c()
# Agora vamos preencher os primeiros valores de cada vetor nulo
pk[1]<-0; Ak[1]<-0; jk<-0; Dk[1]<-D0
# Preenchendo na ordem específica
# Pk
for (p in 2:(n+1)) {
pk[p]<- i*Dk[1]/(1-(1+i)^(-n))
}
pk
# Preencher Dk
for(d in 2:(n+1)) {
Dk[d]<-Dk[1]*(1-(1+i)^-(n-d+1))/(1-(1+i)^(-n))
}
Dk
# Preencher jk
for(j in 2:(n+1)){
jk[j]<-i*Dk[j-1]
}
jk
# Preencher Ak
Ak<- pk-jk
Ak
price<-cbind(k,pk,Ak,jk,Dk)
soma_Price<-apply(price, 2,sum)
tabela_fim<-rbind(price,soma_Price)
tabela_fim[nrow(tabela_fim),ncol(tabela_fim)]<-0
tabela_fim[nrow(tabela_fim),1]<-0
return(tabela_fim)}
Price(8,10,150)#Criando a tabela pelo sistema PRICE, (i=taxa, n=período, D0=valor inicial)## k pk Ak jk Dk
## 0 0.0000 0.00000 0.000000 150.00000
## 1 28.1166 13.11660 15.000000 136.88340
## 2 28.1166 14.42826 13.688340 122.45513
## 3 28.1166 15.87109 12.245513 106.58405
## 4 28.1166 17.45820 10.658405 89.12585
## 5 28.1166 19.20402 8.912585 69.92183
## 6 28.1166 21.12442 6.992183 48.79741
## 7 28.1166 23.23686 4.879741 25.56055
## 8 28.1166 25.56055 2.556055 0.00000
## soma_Price 0 224.9328 150.00000 74.932821 0.000009.9 b) Pelo SAC
SAC<-function(i,n,D0){
i=i/100
n<-n
k<-0:n
# Vetores nulos
pk<-c();Ak<-c();jk<-c();Dk<-c()
# Manualmente o primeiro elemento
pk[1]<-0;Ak[1]<-0;jk[1]<-0;Dk[1]<-D0
# Ak
for (a in 2:(n+1)) {
Ak[a]<-Dk[1]/n
}
Ak
# Dk
for(d in 2:(n+1)){
Dk[d]<-(n-d+1)*Dk[1]/n
}
Dk
#jk
for(j in 2:(n+1)){
jk[j]<-i*Dk[j-1]
}
jk
#pk
for (p in 2:(n+1)) {
pk[p]<-Ak[p]+jk[p]
}
pk
tabela_SAC<-cbind(k,pk,Ak,jk,Dk)
soma_SAC<-apply(tabela_SAC, 2, sum)
tabela_fim<-rbind(tabela_SAC,soma_SAC)
tabela_fim[nrow(tabela_fim),ncol(tabela_fim)]<-0
tabela_fim[nrow(tabela_fim),1]<-0
return(tabela_fim)
}
SAC(n=8,i=10,D0=150)#Criando a tabela pelo sistema SAC, (i=taxa, n=período, D0=valor inicial)## k pk Ak jk Dk
## 0 0.000 0.00 0.000 150.00
## 1 33.750 18.75 15.000 131.25
## 2 31.875 18.75 13.125 112.50
## 3 30.000 18.75 11.250 93.75
## 4 28.125 18.75 9.375 75.00
## 5 26.250 18.75 7.500 56.25
## 6 24.375 18.75 5.625 37.50
## 7 22.500 18.75 3.750 18.75
## 8 20.625 18.75 1.875 0.00
## soma_SAC 0 217.500 150.00 67.500 0.009.10 Exemplo 4 . Considere a amortização de uma dívida de 3500 u.m., em 180 meses, com juros de 1% ao mês, pela tabela Price. Determine:
9.11 a) O valor da centésima prestação;
\[D_{k}=\frac {pk\cdot {(1-(1+i)^{-(n-k)})}}{i}\] Obs: Usamos essa equação, para fazer de forma manual, para saber o estado da divida em qualquer momento.
