Los Objetivos De La Práctica

* El Objetivo General De La Práctica

A continuación se presenta el objetivo general de la práctica:

  • Determinar La Distribución Muestral De La Media.

* Los Objetivos Específicos De La Práctica

A continuación, se presenta los objetivos específicos que tiene la siguiente práctica:

  • Simular La Población Con Sueldos De Trabajadores De Una Institución Educativa.

  • Crear Los Datos Relacionados Con La Población

  • Determinar Los Parámetros Descriptivos.

  • Crear 100 Y 1000 Muestras Diferentes Con N Elementos Diferentes Relacionados Con La Población

  • Determinan La Media Aritmética De Cada Muestra.

  • Determinar La Distribución Muestral De La Media De Las Cien Muestras

  • Identificar La Distribución Se Acera A Una Distribución Normal Además De Que La Media De La Distribución Muestral Se Acerca A La Media De La Población.

  • Realizar la Interpretación De La Práctica Correspondiente.

  • Nota - La Distribución De La Población De La Práctica No Es Normal Es Decir, No Tiene Características De Ser Distribución Normal.

* Investigaciones Pertinentes

* La Probabilidad

La probabilidad y la estadística están relacionadas en una forma importante. La probabilidad se emplea como herramienta; permite que se evalúe la confiabilidad de las conclusiones acerca de la población cuando tenga sólo información muestral.

Por otra parte, la probabilidad indica el grado de certidumbre o certeza de un suceso o fenómeno estudiado, en la investigación científica existen muchos fenómenos en los cuales es necesario determinar la probabilidad de que un evento ocurra o dejen de ocurrir, para lo cual el estudio de este campo, es necesario.

Además tiene aplicaciones muy importantes en investigación; dado que es base para la inferencia estadística que permite el estudio de muestras con el objetivo de inferir o extrapolar características de estas a una población.

* Las Variables Estadísticas

La definición propia de una variables estadísticas es la siguiente, de acuerdo con los estipulado por Enciclopedia en su sitio web (2022):

Una variable estadística es una característica de una muestra o población de datos que puede adoptar diferentes valores.

Cuando hablamos de variable estadística estamos hablando de una cualidad que, generalmente adopta forma numérica. Por ejemplo, la altura de Juan es de 180 centímetros. La variable estadística es la altura y está medida en centímetros.

  • También podríamos, por ejemplo, decir que el beneficio de una empresa ha sido de 22.300 dólares el último año. En este caso, la variable sería el beneficio y estaría medido en dólares. Las variables son del tipo cuantitativo (se expresan con un número)

Claro que no todas las variables estadísticas son iguales y, por supuesto, no todas se pueden (en principio) expresar en forma de número.

  • Así, otra variable que podríamos encontrarnos es el color de ojos de una persona. Por ejemplo, Juan tiene los ojos verdes y Andrés los tiene azules. La variable sería el color de ojos y sería una variable cualitativa. Es decir, no se expresa con número.

* Los Tipos De Variables Estadísticas

Aunque hay decenas de tipos de variables estadísticas, por norma general podemos encontrarnos dos tipos de variables:

  • Variable Cuantitativa: Son variables que se expresan numéricamente.

    • Variable Continua: Toman un valor infinito de valores entre un intervalo de datos. El tiempo que tarda un corredor en completar los 100 metros lisos.

    • Variable Discreta: Toman un valor finito de valores entre un intervalo de datos. Número de helados vendidos.

  • Variable Cualitativa: Son variables que se expresan, por norma general, en palabras.

    • Variable Ordinal: Expresa diferentes niveles y orden.

    • Variable Nominal: Expresa un nombre claramente diferenciado. Por ejemplo el color de ojos puede ser azul, negro, castaño, verde, etc.

* El Muestreo Estadístico

El muestreo es el proceso mediante el cual se selecciona un grupo de observaciones que pertenecen a una población. Esto, con el fin de realizar un estudio estadístico.

En otras palabras, es el procedimiento mediante el cual se toman a ciertos individuos que pertenecen a una población que está siendo sujeto de un análisis.

Desde un punto de vista aplicado, se denomina muestreo el proceso de selección de la muestra o muestras a utilizar para la investigación. Esto supone generar una o pocas muestras. Actualmente es de interés la selección de muestras para la simulación informática de los procesos de muestreo, particularmente para la obtención de distribuciones muestrales. En estos casos el número de muestras generadas puede ser muy grande (10.000, 80.000, o más) y el procedimiento de muestreo se realiza informáticamente y con procedimientos específicos.

