Los Objetivos De La Práctica

* El Objetivo General De La Práctica

A continuación se presenta el objetivo general de la práctica:

Determinar Predicciones De Datos Bajo El Modelo De Regresión Lineal Simple.

* Los Objetivos Específicos De La Práctica

A continuación, se presenta los objetivos específicos que tiene la siguiente práctica:

Identificar Los Ejercicios De La Literatura De La Regresión Lineal.
De Un Conjunto De Datos Con Dos Variables (Bivariable) En Donde Una De Ellas Es X Variable Independiente Y Otra De Ellas Y Variable Dependiente
Predecir El Valor De Y Conforme La Historia De X.
Realizar la Interpretación De La Práctica Correspondiente.

* Investigaciones Pertinentes

* La Probabilidad

La probabilidad y la estadística están relacionadas en una forma importante. La probabilidad se emplea como herramienta; permite que se evalúe la confiabilidad de las conclusiones acerca de la población cuando tenga sólo información muestral.

Por otra parte, la probabilidad indica el grado de certidumbre o certeza de un suceso o fenómeno estudiado, en la investigación científica existen muchos fenómenos en los cuales es necesario determinar la probabilidad de que un evento ocurra o dejen de ocurrir, para lo cual el estudio de este campo, es necesario.

Además tiene aplicaciones muy importantes en investigación; dado que es base para la inferencia estadística que permite el estudio de muestras con el objetivo de inferir o extrapolar características de estas a una población.

* Las Variables Estadísticas

La definición propia de una variables estadísticas es la siguiente, de acuerdo con los estipulado por Enciclopedia en su sitio web (2022):

Una variable estadística es una característica de una muestra o población de datos que puede adoptar diferentes valores.

Cuando hablamos de variable estadística estamos hablando de una cualidad que, generalmente adopta forma numérica. Por ejemplo, la altura de Juan es de 180 centímetros. La variable estadística es la altura y está medida en centímetros.

También podríamos, por ejemplo, decir que el beneficio de una empresa ha sido de 22.300 dólares el último año. En este caso, la variable sería el beneficio y estaría medido en dólares. Las variables son del tipo cuantitativo (se expresan con un número)

Claro que no todas las variables estadísticas son iguales y, por supuesto, no todas se pueden (en principio) expresar en forma de número.

Así, otra variable que podríamos encontrarnos es el color de ojos de una persona. Por ejemplo, Juan tiene los ojos verdes y Andrés los tiene azules. La variable sería el color de ojos y sería una variable cualitativa. Es decir, no se expresa con número.

* Los Tipos De Variables Estadísticas

Aunque hay decenas de tipos de variables estadísticas, por norma general podemos encontrarnos dos tipos de variables:

Variable Cuantitativa: Son variables que se expresan numéricamente.
- Variable Continua: Toman un valor infinito de valores entre un intervalo de datos. El tiempo que tarda un corredor en completar los 100 metros lisos.
- Variable Discreta: Toman un valor finito de valores entre un intervalo de datos. Número de helados vendidos.
Variable Cualitativa: Son variables que se expresan, por norma general, en palabras.
- Variable Ordinal: Expresa diferentes niveles y orden.
- Variable Nominal: Expresa un nombre claramente diferenciado. Por ejemplo el color de ojos puede ser azul, negro, castaño, verde, etc.

* El Coeficiente De Correlación \(r\)

La utilidad principal de los análisis correlacionales es saber cómo se puede comportar un concepto o una variable al conocer el comportamiento de otras variables vinculadas, por ejemplo: a mayor estudio mejor rendimiento; a mayor cantidad de sol mayor temperatura de ambiente; a mayor frecuencia de actividad social mayor porcentaje de contagios, entre muchos otros.

La importancia de la correlación es conocer el grado de relación entre variables y ayuda a las técnicas de predicción, es decir, intentar predecir el valor aproximado que tendrá un grupo de individuos o casos en una variable, a partir del valor que poseen en las variables relacionadas.

La correlación puede ser positiva o negativa de entre \(-1\) a \(1\) y significa que el coeficiente r de Pearson puede variar de −1.00 a +1.00, donde:

−1.00 = correlación negativa perfecta. (“A mayor X, menor Y”, de manera proporcional. Es decir, cada vez que X aumenta una unidad, Y disminuye siempre una cantidad constante). Esto también se aplica “a menor X, mayor Y”. - −0.90 = Correlación negativa muy fuerte. - −0.75 = Correlación negativa considerable. - −0.50 = Correlación negativa media. - −0.25 = Correlación negativa débil. - −0.10 = Correlación negativa muy débil. - 0.00 = No existe correlación alguna entre las variables. - +0.10 = Correlación positiva muy débil. - +0.25 = Correlación positiva débil. - +0.50 = Correlación positiva media. - +0.75 = Correlación positiva considerable. - +0.90 = Correlación positiva muy fuerte. - +1.00 = Correlación positiva perfecta (“A mayor X, mayor Y” o “a menor X, menor Y”, de manera proporcional. Cada vez que X aumenta, Y aumenta siempre una cantidad constante).