9.12 b) O estado da dívida nessa época.
Será o valor que vc encontrar no período proposto pelo exercício
9.13 Refazendo o problema anterior pelo SAC.
SAC<-function(i,n,D0){
i=i/100
n<-n
k<-0:n
# Vetores nulos
pk<-c();Ak<-c();jk<-c();Dk<-c()
# Manualmente o primeiro elemento
pk[1]<-0;Ak[1]<-0;jk[1]<-0;Dk[1]<-D0
# Ak
for (a in 2:(n+1)) {
Ak[a]<-Dk[1]/n
}
Ak
# Dk
for(d in 2:(n+1)){
Dk[d]<-(n-d+1)*Dk[1]/n
}
Dk
#jk
for(j in 2:(n+1)){
jk[j]<-i*Dk[j-1]
}
jk
#pk
for (p in 2:(n+1)) {
pk[p]<-Ak[p]+jk[p]
}
pk
tabela_SAC<-cbind(k,pk,Ak,jk,Dk)
soma_SAC<-apply(tabela_SAC, 2, sum)
tabela_fim<-rbind(tabela_SAC,soma_SAC)
tabela_fim[nrow(tabela_fim),ncol(tabela_fim)]<-0
tabela_fim[nrow(tabela_fim),1]<-0
return(tabela_fim)
}
SAC(n=180,i=1,D0=3500)#Criando a tabela pelo sistema SAC, (i=taxa, n=período, D0=valor inicial)## k pk Ak jk Dk
## 0 0.00000 0.00000 0.0000000 3500.00000
## 1 54.44444 19.44444 35.0000000 3480.55556
## 2 54.25000 19.44444 34.8055556 3461.11111
## 3 54.05556 19.44444 34.6111111 3441.66667
## 4 53.86111 19.44444 34.4166667 3422.22222
## 5 53.66667 19.44444 34.2222222 3402.77778
## 6 53.47222 19.44444 34.0277778 3383.33333
## 7 53.27778 19.44444 33.8333333 3363.88889
## 8 53.08333 19.44444 33.6388889 3344.44444
## 9 52.88889 19.44444 33.4444444 3325.00000
## 10 52.69444 19.44444 33.2500000 3305.55556
## 11 52.50000 19.44444 33.0555556 3286.11111
## 12 52.30556 19.44444 32.8611111 3266.66667
## 13 52.11111 19.44444 32.6666667 3247.22222
## 14 51.91667 19.44444 32.4722222 3227.77778
## 15 51.72222 19.44444 32.2777778 3208.33333
## 16 51.52778 19.44444 32.0833333 3188.88889
## 17 51.33333 19.44444 31.8888889 3169.44444
## 18 51.13889 19.44444 31.6944444 3150.00000
## 19 50.94444 19.44444 31.5000000 3130.55556
## 20 50.75000 19.44444 31.3055556 3111.11111
## 21 50.55556 19.44444 31.1111111 3091.66667
## 22 50.36111 19.44444 30.9166667 3072.22222
## 23 50.16667 19.44444 30.7222222 3052.77778
## 24 49.97222 19.44444 30.5277778 3033.33333
## 25 49.77778 19.44444 30.3333333 3013.88889
## 26 49.58333 19.44444 30.1388889 2994.44444
## 27 49.38889 19.44444 29.9444444 2975.00000
## 28 49.19444 19.44444 29.7500000 2955.55556
## 29 49.00000 19.44444 29.5555556 2936.11111
## 30 48.80556 19.44444 29.3611111 2916.66667
## 31 48.61111 19.44444 29.1666667 2897.22222
## 32 48.41667 19.44444 28.9722222 2877.77778
## 33 48.22222 19.44444 28.7777778 2858.33333
## 34 48.02778 19.44444 28.5833333 2838.88889
## 35 47.83333 19.44444 28.3888889 2819.44444
## 36 47.63889 19.44444 28.1944444 2800.00000
## 37 47.44444 19.44444 28.0000000 2780.55556
## 38 47.25000 19.44444 27.8055556 2761.11111
## 39 47.05556 19.44444 27.6111111 2741.66667
## 