Los Objetivos De La Práctica

* El Objetivo General De La Práctica

A continuación se presenta el objetivo general de la práctica:

  • Transformar La Distribución Normal A Una Distribución Normal Estándar, Además De Estimar Y Calcular Probabilidades.

* Los Objetivos Específicos De La Práctica

A continuación, se presenta los objetivos específicos que tiene la siguiente práctica:

  • Identificar Una Distribución Normal.

  • Identificar Una Distribución Normal Z.

  • Transformar De Una Distribución Normal A Una Distribución Normal Z

  • Realizar la Interpretación De La Práctica Correspondiente.

* Investigaciones Pertinentes

* La Probabilidad

La probabilidad y la estadística están relacionadas en una forma importante. La probabilidad se emplea como herramienta; permite que se evalúe la confiabilidad de las conclusiones acerca de la población cuando tenga sólo información muestral.

Por otra parte, la probabilidad indica el grado de certidumbre o certeza de un suceso o fenómeno estudiado, en la investigación científica existen muchos fenómenos en los cuales es necesario determinar la probabilidad de que un evento ocurra o dejen de ocurrir, para lo cual el estudio de este campo, es necesario.

Además tiene aplicaciones muy importantes en investigación; dado que es base para la inferencia estadística que permite el estudio de muestras con el objetivo de inferir o extrapolar características de estas a una población.

* Las Variables Estadísticas

La definición propia de una variables estadísticas es la siguiente, de acuerdo con los estipulado por Enciclopedia en su sitio web (2022):

Una variable estadística es una característica de una muestra o población de datos que puede adoptar diferentes valores.

Cuando hablamos de variable estadística estamos hablando de una cualidad que, generalmente adopta forma numérica. Por ejemplo, la altura de Juan es de 180 centímetros. La variable estadística es la altura y está medida en centímetros.

  • También podríamos, por ejemplo, decir que el beneficio de una empresa ha sido de 22.300 dólares el último año. En este caso, la variable sería el beneficio y estaría medido en dólares. Las variables son del tipo cuantitativo (se expresan con un número)

Claro que no todas las variables estadísticas son iguales y, por supuesto, no todas se pueden (en principio) expresar en forma de número.

  • Así, otra variable que podríamos encontrarnos es el color de ojos de una persona. Por ejemplo, Juan tiene los ojos verdes y Andrés los tiene azules. La variable sería el color de ojos y sería una variable cualitativa. Es decir, no se expresa con número.

* Los Tipos De Variables Estadísticas

Aunque hay decenas de tipos de variables estadísticas, por norma general podemos encontrarnos dos tipos de variables:

  • Variable Cuantitativa: Son variables que se expresan numéricamente.

    • Variable Continua: Toman un valor infinito de valores entre un intervalo de datos. El tiempo que tarda un corredor en completar los 100 metros lisos.

    • Variable Discreta: Toman un valor finito de valores entre un intervalo de datos. Número de helados vendidos.

  • Variable Cualitativa: Son variables que se expresan, por norma general, en palabras.

    • Variable Ordinal: Expresa diferentes niveles y orden.

    • Variable Nominal: Expresa un nombre claramente diferenciado. Por ejemplo el color de ojos puede ser azul, negro, castaño, verde, etc.

* Las Variables Aleatorias

La definición propia de una variable aleatoria continua es la siguiente, de acuerdo con los estipulado por Enciclopedia en su sitio web (2019):

Una variable aleatoria es la función matemática de un experimento aleatorio.

Cómo podemos comprobar la frase se compone básicamente de dos conceptos: función matemática y experimento aleatorio. Es decir, debemos entender primero qué es una función matemática y, posteriormente, definir qué entendemos por experimento aleatorio.

  • Función matemática: Dicho de manera sencilla, es una ecuación que asigna valores a una variable (variable dependiente) en función de otras variables (variables independientes).

  • Experimento aleatorio: Es un fenómeno de la vida real cuyos resultados se deben completamente al azar. Es decir, bajo las mismas condiciones iniciales arroja resultados diferentes.

Por la tanto una variable aleatoria, es una ecuación que describe o intenta describir los resultados (con un número) de un evento cuyos resultados se deben al azar.