Desde un punto de vista teórico, el concepto de muestreo es fundamental para la Inferencia Estadística. El hecho de que las muestras no sean exactamente representativas de las poblaciones significa que las inferencias presentan cierto margen de incertidumbre. Para cuantificarlo y definir técnicas inferenciales es necesario conocer cómo se comportan los estadísticos obtenidos en las muestras, esto es, cómo son las distribuciones muestrales de los estadísticos habitualmente utilizados para la inferencia.

Las muestras singulares generadas para investigación con sujetos suelen utilizarse para obtener algunos estadísticos (Media, proporción, cuasivarianza, etc.) con los que se realiza el proceso de inferencia. En cambio, las muestras simuladas por ordenador suelen ser utilizadas para obtener distribuciones muestrales y realizar inferencia.

Esto es de interés cuando se dan circunstancias especiales que no aconsejan utilizar los procedimientos habituales.

Las distribuciones muestrales son las distribuciones de estadísticos de muestras que pertenecen a la misma población. Por ejemplo, la distribución muestral de la Media es la distribución de las Medias de muestras de un mismo tamaño extraídas de la misma población.

* Desarrollo Metodológico De La Práctica

En los siguientes ejercicios también se utilizan funciones de paquetes predeterminados de lenguaje de R para una mejor comprensión de la distribución binomial.

* Actividad No. 1 - Importar E Implementar Las Librerías

# Importación De Los Paquetes Y Librerías Necesarias Para La Realización De La Práctica 
library(cowplot)
library(ggplot2)
library(knitr)

# Acomodo Del Tipo De Notación Para El Muestro De Los Valores Obtenidos 
options(scipen=999) # Notación normal
# options(scipen=1) # Notación científica

* Actividad No. 2 - Implementación De La Semilla Aleatoria

# Implementación De La Semilla Aleatoria 
set.seed(2023)

* Actividad No. 3 - El Ejercicio Del Sueldo De Trabajadores De Una Institución Educativa

* Los Datos Pertinentes Para La Realización De La Práctica

Se simula una población de trabajadores por medio de la creación de un vector con valores que contienen sueldos mensuales en pesos mexicanos de una población de \(N=650\) trabajadores que laboran en una Institución educativa. El rango del sueldo de manera simulada está entre $5000 y $35000 pesos ($) mensuales.

# Inicializando Las Variables Para El Caso 
N <- 650 # Cantidad de datos de población
rango <- 5000:35000 # Rango de sueldos
n = 100  # Cantidad de datos de cada muestra
q1 = 100  # Cantidad de muestras m1, m2, m3
q2 = 1000  # Cantidad de muestras m1, m2, m3
q3 <- 10000

* La Creación De La Población

\[ poblacion = \text{ {x | x es un trabajador de una Institución educativa; }} \therefore \\ x_1, x_2, x_3, ... ,x_{N=6500} \]

poblacion <- data.frame(x = 1:N, sueldo=sample(x = rango, size =  N, replace = TRUE))

* Las Primeras 30 Observaciónes De La Población

head(poblacion$sueldo, 30)
##  [1] 26967 15670 30960  6991 12922 32929 12723 22249 28744 14756 16824 27396
## [13] 14348 27599 30534 25961 18698 13398 33716 27275 33383 18956 13575 21151
## [25] 12304 22910 11456 21877 15721 19703

* Las Últimas 30 Observaciónes De La Población

tail(poblacion$sueldo, 30)
##  [1] 33095  9643 13798  9809 19307 29817  5976 16975 17985  8105 31701 13311
## [13] 23904 28564 25336 24250 30863 29629 34692 18319 21720 12379 32139 34938
## [25] 20862 14527  5825 22779 18248  9288

* Los Parámetros Poblacionesles

summary(poblacion$sueldo)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    5001   12924   19974   20035   27295   34987
media.p <- round(mean(poblacion$sueldo),2)
desv.p <- round(sd(poblacion$sueldo),2)
media.p; desv.p
## [1] 20034.84
## [1] 8476.9

Se tiene una media aritmética poblacional de 20034.84 con una desviación estándar de 8476.9.

\[ \mu = \frac{\sum{sueldo_x}}{N} = 19761.25 \]

* Determinando La Muestra

Se determina una primera muestra de 100 trabajadores sin reemplazo que significa que no se puede repetir el trabajador el valor de \(x\).

\[ muestra = \text{ {x | x es un trabajador de la población; }} \therefore \\ x_1, x_2, x_3, ... ,x_{n=100} \]

La variables xs como parte de la muestra puede ser cualquier trabajador de la población que representa a la población.

xs <- sample(x = 1:N, size =  n, replace = FALSE)
muestra <- poblacion[xs,]

* Los Estadísticos Muestrales

summary(muestra$sueldo)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    5118   12872   20911   20139   27042   34155
media.m <- round(mean(muestra$sueldo),2)
desv.m <- round(sd(muestra$sueldo),2)
media.m; desv.m
## [1] 20138.73
## [1] 8473.99