El signo indica la dirección de la correlación (positiva o negativa); y el valor numérico, la magnitud de la correlación

Por otra parte, el análisis de correlación intenta medir la intensidad de tales relaciones entre dos variables por medio de un solo número denominado coeficiente de correlación.

Para determinar el coeficiente de correlación de Pearson de una muestra se utiliza la siguiente fórmula:

* La Fórmula Para Determinar La Correlación De Pearson

\[r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})\cdot(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^{2}\cdot\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^{2}}}\]

Siendo \(r\) el valor del coeficiente de correlación. La correlación de Pearson funciona bien con variables cuantitativas que tienen una distribución normal. [@amat_rodrigo_correlacion_2016]

La idea básica del análisis de correlación es identificar la asociación entre dos variables; por lo general, se puede describir la relación graficando o elaborando un diagrama de dispersión entre \(x\) y \(y\).

* La Regresión Lineal Simple

La regresión lineal simple implica aplicar una ecuación matemática de mínimos cuadrados que permite pronosticar o predecir el valor de una variable con base en el valor de otra; este procedimiento se llama análisis de regresión.

El análisis de regresión es un método para examinar una relación lineal entre dos variables; se utiliza el concepto de correlación \(r\), sin embargo, la regresión proporciona mucho más información, además de permitir estimaciones o predicciones de la relación lineal con la ecuación de mínimos cuadrados [@lind_estadistica_2015].

* La Fórmula Para Minimos Cuadrados De La Regresión Lineal

\[Y = a + bx\]

En donde:

\(Y\) es el valor a predecir
\(a\) Es el valor del cruce del eje y
\(b\) Es el valor de la pendiente o inclinación.
\(x\) el valor de la variable independiente

* La Fórmula Para Obtener Coeficientes A Y B En El Método De Mínimos Cuadrados

\[ b = r \cdot(\frac{ s_{y}}{s_x}) = r \cdot \frac{\sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n(y_i- \bar{y})^2}{n-1}}} {\sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1}}} \] En donde:

\(r\) es el coeficiente de correlación.
\(S_y\) es la desviación estándar de \(y\). \(\text {es el denominador}\)
\(S_x\) es la desviación estándar de la variable \(x\). \(\text{es el numerador}\)

Y para determinar a:

\[a = \bar{y} - b \cdot\bar{x}\]

Se requiere la media de y \(\bar{y}\)
Se necesita la media de x \(\bar{x}\)

Un valor que es importante destacar en la regresión lineal, es el coeficiente de determinación también representado por \(r^{2}\) que se puede sacar elevando al cuadrado el coeficiente de correlación previamente determinado.

Cuando el coeficiente \(r\) de Pearson se eleva al cuadrado \(r^{2}\), se obtiene el coeficiente de determinación y el resultado indica la variabilidad de factores comunes. Esto es, el porcentaje de la variación de una variable debido a la variación de la otra variable y viceversa (o cuánto explica o determina una variable la variación de la otra).

El coeficiente de determinación es la proporción y la explicación de la variación total de la variable dependiente \(y\) con respecto a la variable independiente \(x\).

* Desarrollo Metodológico De La Práctica

En los siguientes ejercicios también se utilizan funciones de paquetes predeterminados de lenguaje de R para una mejor comprensión de la distribución binomial.

* Actividad No. 1 - Importar E Implementar Las Librerías

# Importación De Los Paquetes Y Librerías Necesarias Para La Realización De La Práctica 
library(dplyr)
library(mosaic)
library(readr)
library(ggplot2)  # Para gráficos
library(knitr)    # Para formateo de datos

# Acomodo Del Tipo De Notación Para El Muestro De Los Valores Obtenidos 
options(scipen=999) # Notación normal
# options(scipen=1) # Notación científica

* Actividad No. 2 - El Ejercicio Llamadas Y Ventas

* Cargar Los Datos Para El Ejercicio Correspondiente

Datos de llamadas que hacen vendedores y las ventas que realizan.

