Sistem Persamaan Ruang Vektor

Sistem persamaan ruang vektor adalah kumpulan persamaan yang melibatkan vektor-vektor dalam ruang vektor. Sistem persamaan ruang vektor dapat ditulis dalam bentuk:

a1 * v1 + a2 * v2 + … + an * vn = b

di mana a1, a2, …, an adalah skalar, v1, v2, …, vn adalah vektor, dan b adalah vektor konstanta.

Solusi Sistem Persamaan Ruang Vektor

Solusi sistem persamaan ruang vektor adalah set vektor yang memenuhi persamaan-persamaan tersebut. Solusi dapat berupa solusi tunggal, solusi tak terhingga, atau tidak memiliki solusi.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan ruang vektor, dapat menggunakan metode seperti metode eliminasi Gauss, metode matriks invers, atau metode lainnya.

Contoh

Misalkan kita memiliki sistem persamaan ruang vektor berikut:

2v1 + 3v2 - v3 = <4, 5, 6> v1 - 2v2 + 3v3 = <1, -2, 3> 3v1 + v2 + 4v3 = <7, 8, 9>

Kita dapat menyelesaikan sistem ini menggunakan metode eliminasi Gauss:

  1. Membentuk matriks augmented:
2 3 -1 | 4 |
1 -2 3 | -2 |
3 1 4 | 9 |
  1. Menggunakan eliminasi Gauss untuk mengubah matriks menjadi bentuk eselon baris:
1 0 0 | 4 |
0 1 0 | -1 |
0 0 1 | 2 |

Jadi, solusi sistem persamaan ruang vektor ini adalah v1 = 4, v2 = -1, dan v3 = 2.

Dalam R, kita dapat menggunakan matriks dan vektor untuk menyelesaikan sistem persamaan ruang vektor. Berikut adalah contoh implementasi dalam R:

{r} # Matriks koefisien A <- matrix(c(2, 3, -1, 1, -2, 3, 3, 1, 4), nrow = 3, byrow = TRUE)

Vektor konstanta

B <- c(4, 5, 6, 1, -2, 3, 7, 8, 9)

Menyelesaikan sistem persamaan ruang vektor

X <- solve(A, B)

Menampilkan solusi

X