1 Objetivo

2 Fudamento Teórico

2.1 Concepto

Muchos de las situaciones de las ciencias en términos de probabilidad pueden resolverse con la distribución normal y estandarizada Z, sin embargo, exiten situaciones especiales en donde resulta necesario conocer y aplicar otras distribuciones como lo es la distribución exponencial. [@devore2016][@devore2016]

De cuerdo Anderson (2018) la distribución de probabilidad exponencial se aplica a variables como las llegadas de automóviles a un centro de lavado de autos, los tiempos requeridos para cargar un camión, las distancias entre dos averías en una carretera, entre otras situaciones[@anderson_estadistica_2008].

Otros contextos para tratar con distribución exponencial ptiene que ver con la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas de larga distancia comerciales y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un automóvil. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente. [@openstax] [@openstax][@openstax]

Por otra parte la representación visual de la densidad de una distribución exponencial significa que hay valores de densidad altos a valores de \(x\) pequeños y viceversa, hay valores de densidad bajo a grandes valores de \(x\).

La distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua que se utiliza para modelar el tiempo o espacio entre eventos en un proceso y tiene relación directa con la distribución discreta de Poisson.

La distribución exponencial es la distribución de probabilidad del tiempo o espacio entre dos eventos en un proceso de Poisson, donde los eventos ocurren de manera continua e independiente a una tasa constante \(\lambda\) llamado lambda.

\(\lambda\) lambda representa una tasa constante (valor constante) sobre la ocurrencia de eventos de manera continua e independiente.

En R existen las funciones estadísticas para tratar con distribución expnencial que se obervarán en este caso:

  • dexp() para densidad,

  • pexp() para probabilidad acumulada

  • qexp para devolver valores de x de acuerdo a probabilidades acumuladas. Es la inversa de pexp()

  • rexp() para generación de valores aleatorios de x.

2.2 Función de Densidad

\[ f(x) = \lambda \cdot e^{-\lambda\cdot x} \]

  • La función de densidad en R se obtiene con dexp()

  • Se requiere el valor de lambda \(\lambda\) taza constante y continua y/o valor de media a la inversa. Si se tiene la media de la distribución, entonces \(\lambda = 1/\mu\) que es la inversa de la media.

  • Se requiere el valor de \(e =2.718282\)

  • Se requiere el valor de la variable aleatoria continua \(x\)

2.3 Función acumulada

\[ F(x) = P(X\le x) = 1 - e^{-\lambda\cdot x} \text{ si x } \ge 0 \]

La función acumulada de probabilidad en R se obtiene con pexp()

2.4 Valor esperado

\[ \frac{1}{\lambda} = \mu \]

2.5 Varianza y desviación estándar

\[ Varianza = \sigma^{2}= \frac{1}{\lambda^{2}} \]

\[ Desv.Std = \sigma = \sqrt{\sigma^{2}} \]

3 Descripción

  • Se calculan densidades de la distribución exponencial manualmente y usando la función dexp()

  • Se calculan probabilidades acumuladas de acuerdo a la función de probabilidades pexp() de varios ejercicios relacionados con distribución Exponencial.

  • Se muestran gráficos de densidad y probabilidad acumulada con las funciones visualzie() de la librería visualize y distPlot() de la librería mosaic

  • Se interpreta los ejercicios y el caso final

4 Desarrollo

4.1 Cargar librerías

library(dplyr)      # Para filtros entre otros
library(mosaic)     # Para gráficos
library(ggplot2)    # Para gráficos
library(cowplot)    # Imágenes en el mismo renglón
library(visualize)  # Para gráficos
options(scipen=999) # Notación normal

4.2 Cargar funciones precodificadas

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/funciones/funciones%20para%20disribuciones%20de%20probabilidad.R")

4.3 Establecer semilla para valores aleatorios

set.seed(2023)

4.4 Visualización de densidad de una distribución Exponencial

4.4.1 Inicializar variables

Se crea una secuencia de valores de x desde 0 hasta 10 de saltos 0.2 en .2 para generar 50 valores continuos.