Se tiene una media aritmética de la primera muestra de 20138.73 con una desviación estándar de 8476.9. \[ \bar{x_1} = \frac{\sum{sueldo_x}}{n} = 20140.97 \]

* El Error Muestral

El error muestral es porque los estadísticos no son valores numéricos igual que los parámetros de la población, siempre existirá una diferencia.

paste("Media aritméica poblacional", media.p, ";", "media muestral", media.m)
## [1] "Media aritméica poblacional 20034.84 ; media muestral 20138.73"
paste("Desviación estándar poblacional", desv.p, ";","desviación muestral", desv.m)
## [1] "Desviación estándar poblacional 8476.9 ; desviación muestral 8473.99"

Se determina el error muestral del estadístico media de la muestra con respecto al parámetro de la media poblacional

dif.media <- media.p - media.m
paste("El error muestral con respecto a la media aritmética es de: ", round(dif.media, 2))
## [1] "El error muestral con respecto a la media aritmética es de:  -103.89"

\[ \text{Error muestral =} (\mu - \bar{x}) = (19761.25 - 20140.97) =-379.72 \] ### * El Histograma De La Población Y De La Muestra

# Histograma con densidad
g1 <- ggplot(poblacion, aes(x = sueldo)) + 
  geom_histogram(aes(y = ..density..),
                 colour = 1, fill = "blue") +
  labs(title = "Población",
      subtitle = paste("ME=", media.p, "; ds=", desv.p,  "; Err muestral media=",dif.media),
              caption = "Fuente propia") +  
  
  geom_vline(xintercept = media.m, col='red') +
  geom_density(lwd = 1.2,
               linetype = 2,
               colour = 2)
g1 <- g1 + theme(
  plot.title = element_text(color = "black", size = 10, face = "bold"),
  plot.subtitle = element_text(color = "black",size=7),
  plot.caption = element_text(color = "black", face = "italic", size=6)
)
g2 <- ggplot(muestra, aes(x = sueldo)) + 
  geom_histogram(aes(y = ..density..),
                 colour = 1, fill = "green") +
    geom_vline(xintercept = media.m, col='red') +
  labs(title = "Muestra",
      subtitle = paste("me=", media.m, "; ds.=", desv.m),
              caption = "Fuente propia") +
  geom_density(lwd = 1.2,
               linetype = 2,
               colour = 2)
g2 <- g2 + theme(
  plot.title = element_text(color = "black", size = 10, face = "bold"),
  plot.subtitle = element_text(color = "black",size=7),
  plot.caption = element_text(color = "black", face = "italic", size=6)
)
plot_grid(g1, g2, nrow = 1, ncol = 2)

Se observa que no es una distribuciones normal, ni los datos de población ni los datos de la muestra se comportan como distribución normal.

* La Distribución Muestral De La Media De 100 Muestras.

Se determinan cien (100) muestras de 100 elementos cada una, luego se organizan las medias de todas las muestras en una distribución de probabilidad, el resultado recibe el nombre de distribución muestral de la media [@lind2015].

muestras = as.list(NULL)
m.muestras = NULL
for (i in 1:q1) {
    muestras[[i]] <- sample(x = poblacion$sueldo, size = q1, replace = FALSE)
    
  m.muestras[i] <- mean(muestras[[i]])
}

* La Distribución De 100 Muestras

Se construye una tabla de distribución de todos los sueldos de cada muestra, solo se muestran los tres primeros y los últimos tres en la columna final se observa la media de cada muestra.

La función t() transforma registros a columnas de un data.frame.

