Los Objetivos De La Práctica

* El Objetivo General De La Práctica

A continuación se presenta el objetivo general de la práctica:

  • Calcular Probabilidades, Además, Determinar La Función De Densidad Y De Visualizar La Gráfica De Una Distribución Normal.

* Los Objetivos Específicos De La Práctica

A continuación, se presenta los objetivos específicos que tiene la siguiente práctica:

  • Realizar Distribuciones De Probabilidad Conforme A La Distribución De Probabilidad Normal A Partir De Valores Iniciales De Los Ejercicios.

  • Identificar Y Visualizar La Función De Densidad.

  • Calcular Las Probabilidades Correspondientes.

  • Realizar la Interpretación De La Práctica Correspondiente.

* Investigaciones Pertinentes

* La Probabilidad

La probabilidad y la estadística están relacionadas en una forma importante. La probabilidad se emplea como herramienta; permite que se evalúe la confiabilidad de las conclusiones acerca de la población cuando tenga sólo información muestral.

Por otra parte, la probabilidad indica el grado de certidumbre o certeza de un suceso o fenómeno estudiado, en la investigación científica existen muchos fenómenos en los cuales es necesario determinar la probabilidad de que un evento ocurra o dejen de ocurrir, para lo cual el estudio de este campo, es necesario.

Además tiene aplicaciones muy importantes en investigación; dado que es base para la inferencia estadística que permite el estudio de muestras con el objetivo de inferir o extrapolar características de estas a una población.

* Las Variables Estadísticas

La definición propia de una variables estadísticas es la siguiente, de acuerdo con los estipulado por Enciclopedia en su sitio web (2022):

Una variable estadística es una característica de una muestra o población de datos que puede adoptar diferentes valores.

Cuando hablamos de variable estadística estamos hablando de una cualidad que, generalmente adopta forma numérica. Por ejemplo, la altura de Juan es de 180 centímetros. La variable estadística es la altura y está medida en centímetros.

  • También podríamos, por ejemplo, decir que el beneficio de una empresa ha sido de 22.300 dólares el último año. En este caso, la variable sería el beneficio y estaría medido en dólares. Las variables son del tipo cuantitativo (se expresan con un número)

Claro que no todas las variables estadísticas son iguales y, por supuesto, no todas se pueden (en principio) expresar en forma de número.

  • Así, otra variable que podríamos encontrarnos es el color de ojos de una persona. Por ejemplo, Juan tiene los ojos verdes y Andrés los tiene azules. La variable sería el color de ojos y sería una variable cualitativa. Es decir, no se expresa con número.

* Los Tipos De Variables Estadísticas

Aunque hay decenas de tipos de variables estadísticas, por norma general podemos encontrarnos dos tipos de variables:

  • Variable Cuantitativa: Son variables que se expresan numéricamente.

    • Variable Continua: Toman un valor infinito de valores entre un intervalo de datos. El tiempo que tarda un corredor en completar los 100 metros lisos.

    • Variable Discreta: Toman un valor finito de valores entre un intervalo de datos. Número de helados vendidos.

  • Variable Cualitativa: Son variables que se expresan, por norma general, en palabras.

    • Variable Ordinal: Expresa diferentes niveles y orden.

    • Variable Nominal: Expresa un nombre claramente diferenciado. Por ejemplo el color de ojos puede ser azul, negro, castaño, verde, etc.

* Las Variables Aleatorias

La definición propia de una variable aleatoria continua es la siguiente, de acuerdo con los estipulado por Enciclopedia en su sitio web (2019):

Una variable aleatoria es la función matemática de un experimento aleatorio.

Cómo podemos comprobar la frase se compone básicamente de dos conceptos: función matemática y experimento aleatorio. Es decir, debemos entender primero qué es una función matemática y, posteriormente, definir qué entendemos por experimento aleatorio.

  • Función matemática: Dicho de manera sencilla, es una ecuación que asigna valores a una variable (variable dependiente) en función de otras variables (variables independientes).

  • Experimento aleatorio: Es un fenómeno de la vida real cuyos resultados se deben completamente al azar. Es decir, bajo las mismas condiciones iniciales arroja resultados diferentes.

Por la tanto una variable aleatoria, es una ecuación que describe o intenta describir los resultados (con un número) de un evento cuyos resultados se deben al azar.

En otras palabras, pensemos en una variable aleatoria que tome valores enteros.