La constante lambda vale 1 \(1/\mu = 1/1=1\) que representa el parámetro de tasa (inversa de la media) en la distribución exponencial de acuerdo a la fórmula de densidad y de la probabilidad acumulada de la distribución exponencial.

4.4.2 La densidad a un valor de x

Calcular la densidad de acuerdo a la fórmula de densidad de la distribución exponencial: \(densidad = f(x) = \lambda \cdot e^{-\lambda\cdot x}\) y usando la función dexp() respectivamente. Los valores de densidad deben salir igual por cualquiera de las dos alternativas.

media = 1
lambda = 1/media
e = exp(1)
x=0.5
# Densidad conforme a la fórmula
densidad = lambda * e ^(-lambda*x)
densidad
## [1] 0.6065307
# Densidad usando dexp()
dexp(x = x, rate = lambda)
## [1] 0.6065307

4.4.3 La probabilidad acumulada de un valor de x

Ahora calculando probabilidades acumuladas con la fórmula \(Prob. Acumulada = F(x) = 1 - e^{-\lambda\cdot x}\) y con la función pexp(). Deben salir los valores calculados exactamente iguales. Por defecto la probabilidad acumulada es cola a la izquierda, si se cola a la derecha hay que restarle la probabilidad a 1 que representa el 100%.

print("Por medio de la fórmula")
## [1] "Por medio de la fórmula"
prob.acum = 1 - e^(-lambda * x)
prob.acum
## [1] 0.3934693
print("Usando la función pexp()")
## [1] "Usando la función pexp()"
pexp(q = x, rate = lambda)
## [1] 0.3934693

Por defecto la probabilidad acumulada es cola a la izquierda, si se probabilidad mayor que x, significa cola a la derecha, por lo que hay que restarle la probabilidad a 1 que representa el 100%. Se utiliza el argumento lower.tail = FALSE en la función pexp() para indicarle que es cola a la derecha o que la probabilidad es mayor o igual al valor de \(x\) especificado.

# Probabilidad a la derecha F(x>0.5)
1 - prob.acum
## [1] 0.6065307
# Probabilidad cola a la derecha con pexp()
pexp(q = x, rate = lambda, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.6065307

Ahora construyendo una serie de densidades y probabilidades acumuladas a partir de una secuencia de 0 a 10 con saltos de 0.2 en 0.2.

# media = 1
# lambda = 1/media
x = seq(from = 0, to= 10, by=0.2)
# Densidad
print("Densidad")
## [1] "Densidad"
densidad <- round(dexp(x = x, rate = lambda), 6)
densidad
##  [1] 1.000000 0.818731 0.670320 0.548812 0.449329 0.367879 0.301194 0.246597
##  [9] 0.201897 0.165299 0.135335 0.110803 0.090718 0.074274 0.060810 0.049787
## [17] 0.040762 0.033373 0.027324 0.022371 0.018316 0.014996 0.012277 0.010052
## [25] 0.008230 0.006738 0.005517 0.004517 0.003698 0.003028 0.002479 0.002029
## [33] 0.001662 0.001360 0.001114 0.000912 0.000747 0.000611 0.000500 0.000410
## [41] 0.000335 0.000275 0.000225 0.000184 0.000151 0.000123 0.000101 0.000083
## [49] 0.000068 0.000055 0.000045
# Acumulada
print("Probabilidad Acumulada")
## [1] "Probabilidad Acumulada"
acumulada <- round(pexp(q = x, rate =  lambda), 6)
acumulada
##  [1] 0.000000 0.181269 0.329680 0.451188 0.550671 0.632121 0.698806 0.753403
##  [9] 0.798103 0.834701 0.864665 0.889197 0.909282 0.925726 0.939190 0.950213
## [17] 0.959238 0.966627 0.972676 0.977629 0.981684 0.985004 0.987723 0.989948
## [25] 0.991770 0.993262 0.994483 0.995483 0.996302 0.996972 0.997521 0.997971
## [33] 0.998338 0.998640 0.998886 0.999088 0.999253 0.999389 0.999500 0.999590
## [41] 0.999665 0.999725 0.999775 0.999816 0.999849 0.999877 0.999899 0.999917
## [49] 0.999932 0.999945 0.999955