sueldos <- data.frame(muestras)
sueldos <- t(sueldos)
colnames(sueldos) <- paste0("sueldo",1:q1)
rownames(sueldos) <- paste0("M",1:q1)
tabla <- data.frame(sueldos[,1:3], "..."="...", sueldos[,(q1-2):q1], medias.muestrales = m.muestras)
kable(tabla, caption = "Tabla de medias aritméticas de cien muestras de cien sueldos cada una")
Tabla de medias aritméticas de cien muestras de cien sueldos cada una
sueldo1 sueldo2 sueldo3 … sueldo98 sueldo99 sueldo100 medias.muestrales
M1 31701 10124 8756 … 5439 24213 29869 21856.73
M2 17529 16035 5558 … 17713 31596 26047 20947.57
M3 32139 34876 21170 … 6700 9420 27509 19447.93
M4 16954 21937 24213 … 22426 8683 17320 19939.66
M5 19665 30605 21395 … 27407 28884 5976 19295.74
M6 32206 6116 18140 … 11145 33514 7849 19674.33
M7 30667 21576 13311 … 32643 10663 5160 19384.36
M8 34379 9267 23219 … 34722 8319 21395 19514.08
M9 18657 34126 13390 … 30605 22257 34302 19271.24
M10 25961 26654 33752 … 18676 10209 18698 19559.08
M11 12526 21576 34987 … 24314 20577 15865 20284.64
M12 25457 11517 18698 … 21772 11366 7786 20630.76
M13 24088 16975 6042 … 10663 22044 26455 20731.32
M14 24720 13566 24811 … 26948 21528 29000 22096.79
M15 28269 34649 25000 … 20416 21159 20862 19149.24
M16 20408 8382 9758 … 12981 24314 33166 21569.73
M17 17890 28564 22044 … 21736 18984 19307 20856.76
M18 25801 25163 27407 … 21159 22946 5425 20843.57
M19 11442 8383 27971 … 30196 5324 26776 19734.39
M20 9467 15742 15836 … 6788 33166 18749 19436.67
M21 8105 13432 27938 … 5397 5432 15321 20119.08
M22 31157 21083 30597 … 15393 19307 11100 20249.72
M23 18522 18994 34692 … 24755 24720 28884 21681.55
M24 28519 9397 5144 … 14773 25647 16854 19553.19
M25 27181 26503 34338 … 11366 27276 27061 19454.10
M26 21564 12439 23219 … 33796 33068 18908 20740.01
M27 30534 26129 12402 … 17217 16621 12379 20952.14
M28 12786 13607 5976 … 8383 15824 14360 18651.93
M29 7891 12646 25315 … 6504 32925 7281 19418.78
M30 12634 20566 5118 … 33514 27673 16429 21188.57
M31 32206 7282 12880 … 22511 26442 7866 20119.42
M32 7281 6051 24250 … 18994 5825 20827 19425.78
M33 13897 28193 21055 … 28269 29023 18365 20695.77
M34 30605 18984 15824 … 30734 28864 14552 19814.13
M35 5427 8181 17179 … 29236 21159 7027 21139.97
M36 13877 7891 29780 … 5182 26584 34492 19199.15
M37 24605 30315 13565 … 27599 15824 18248 21287.31
M38 20970 16954 30960 … 5440 27275 30667 21219.95
M39 11437 8429 30013 … 15721 27275 14410 20906.84
M40 13575 32073 34302 … 32760 33383 30935 20851.04
M41 23784 6700 21150 … 16235 28900 12174 21000.09
M42 8490 32678 19952 … 32464 33590 17961 20713.27
M43 21063 18751 33074 … 21050 24442 7995 19874.86
M44 23047 13798 16059 … 9342 13753 22910 20841.75
M45 5853 23981 16006 … 27243 23890 18875 19465.03
M46 26967 21951 16106 … 26979 18994 17227 20029.76
M47 7170 29177 28862 … 19082 29817 17713 21057.55
M48 21794 9679 13061 … 20827 30161 17320 21051.55
M49 21576 19952 12279 … 11385 26170 28744 19386.37
M50 32685 5425 17959 … 28744 20598 34834 18898.56
M51 14827 9849 6382 … 19596 17890 19082 20173.81
M52 24650 17737 28862 … 32760 9205 7866 18981.28
M53 24418 32643 8490 … 14269 32685 13676 19869.85
M54 21736 6382 20601 … 11776 13676 20759 18551.43
M55 11353 29506 25336 … 28915 14608 25799 22120.97
M56 18199 6466 18961 … 25648 8697 27864 20966.89
M57 28864 18522 11456 … 29287 7281 26975 20651.13
M58 14527 5976 16954 … 23773 9562 33068 18882.72
M59 26967 19414 9922 … 11181 11686 9562 19843.60
M60 14827 30852 11076 … 28884 9420 18657 20075.68
M61 25799 9910 23180 … 27649 30222 21543 20631.01
M62 16671 6590 21937 … 17227 18140 21395 21349.62
M63 13398 8683 30460 … 6007 8951 14608 18815.45
M64 7216 29023 31427 … 27193 19182 9420 20571.99
M65 16263 26948 14827 … 31377 21902 19822 19514.19
M66 16975 12250 23079 … 10399 18319 10345 18766.13
M67 31154 28061 5374 … 13566 13575 33074 19029.12
M68 21794 34065 30013 … 17008 27386 12575 19237.53
M69 13877 7160 8382 … 28061 19307 28564 18931.03
M70 26129 20768 5976 … 12304 19703 32073 20990.97
M71 23890 22511 10209 … 30838 11686 16621 19939.86
M72 21528 30161 25896 … 28864 5160 5118 19730.97
M73 15836 15742 30960 … 18698 28564 34785 21698.05
M74 22779 25245 29817 … 10663 13520 33896 19782.84
M75 12527 30222 5685 … 18365 8683 26292 20013.82
M76 7995 14919 18080 … 13621 16235 30667 20584.78
M77 14364 8181 19497 … 26129 28459 16975 19340.77
M78 24418 20827 14552 … 21772 15083 30476 20273.64
M79 9213 15721 13565 … 7995 17903 16235 20059.47
M80 24605 26455 20759 … 5324 5440 21931 19160.74
M81 23079 19596 16106 … 11695 28915 16621 19992.73
M82 23904 22910 31821 … 29000 11645 13061 20152.42
M83 19665 29236 17414 … 32307 8122 34987 19959.85
M84 21564 24650 20570 … 8498 13062 34783 20419.48
M85 6337 22959 15028 … 23487 19822 20598 20490.66
M86 19997 22959 16671 … 26141 28783 34338 20579.48
M87 5144 23487 8211 … 7282 12786 7160 18319.56
M88 27649 27864 18984 … 28459 23006 30355 19479.23
M89 7063 20458 13676 … 34876 17961 15089 19962.92
M90 22946 20213 5853 … 21172 28611 5425 19230.85
M91 31474 16710 12206 … 8429 12594 25336 19222.91
M92 30582 10334 19497 … 23981 31474 13002 19445.31
M93 31615 28271 6382 … 8756 20768 24213 21309.24
M94 19492 26143 14269 … 28528 12926 24901 19770.85
M95 5182 32760 26166 … 13796 8756 26503 18430.45
M96 21050 18012 23391 … 11021 31377 7282 20979.69
M97 21736 22044 22910 … 20827 26129 7063 19655.27
M98 5425 33037 25315 … 18751 11052 27243 20748.27
M99 32925 32685 30439 … 24213 15089 26073 20231.66
M100 26143 16035 6784 … 5118 26279 11807 20319.94