  • Por ejemplo, 1, 2 o 3. En este caso, la variable aleatoria no sería continua. Solo puede tomar el valor 1, el valor 2 o el valor 3. No puede, por ejemplo, tomar el valor 2,5 o 2,53. Si se tratara de una variable aleatoria continua, podría tomar cualquier valor en el intervalo de datos [1,3]. Por ejemplo, 1,02 o 2,067.

Cabe ser preciso, así como recalcar que una variable continua es un tipo de variable cuantitativa, o lo que es lo mismo, que se puede expresar mediante cifras. De esta forma, a parte de estos datos se pueden realizar análisis estadísticos y operaciones matemáticas.

Sea X una variable aleatoria continua. Entonces, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad (pdf) de X es una función \(f(x)\) de modo tal que para dos números cualesquiera a y b con \(a \le b\)

* Las Distribuciones De Probabilidad

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable, la probabilidad de que dicho suceso ocurra.

La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos y cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. También puede decirse que tiene una relación estrecha con las distribuciones de frecuencia.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

* Los Diferentes Tipos De Distribuciones De Probabilidad

Esta división se realiza dependiendo del tipo de variable a estudiar. Las cuatro principales (de las que nacen todas las demás) son:

A) Si la variable es una variable discreta (números enteros), corresponderá una distribución discreta, de las cuales existen:

  • Distribución Binomial (eventos independientes).

  • Distribución De Poisson (eventos independientes).

  • Distribución Hipergeométrica (eventos dependientes).

B) Si la variable es continua (números reales), la distribución que se generará será una distribución continua. Ejemplos de ellas son:

  • Distribución Normal.

  • Distribución Exponencial

* La Distribución Normal

La distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la estadística es la distribución normal. Su gráfica, que se denomina curva normal, es la curva con forma de campana .

La distribución normal a menudo se denomina distribución Gaussiana, en honor de Karl Friedrich Gauss (1777-1855), quien también derivó su ecuación a partir de un estudio de errores en mediciones repetidas de la misma cantidad.

* Fórmula de la función de densidad

  • En donde: \(\pi = 3.14159\) y \(e = 2.71828\)

* Desarrollo Metodológico De La Práctica

En los siguientes ejercicios también se utilizan funciones de paquetes predeterminados de lenguaje de R para una mejor comprensión de la distribución T-Student.

* Actividad No. 1 - Importar E Implementar Las Librerías

# Importación De Los Paquetes Y Librerías Necesarias Para La Realización De La Práctica 
library(dplyr)
library(mosaic)
library(readr)
library(ggplot2)  # Para gráficos
library(knitr)    # Para formateo de datos
library(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón

# Acomodo Del Tipo De Notación Para El Muestro De Los Valores Obtenidos 
options(scipen=999) # Notación normal
# options(scipen=1) # Notación científica

* Actividad No. 2 - Importar E Implementar Las Funciones Previamente Codificadas

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/funciones/funciones%20para%20disribuciones%20de%20probabilidad.R")
## 
## Attaching package: 'gtools'
## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     logit
## 
## Attaching package: 'plotly'
## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     do
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     last_plot
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     filter
## The following object is masked from 'package:graphics':
## 
##     layout

* Actividad No. 3 - Implementación De Una Semilla Aleatoria

Se necesita implementar una semilla para la generación de valores aleatorios, ya qwue, en alguna actividad será necesario hacer uso de estos.

# Implementación De Una Semilla Aleatoria 
set.seed(2023)

* Actividad No. 4 - Práctica De Ejemplo

Ejemplo de calcular la densidad para un valor de \(x\) de acuerdo a la distribución normal con media y desviación.

Valor de \(x=18\); \(media=20\); \(desv=2\);\(e=2.71828\);\(pi=3.14159\)

Se utiliza la función f.normal.dens() que se encuentra previamente programada y devuelve precisamente la probabilidad para un valor específico de x.

* Inicializando Los Valores De Las Variables

x= 18
media <- 20
desv <- 2
e <- exp(1)
pi <- pi
x; media; desv; e; pi
## [1] 18
## [1] 20
## [1] 2
## [1] 2.718282
## [1] 3.141593

* Calculando La Densidad f(x)

La función de \(f(x)\) es lo que representa probabilidad de un solo punto de la curva o lo que es lo mismo la densidad. LA densidad es la altura de la curva normal en ese punto en particular.

prob = f.normal.dens(x = x, desv = desv, media = media)
prob
## [1] 0.1209854

* Empleando dnorm()

Se utiliza dnorm() para calcular la función de densidad o el punto en donde se cruzan el valor de \(x\) con su probabilidad en distribución normal.