# Inicializando Los Valores Para La Práctica 
vendedores <- paste("V",1:15, sep="")
llamadas <- c(96, 40, 104, 128, 164, 76, 72, 80 , 36, 84, 180, 132, 120, 44, 84) 
ventas <- c(41, 41, 51, 60, 61, 29, 39, 50, 28, 43, 70, 56, 45, 31, 30)
datos <- data.frame(vendedores, llamadas, ventas)
datos

##    vendedores llamadas ventas
## 1          V1       96     41
## 2          V2       40     41
## 3          V3      104     51
## 4          V4      128     60
## 5          V5      164     61
## 6          V6       76     29
## 7          V7       72     39
## 8          V8       80     50
## 9          V9       36     28
## 10        V10       84     43
## 11        V11      180     70
## 12        V12      132     56
## 13        V13      120     45
## 14        V14       44     31
## 15        V15       84     30

* El Valor De La Correlación Entre kas Variables

Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; ‘x’ son los llamadas y ‘y’ las ventas.

r <- cor(datos$llamadas, datos$ventas)
r

## [1] 0.8646318

* La Gráfica De Dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = llamadas, y = ventas)) +
  geom_point(colour = 'blue')

* Generar El Modelo De La Regresión Lineal \(Y = a + bx\)

Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x’.

modelo <- lm(data = datos, formula = ventas~llamadas)
modelo

## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ llamadas, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)     llamadas  
##     19.9800       0.2606

* Encontrar El COeficiente De Determinación

Elevando al cuadrado el coeficiente de correlación. \[r^{2}\]

summary(modelo)

## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ llamadas, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -11.873  -2.861   0.255   3.511  10.595 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value  Pr(>|t|)    
## (Intercept)  19.9800     4.3897   4.552  0.000544 ***
## llamadas      0.2606     0.0420   6.205 0.0000319 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6.72 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7476, Adjusted R-squared:  0.7282 
## F-statistic:  38.5 on 1 and 13 DF,  p-value: 0.00003193

paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación: ", r^2)

## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación:  0.747588134135855"

El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.7476 significa que el valor de llamadas representa y explica el 74.76 % de las ventas.

* Determinando Los Valores De a Y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b

## (Intercept) 
##       19.98

## llamadas 
## 0.260625

* Las Medias De Las Variables

mean(datos$llamadas)

## [1] 96

mean(datos$ventas)

## [1] 45

* La Gráfica De Tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = llamadas, y = ventas), colour='blue') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$llamadas), y = mean(datos$ventas)), col = 'green') +
  geom_line(aes( x = datos$llamadas, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Llamadas") + 
  ylab("Ventas") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

* Predecir conforme al modelo

Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
Predecir para valores 100, 130 y 160

x <- c(100, 130, 160)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(llamadas = x))
prediccion

##        1        2        3 
## 46.04250 53.86125 61.68000

# Comprobar
y = a + b * x
y

## [1] 46.04250 53.86125 61.68000

* La Interpretación Del Ejercicio Correspondeinte

Se utilizó la función lm() para crear el modelo de regresión lineal y determinar los coeficientes de \(a\) y \(b\).
Se utilizó la función predict() para predecir nuevos valores de x o ventas.
Se comprobó las predicciones
Para un valor de 170 el valor de la predicción es 64.28 en ventas

* Actividad No 3 - Ejercicio ventas en función de comerciales

* Generar Los Gráficos Correspondientes Para El Caso

De un conjunto de datos para una empresa que invierte dinero en comerciales se tienen un historial de ventas de doce semanas.

semanas <- c(1:12)
comerciales <- c(2,5,1,3,4,1,5,3,4,2,3,2)
ventas <- c(50,57,41,54,54,38,63,48,59,46, 45, 48 )
datos <- data.frame(semanas,comerciales,ventas)
kable(datos, caption = "Ventas en función de inversión en comerciales")

Ventas en función de inversión en comerciales
semanas	comerciales	ventas
1	2	50
2	5	57
3	1	41
4	3	54
5	4	54
6	1	38
7	5	63
8	3	48
9	4	59
10	2	46
11	3	45
12	2	48

* Determinar El Valor De La Correlación Entre Las Variables

Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; ‘x’ son los comerciales y ‘y’ las ventas.

r <- cor(datos$comerciales, datos$ventas)
r

## [1] 0.9006177

* La Gráfica De Dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = comerciales, y = ventas)) +
  geom_point(colour = 'blue')

* Generar El Modelo De Regresión Lineal \(Y = a + bx\)

Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x’.

modelo <- lm(data = datos, formula = ventas~comerciales)
modelo

## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ comerciales, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)  comerciales  
##      36.131        4.841

* Encontrar El Coeficiente De Determinación

Elevando al cuadrado el coeficiente de correlación. \[r^{2}\]

summary(modelo)

## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ comerciales, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5.6534 -2.7331  0.1076  2.8357  4.1873 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value     Pr(>|t|)    
## (Intercept)  36.1315     2.3650  15.278 0.0000000293 ***
## comerciales   4.8406     0.7387   6.553 0.0000644865 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.378 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8111, Adjusted R-squared:  0.7922 
## F-statistic: 42.94 on 1 and 10 DF,  p-value: 0.00006449

paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación: ", r^2)

## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación:  0.811112191696598"

El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.8111 significa que el valor de comerciales representa el 81.11 % de las ventas.