En otras palabras, pensemos en una variable aleatoria que tome valores enteros.

  • Por ejemplo, 1, 2 o 3. En este caso, la variable aleatoria no sería continua. Solo puede tomar el valor 1, el valor 2 o el valor 3. No puede, por ejemplo, tomar el valor 2,5 o 2,53. Si se tratara de una variable aleatoria continua, podría tomar cualquier valor en el intervalo de datos [1,3]. Por ejemplo, 1,02 o 2,067.

Cabe ser preciso, así como recalcar que una variable continua es un tipo de variable cuantitativa, o lo que es lo mismo, que se puede expresar mediante cifras. De esta forma, a parte de estos datos se pueden realizar análisis estadísticos y operaciones matemáticas.

Sea X una variable aleatoria continua. Entonces, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad (pdf) de X es una función \(f(x)\) de modo tal que para dos números cualesquiera a y b con \(a \le b\)

* Las Distribuciones De Probabilidad

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable, la probabilidad de que dicho suceso ocurra.

La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos y cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. También puede decirse que tiene una relación estrecha con las distribuciones de frecuencia.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

* Los Diferentes Tipos De Distribuciones De Probabilidad

Esta división se realiza dependiendo del tipo de variable a estudiar. Las cuatro principales (de las que nacen todas las demás) son:

A) Si la variable es una variable discreta (números enteros), corresponderá una distribución discreta, de las cuales existen:

  • Distribución Binomial (eventos independientes).

  • Distribución De Poisson (eventos independientes).

  • Distribución Hipergeométrica (eventos dependientes).

B) Si la variable es continua (números reales), la distribución que se generará será una distribución continua. Ejemplos de ellas son:

  • Distribución Normal.

  • Distribución Exponencial

* La Distribución Estándar Normal Z

La distribución normal estándar o distribución normal tipificada es una distribución normal singular cuya denominación es media igual a cero y desviación igual a 1. \(\mu = 0 ; \sigma = 1\).

Se necesita una variable, Z que representa el producto de una transformación o cambio de variable de la variable aleatoria continua X que sigue una distribución normal del tipo \(N(μ, σ)\).

Esta transformación se llama tipificación (también estandarización o normalización):

¿Porque Z? En general, el valor de \(Z\) se interpreta como el número de desviaciones estándar que están comprendidas entre el promedio y un cierto valor de variable \(x\).

Se identifica \(z\) como la diferencia entre un valor de la variable y el promedio, expresada esta diferencia en cantidad de desviaciones estándar.[@mendenhall2010].

Entonces, a partir de cualquier variable aleatoria \(x\) que siga una distribución, se puede obtener otra característica \(z\) con una distribución normal estándar, sin más que efectuar la transformación conforme y de acuerdo a la fórmula.

* La Fórmula Para Poder Determinar El Valor De Z

\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

\[ x \text{ es el valor de una variable aleatoria continua de una distribución normal} \\ \sigma \text{ desviación estándar de población} \\ \mu \text{ media de la población} \]

* Las Regles Empíricas (Por Experimentación)

Establece que si una variable aleatoria está normalmente distribuida, entonces:

  1. Aproximadamente 68% de las observaciones caerán entre más y menos una desviación estándar de la media.
  2. Aproximadamente 95% de las observaciones caerán entre más y menos dos desviaciones estándar de la media.
  3. Prácticamente todas, o 99.7% de las observaciones caerán entre más y menos tres desviaciones estándar de la media.

Ejemplo: una desviación estándar de la media es igual al valor \(z\) de 1.00. Al hablar de la tabla de probabilidad normal estándar, el valor \(z\) de 1.00 corresponde a una probabilidad de 0.3413. Por lo tanto, ¿qué porcentaje de las observaciones caerá entre más y menos una desviación estándar de la media? Se multiplica (2)(0.3413), lo que da 0.6826, o aproximadamente \(68\%\) de las observaciones están entre más y menos una desviación estándar de la media.

* Desarrollo Metodológico De La Práctica

En los siguientes ejercicios también se utilizan funciones de paquetes predeterminados de lenguaje de R para una mejor comprensión de la distribución binomial.