Debe salir el mismo valor que usando prob = f.normal.dens().

dnorm(x = x, mean = media, sd = desv)
## [1] 0.1209854

* Calculando la probabilidad acumulada de un intervalo

Calcular la probabilidad acumulada de un intervalo de \(x\) continua entre 16 y 22. Es decir encontrar el área que contiene todas las probabilidades (densidades) de los puntos de la distribución normal desde 16 a 22 con los valores de media y desviación \(media=20\) y \(desv=2\)

Ahora bien, R dispone de pnorm() para calcular probabilidades acumuladas.

x2 <- 22
pnorm(q = x2, mean = media, sd = desv)
## [1] 0.8413447
x1 <- 16
pnorm(q = x1, mean = media, sd = desv)
## [1] 0.02275013

* Restando P(x=22) - P(x=16)

pnorm(q = x2, mean = media, sd = desv) - pnorm(q = x1, mean = media, sd = desv)
## [1] 0.8185946

El 81.85% es el área bajo la curva.

* La Tabla de probabilidades

No es necesario tabla de probabilidades al tratar con distribuciones normales.

La distribución normal trata con variables aleatorias continuas, del tal forma que el valor de la probabilidad acumulada es el área bajo la curva y la sumatoria de cada punto de la función de densidad.

¿Cómo determinar el área bajo la curva?, con pnorm().

options(scipen=999) # Notación normal
x <- seq(from= 0, to = 18, by = 0.5)
tabla <- data.frame(x = x, f.x=round(dnorm(x = x, mean = media, sd = desv), 6), F.x = round(pnorm(q = x, mean = media, sd = desv), 6))
tabla
##       x      f.x      F.x
## 1   0.0 0.000000 0.000000
## 2   0.5 0.000000 0.000000
## 3   1.0 0.000000 0.000000
## 4   1.5 0.000000 0.000000
## 5   2.0 0.000000 0.000000
## 6   2.5 0.000000 0.000000
## 7   3.0 0.000000 0.000000
## 8   3.5 0.000000 0.000000
## 9   4.0 0.000000 0.000000
## 10  4.5 0.000000 0.000000
## 11  5.0 0.000000 0.000000
## 12  5.5 0.000000 0.000000
## 13  6.0 0.000000 0.000000
## 14  6.5 0.000000 0.000000
## 15  7.0 0.000000 0.000000
## 16  7.5 0.000000 0.000000
## 17  8.0 0.000000 0.000000
## 18  8.5 0.000000 0.000000
## 19  9.0 0.000000 0.000000
## 20  9.5 0.000000 0.000000
## 21 10.0 0.000001 0.000000
## 22 10.5 0.000003 0.000001
## 23 11.0 0.000008 0.000003
## 24 11.5 0.000024 0.000011
## 25 12.0 0.000067 0.000032
## 26 12.5 0.000176 0.000088
## 27 13.0 0.000436 0.000233
## 28 13.5 0.001015 0.000577
## 29 14.0 0.002216 0.001350
## 30 14.5 0.004547 0.002980
## 31 15.0 0.008764 0.006210
## 32 15.5 0.015870 0.012224
## 33 16.0 0.026995 0.022750
## 34 16.5 0.043139 0.040059
## 35 17.0 0.064759 0.066807
## 36 17.5 0.091325 0.105650
## 37 18.0 0.120985 0.158655

* La Gráfica de probabilidades de 0 a 18

¿Cuánto vale el área bajo la curva hasta 18 ó \(P(x < 18)\)?

library(ggplot2)
ggplot(data = tabla, aes(x,f.x) ) +
    geom_point(colour = "red") +
    geom_line(colour = 'blue') +
    geom_hline(yintercept = dnorm(x = max(x), mean = media, sd = desv), col='red') +
  geom_vline(xintercept =  max(x), col='red') +
  ggtitle(label = "Distribución normal", subtitle = paste("Media = ", media, "; Desviación =", desv, "; valor de x de 0 hasta ",max(x)))

* La Gráfica de campana completa

library("mosaic")
plotDist("norm", mean = media, sd = desv, groups = x <= 18, type = "h", xlab ="Valores de la variable continua X", ylab = "Densidad", main='Densidad',sub = paste('Media= ', media, ' Desv Std=', desv ))