* Determinar Los Valores De a Y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b

## (Intercept) 
##    36.13147

## comerciales 
##    4.840637

* Las Medias De Las Variables

mean(datos$comerciales)

## [1] 2.916667

mean(datos$ventas)

## [1] 50.25

* La Gráfica De Tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = comerciales, y = ventas), colour='blue') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$comerciales), y = mean(datos$ventas)), col = 'green') +
  geom_line(aes( x = datos$comerciales, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Comerciales") + 
  ylab("Ventas") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

* Predecir Conforme Al Modelo De Regresión Lineal

Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
Predecir para valores 4, 3.5, 2, 0 y 1

x <- c(4, 3.5, 2, 0,1)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(comerciales = x))
prediccion

##        1        2        3        4        5 
## 55.49402 53.07371 45.81275 36.13147 40.97211

# Comprobar
y = a + b * x
y

## [1] 55.49402 53.07371 45.81275 36.13147 40.97211

* La Interpretación Del Ejercicio Correspondeinte

Se utilizó la función lm() para crear el modelo de regresión lineal y determinar los coeficientes de a y b.
Se utilizó la función predict() para predecir nuevos valores de x o comerciales.
Se comprobó las predicciones
Por ejemplo para un valor de 4 en comerciales la predicción de ventas es de 55.99.

* Actividad No. 3 - El Ejercicio De Medidas De Los Sólidos Contaminantes Y La Demanda De Oxígeno Bioquímico.

Uno de los problemas más desafiantes que se enfrentan en el área del control de la contaminación del agua lo representa la industria de la peletería (dedicada a la elaboración de indumentaria, cuero y piel animal).

Los desechos de ésta tienen una complejidad química. Se caracterizan por valores elevados de demanda de oxígeno bioquímico, sólidos volátiles y otras medidas de la contaminación. [@walpole_probabilidad_2007]

Tal vez si existen contaminantes sólidos se requiera mayor oxígeno bioquímico.

* Generar Los Datos Pertinentes Para El Ejercicio

seq <- c(1:33)
solido <- c(3,7,11,15,18,27,29,30,30,31,31,32,33,33,34,36,36,36,37,38,39,39,39,40,41,42,42,43,44,45,46,47,50)
oxigeno <- c(5,11,21,16,16,28,27,25,35,30,40,32,34,32,34,37,38,34,36,38,37,36,45,39,41,40,44,37,44,46,46,49,51 )
datos <- data.frame(seq,solido,oxigeno)
kable(datos, caption = "Contaminante oxígeno en función de sólidos contaminantes")

Contaminante oxígeno en función de sólidos contaminantes
seq	solido	oxigeno
1	3	5
2	7	11
3	11	21
4	15	16
5	18	16
6	27	28
7	29	27
8	30	25
9	30	35
10	31	30
11	31	40
12	32	32
13	33	34
14	33	32
15	34	34
16	36	37
17	36	38
18	36	34
19	37	36
20	38	38
21	39	37
22	39	36
23	39	45
24	40	39
25	41	41
26	42	40
27	42	44
28	43	37
29	44	44
30	45	46
31	46	46
32	47	49
33	50	51

* El Valor De La Correlación Entre Las Variables

Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; ‘x’ son los valores de sólido y ‘y’ el porcentaje de oxígeno.

r <- cor(datos$solido, datos$oxigeno)
r

## [1] 0.9554794

* La Gráfica De Dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = solido, y = oxigeno)) +
  geom_point(colour = 'blue')

* Generar Y Construir El Modelo De Regresión Lineal \(Y = a + bx\)

Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x’.

modelo <- lm(data = datos, formula = oxigeno~solido)
modelo

## 
## Call:
## lm(formula = oxigeno ~ solido, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)       solido  
##      3.8296       0.9036

* Determinar El Coeficiente De Determinación \(r^{2}\)

summary(modelo)

## 
## Call:
## lm(formula = oxigeno ~ solido, data = datos)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -5.939 -1.783 -0.228  1.506  8.157 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value            Pr(>|t|)    
## (Intercept)  3.82963    1.76845   2.166              0.0382 *  
## solido       0.90364    0.05012  18.030 <0.0000000000000002 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.23 on 31 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9129, Adjusted R-squared:  0.9101 
## F-statistic: 325.1 on 1 and 31 DF,  p-value: < 0.00000000000000022

paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación :", r^2)

## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación : 0.912940801014387"

El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.9129 significa que el valor de solido representa el 91.29 % del oxígeno.