4.4.4 Presentar los datos

datos <- data.frame(x = x, f.x = densidad, F.x = acumulada)
datos
##       x      f.x      F.x
## 1   0.0 1.000000 0.000000
## 2   0.2 0.818731 0.181269
## 3   0.4 0.670320 0.329680
## 4   0.6 0.548812 0.451188
## 5   0.8 0.449329 0.550671
## 6   1.0 0.367879 0.632121
## 7   1.2 0.301194 0.698806
## 8   1.4 0.246597 0.753403
## 9   1.6 0.201897 0.798103
## 10  1.8 0.165299 0.834701
## 11  2.0 0.135335 0.864665
## 12  2.2 0.110803 0.889197
## 13  2.4 0.090718 0.909282
## 14  2.6 0.074274 0.925726
## 15  2.8 0.060810 0.939190
## 16  3.0 0.049787 0.950213
## 17  3.2 0.040762 0.959238
## 18  3.4 0.033373 0.966627
## 19  3.6 0.027324 0.972676
## 20  3.8 0.022371 0.977629
## 21  4.0 0.018316 0.981684
## 22  4.2 0.014996 0.985004
## 23  4.4 0.012277 0.987723
## 24  4.6 0.010052 0.989948
## 25  4.8 0.008230 0.991770
## 26  5.0 0.006738 0.993262
## 27  5.2 0.005517 0.994483
## 28  5.4 0.004517 0.995483
## 29  5.6 0.003698 0.996302
## 30  5.8 0.003028 0.996972
## 31  6.0 0.002479 0.997521
## 32  6.2 0.002029 0.997971
## 33  6.4 0.001662 0.998338
## 34  6.6 0.001360 0.998640
## 35  6.8 0.001114 0.998886
## 36  7.0 0.000912 0.999088
## 37  7.2 0.000747 0.999253
## 38  7.4 0.000611 0.999389
## 39  7.6 0.000500 0.999500
## 40  7.8 0.000410 0.999590
## 41  8.0 0.000335 0.999665
## 42  8.2 0.000275 0.999725
## 43  8.4 0.000225 0.999775
## 44  8.6 0.000184 0.999816
## 45  8.8 0.000151 0.999849
## 46  9.0 0.000123 0.999877
## 47  9.2 0.000101 0.999899
## 48  9.4 0.000083 0.999917
## 49  9.6 0.000068 0.999932
## 50  9.8 0.000055 0.999945
## 51 10.0 0.000045 0.999955

4.4.5 Visualizar los datos

Usando ggplot

ggplot(data = datos, aes(x = x, y = f.x)) + 
  geom_point(color = 'blue') + 
  geom_line(color = 'red')

Aquí otra forma de representar curvas de densidad de una distribución exponencial [@rubio][@rubio]

curve(dexp(x, rate = 1.0), from=0, to=10, col='blue')
curve(dexp(x, rate = 1.5), from=0, to=10, col='red', add=TRUE)
curve(dexp(x, rate = 2.0), from=0, to=10, col='purple', add=TRUE)
legend("topright", 
       legend=c("rate=1.0", "rate=1.5", "rate=2.0"),
       col = c("blue", "red", "purple"), 
       lty=1, cex=1.2)

También se puede usar visualize() y plotDist() para visualizar gráficas de distribuciones en este caso de la distribución exponencial, esta se muestra más adelante su uso.

4.5 Cálculo de probabilidades

Siguiendo con el ejercicio inicial de lambda = 1 con valores desde 0 hasta 10 de 0.2 en 0.2.

4.5.1 ¿cuál es la probabilidad a la izquierda cuando x sea 0.5 o menor?