* Actividad No. 5 - Mediciones Del Cuerpo Humano

* Los Datos Pertienetes Para La Realización De La Práctica

# Cargando Valores
datos <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/datos/estatura%20peso%20generos.csv")
# Solo interesan las tres últimas columnas o variables
datos <- select(datos, estatura, peso, genero)
  • Ver los primeros seis y últimos seis registros

* Las Variables de interés

  • Estatura, altura en centímetros de una persona

  • Peso: Peso de una persona medido en kilogramos

  • Genero: 0 Femenino, 1 Masculino

head(datos)
##   estatura peso genero
## 1    174.0 65.6      1
## 2    175.3 71.8      1
## 3    193.5 80.7      1
## 4    186.5 72.6      1
## 5    187.2 78.8      1
## 6    181.5 74.8      1
tail(datos)
##     estatura peso genero
## 502    157.5 76.8      0
## 503    176.5 71.8      0
## 504    164.4 55.5      0
## 505    160.7 48.6      0
## 506    174.0 66.4      0
## 507    163.8 67.3      0

 * La Dispersión de los datos

  • Diagrama de dispersión del peso
ggplot(datos, aes(x = peso, y = 1:nrow(datos))) +
  geom_point(colour = "red")

  • Diagrama de dispersión de la estatura
ggplot(datos, aes(x = peso, y = 1:nrow(datos))) +
  geom_point(colour = "blue")

* Los Histrogramas

  • Histograma del peso
ggplot(datos) +
  geom_histogram(aes(x = peso), bins = 30)

  • Histograma de la estatura
ggplot(datos) +
  geom_histogram(aes(x = estatura), , bins = 30)

* Las Medias aritméticas y desviaciones

* Los Estadísticos de la variable peso

Se extraen conjuntos de datos para masculinos y femeninos respectivamente.

datos$genero <- as.factor(datos$genero)
masculinos <- filter(datos, genero == 1)
femeninos <- filter(datos, genero == 0)
media.peso.m <- mean(masculinos$peso)
desv.std.peso.m <- sd(masculinos$peso)
media.peso.m
## [1] 78.14453
desv.std.peso.m 
## [1] 10.51289
media.peso.f <- mean(femeninos$peso)
desv.std.peso.f <- sd(femeninos$peso)
media.peso.f 
## [1] 60.60038
desv.std.peso.f 
## [1] 9.615699

* La Tabla de distribución peso MASCULINO

Se toman los valores mínimos y máximos de pesos, de esos valores se disminuye en diez a mínimo y aumenta en diez a máximo para contemplar mayor rango.

x <- round(min(masculinos$peso-10),0):round(max(masculinos$peso+10),0)
tabla.peso.masculino <- data.frame(x=x, prob.x = dnorm(x = x, mean = media.peso.m, sd = desv.std.peso.m), f.acum.x = pnorm(q = x, mean = media.peso.m, sd = desv.std.peso.m))
kable(tabla.peso.masculino, caption = "Peso Muestra Masculino")
Peso Muestra Masculino
x prob.x f.acum.x
44 0.0001943 0.0005814
45 0.0002635 0.0008087
46 0.0003540 0.0011155
47 0.0004714 0.0015257
48 0.0006220 0.0020694
49 0.0008134 0.0027834
50 0.0010541 0.0037126
51 0.0013536 0.0049111
52 0.0017227 0.0064430
53 0.0021726 0.0083834
54 0.0027153 0.0108191
55 0.0033630 0.0138490
56 0.0041277 0.0175841
57 0.0050206 0.0221471
58 0.0060518 0.0276714
59 0.0072290 0.0342994
60 0.0085574 0.0421798
61 0.0100387 0.0514651
62 0.0116703 0.0623073
63 0.0134449 0.0748534
64 0.0153498 0.0892405
65 0.0173668 0.1055903
66 0.0194718 0.1240034
67 0.0216353 0.1445535
68 0.0238227 0.1672820
69 0.0259950 0.1921939
70 0.0281098 0.2192529
71 0.0301230 0.2483797
72 0.0319895 0.2794500
73 0.0336657 0.3122952
74 0.0351107 0.3467043
75 0.0362878 0.3824272
76 0.0371665 0.4191803
77 0.0377237 0.4566529
78 0.0379443 0.4945154
79 0.0378225 0.5324273
80 0.0373615 0.5700472
81 0.0365736 0.6070412
82 0.0354799 0.6430924
83 0.0341089 0.6779085
84 0.0324955 0.7112293
85 0.0306796 0.7428320
86 0.0287042 0.7725353
87 0.0266142 0.8002022
88 0.0244540 0.8257403
89 0.0222668 0.8491012
90 0.0200926 0.8702783
91 0.0179674 0.8893028
92 0.0159223 0.9062398
93 0.0139828 0.9211827
94 0.0121690 0.9342474
95 0.0104951 0.9455673
96 0.0089699 0.9552872
97 0.0075973 0.9635580
98 0.0063768 0.9705325
99 0.0053041 0.9763609
100 0.0043722 0.9811877
101 0.0035715 0.9851490
102 0.0028912 0.9883708
103 0.0023194 0.9909675
104 0.0018439 0.9930416
105 0.0014527 0.9946834
106 0.0011342 0.9959712
107 0.0008775 0.9969723
108 0.0006728 0.9977436
109 0.0005112 0.9983323
110 0.0003850 0.9987778
111 0.0002873 0.9991117
112 0.0002124 0.9993599
113 0.0001557 0.9995426
114 0.0001130 0.9996759
115 0.0000814 0.9997723
116 0.0000580 0.9998414
117 0.0000410 0.9998905
118 0.0000287 0.9999250
119 0.0000199 0.9999491
120 0.0000137 0.9999657
121 0.0000093 0.9999771
122 0.0000063 0.9999849
123 0.0000042 0.9999901
124 0.0000028 0.9999936
125 0.0000018 0.9999958
126 0.0000012 0.9999973

