Nieklasyczne metody statystyki

Testowanie Hipotez

Wprowadzenie

W tym raporcie przenalizujemy testowanie hipotez przy użyciu odpowiednich pakietów oraz danych przedstawionych w zbiorze OJ.

Dane

Po wczytaniu odpowiednich danych pora je zaprezentować:

##   Purchase WeekofPurchase StoreID PriceCH PriceMM DiscCH DiscMM SpecialCH
## 1       CH            237       1    1.75    1.99   0.00    0.0         0
## 2       CH            239       1    1.75    1.99   0.00    0.3         0
## 3       CH            245       1    1.86    2.09   0.17    0.0         0
## 4       MM            227       1    1.69    1.69   0.00    0.0         0
## 5       CH            228       7    1.69    1.69   0.00    0.0         0
## 6       CH            230       7    1.69    1.99   0.00    0.0         0
##   SpecialMM  LoyalCH SalePriceMM SalePriceCH PriceDiff Store7 PctDiscMM
## 1         0 0.500000        1.99        1.75      0.24     No  0.000000
## 2         1 0.600000        1.69        1.75     -0.06     No  0.150754
## 3         0 0.680000        2.09        1.69      0.40     No  0.000000
## 4         0 0.400000        1.69        1.69      0.00     No  0.000000
## 5         0 0.956535        1.69        1.69      0.00    Yes  0.000000
## 6         1 0.965228        1.99        1.69      0.30    Yes  0.000000
##   PctDiscCH ListPriceDiff STORE
## 1  0.000000          0.24     1
## 2  0.000000          0.24     1
## 3  0.091398          0.23     1
## 4  0.000000          0.00     1
## 5  0.000000          0.00     0
## 6  0.000000          0.30     0

Następnym krokiem jest wybór zmiennych. Będziemy testować czy cena soku Citrus Hill jest statystycznie zależna od tego jaki został zakupiony produkt: czy Citrus Hill, czy Minute Maid Orange Juice. Stąd do analizy, zmienną niezależną wybrano Purchase, a zależną PriceCH. Następnie zbadamy niezależność cen obu soków.

Analiza

Do analizy posłuży metoda postępowania bootstrapowego. Czyli procedura obliczeniowa wybranego testu statystycznego poprzez symulacyjne ocenianie empirycznego rozkładus, a następnie na jego podstawie wyliczanie wartości p.

Za pomocą funkcji boot.t.test, dokonano analizy testu t-studenta, przy 999 permutacji.Wartość ta jest podyktowana faktem, że Davidson i Hinkley zaproponowali, by dla dużych prób (powyżej 50) sprawdzać w takiej ilości, gdyż w takim wypdku ilość permutacji wynosi 1000, przy danym wzorze:

\[B >= 50/min( α,1-α ) \]

gdzie B = lizba permutacji. Dlatego w analizie taka wartość zostanie określona.

## 
##  Bootstrap Welch Two Sample t-test
## 
## data:  PriceMM by Purchase
## bootstrap p-value < 2.2e-16 
## bootstrap difference of means (SE) = 0.04091216 (0.008890043) 
## 95 percent bootstrap percentile confidence interval:
##  0.02404184 0.05773723
## 
## Results without bootstrap:
## t = 4.6148, df = 699.02, p-value = 4.682e-06
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.02360736 0.05856957
## sample estimates:
## mean in group CH mean in group MM 
##         2.101424         2.060336

Wyniki analizy wskazują, że należy odrzucić hipotezę zerową o nieistotności tych zmiennych. A więc rzeczywiście ta zależność jest istotna statystycznie. Przedstawić ją można na wykresie:

Średnio, cena CH wynosi 2,1, a MM 2,06. Kolejnym krokiem jest zbadanie niezależności cen obu napojów.

## 
##  Pearson's Chi-squared test with simulated p-value (based on 999
##  replicates)
## 
## data:  tabela
## X-squared = 2370, df = NA, p-value = 0.001

Wyniki testu chi^2 wskazują na odrzucenie hipotezy zerowej o braku różnic w cenach tych napojów. Wykres tego testu byłby zbyt nieczytelny z tego względu pominięto wizualizację.

Kolejnym krokiem jest więc test Test Kołmogorowa-Smirnowa do porównywania rozkładów jednowymiarowych cech statystycznych. Wartość testu oraz p-value prezentuje się następująco:

##         D 
## 0.7214953

## [1] 0.001

Z tego względu można odrzucić hipotezę zerową o jednorodności tych rozkładów. Wartość ta zostanie przedstawiona na wykresie:

Podsumowanie

Dokonano testowania hipotez. Analiza została dokonana na przykładowych danych dotyczących cen napojów. Wskazano pewne zależności, które także zwizualizowano.