40 46.86111 19.44444 27.4166667 2722.22222
## 41 46.66667 19.44444 27.2222222 2702.77778
## 42 46.47222 19.44444 27.0277778 2683.33333
## 43 46.27778 19.44444 26.8333333 2663.88889
## 44 46.08333 19.44444 26.6388889 2644.44444
## 45 45.88889 19.44444 26.4444444 2625.00000
## 46 45.69444 19.44444 26.2500000 2605.55556
## 47 45.50000 19.44444 26.0555556 2586.11111
## 48 45.30556 19.44444 25.8611111 2566.66667
## 49 45.11111 19.44444 25.6666667 2547.22222
## 50 44.91667 19.44444 25.4722222 2527.77778
## 51 44.72222 19.44444 25.2777778 2508.33333
## 52 44.52778 19.44444 25.0833333 2488.88889
## 53 44.33333 19.44444 24.8888889 2469.44444
## 54 44.13889 19.44444 24.6944444 2450.00000
## 55 43.94444 19.44444 24.5000000 2430.55556
## 56 43.75000 19.44444 24.3055556 2411.11111
## 57 43.55556 19.44444 24.1111111 2391.66667
## 58 43.36111 19.44444 23.9166667 2372.22222
## 59 43.16667 19.44444 23.7222222 2352.77778
## 60 42.97222 19.44444 23.5277778 2333.33333
## 61 42.77778 19.44444 23.3333333 2313.88889
## 62 42.58333 19.44444 23.1388889 2294.44444
## 63 42.38889 19.44444 22.9444444 2275.00000
## 64 42.19444 19.44444 22.7500000 2255.55556
## 65 42.00000 19.44444 22.5555556 2236.11111
## 66 41.80556 19.44444 22.3611111 2216.66667
## 67 41.61111 19.44444 22.1666667 2197.22222
## 68 41.41667 19.44444 21.9722222 2177.77778
## 69 41.22222 19.44444 21.7777778 2158.33333
## 70 41.02778 19.44444 21.5833333 2138.88889
## 71 40.83333 19.44444 21.3888889 2119.44444
## 72 40.63889 19.44444 21.1944444 2100.00000
## 73 40.44444 19.44444 21.0000000 2080.55556
## 74 40.25000 19.44444 20.8055556 2061.11111
## 75 40.05556 19.44444 20.6111111 2041.66667
## 76 39.86111 19.44444 20.4166667 2022.22222
## 77 39.66667 19.44444 20.2222222 2002.77778
## 78 39.47222 19.44444 20.0277778 1983.33333
## 79 39.27778 19.44444 19.8333333 1963.88889
## 80 39.08333 19.44444 19.6388889 1944.44444
## 81 38.88889 19.44444 19.4444444 1925.00000
## 82 38.69444 19.44444 19.2500000 1905.55556
## 83 38.50000 19.44444 19.0555556 1886.11111
## 84 38.30556 19.44444 18.8611111 1866.66667
## 85 38.11111 19.44444 18.6666667 1847.22222
## 86 37.91667 19.44444 18.4722222 1827.77778
## 87 37.72222 19.44444 18.2777778 1808.33333
## 88 37.52778 19.44444 18.0833333 1788.88889
## 89 37.33333 19.44444 17.8888889 1769.44444
## 90 37.13889 19.44444 17.6944444 1750.00000
## 91 36.94444 19.44444 17.5000000 1730.55556
## 92 36.75000 19.44444 17.3055556 1711.11111
## 93 36.55556 19.44444 17.1111111 1691.66667
## 94 36.36111 19.44444 16.9166667 1672.22222
## 95 36.16667 19.44444 16.7222222 1652.77778
## 96 35.97222 19.44444 16.5277778 1633.33333
## 97 35.77778 19.44444 16.3333333 