* La Tabla de distribución peso FEMENINO

x <- round(min(masculinos$peso-10),0):round(max(masculinos$peso+10),0)
tabla.peso.femenino <- data.frame(x=x, prob.x = dnorm(x = x, mean = media.peso.f, sd = desv.std.peso.f), f.acum.x = pnorm(q = x, mean = media.peso.f, sd = desv.std.peso.f))
kable(tabla.peso.femenino, caption = "Peso Muestra Femenino")
Peso Muestra Femenino
x prob.x f.acum.x
44 0.0093485 0.0421392
45 0.0111267 0.0523603
46 0.0131007 0.0644580
47 0.0152589 0.0786232
48 0.0175815 0.0950307
49 0.0200398 0.1138315
50 0.0225960 0.1351430
51 0.0252042 0.1590409
52 0.0278111 0.1855511
53 0.0303575 0.2146430
54 0.0327805 0.2462249
55 0.0350163 0.2801416
56 0.0370021 0.3161741
57 0.0386800 0.3540430
58 0.0399989 0.3934143
59 0.0409180 0.4339075
60 0.0414078 0.4751070
61 0.0414528 0.5165747
62 0.0410515 0.5578638
63 0.0402167 0.5985330
64 0.0389750 0.6381613
65 0.0373654 0.6763603
66 0.0354370 0.7127858
67 0.0332465 0.7471469
68 0.0308559 0.7792121
69 0.0283291 0.8088133
70 0.0257295 0.8358461
71 0.0231171 0.8602681
72 0.0205465 0.8820943
73 0.0180653 0.9013909
74 0.0157128 0.9182679
75 0.0135197 0.9328698
76 0.0115076 0.9453677
77 0.0096895 0.9559498
78 0.0080710 0.9648134
79 0.0066504 0.9721578
80 0.0054210 0.9781780
81 0.0043713 0.9830597
82 0.0034869 0.9869757
83 0.0027516 0.9900833
84 0.0021479 0.9925228
85 0.0016587 0.9944173
86 0.0012671 0.9958727
87 0.0009575 0.9969788
88 0.0007158 0.9978104
89 0.0005294 0.9984289
90 0.0003873 0.9988839
91 0.0002803 0.9992151
92 0.0002007 0.9994536
93 0.0001421 0.9996234
94 0.0000996 0.9997431
95 0.0000690 0.9998265
96 0.0000473 0.9998840
97 0.0000321 0.9999233
98 0.0000215 0.9999498
99 0.0000143 0.9999674
100 0.0000094 0.9999791
101 0.0000061 0.9999867
102 0.0000039 0.9999917
103 0.0000025 0.9999948
104 0.0000016 0.9999968
105 0.0000010 0.9999981
106 0.0000006 0.9999988
107 0.0000004 0.9999993
108 0.0000002 0.9999996
109 0.0000001 0.9999998
110 0.0000001 0.9999999
111 0.0000000 0.9999999
112 0.0000000 1.0000000
113 0.0000000 1.0000000
114 0.0000000 1.0000000
115 0.0000000 1.0000000
116 0.0000000 1.0000000
117 0.0000000 1.0000000
118 0.0000000 1.0000000
119 0.0000000 1.0000000
120 0.0000000 1.0000000
121 0.0000000 1.0000000
122 0.0000000 1.0000000
123 0.0000000 1.0000000
124 0.0000000 1.0000000
125 0.0000000 1.0000000
126 0.0000000 1.0000000