* Determinar Los Valores De Los Intervalos a Y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b

## (Intercept) 
##    3.829633

##    solido 
## 0.9036432

* Las Medias De Las Variables

mean(datos$solido)

## [1] 33.45455

mean(datos$oxigeno)

## [1] 34.06061

* La Gráfica De Tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = solido, y = oxigeno), colour='blue') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$solido), y = mean(datos$oxigeno)), col = 'green') +
  geom_line(aes( x = datos$solido, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Reducción de sólido") + 
  ylab("% Oxígeno") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

* La Predicción De Algunos Datos Conforme Al Modelo

Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
Predecir para valores \(x=15,20,35,40,50\)

x <- c(15,20,35,40,50)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(solido = x))
prediccion

##        1        2        3        4        5 
## 17.38428 21.90250 35.45715 39.97536 49.01179

# Comprobar
y = a + b * x
y

## [1] 17.38428 21.90250 35.45715 39.97536 49.01179

* La Interpretación Del Ejercicio Correspondeinte

Pendiente..

* Actividad No. 4 - El Ejercicio Del Caso De Mediciones Del Cuerpo Humano (Peso Y Estatura)

Mediciones del cuerpo humano en donde se buscar identificar el coeficiente de correlación \(r\), el coeficiente de determinación \(r^2\) y el modelo de regresión lineal para predecir peso en relación a la estatura de una persona.

* Cargar Los Datos Pertinenetes Para La Realización Del Ejercicio

La variable x independiente será la estatura
La variable y dependiente será la peso

datos <- read.table("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/datos/body.dat.txt", quote="\"", comment.char="")
datos <- as.data.frame(datos)

* La Estructura De Los Datos

Son 507 observaciones y 25 variables. Se identifican todas las variables de datos. Las variables de interés son las variables numéricas (columnas 23 y 24) y la columna 25 de género solo para ubicar género Masculino (1) o Femenino (2).

str(datos)

## 'data.frame':    507 obs. of  25 variables:
##  $ V1 : num  42.9 43.7 40.1 44.3 42.5 43.3 43.5 44.4 43.5 42 ...
##  $ V2 : num  26 28.5 28.2 29.9 29.9 27 30 29.8 26.5 28 ...
##  $ V3 : num  31.5 33.5 33.3 34 34 31.5 34 33.2 32.1 34 ...
##  $ V4 : num  17.7 16.9 20.9 18.4 21.5 19.6 21.9 21.8 15.5 22.5 ...
##  $ V5 : num  28 30.8 31.7 28.2 29.4 31.3 31.7 28.8 27.5 28 ...
##  $ V6 : num  13.1 14 13.9 13.9 15.2 14 16.1 15.1 14.1 15.6 ...
##  $ V7 : num  10.4 11.8 10.9 11.2 11.6 11.5 12.5 11.9 11.2 12 ...
##  $ V8 : num  18.8 20.6 19.7 20.9 20.7 18.8 20.8 21 18.9 21.1 ...
##  $ V9 : num  14.1 15.1 14.1 15 14.9 13.9 15.6 14.6 13.2 15 ...
##  $ V10: num  106 110 115 104 108 ...
##  $ V11: num  89.5 97 97.5 97 97.5 ...
##  $ V12: num  71.5 79 83.2 77.8 80 82.5 82 76.8 68.5 77.5 ...
##  $ V13: num  74.5 86.5 82.9 78.8 82.5 80.1 84 80.5 69 81.5 ...
##  $ V14: num  93.5 94.8 95 94 98.5 95.3 101 98 89.5 99.8 ...
##  $ V15: num  51.5 51.5 57.3 53 55.4 57.5 60.9 56 50 59.8 ...
##  $ V16: num  32.5 34.4 33.4 31 32 33 42.4 34.1 33 36.5 ...
##  $ V17: num  26 28 28.8 26.2 28.4 28 32.3 28 26 29.2 ...
##  $ V18: num  34.5 36.5 37 37 37.7 36.6 40.1 39.2 35.5 38.3 ...
##  $ V19: num  36.5 37.5 37.3 34.8 38.6 36.1 40.3 36.7 35 38.6 ...
##  $ V20: num  23.5 24.5 21.9 23 24.4 23.5 23.6 22.5 22 22.2 ...
##  $ V21: num  16.5 17 16.9 16.6 18 16.9 18.8 18 16.5 16.9 ...
##  $ V22: num  21 23 28 23 22 21 26 27 23 21 ...
##  $ V23: num  65.6 71.8 80.7 72.6 78.8 74.8 86.4 78.4 62 81.6 ...
##  $ V24: num  174 175 194 186 187 ...
##  $ V25: int  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