* Actividad No. 1 - Importar E Implementar Las Librerías

# Importación De Los Paquetes Y Librerías Necesarias Para La Realización De La Práctica 
library(cowplot) # Gráficos
library(ggplot2) # Gráfico
library(mosaic)
library(dplyr)  # Para proesar filtrar ordenar con arrange

# Acomodo Del Tipo De Notación Para El Muestro De Los Valores Obtenidos 
options(scipen=999) # Notación normal
# options(scipen=1) # Notación científica

* Actividad No. 2 - Importar E Implementar Las Funciones Previamente Codificadas

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/funciones/funciones%20para%20disribuciones%20de%20probabilidad.R")

* Actividad No. 3 - Implementación De Una Semilla Aleatoria

Se necesita implementar una semilla para la generación de valores aleatorios, ya qwue, en alguna actividad será necesario hacer uso de estos.

# Implementación De Una Semilla Aleatoria 
set.seed(2023)

* Actividad No. 4 - La Altura De Las Personas

* Los Datos Pertienetes Para La Realización De La Práctica

La población tiene una variable aleatoria de interés como lo puede ser la altura de las personas. Valores medidos en centímetros.

Se inicializan las variables para generar valores aleatorios y simular una población.

# Inicializando Los Datos 
n <- 200
media <- 175
desv <- 10

Se generan 200 valores aleatorios o con las condiciones de una distribución normal de media igual a \(\mu = 175cm.\) y desviación de \(\sigma = 10cm.\).

# Inicializando Valores
n <- 200
estaturas<- rnorm(n = n, mean = media, sd = desv)
estaturas
##   [1] 174.1622 165.1706 156.2493 173.1386 168.6651 185.9080 165.8627 185.0164
##   [9] 171.0073 170.3188 178.2696 170.8725 180.6204 181.6336 168.9710 181.9838
##  [17] 180.9585 179.5209 183.9674 180.7222 170.8835 172.0567 187.1857 177.4411
##  [25] 170.5485 156.5220 168.7117 166.3892 190.1492 202.3524 172.2512 187.7665
##  [33] 166.8902 174.5508 168.6059 170.6164 180.0720 186.2922 184.7564 173.7540
##  [41] 179.2834 179.1873 179.3547 172.9574 178.0235 181.9436 198.7307 185.7597
##  [49] 178.3538 182.5343 181.6439 164.0912 170.7723 186.8340 190.8483 197.8086
##  [57] 154.3454 170.9189 178.0101 181.9661 184.8818 172.1594 155.7773 163.2628
##  [65] 185.4428 173.6707 183.4488 171.2841 185.4758 184.2542 160.2139 165.7737
##  [73] 174.1510 166.3349 181.7504 174.1930 173.7441 171.1167 175.1683 163.7369
##  [81] 177.1835 192.4304 173.8042 179.8618 176.4137 178.0797 184.9408 169.8219
##  [89] 166.9286 155.7682 161.1086 179.2867 172.0622 197.8000 163.3549 187.4087
##  [97] 160.0492 172.6836 166.7513 161.7583 175.7901 173.9076 184.0552 184.7537
## [105] 184.4308 174.8303 167.7840 178.0054 165.9688 188.8769 181.6989 175.0614
## [113] 177.6517 154.3890 182.5298 175.0942 164.9516 200.7925 182.0131 193.7924
## [121] 170.2494 178.6808 176.0354 178.4634 167.3164 185.9914 168.0551 172.9606
## [129] 171.7023 187.5072 173.7930 198.9812 178.5305 184.5160 171.8423 188.1553
## [137] 156.6120 181.3491 173.1951 178.8053 172.6986 173.4750 181.8548 157.6163
## [145] 175.0004 180.5990 178.6618 176.5170 173.8668 169.8614 179.5796 202.0468
## [153] 163.2948 184.2456 168.7872 184.2698 178.8299 175.0166 182.5670 190.9310
## [161] 192.2326 178.2643 180.1493 183.0001 165.5912 178.4760 173.8323 174.1998
## [169] 177.7924 174.9253 179.7447 177.9394 166.4722 156.6311 163.9346 170.1027
## [177] 194.8736 161.8801 169.6599 186.7238 175.5119 175.0552 184.5582 177.4248
## [185] 164.8037 184.4675 171.4228 182.5463 176.2973 167.4851 177.6740 171.7858
## [193] 165.5153 167.8036 169.0944 189.2960 192.8208 179.9633 190.5534 178.9348