* La Gráfica de densidad PESO MASCULINO Y FEMENINO

g1 <- ggplot(data = tabla.peso.masculino, aes(x,prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("Pesos MASCULINO Densidad P(x)", subtitle = paste("media = ",round(media.peso.m, 4), "desv=", round(desv.std.peso.m, 4) )) +
  geom_vline(xintercept = media.peso.m, colour="red")
#g1
g2 <- ggplot(data = tabla.peso.femenino, aes(x,prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("PESO FEMENINO. Densidad P(x)", subtitle = paste("media = ",round(media.peso.f, 4), "desv=", round(desv.std.peso.f,4) )) +
  geom_vline(xintercept = media.peso.f, colour="red")
#g2
plot_grid(g1, g2)

* Los Estadísticos de la variable estatura

media.estatura.m <- mean(masculinos$estatura)
desv.std.estatura.m <- sd(masculinos$estatura)
media.estatura.m 
## [1] 177.7453
desv.std.estatura.m 
## [1] 7.183629
media.estatura.f <- mean(femeninos$estatura)
desv.std.estatura.f <- sd(femeninos$estatura)
media.estatura.f 
## [1] 164.8723
desv.std.estatura.f 
## [1] 6.544602

* La Tabla de distribución Estaturas MASCULINO

Se toman los valores mínimos y máximos de estaturas, de esos valores se disminuye en diez a mínimo y aumenta en diez a máximo para contemplar mayor rango.

x <- round(min(masculinos$estatura-10),0):round(max(masculinos$estatura+10),0)
tabla.estatura.masculino <- data.frame(x=x, prob.x = dnorm(x = x, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m), f.acum.x = pnorm(q = x, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m))
kable(tabla.estatura.masculino, caption = "Estatura Muestra Masculino")
Estatura Muestra Masculino
x prob.x f.acum.x
147 0.0000058 0.0000093
148 0.0000105 0.0000173
149 0.0000185 0.0000315
150 0.0000320 0.0000562
151 0.0000543 0.0000984
152 0.0000903 0.0001693
153 0.0001472 0.0002859
154 0.0002355 0.0004741
155 0.0003695 0.0007720
156 0.0005686 0.0012347
157 0.0008582 0.0019393
158 0.0012705 0.0029920
159 0.0018448 0.0045344
160 0.0026273 0.0067510
161 0.0036698 0.0098756
162 0.0050276 0.0141956
163 0.0067555 0.0200542
164 0.0089032 0.0278467
165 0.0115085 0.0380133
166 0.0145906 0.0510229
167 0.0181431 0.0673516
168 0.0221276 0.0874534
169 0.0264692 0.1117262
170 0.0310550 0.1404736
171 0.0357361 0.1738683
172 0.0403336 0.2119183
173 0.0446489 0.2544416
174 0.0484774 0.3010538
175 0.0516240 0.3511688
176 0.0539198 0.4040177
177 0.0552368 0.4586815
178 0.0555000 0.5141393
179 0.0546943 0.5693246
180 0.0528659 0.6231864
181 0.0501179 0.6747493
182 0.0466009 0.7231655
183 0.0424991 0.7677559
184 0.0380145 0.8080361
185 0.0333506 0.8437254
186 0.0286974 0.8747411
187 0.0242194 0.9011789
188 0.0200480 0.9232826
189 0.0162765 0.9414086
190 0.0129609 0.9559880
191 0.0101227 0.9674899
192 0.0077542 0.9763902
193 0.0058259 0.9831453
194 0.0042932 0.9881740
195 0.0031029 0.9918458
196 0.0021997 0.9944755
197 0.0015294 0.9963228
198 0.0010430 0.9975955
199 0.0006976 0.9984556
200 0.0004576 0.9990257
201 0.0002945 0.9993964
202 0.0001858 0.9996328
203 0.0001150 0.9997806
204 0.0000698 0.9998713
205 0.0000416 0.9999259
206 0.0000243 0.9999581
207 0.0000139 0.9999767
208 0.0000078 0.9999873