* La Media De Las 100 Muestras

media.todas.muestras <- round(mean(tabla$medias.muestrales),4)
paste("La media de todas las muestras es de: ", media.todas.muestras)
## [1] "La media de todas las muestras es de:  20104.5192"

* El Histograma De Todas Las Medias Muestrales (100)

# Histograma con densidad
g1 <- ggplot(poblacion, aes(x = sueldo)) + 
  geom_histogram(aes(y = ..density..),
                 colour = 1, fill = "blue") +
  labs(title = "Población",
      subtitle = paste("ME = ", media.p),
              caption = "Fuente propia") +  
  
  geom_vline(xintercept = media.m, col='red') +
  geom_density(lwd = 1.2,
               linetype = 2,
               colour = 2)
g1 <- g1 + theme(
  plot.title = element_text(color = "black", size = 10, face = "bold"),
  plot.subtitle = element_text(color = "black",size=7),
  plot.caption = element_text(color = "black", face = "italic", size=6)
)
g2 <- ggplot(tabla, aes(x = medias.muestrales)) + 
  geom_histogram(aes(y = ..density..),
                 colour = 1, fill = "green") +
    geom_vline(xintercept = media.todas.muestras, col='red') +
  labs(title = "Distribución muestral de la media CIEN",
      subtitle = paste("Media =", media.todas.muestras),
              caption = "Fuente propia") +
  geom_density(lwd = 1.2,
               linetype = 2,
               colour = 2)
g2 <- g2 + theme(
  plot.title = element_text(color = "black", size = 10, face = "bold"),
  plot.subtitle = element_text(color = "black",size=7),
  plot.caption = element_text(color = "black", face = "italic", size=6)
)
plot_grid(g1, g2, nrow = 1, ncol = 2)

Se observa la diferencia de forma de las distribuciones poblacional y muestral de medias.

También existe una diferencia en el rango de las medias de la población con respecto a la media de todas las muestras. El rango del sueldo de la población es 5001, 34987, mientras que las medias muestrales de la población con respecto al sueldo varían de 18319.56, 22120.97.

En cuanto a la diferencias de las desviaciones estándar de la población y de las muestras:

sd(poblacion$sueldo)
## [1] 8476.901
sd(tabla$medias.muestrales)
## [1] 863.5907

Se reduce su rango o lo que es lo mismo la desviación disminuye de 8476.9008223 en la población a 863.5906738 en las medias muestrales.

* La Distribución Muestral De La Media 1000 muestras.

¿Que pasará con mil muestras?

Se repite el proceso, ahora en lugar de ser cien ahora serán mil muestras.