\(f(x\le0.5)\)

Entonces :

prob = round(pexp(q = 0.5, rate = lambda), 6)
paste("La probabilida área bajo la curva es ...", prob, " aproximadamente " , prob * 100, "%")
## [1] "La probabilida área bajo la curva es ... 0.393469  aproximadamente  39.3469 %"

4.5.2 Visualización de área bajo la curva

Usando la función visualize.exp() de la librería visualize

visualize.exp(stat = 0.5, theta = lambda, section = "lower")

Visualizando con plotDist() de la librería mosaic

El área de color rosa representa aproximadamente el 39% del total del área bajo la curva.

plotDist(dist = "exp", media = lambda, type="h",xlab ="Valores de la variable continua X", ylab = "Densidad" , groups = x <= 0.5, xlim = c(0:5), ylim=c(0,1), main=paste("F(x ≤ 0.5):", prob),  sub= paste('Lambda =', lambda))

Usando la función pre codificada f_exponencial_all() previamente cargada. La función recibe tres argumento en los tres parámetros que deben recibir: El valor de la media, el intervalo que puede ser empezar en 0 y terminar en un valor mayor que 0 y el tipo qe puede ser 1 cola a la izquierda, 2 cola a la derecha y 3 intervalo intermedio con valores a y b.

Esta primera opción es cola a la izquierda con valor tipo == 1

resultado <- f_exponencial_all(media = media, intervalo = c(0, 0.5), tipo = 1)
resultado$g_curva

4.5.3 ¿cuál es la probabilidad del intervalo entre 0.5 y 2?

\(P(0.5 \le X \le 2)\)

prob = round(pexp(q = 2, rate = lambda) - pexp(q = 0.5, rate = lambda), 6)
paste("La probabilidad del área bajo la curva es ...", prob, " aproximadamente " , prob * 100, "%")
## [1] "La probabilidad del área bajo la curva es ... 0.471195  aproximadamente  47.1195 %"

4.5.4 Visualización de área bajo la curva

Nuevamente usando la función visualize.exp() de la librería visualize

visualize.exp(stat = c(0.5, 2), theta = lambda, section = "bounded")

Nuevamente usando la función distPlot() de la librería mosaic

plotDist(dist = "exp", media = lambda, type="h",xlab ="Valores de la variable continua X", ylab = "Densidad" , groups = x >= 0.5 & x<= 2, xlim = c(0:5), ylim=c(0,1), main=paste("F(0.5 ≤ x ≤ 2):", prob),  sub= paste('Lambda =', lambda))

Esta segunda opción es un intervalo con valor tipo == 3

resultado <- f_exponencial_all(media = media, intervalo = c(0.5, 2), tipo = 3)
resultado$g_curva

4.5.5 ¿cuál es la probabilidad a partir de 2 hacia la derecha?

\(P(X \ge 2)\)

prob = round(pexp(q = 2, rate = lambda, lower.tail = FALSE), 6)
paste("La probabilida área bajo la curva es ...", prob, " aproximadamente " , prob * 100, "%")
## [1] "La probabilida área bajo la curva es ... 0.135335  aproximadamente  13.5335 %"

4.5.6 Visualización de área bajo la curva

Nuevamente usando la función visualize.exp() de la librería visualize

visualize.exp(stat = 2, theta = lambda, section = "upper")

Ahora usando plotDist()

plotDist(dist = "exp", media = lambda, type="h",xlab ="Valores de la variable continua X", ylab = "Densidad" , groups = x >= 2, xlim = c(0:5), ylim=c(0,1), main=paste("F(x ≥ 2):", prob),  sub= paste('Lambda =', lambda))

Esta tercera opción usando la función f_exponencial_all() es cola a la derecha, es decir, tipo == 2

resultado <- f_exponencial_all(media = media, intervalo = c(0, 2), tipo = 2)
resultado$g_curva

4.6 Valor esperado

De acuerdo a la fórmula arriba presentada:

VE = 1 / lambda
paste ("El valor esperado es ...", VE)
## [1] "El valor esperado es ... 1"