* Determinar Los Parámetros Media Y Desviación De Los Datos

Se identifican la media aritmética y la desviación de la población generada.

media.p <- round(mean(estaturas),2)
desv.p <- round(sd(estaturas),2)
media.p; desv.p
## [1] 176.38
## [1] 9.65

* La Visualización De La Distrubición Normal Mediante El Método plotDist()

Se muestra la distribución normal con función plotDist() de la librería mosaic.

g1 <- plotDist(dist = "norm", mean = media.p, sd = desv.p, type = "h", xlab = "x's = Estaturas", col = 'blue')
g1

* La Transformación De Una Distribución Normal A Una Distribución Normal Estándar

Z se interpreta como los valores que están a la derecha de una distribución normal con media igual a cero y desviación igual a 1.

\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

En la siguiente función f.devolver.z() se hace una simulación de transforma cualquier valor de \(x\) a valores de \(z\). Se simula transformar valores de 170 a 180 de 0.5 en 0.5.

En el archivo que se carga a continuación, se encuentra programada una función f.devolver.z() para obtener el valor de z a partir de los parámetros x, media y desviación.

x = seq(from = 170, to = 180, by = .5)
z <- f.devolver.z(x = x, media = media.p, desv = desv.p)
x; z
##  [1] 170.0 170.5 171.0 171.5 172.0 172.5 173.0 173.5 174.0 174.5 175.0 175.5
## [13] 176.0 176.5 177.0 177.5 178.0 178.5 179.0 179.5 180.0
##  [1] -0.66113990 -0.60932642 -0.55751295 -0.50569948 -0.45388601 -0.40207254
##  [7] -0.35025907 -0.29844560 -0.24663212 -0.19481865 -0.14300518 -0.09119171
## [13] -0.03937824  0.01243523  0.06424870  0.11606218  0.16787565  0.21968912
## [19]  0.27150259  0.32331606  0.37512953

* La Construcción De Un Data.frame De x’s Y z’s

# Creando El Data.Frame
equivalencias <- data.frame (x = estaturas, z = f.devolver.z(x = estaturas, media = media, desv = desv))
# equivalencias

* Ordenando Las Equivalencias Resultantes

Se muestran ordenados para identificarlos de manera más práctica y únicamente los primeros y últimos veinte registros.

equivalencias <- arrange(equivalencias, x)
head(equivalencias, 20)
##           x         z
## 1  154.3454 -2.065457
## 2  154.3890 -2.061096
## 3  155.7682 -1.923179
## 4  155.7773 -1.922267
## 5  156.2493 -1.875067
## 6  156.5220 -1.847804
## 7  156.6120 -1.838798
## 8  156.6311 -1.836890
## 9  157.6163 -1.738369
## 10 160.0492 -1.495084
## 11 160.2139 -1.478605
## 12 161.1086 -1.389139
## 13 161.7583 -1.324173
## 14 161.8801 -1.311989
## 15 163.2628 -1.173720
## 16 163.2948 -1.170517
## 17 163.3549 -1.164511
## 18 163.7369 -1.126307
## 19 163.9346 -1.106538
## 20 164.0912 -1.090883
tail(equivalencias, 20)
##            x        z
## 181 187.7665 1.276654
## 182 188.1553 1.315530
## 183 188.8769 1.387694
## 184 189.2960 1.429604
## 185 190.1492 1.514920
## 186 190.5534 1.555339
## 187 190.8483 1.584827
## 188 190.9310 1.593103
## 189 192.2326 1.723256
## 190 192.4304 1.743037
## 191 192.8208 1.782077
## 192 193.7924 1.879238
## 193 194.8736 1.987356
## 194 197.8000 2.279999
## 195 197.8086 2.280855
## 196 198.7307 2.373066
## 197 198.9812 2.398119
## 198 200.7925 2.579248
## 199 202.0468 2.704676
## 200 202.3524 2.735239

* Las Distrunción Normal Estándar

La media debe ser 0 y la desviación es 1

\[ \mu = 0 \\ \sigma = 1 \]