1613.88889
## 98 35.58333 19.44444 16.1388889 1594.44444
## 99 35.38889 19.44444 15.9444444 1575.00000
## 100 35.19444 19.44444 15.7500000 1555.55556
## 101 35.00000 19.44444 15.5555556 1536.11111
## 102 34.80556 19.44444 15.3611111 1516.66667
## 103 34.61111 19.44444 15.1666667 1497.22222
## 104 34.41667 19.44444 14.9722222 1477.77778
## 105 34.22222 19.44444 14.7777778 1458.33333
## 106 34.02778 19.44444 14.5833333 1438.88889
## 107 33.83333 19.44444 14.3888889 1419.44444
## 108 33.63889 19.44444 14.1944444 1400.00000
## 109 33.44444 19.44444 14.0000000 1380.55556
## 110 33.25000 19.44444 13.8055556 1361.11111
## 111 33.05556 19.44444 13.6111111 1341.66667
## 112 32.86111 19.44444 13.4166667 1322.22222
## 113 32.66667 19.44444 13.2222222 1302.77778
## 114 32.47222 19.44444 13.0277778 1283.33333
## 115 32.27778 19.44444 12.8333333 1263.88889
## 116 32.08333 19.44444 12.6388889 1244.44444
## 117 31.88889 19.44444 12.4444444 1225.00000
## 118 31.69444 19.44444 12.2500000 1205.55556
## 119 31.50000 19.44444 12.0555556 1186.11111
## 120 31.30556 19.44444 11.8611111 1166.66667
## 121 31.11111 19.44444 11.6666667 1147.22222
## 122 30.91667 19.44444 11.4722222 1127.77778
## 123 30.72222 19.44444 11.2777778 1108.33333
## 124 30.52778 19.44444 11.0833333 1088.88889
## 125 30.33333 19.44444 10.8888889 1069.44444
## 126 30.13889 19.44444 10.6944444 1050.00000
## 127 29.94444 19.44444 10.5000000 1030.55556
## 128 29.75000 19.44444 10.3055556 1011.11111
## 129 29.55556 19.44444 10.1111111 991.66667
## 130 29.36111 19.44444 9.9166667 972.22222
## 131 29.16667 19.44444 9.7222222 952.77778
## 132 28.97222 19.44444 9.5277778 933.33333
## 133 28.77778 19.44444 9.3333333 913.88889
## 134 28.58333 19.44444 9.1388889 894.44444
## 135 28.38889 19.44444 8.9444444 875.00000
## 136 28.19444 19.44444 8.7500000 855.55556
## 137 28.00000 19.44444 8.5555556 836.11111
## 138 27.80556 19.44444 8.3611111 816.66667
## 139 27.61111 19.44444 8.1666667 797.22222
## 140 27.41667 19.44444 7.9722222 777.77778
## 141 27.22222 19.44444 7.7777778 758.33333
## 142 27.02778 19.44444 7.5833333 738.88889
## 143 26.83333 19.44444 7.3888889 719.44444
## 144 26.63889 19.44444 7.1944444 700.00000
## 145 26.44444 19.44444 7.0000000 680.55556
## 146 26.25000 19.44444 6.8055556 661.11111
## 147 26.05556 19.44444 6.6111111 641.66667
## 148 25.86111 19.44444 6.4166667 622.22222
## 149 25.66667 19.44444 6.2222222 602.77778
## 150 25.47222 19.44444 6.0277778 583.33333
## 151 25.27778 19.44444 5.8333333 563.88889
## 152 25.08333 19.44444 5.6388889 544.44444
## 153 24.88889 19.44444 5.4444444 525.00000
## 154 24.69444 19.44444 5.2500000 505.55556
## 155 24.50000 19.44444 