4.7 Varianza y desviación

De acuerdo a la fórmula arriba presentada:

varianza = round(1 / lambda^2, 6)
desv.std = round(sqrt(varianza), 6)
paste("Varianza = ", varianza, "Desv.Std = ", desv.std)
## [1] "Varianza =  1 Desv.Std =  1"

Valor de x a partir de q

qexp(p = 0.393469, rate = lambda)
## [1] 0.4999994
print("Muy cercano al valor de x = 0.5")
## [1] "Muy cercano al valor de x = 0.5"

4.8 Valores aleatorios

aleatorios = rexp
aleatorios
## function (n, rate = 1) 
## .Call(C_rexp, n, 1/rate)
## <bytecode: 0x0000020cf04b2bf8>
## <environment: namespace:stats>

5 Desarrollo

Se presentan varios ejercicios extraídos de la literatura

5.1 El tiempo de revisión del motor

Ejercicio extraído de: [@probafácil]. El tiempo de revisión del motor de un avión sigue una distribución exponencial con media 22 minutos. Encontrar y resolver algunas probabilidades:

5.1.1 Probabilidad de \(F(X\le 10)\)

Encontrar la probabilidad de que el tiempo de revisión sea menor o igual a 10 minutos. \(F(X\le 10)\)

media <- 22
lambda <- 1/media
x <- 10
prob = round(pexp(q = x, rate = lambda), 6)
paste("La probabilidad es ...", prob, " aproximadamente " , prob * 100, "%")
## [1] "La probabilidad es ... 0.365264  aproximadamente  36.5264 %"

5.1.2 Visualizar probabilidad

Se presenta la gráfica con la función visualize()

visualize.exp(stat = x, theta = lambda, section = "lower")

Se visualiza con la función plotDist() de librería mosaic.

plotDist(dist = "exp", media = lambda, type="h",xlab ="Valores de la variable continua X", ylab = "Densidad" , groups = x<=10, xlim = c(0:22), ylim=c(0,1), main=paste("F(x<=10):", prob),  sub= paste('Lambda =:', lambda))

Ahora se presenta la misma gráfica pero usando la función f_exponencial_all(), cola a la izquierda.

Se envía parámetro tipo == 1 es cola a la derecha

resultado <- f_exponencial_all(media = media, intervalo = c(0, 10), tipo = 1)
resultado$g_curva

### Probabilidad de \(F(X\ge 10)\)

Encontrar la probabilidad de que el tiempo de revisión sea mayor o igual a 10 minutos. \(F(X\ge 10)\)

Se envía parámetro tipo == 2 es cola ala derecha

resultado <- f_exponencial_all(media = media, intervalo = c(10, 10), tipo = 2)
resultado$g_curva

5.1.3 Probabilidad de \(F(5 \le X\ge 10)\)

Encontrar la probabilidad de que el tiempo de revisión sea mayor o igual 5 y menor o igual a 10 minutos. \(F(X\le 10)\)

Se envía parámetro tipo == 3 es ambas colas

resultado <- f_exponencial_all(media = media, intervalo = c(5, 10), tipo = 3)
resultado$g_curva

5.1.4 Valor esperado VE y desviación estándar

El valor esperado

resultado$VE
## [1] 22

Varianza y desviación estándar

resultado$varianza; resultado$desv.std
## [1] 484
## [1] 22

6 Interpretacion

Se espera que haya un tiempo esperado medio de 22 minutos con una variación en igual medida de acuerdo a la desviación estándar de 22.

7 Bibliografía

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,. Devore, Jay L. 2016. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE. OpenStax. n.d. “Estadísitica Empresarial Distribución Exponencial.” https://openstax.org/books/introducci%C3%B3n-estad%C3%ADstica-empresarial/pages/5-3-la-distribucion-exponencial. ProbaFácil. n.d. “Ejercicios de Distribución Exponencial.” https://probafacil.com/distribucion-exponencial-ejercicios-resueltos/. Rubio, Linky. n.d. “Análisis Estadístico: Visualización de Datos Con r.” https://rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/793067_3283046ce0f646e68a2f055977d756a4.html.