Se determinan mil (1000) muestras de 100 elementos cada una, luego se organizan las medias de todas las muestras en una distribución de probabilidad, el resultado recibe el nombre de distribución muestral de la media [@lind2015].

muestras = as.list(NULL)
m.muestras = NULL
for (i in 1:q2) {
    muestras[[i]] <- sample(x = poblacion$sueldo, size = q2, replace = TRUE)
    
  m.muestras[i] <- mean(muestras[[i]])
}

* La Distribución De 1000 Muestras

Se construye una tabla de distribución de todos los sueldos de cada muestra, solo se muestran los tres primeros y los últimos tres en la columna final se observa la media de cada muestra.

Como son mil muestras solo se muestran las primeras cincuenta y las últimas cincuenta.

sueldos <- data.frame(muestras)
sueldos <- t(sueldos)
colnames(sueldos) <- paste0("sueldo",1:q2)
rownames(sueldos) <- paste0("M",1:q2)
tabla <- data.frame(sueldos[,1:3], "..."="...", sueldos[,(q2-2):q2], medias.muestrales = m.muestras)

* Mostrando Las Primeras 50 Muestras

kable(head(tabla,50), caption = paste("Tabla de medias aritméticas de ",q2," muestras de cien sueldos cada una"))
Tabla de medias aritméticas de 1000 muestras de cien sueldos cada una
sueldo1 sueldo2 sueldo3 … sueldo998 sueldo999 sueldo1000 medias.muestrales
M1 12174 27844 16621 … 22257 34783 29281 19515.61
M2 8383 11852 11076 … 17008 33957 7117 20177.87
M3 26663 9849 8683 … 31483 19839 26166 20155.38
M4 26271 11908 10209 … 29299 9267 15663 20033.58
M5 30597 34649 12805 … 15321 6817 11686 19846.49
M6 26143 16975 17655 … 8498 11686 5397 19823.41
M7 19812 15663 30852 … 29647 13790 25315 20130.99
M8 33383 22349 30582 … 16138 13104 14410 20073.87
M9 21170 12926 30597 … 14756 5160 24755 19726.33
M10 29281 33716 20627 … 26967 26170 11100 20155.79
M11 8122 18856 24720 … 23358 12338 25457 20495.24
M12 12740 24605 5425 … 6382 31765 20601 19690.12
M13 15670 17195 8429 … 31615 18012 16854 20181.07
M14 5685 27181 24720 … 6504 21063 18994 19754.19
M15 23981 26502 18416 … 29478 7242 20762 19995.83
M16 27971 27938 30960 … 33072 32763 7891 20642.15
M17 5558 18961 12646 … 34619 31953 9809 19994.30
M18 12526 12279 24755 … 5425 5825 12646 19923.13
M19 13565 8122 28193 … 25457 18961 9292 19571.81
M20 25961 11686 17961 … 6042 11852 16824 19627.27
M21 28884 17737 14364 … 16006 27844 33166 19998.86
M22 26648 12926 17903 … 6337 26776 21151 20113.90
M23 5160 23196 24630 … 26414 16429 9679 20203.99
M24 26442 28900 7995 … 9594 14021 33166 19818.92
M25 14348 21736 24862 … 15873 21172 27649 20426.04
M26 29869 28611 20701 … 12174 25538 30007 20642.21
M27 8683 15434 29287 … 18926 17737 32353 19558.95
M28 11100 21845 8382 … 23487 19497 28900 20138.98
M29 17737 21083 11582 … 16860 8490 28165 20353.78
M30 22044 29881 17903 … 32464 28783 28109 19953.78
M31 28269 27599 33796 … 23883 22959 34492 20323.56
M32 25245 7027 24901 … 34785 32145 14269 19973.76
M33 13398 17655 11181 … 12646 21931 12926 20005.32
M34 12067 18698 13798 … 29023 21576 18994 20234.03
M35 5160 17753 15756 … 15028 33948 15068 19713.65
M36 6700 5490 26654 … 26948 13796 13390 20187.15
M37 11908 30734 13790 … 25336 32472 31427 20632.25
M38 25336 9540 6590 … 12805 20701 15985 20152.21
M39 33590 34783 28106 … 20210 13520 29348 19982.47
M40 23006 17217 18199 … 12575 7160 27673 19936.30
M41 26073 7786 11807 … 27275 19713 7866 20151.11
M42 13621 12295 14042 … 15083 26210 30863 20360.72
M43 11776 15836 28776 … 5825 23196 5825 20321.89
M44 33948 15028 30605 … 17809 12330 13566 20311.92
M45 28564 25245 25569 … 7702 30182 30460 19955.21
M46 26170 22349 29287 … 28528 12922 14042 20039.63
M47 8319 20566 32353 … 20762 30088 21576 19896.93
M48 28611 30355 34302 … 33072 21395 19523 19911.67
M49 6337 23006 32763 … 18365 19497 20601 20289.28
M50 25801 11776 33840 … 9679 9922 15635 20229.48