* La Selección De La Variable De Interés

Se seleccionan las columnas que tienen valores de peso en kilogramso y estaturas en centímetros de personas así como el género, Se muestran los primeros 10 y últimos 10 registros.

colnames(datos)[23:25] <- c("peso", "estatura", "genero")
# Solo interesan las tres últimas columnas
datos <- select(datos, estatura, peso, genero)
kable(head(datos, 10), caption = "Datos de pesos y estaturas de personas")

Datos de pesos y estaturas de personas
estatura	peso	genero
174.0	65.6	1
175.3	71.8	1
193.5	80.7	1
186.5	72.6	1
187.2	78.8	1
181.5	74.8	1
184.0	86.4	1
184.5	78.4	1
175.0	62.0	1
184.0	81.6	1

kable(tail(datos, 10), caption = "Datos de pesos y estaturas de personas")

Datos de pesos y estaturas de personas
	estatura	peso
498	169.5	67.3
499	160.0	75.5
500	172.7	68.2
501	162.6	61.4
502	157.5	76.8
503	176.5	71.8
504	164.4	55.5
505	160.7	48.6
506	174.0	66.4
507	163.8	67.3

* El Valor De La Correlación Entre Las Variables

Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; \(x\) estatura y \(y\) peso de una persona.

r <- cor(datos$estatura, datos$peso)
r

## [1] 0.7173011

El coeficiente de correlación con valor de 0.7173011 significa el grado de relación entre las variables y su valor se interpreta siendo \(0.50 \le r \le 0.75\) una correlación positiva de media a considerable [@hernandez_sampieri_metodologiinvestigacion_2014].

* La Gráfica De Dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = estatura, y = peso)) +
  geom_point(colour = 'blue')

* Generar Y Construir El Modelo De Regresión Lineal \(Y = a + bx\)

Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x’.

modelo <- lm(data = datos, formula = peso~estatura)
modelo

## 
## Call:
## lm(formula = peso ~ estatura, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)     estatura  
##    -105.011        1.018

* Determinar El Coeficiente De Determinación \(r^{2}\)

summary(modelo)

## 
## Call:
## lm(formula = peso ~ estatura, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -18.743  -6.402  -1.231   5.059  41.103 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value            Pr(>|t|)    
## (Intercept) -105.01125    7.53941  -13.93 <0.0000000000000002 ***
## estatura       1.01762    0.04399   23.14 <0.0000000000000002 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 9.308 on 505 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5145, Adjusted R-squared:  0.5136 
## F-statistic: 535.2 on 1 and 505 DF,  p-value: < 0.00000000000000022

paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación :", r^2)

## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación : 0.514520837538849"

El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.5145 significa que el valor de la estatura de una persona representa el 51.45 % del peso de la misma.

* Determinar Los Valores De Los Intervalos a Y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b

## (Intercept) 
##   -105.0113

## estatura 
## 1.017617

* Las Medias De las Variables

mean(datos$estatura)

## [1] 171.1438

mean(datos$peso)

## [1] 69.14753

* La Gráfica De Tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = estatura, y = peso), colour='blue') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$estatura), y = mean(datos$peso)), col = 'green') +
  geom_line(aes( x = datos$estatura, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Estatura") + 
  ylab("Peso") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

* La Predicción De Algunos Datos Conforme Al Modelo

Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
Predecir para valores \(x = {150, 160, 170, 175, 185, 190}\)

x <- c(150, 160, 170, 175, 185, 190)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(estatura = x))
prediccion

##        1        2        3        4        5        6 
## 47.63126 57.80743 67.98360 73.07168 83.24785 88.33593

# Comprobar
y = a + b * x
y

## [1] 47.63126 57.80743 67.98360 73.07168 83.24785 88.33593

* La Interpretación Del Ejercicio Correspondiente

Conforme a los datos obtenido de una muestra de mediciones del cuerpo humano en relación las variables independiente estatura y la variable dependiente el peso. Se concluye lo siguiente:

El valor de la correlación entre las variables estatura y peso es de 0.7173011 que significa y se interpreta como una correlación positiva considerable.

El valor del coeficiente determinación \(r^{2}\) significa que el valor de la estatura de una persona representa el 51.45 % del peso de la misma.

