効果量と信頼区間

乱数生成

pre <- rnorm(15, 2.8, 1.0)
post <- rnorm(15, 4.0, 1.0)

平均と標準偏差（もっとも，上記の通りなのだが）

mean(pre); sd(pre)

## [1] 2.607329

## [1] 0.964584

mean(post); sd(post)

## [1] 4.101174

## [1] 0.7318562

プレとポストをプールした標準偏差

\(\sigma_{pooled}=\sqrt{\frac{(n_1-1) s_1^2+(n_2-1) s_2^2}{n_1+n_{2} -2}}\)

\(n_1\)はポストの人数，\(n_2\)はプレの人数。当たり前だが同じ値。 \(s_1^2\)はポストの標準偏差の2乗，\(s_2^2\)はプレの標準偏差の2乗，

sp <- sqrt(
  (((15-1) * 1.06^2) + ((15-1) * 1.00^2)) / (15 + 15 - 2)
  )
sp

## [1] 1.030437

プレとポストの標準偏差を単位とした差(効果量 Hedge’s \(g\))

\(d=\frac{M_1-M_2}{\sigma _{pooled}}\)

\(M_1\)はポストの平均，\(M_2\)はプレの平均。

g = (4.02 - 2.17) / 1.03
g

## [1] 1.796117

効果量の95%信頼区間

まず，効果量の標準誤差を求める

\(\sigma_d = \sqrt{\frac{n_1 + n_2}{n_1 n_2} + \frac{g^2}{2(n_1 + n_2 -2)}}\)

sg = sqrt(
          ((15+15)/(15*15)) + 
          (1.80^2 / (2*(15+15-2)))
        )
sg

## [1] 0.4372533

95% CI の下限は\(d-1.96 \sigma_d\)，上限は\(d+1.96 \sigma_d\)

ll <- 1.80-1.96*0.43
ll

## [1] 0.9572

ul <- 1.80+1.96*0.43
ul

## [1] 2.6428