* La Gráfica Normal Estándar Mediante El Método plotDist()

Se muestran los datos de la distribución estaturas con valores transformados a z.

g2 <- plotDist(dist = "norm", mean = 0, sd = 1, type = "h", xlab = "Z's", col = 'red')
g2

* Las Gráficas En Un Mismo Renglon

plot_grid(g1, g2, nrow = 1, ncol=2)

* La Visualización De Las Gráficas Mediante El Método ggplot()

Se muestran las gráficas de distribución normal con datos de estaturas en azul y gráficas de valores de estaturas transformados a \(z\) en color rojo.

gnormal <- ggplot(data = equivalencias) +
  geom_point(aes(x = x, y = dnorm(x = x, mean = media.p, sd = desv.p)), col = 'blue') +
  geom_line(aes(x = x, y = dnorm(x = x, mean = media.p, sd = desv.p)), col = 'blue') +
  geom_vline(xintercept = media.p) +
  ggtitle(label = "Distribución normal", subtitle = paste("Media = ", media.p))
gnormalstd <- ggplot(data = equivalencias) +
  geom_point(aes(x = z, y = dnorm(x = z, mean = 0, sd = 1)), col = 'red') +
  geom_line(aes(x = z, y = dnorm(x = z, mean = 0, sd = 1)), col = 'red') +
  geom_vline(xintercept = 0) +
  ggtitle(label = "Distribución normal Estándar", subtitle = paste("Media = ", 0))
plot_grid(gnormal, gnormalstd, nrow=1, ncol=2)

* Estimar Y Determinar Las Probabilidades

¿Cuál Es La Probabilidad De Que Una Persona Tenga Una Estatura X Por Encima De 180 Cm.?

\[ P(x \ge 180) = 1 - P(x < 180) = \text {lower tail = FALSE} \]

x <- 180
prob1 <- round(pnorm(q = x, mean = media.p, desv.p, lower.tail = FALSE) * 100, 2)
paste(prob1, "%") 
## [1] "35.38 %"

* La Visualización De La Gráfica

gnormal <- plotDist(dist = "norm", mean = media.p, sd = desv.p, type = "h", xlab = "x's", groups = x >= 180, col = c('blue', 'pink'), main= "Distribución normal", sub= paste("Media = ", media.p, "f(x > ", x , ") = ", prob1, "%"))

* La Transformar Del Valor 180 a Un Valor De Z

x <- 180
z <- f.devolver.z(x = x, media = media.p, desv = desv.p)
z
## [1] 0.3751295

* La Probabilidad Con Respecto A Z

prob2 <- round(pnorm(q = z, mean = 0, sd=1, lower.tail = FALSE) * 100, 2)
paste(prob2, "%") 
## [1] "35.38 %"

* La Visualización De La Gráfica Respecto A Z

gnormal.z <- plotDist(dist = "norm", mean = 0, sd = 1, type = "h", xlab = "z's", groups = x >= z, col = c('red', 'pink'), main= "Distribución normal estándar", sub= paste("Media = ", 0, "f(z > ", round(z,2) , ") = ", prob2, "%"))

* La Visualización De Las Gráficas En El Mismo Renglón

plot_grid(gnormal, gnormal.z, nrow = 1, ncol=2)

* ¿Cuál Es La Probabilidad De Tener Una Estatura Por Debajo O Igual Que La Media?

La respuesta es razonar y deducir si el 50% está a la derecha y el otro 50% está a la izquierda entonces la probabilidad es aproximadamente del 50% \[ P(x <= mean) = 50 \% \\ o \\ P(z <= 0 ) = 50\% \]

* La Probabilidad En La Distribución Normal

x <- media.p
prob1 <- round(pnorm(q = x, mean = media.p, desv.p, lower.tail = FALSE) * 100, 2)
paste(prob1, "%") 
## [1] "50 %"

* La Visualización De La Gráfica

gnormal <- plotDist(dist = "norm", mean = media.p, sd = desv.p, type = "h", xlab = "x's", groups = x<= media.p, col = c('blue', 'pink'), main= "Distribución normal", sub= paste("Media = ", media.p, "f(x < ", x , ") = ", prob1, "%"))