Por cada unidad de estatura en una persona el peso varía en función de 1.0176168

Para una persona que mide 170 centímetros la predicción de peso es de 67.9835977

Para una persona que mide 185 centímetros la predicción de peso es de 83.2478493

* Actividad No. 4 - El Ejercicio Extra Con Los Datos Del Caso 22 Y 23

* Construir Los Datos Pertienentes para La Realzación Del Ejecicio

Con los datos de “https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/datos/players_20.csv” datos de FIFA. Se seleccionan las dos variables numéricas de interés, height_cm y weight_kg; se modifican los nombres de variables a altura y peso.

y con los datos de Universidades

“https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/datos/world%20ranking%20universities.csv” y las variables de interés numéricas *publications y rank.*

Para cada conjunto de datos:

¿Cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente?. En los datos de FIFA la variabel estatura es la variable independiente y peso la variable dependiente; para los datos de las universidades la variable indepediente es publications y la variable dependiente es rank .
¿Cuál es la estructura de los datos?

* El Valor De La Correlación Entre Las Variables

Para los dos conjuntos de datos y las dos variables de interés, determinar la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; \(x\) e \(y\).

¿Cómo se interpreta el valor del coeficiente de correlación? para ambos conjunto de datos y las dos variables de interés.

* La Gráfica De Dispersión

Construir la dispersión de las variables para ambos conjuntos de datos

* Generar Y Construir El Modelo De Regresión Lineal \(Y = a + bx\)

Construir el modelo de regresión lineal para ambos conjuntos de datos

* Determinar El Coeficiente De Determinación \(r^{2}\)

¿Cuál es el valor y qué significa el coeficiente de determinación?, para ambos conjuntos de datos

* Determinar Los Valores De Los Intervalos a Y b

¿Cuáles son los valores de \(a\) y \(b\) en la ecuación de mínimos cuadrados? \(Y = a + b\cdot x\) para ambos conjuntos de datos

* La Gráfica De Tendencia

para ambos conjuntos de datos

* La Predicción De Algunos Datos Conforme Al Modelo De Regresión Lineal

Predecir el pesos en kgs de los jugadores de fútbol conforme a valores nuevos con la función predict() y verificar manualmente.

Para el conjunto de datos de FIFA y las variables estatura y peso, ¿cuál será el peso de un jugador de Fútbol que tiene estatura 172, 175 y 180.

Para el conjunto de datos de Universidades y las variables publications y rank ¿cual debiera ser la predicción para una cantidad de predicciones de una universidad que publica 70000, 90000, y 100000 artículos.

* Análisis Crítico De Los Datos Obtenidos

* Interpretación De La Práctica

En este caso se representó un histograma para una serie de datos simulados.

La regresión lineal simple es un proceso en el cual inferimos un modelo matemático lineal basado en un conjunto de datos medidos que muestran información de la relación de varias variables cuantitativas. El modelo de regresión lineal simple sólo está conformado por dos variables estadísticas llamadas X e Y. Considera una única variable independiente o explicativa, X, y una variable dependiente o respuesta, Y, asumiendo que la relación entre ambas es lineal.

El análisis de regresión es una técnica estadística para investigar la relación funcional entre dos o más variables, ajustando algún modelo matemático. La regresión lineal simple utiliza una sola variable de regresión y el caso más sencillo es el modelo de línea recta.

* Referencias Bibliográficas

Levine, D. M. (2010) Estadística para administración y economía. (7ª. ed.) México : Pearson Educación.
Mendenhall, W. (2010). Introducción a la Probabilidad y Estadística. (13ª. ed.) México: Cengage Learning.
Montgomery, D. C. (2011). Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. (2ª. ed.) México : Limusa: Wiley.
Quezada, L. (2010). Estadística para ingenieros. México : Empresa Editora Macro.

seq	solido	oxigeno
1	3	5
2	7	11
3	11	21
4	15	16
5	18	16
6	27	28
7	29	27
8	30	25
9	30	35
10	31	30
11	31	40
12	32	32
13	33	34
14	33	32
15	34	34
16	36	37
17	36	38
18	36	34
19	37	36
20	38	38
21	39	37
22	39	36
23	39	45
24	40	39
25	41	41
26	42	40
27	42	44
28	43	37
29	44	44
30	45	46
31	46	46
32	47	49
33	50	51

seq	solido	oxigeno
1	3	5
2	7	11
3	11	21
4	15	16
5	18	16
6	27	28
7	29	27
8	30	25
9	30	35
10	31	30
11	31	40
12	32	32
13	33	34
14	33	32
15	34	34
16	36	37
17	36	38
18	36	34
19	37	36
20	38	38
21	39	37
22	39	36
23	39	45
24	40	39
25	41	41
26	42	40
27	42	44
28	43	37
29	44	44
30	45	46
31	46	46
32	47	49
33	50	51