* Mostrando Las Últimas 50 Muestras

kable(tail(tabla,50), caption = paste("Tabla de medias aritméticas de ",q2," muestras de cien sueldos cada una"))
Tabla de medias aritméticas de 1000 muestras de cien sueldos cada una
sueldo1 sueldo2 sueldo3 … sueldo998 sueldo999 sueldo1000 medias.muestrales
M951 26787 21937 8383 … 28915 23981 30222 20329.14
M952 23981 25245 18657 … 13574 23773 18012 19878.64
M953 26053 26948 7063 … 32472 30222 33284 20225.12
M954 15670 15824 21379 … 16860 28611 20570 20246.33
M955 13798 30247 9397 … 33514 25000 32295 19861.44
M956 12250 27599 20566 … 5324 34338 8382 19813.92
M957 8951 13676 34692 … 18416 31662 17462 20075.95
M958 17163 15670 16860 … 25538 12926 17163 20078.88
M959 24250 33334 7216 … 33796 20213 13565 19963.93
M960 24862 5384 11052 … 20566 9467 19839 20255.36
M961 18549 8848 16106 … 9934 15434 22974 20189.63
M962 21063 18319 11366 … 11961 5384 27275 19915.74
M963 9594 26654 5118 … 9288 9824 32206 20138.32
M964 6382 27061 19596 … 25538 31157 33383 19648.24
M965 13432 23079 27844 … 7063 27243 26143 19844.14
M966 29961 9304 18926 … 27938 9267 28098 20178.76
M967 34834 26502 12279 … 14410 10399 6382 20366.79
M968 6590 26166 33957 … 28165 24901 13676 19770.62
M969 22983 11456 16138 … 20271 17529 10062 20090.76
M970 13908 23180 14907 … 33334 9267 17903 20423.88
M971 5246 29000 7242 … 7866 22044 8105 20172.15
M972 20416 14773 28564 … 5649 7299 5160 20143.62
M973 30460 20458 26166 … 30734 17163 26141 19199.19
M974 25315 27035 14773 … 25961 12206 30534 20176.30
M975 13566 24314 27276 … 23006 32073 30315 19605.89
M976 9679 28459 30088 … 14784 16710 23436 19929.27
M977 7891 11181 7299 … 24442 21902 5118 20197.76
M978 8756 33840 23981 … 23487 29478 18080 20214.52
M979 28564 6274 22257 … 26210 24650 32763 20589.25
M980 17195 21150 19596 … 31821 26292 12740 19831.86
M981 21444 12206 31157 … 12880 13385 28057 20161.15
M982 21564 6590 11385 … 9913 33072 5432 19418.90
M983 7281 25648 7252 … 7242 14784 16138 20149.22
M984 13062 14756 16006 … 15089 24418 24160 20490.93
M985 27306 31427 32073 … 24720 8756 17985 20011.84
M986 13873 15434 26210 … 12174 9420 23773 20094.98
M987 30667 23219 13798 … 23487 11021 11807 19866.59
M988 20701 27407 5182 … 21063 15880 16138 20253.50
M989 28528 16362 23358 … 34811 20210 9910 20021.10
M990 11874 6274 8211 … 32760 5853 13104 19877.39
M991 17163 17163 30161 … 30667 7282 26170 20140.48
M992 9910 9342 20418 … 21730 18257 22946 19707.51
M993 18080 11776 9397 … 13104 6700 33284 20007.10
M994 23180 21150 18199 … 16710 6590 20912 20182.79
M995 7160 11442 18199 … 32307 32760 16621 19976.06
M996 15028 22779 18237 … 9267 14784 20213 19852.19
M997 16458 12304 13398 … 15434 13385 7216 19702.90
M998 24862 11486 11145 … 9758 34783 14919 19729.23
M999 5649 32464 19997 … 5825 9342 28178 20198.66
M1000 10334 16954 9420 … 18013 20762 28269 20129.70

* La Media De Todas Las 1000 Muestras

media.todas.muestras <- round(mean(tabla$medias.muestrales),2)
paste("La media de todas las ", q2, " muestras "," es de: ", media.todas.muestras)
## [1] "La media de todas las  1000  muestras   es de:  20040.07"

* El Histograma De Las Medias Muestrales (1000)