* La Transformación De La Media De La Población A Los Valores De Z

x <- media.p
z <- f.devolver.z(x = x, media = media.p, desv = desv.p)
z
## [1] 0

* La Probabilidad Con Respecto A Z

prob2 <- round(pnorm(q = z, mean = 0, sd=1) * 100, 2)
paste(prob2, "%") 
## [1] "50 %"

* La Gráfica Con Respecto A Z

gnormal.z <- plotDist(dist = "norm", mean = 0, sd = 1, type = "h", xlab = "z's", groups = x <= z, col = c('red', 'pink'), main= "Distribución normal estándar", sub= paste("Media = ", 0, "f(z < ", round(z,2) , ") = ", prob2, "%"))

* Las Gráficas En El Mismo Renglón

plot_grid(gnormal, gnormal.z, nrow = 1, ncol=2)

* Actividad No. 5 - La Distribución Normal Estandarizada

* Los Datos Pertienetes Para La Realización De La Práctica

Por ejemplo, si se desea encontrar la probabilidad de que la variable estandarizada \(z\), tome un valor entre \(0\) y \(1.50\); hay que encontrar el área bajo la curva entre \(z = 0\) y \(z = 1.50\), o lo que es lo mismo la probabilidad \(P(0 \le z \le 1.50)\) [@matemovil].

# Inicializando Las Variables
z1 = 0
z2 = 1.5
prob2 <- pnorm(q = z2, mean = 0, sd=1) - pnorm(q = z1, mean = 0, sd = 1)
prob2 <- round(prob2 * 100, 2)
paste(prob2, "%")
## [1] "43.32 %"

* La Visualización De La Gráfica

gnormal.z <- plotDist(dist = "norm", mean = 0, sd = 1, type = "h", xlab = "z's", groups = x >= z1 & x <= z2, col = c('grey', 'pink'), main= "Distribución normal estándar", sub= paste("Media = ", 0, "f(",z1, "<= z <=",z2,")", prob2, "%")) 
  
gnormal.z

* La Visualización Del Área Bajo La Curva Mediante El Uso Del Método xpnorm()

La función xpnorm() de librería mosaic refleja el área bajo la curva y los valores porcentuales de probabilidad.

grafica <- xpnorm(q = c(0, 1.5), mean = 0, sd = 1)

grafica
## [1] 0.5000000 0.9331928
round(grafica[1] - grafica[2], 4)
## [1] -0.4332

Salida de xpnorm()

If X ~ N(0, 1), then

P(X <= 0.0) = P(Z <= 0.0) = 0.5000  P(X <= 1.5) = P(Z <= 1.5) = 0.9332
P(X >  0.0) = P(Z >  0.0) = 0.50000 P(X >  1.5) = P(Z >  1.5) = 0.06681

* Análisis Crítico De Los Datos Obtenidos

* Interpretación De La Práctica

En este caso se representó un histograma para una serie de datos simulados.

La distribución estándar z es una de las herramientas estadísticas más utilizadas en la vida diaria y en el mundo empresarial. Esta distribución se basa en la desviación estándar de una muestra de datos y establece una relación entre la muestra y una población estadística más amplia.

La distribución estándar z se utiliza principalmente en análisis estadísticos y predicciones de datos, ya que permite analizar la distribución de una muestra de datos y hacer proyecciones en base a la población completa. La distribución estándar z se utiliza en una amplia variedad de campos, desde finanzas hasta medicina, y es especialmente útil en situaciones donde se desea evaluar el rendimiento o la eficacia de un producto o servicio.

En resumen, la distribución estándar z es una herramienta estadística fundamental con innumerables aplicaciones en la vida diaria y en los negocios. Nos ayuda a comprender y analizar datos importantes y a tomar decisiones informadas y conscientes en una amplia variedad de situaciones.

* Referencias Bibliográficas

  • Levine, D. M. (2010) Estadística para administración y economía. (7ª. ed.) México : Pearson Educación.

  • Mendenhall, W. (2010). Introducción a la Probabilidad y Estadística. (13ª. ed.) México: Cengage Learning.

  • Montgomery, D. C. (2011). Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. (2ª. ed.) México : Limusa: Wiley.

  • Quezada, L. (2010). Estadística para ingenieros. México : Empresa Editora Macro.