5.0555556 486.11111
## 156 24.30556 19.44444 4.8611111 466.66667
## 157 24.11111 19.44444 4.6666667 447.22222
## 158 23.91667 19.44444 4.4722222 427.77778
## 159 23.72222 19.44444 4.2777778 408.33333
## 160 23.52778 19.44444 4.0833333 388.88889
## 161 23.33333 19.44444 3.8888889 369.44444
## 162 23.13889 19.44444 3.6944444 350.00000
## 163 22.94444 19.44444 3.5000000 330.55556
## 164 22.75000 19.44444 3.3055556 311.11111
## 165 22.55556 19.44444 3.1111111 291.66667
## 166 22.36111 19.44444 2.9166667 272.22222
## 167 22.16667 19.44444 2.7222222 252.77778
## 168 21.97222 19.44444 2.5277778 233.33333
## 169 21.77778 19.44444 2.3333333 213.88889
## 170 21.58333 19.44444 2.1388889 194.44444
## 171 21.38889 19.44444 1.9444444 175.00000
## 172 21.19444 19.44444 1.7500000 155.55556
## 173 21.00000 19.44444 1.5555556 136.11111
## 174 20.80556 19.44444 1.3611111 116.66667
## 175 20.61111 19.44444 1.1666667 97.22222
## 176 20.41667 19.44444 0.9722222 77.77778
## 177 20.22222 19.44444 0.7777778 58.33333
## 178 20.02778 19.44444 0.5833333 38.88889
## 179 19.83333 19.44444 0.3888889 19.44444
## 180 19.63889 19.44444 0.1944444 0.00000
## soma_SAC 0 6667.50000 3500.00000 3167.5000000 0.000009.13.1 Rotina do SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO
9.13.2 Exemplo 5:Brasil escola Um empréstimo de R$ 50.000,00 será pago através do sistema americano no prazo de 10 meses, a juros mensais de 3% ao mês.
sam<-function(n, i, D0){i<-i/100
n<-n
k<-1:n
## Criando meus vetores nulos
pk<-c(); ak<-c(); jk<-c(); dk<-c()
## Dando valores ao 1º elemento de cada vetor
pk[1]<-0; ak[1]<-0;jk[1]<-0;dk[1]<-D0
## Recorrência
for(d in 2:(n-1)) {dk[d]<-dk[1]
}
dk[n]<-0
## Juros jk
for (j in 2:n) {jk[j]<-i*dk[1]
}
## amortização ak
for (a in 2:(n-1)) {ak[a]<-0
}
ak[n]<-dk[1]
## Prestação pk
pk<-ak+jk
for (p in 2:n) {pk[p]<-ak[p]+jk[p]
}
tabela<-cbind(k,pk,ak,jk,dk)
tabela
soma<-apply(tabela, 2, sum)
soma
tabelasoma<-rbind(tabela,soma)
tabelasoma
tabelasoma[nrow(tabelasoma),1]<-0
tabelasoma
tabelasoma[nrow(tabelasoma),ncol(tabelasoma)]<-0
tabelasoma
sam<-tabelasoma
return(sam)
}
sam(10,3,50000)#Criando a tabela pelo sistema SAM, (i=taxa, n=período, D0=valor inicial)## k pk ak jk dk
## 1 0 0 0 50000
## 2 1500 0 1500 50000
## 3 1500 0 1500 50000
## 4 1500 0 1500 50000
## 5 1500 0 1500 50000
## 6 1500 0 1500 50000
## 7 1500 0 1500 50000
## 8 1500 0 1500 50000
## 9 1500 0 1500 50000
## 10 51500 50000 1500 0
## soma 0 63500 50000 13500 09.13.3 Exemplo 6.Brasil Escola Construa a planilha e determine o valor total dos juros pagos pelo empréstimo referente a R$ 25.250,00, pagos pelo sistema americano durante 5 meses, a uma taxa de 2,5% ao mês.