# Histograma con densidad
g1 <- ggplot(poblacion, aes(x = sueldo)) + 
  geom_histogram(aes(y = ..density..),
                 colour = 1, fill = "blue") +
  labs(title = "Población",
      subtitle = paste("ME=", media.p),
              caption = "Fuente propia") +  
  
  geom_vline(xintercept = media.m, col='red') +
  geom_density(lwd = 1.2,
               linetype = 2,
               colour = 2)
g1 <- g1 + theme(
  plot.title = element_text(color = "black", size = 10, face = "bold"),
  plot.subtitle = element_text(color = "black",size=7),
  plot.caption = element_text(color = "black", face = "italic", size=6)
)
g2 <- ggplot(tabla, aes(x = medias.muestrales)) + 
  geom_histogram(aes(y = ..density..),
                 colour = 1, fill = "green") +
    geom_vline(xintercept = media.todas.muestras, col='red') +
  labs(title = "Distribución muestral de la media MIL",
      subtitle = paste("Media =", media.todas.muestras),
              caption = "Fuente propia") +
  geom_density(lwd = 1.2,
               linetype = 2,
               colour = 2)
g2 <- g2 + theme(
  plot.title = element_text(color = "black", size = 10, face = "bold"),
  plot.subtitle = element_text(color = "black",size=6),
  plot.caption = element_text(color = "black", face = "italic", size=6)
)
plot_grid(g1, g2, nrow = 1, ncol = 2)

Se observa que la media de todas las muestras se acerca a la media de la población así mismo, la distribución muestral de la media es una distribución que se parece a distribución normal con gráfica de gauss o campana.

Entre mas muestras haya, la dispersión de los datos disminuye y entre más muestras se determinen, el valor de la media de todas las muestras se acerca al valor de la media poblacional.

* Análisis Crítico De Los Datos Obtenidos

* Interpretación De La Práctica

La distribución muestral de la media es una distribución de probabilidad que describe la variabilidad de las medias muestrales. La distribución muestral de la media se utiliza para estimar la media poblacional a partir de una muestra aleatoria.

La distribución muestral de la media se puede calcular utilizando la fórmula:

Media muestral = μ

Donde μ es la media poblacional y n es el tamaño de la muestra.

La distribución muestral de la media se puede utilizar para calcular el error estándar de la media. El error estándar de la media es una medida de la variabilidad de las medias muestrales y se puede calcular utilizando la fórmula:

Error estándar de la media = σ / √n

Donde σ es la desviación estándar de la población y n es el tamaño de la muestra.

La distribución muestral de la media se puede utilizar para construir intervalos de confianza para la media poblacional. Un intervalo de confianza es un rango de valores que contiene el verdadero valor del parámetro con un cierto nivel de confianza.

* El Ejercicio De Práctica

¿Cuál es el valor de la media muestral de 10000 mil muestras de 100 datos cada una?: 19761.13

¿Cuál es el error muestral de la media de todas las muestras con respeto a la media aritmética de población. -0.12

¿Cómo se observa la gráfica de campana?

Histograma de medias muestrales de la muestra con DIEZ MIL observaciones

# Histograma con densidad
g1 <- ggplot(poblacion, aes(x = sueldo)) + 
  geom_histogram(aes(y = ..density..),
                 colour = 1, fill = "blue") +
  labs(title = "Población",
      subtitle = paste("ME=", media.p),
              caption = "Fuente propia") +  
  
  geom_vline(xintercept = media.m, col='red') +
  geom_density(lwd = 1.2,
               linetype = 2,
               colour = 2)
g1 <- g1 + theme(
  plot.title = element_text(color = "black", size = 10, face = "bold"),
  plot.subtitle = element_text(color = "black",size=7),
  plot.caption = element_text(color = "black", face = "italic", size=6)
)
g2 <- ggplot(tabla, aes(x = medias.muestrales)) + 
  geom_histogram(aes(y = ..density..),
                 colour = 1, fill = "green") +
    geom_vline(xintercept = media.todas.muestras, col='red') +
  labs(title = "Distribución muestral de la media DIEZ MIL",
      subtitle = paste("Media =", media.todas.muestras),
              caption = "Fuente propia") +
  geom_density(lwd = 1.2,
               linetype = 2,
               colour = 2)
g2 <- g2 + theme(
  plot.title = element_text(color = "black", size = 10, face = "bold"),
  plot.subtitle = element_text(color = "black",size=6),
  plot.caption = element_text(color = "black", face = "italic", size=6)
)
plot_grid(g1, g2, nrow = 1, ncol = 2)

* Referencias Bibliográficas

  • Levine, D. M. (2010) Estadística para administración y economía. (7ª. ed.) México : Pearson Educación.

  • Mendenhall, W. (2010). Introducción a la Probabilidad y Estadística. (13ª. ed.) México: Cengage Learning.

  • Montgomery, D. C. (2011). Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. (2ª. ed.) México : Limusa: Wiley.

  • Quezada, L. (2010). Estadística para ingenieros. México : Empresa Editora Macro.