U5C26 - La Regresión Lineal Simple

Cristopher Joshua Reyes Gutiérrez

2023-06-05

Los Objetivos De La Práctica

* El Objetivo General De La Práctica

* Los Objetivos Específicos De La Práctica

* Investigaciones Pertinentes

* La Probabilidad

* Las Variables Estadísticas

* Los Tipos De Variables Estadísticas

* El Coeficiente De Correlación \(r\)

* La Fórmula Para Determinar La Correlación De Pearson

* La Regresión Lineal Simple

* La Fórmula Para Minimos Cuadrados De La Regresión Lineal

* La Fórmula Para Obtener Coeficientes A Y B En El Método De Mínimos Cuadrados

* Desarrollo Metodológico De La Práctica

* Actividad No. 1 - Importar E Implementar Las Librerías

* Actividad No. 2 - El Ejercicio Llamadas Y Ventas

* Cargar Los Datos Para El Ejercicio Correspondiente

* El Valor De La Correlación Entre kas Variables

* La Gráfica De Dispersión

* Generar El Modelo De La Regresión Lineal \(Y = a + bx\)

* Encontrar El COeficiente De Determinación

* Determinando Los Valores De a Y b

* Las Medias De Las Variables

* La Gráfica De Tendencia

* Predecir conforme al modelo

* La Interpretación Del Ejercicio Correspondeinte

* Actividad No 3 - Ejercicio ventas en función de comerciales

* Generar Los Gráficos Correspondientes Para El Caso

* Determinar El Valor De La Correlación Entre Las Variables

* La Gráfica De Dispersión

* Generar El Modelo De Regresión Lineal \(Y = a + bx\)

* Encontrar El Coeficiente De Determinación

* Determinar Los Valores De a Y b

* Las Medias De Las Variables

* La Gráfica De Tendencia

* Predecir Conforme Al Modelo De Regresión Lineal

* La Interpretación Del Ejercicio Correspondeinte

* Actividad No. 3 - El Ejercicio De Medidas De Los Sólidos Contaminantes Y La Demanda De Oxígeno Bioquímico.

* Generar Los Datos Pertinentes Para El Ejercicio

* El Valor De La Correlación Entre Las Variables

* La Gráfica De Dispersión

* Generar Y Construir El Modelo De Regresión Lineal \(Y = a + bx\)

* Determinar El Coeficiente De Determinación \(r^{2}\)

* Determinar Los Valores De Los Intervalos a Y b

* Las Medias De Las Variables

* La Gráfica De Tendencia

* La Predicción De Algunos Datos Conforme Al Modelo

* La Interpretación Del Ejercicio Correspondeinte

* Actividad No. 4 - El Ejercicio Del Caso De Mediciones Del Cuerpo Humano (Peso Y Estatura)

* Cargar Los Datos Pertinenetes Para La Realización Del Ejercicio

* La Estructura De Los Datos

* La Selección De La Variable De Interés

* El Valor De La Correlación Entre Las Variables

* La Gráfica De Dispersión

* Generar Y Construir El Modelo De Regresión Lineal \(Y = a + bx\)

* Determinar El Coeficiente De Determinación \(r^{2}\)

* Determinar Los Valores De Los Intervalos a Y b

* Las Medias De las Variables

* La Gráfica De Tendencia

* La Predicción De Algunos Datos Conforme Al Modelo

* La Interpretación Del Ejercicio Correspondiente

* Actividad No. 4 - El Ejercicio Extra Con Los Datos Del Caso 22 Y 23

* Construir Los Datos Pertienentes para La Realzación Del Ejecicio

* El Valor De La Correlación Entre Las Variables

* La Gráfica De Dispersión

* Generar Y Construir El Modelo De Regresión Lineal \(Y = a + bx\)

* Determinar El Coeficiente De Determinación \(r^{2}\)

* Determinar Los Valores De Los Intervalos a Y b

* La Gráfica De Tendencia

* La Predicción De Algunos Datos Conforme Al Modelo De Regresión Lineal

* Análisis Crítico De Los Datos Obtenidos

* Interpretación De La Práctica

* Referencias Bibliográficas

seq	solido	oxigeno
1	3	5
2	7	11
3	11	21
4	15	16
5	18	16
6	27	28
7	29	27
8	30	25
9	30	35
10	31	30
11	31	40
12	32	32
13	33	34
14	33	32
15	34	34
16	36	37
17	36	38
18	36	34
19	37	36
20	38	38
21	39	37
22	39	36
23	39	45
24	40	39
25	41	41
26	42	40
27	42	44
28	43	37
29	44	44
30	45	46
31	46	46
32	47	49
33	50	51