sam<-function(n, i, D0){i<-i/100
n<-n
k<-1:n
## Criando meus vetores nulos
pk<-c(); ak<-c(); jk<-c(); dk<-c()
## Dando valores ao 1º elemento de cada vetor
pk[1]<-0; ak[1]<-0;jk[1]<-0;dk[1]<-D0
## Recorrência
for(d in 2:(n-1)) {dk[d]<-dk[1]
}
dk[n]<-0
## Juros jk
for (j in 2:n) {jk[j]<-i*dk[1]
}
## amortização ak
for (a in 2:(n-1)) {ak[a]<-0
}
ak[n]<-dk[1]
## Prestação pk
pk<-ak+jk
for (p in 2:n) {pk[p]<-ak[p]+jk[p]
}
tabela<-cbind(k,pk,ak,jk,dk)
tabela
soma<-apply(tabela, 2, sum)
soma
tabelasoma<-rbind(tabela,soma)
tabelasoma
tabelasoma[nrow(tabelasoma),1]<-0
tabelasoma
tabelasoma[nrow(tabelasoma),ncol(tabelasoma)]<-0
tabelasoma
sam<-tabelasoma
return(sam)
}
sam(5,2.5,25250)#Criando a tabela pelo sistema SAM, (i=taxa, n=período, D0=valor inicial)## k pk ak jk dk
## 1 0.00 0 0.00 25250
## 2 631.25 0 631.25 25250
## 3 631.25 0 631.25 25250
## 4 631.25 0 631.25 25250
## 5 25881.25 25250 631.25 0
## soma 0 27775.00 25250 2525.00 010 CONCLUSÃO
É notória a grande dificuldade que uma boa parte dos discentes apresentam na hora de compreender a matemática, com base nisso, o presente trabalho teve por finalidade abordar o estudo da matemática financeira por meio de uma linguagem de programação chamada Rstudio. Desta forma, os alunos conseguem associar os assuntos da matemática financeira com uma tecnologia, tornando-a mais fácil e compreensível. Usou-se o aplicativo de programação Rstudio,, onde o texto foi escrito no mesmo com o auxílio do RMARKDOWN. Por fim, acredita-se que este trabalho servirá como incentivo para um melhor ensino-aprendizagem da matemática financeira, podendo assim, ser utilizada como uma apostila de auxílio para futuros discentes.
11 \(REFERÊNCIAS\)
SILVA, Marcos Noé Pedro da. “SAC: Sistema de Amortizações Constantes”; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sac-sistema-amortizacoes-constantes.htm. Acesso em 26 de maio de 2023.
SILVA, Marcos Noé Pedro da. “Taxas Equivalentes”; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/taxas-equivalentes.htm. Acesso em 27 de maio de 2023.
Disponivel em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-americano-amortizacao.htm, Acesso em 25 maio 2023
LOPES,Adriana.”O que é matemática financeira”; Educar mais Brasil. Disponível em: https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/matematica-financeira. Acesso em 26 de maio de 2023. Qual a diferença entre juros simples e juros composto? Fala, Nubank, 8 jun. 2019. Disponível em: https://blog.nubank.com.br/juros-simples-e-composto-qual-a-diferenca/. Acesso em: 26 maio. 2023
MOSMANN, G. Montante: saiba o que é e como é possível calculá-lo. Disponível em: https://www.suno.com.br/artigos/montante/. Acesso em: 26 maio. 2023.
Valor Futuro e Valor Presente. Disponível em: https://wp.ufpel.edu.br/planilhasgoogle/modulo-avancado/aula-2-funcoes-financeiras/valor-futuro-e-valor-presente/. Acesso em: 27 maio. 2023.
Matemática Financeira: Desconto Simples e Composto. Disponível em: https://descomplicandonaweb.com.br/matematica-financeira-desconto-simples-e-composto/. Acesso em: 28 maio. 2023.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE DESCONTO COMPOSTO. Disponível em: https://sabermatematica.com.br/exercicios-resolvidos-desconto-composto.html. Acesso em: 28 maio. 2023.
Como calcular desconto composto. Disponível em: https://comocalcular.com.br/matematica/comocalculardescontocomposto/. Acesso em: 28 maio. 2023.