* La Tabla de distribución Estaturas FEMENINO

x <- round(min(femeninos$estatura-10),0):round(max(femeninos$estatura+10),0)
tabla.estatura.femenino <- data.frame(x=x, prob.x = dnorm(x = x, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f), f.acum.x = pnorm(q = x, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f))
kable(tabla.estatura.femenino, caption = "Estatura Muestra Femenino")
Estatura Muestra Femenino
x prob.x f.acum.x
137 0.0000070 0.0000103
138 0.0000133 0.0000201
139 0.0000246 0.0000386
140 0.0000445 0.0000722
141 0.0000787 0.0001323
142 0.0001358 0.0002372
143 0.0002289 0.0004158
144 0.0003770 0.0007132
145 0.0006066 0.0011969
146 0.0009536 0.0019655
147 0.0014644 0.0031586
148 0.0021968 0.0049680
149 0.0032196 0.0076489
150 0.0046097 0.0115295
151 0.0064476 0.0170175
152 0.0088102 0.0245998
153 0.0117607 0.0348342
154 0.0153372 0.0483303
155 0.0195396 0.0657177
156 0.0243190 0.0876024
157 0.0295690 0.1145133
158 0.0351228 0.1468424
159 0.0407569 0.1847861
160 0.0462034 0.2282939
161 0.0511690 0.2770326
162 0.0553606 0.3303735
163 0.0585133 0.3874068
164 0.0604184 0.4469834
165 0.0609459 0.5077833
166 0.0600592 0.5684026
167 0.0578197 0.6274497
168 0.0543791 0.6836408
169 0.0499631 0.7358822
170 0.0448463 0.7833331
171 0.0393246 0.8254399
172 0.0336870 0.8619440
173 0.0281917 0.8928619
174 0.0230484 0.9184454
175 0.0184086 0.9391272
176 0.0143635 0.9554614
177 0.0109487 0.9680648
178 0.0081531 0.9775655
179 0.0059312 0.9845624
180 0.0042153 0.9895967
181 0.0029266 0.9931354
182 0.0019851 0.9955656
183 0.0013153 0.9971961
184 0.0008514 0.9982648
185 0.0005384 0.9989491
186 0.0003327 0.9993773
187 0.0002008 0.9996390
188 0.0001184 0.9997952
189 0.0000682 0.9998864
190 0.0000384 0.9999383
191 0.0000211 0.9999673
192 0.0000113 0.9999830
193 0.0000059 0.9999914

* La Gráfica de densidad ESTATURA MASCULINO y FEMENINO

g1 <- ggplot(data = tabla.estatura.masculino, aes(x,prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("ESTATURAS MASCULINO Densidad P(x)", subtitle = paste("media = ",round(media.estatura.m, 4), "desv=", round(desv.std.estatura.m, 4) ))+
geom_vline(xintercept = media.estatura.m, colour="red")
#g1
g2 <- ggplot(data = tabla.estatura.femenino, aes(x,prob.x) ) +
  geom_point(colour = "red") +
  geom_line(colour = 'blue') +
  ggtitle("ESTATURAS FEMENINO. Densidad P(x)", subtitle = paste("media = ",round(media.estatura.f, 4), "desv=", round(desv.std.estatura.f, 4) )) +
  geom_vline(xintercept = media.estatura.f, colour="red")
#g2
plot_grid(g1, g2)

* Determinar Las Probabilidades

* MASCULINO menor o igual a 60 KGS

¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que pese menor o igual de 60 kilogramos?

  • Graficar la función en donde \(P(x \leq 60)\)

  • Gráfica de densidad

plotDist("norm", mean = media.peso.m, sd = desv.std.peso.m, groups = x <= 60, type = "h", xlab = "Peso Hombres", ylab = "Densidad", sub=paste("Media = ",round(media.peso.m), " Desv. Std = ", round(desv.std.peso.m,4)) )

  • Calcular la probabilidad
prob <- pnorm(q = 60, mean = media.peso.m, sd = desv.std.peso.m)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino que pese menor de 60 kilogramos es de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino que pese menor de 60 kilogramos es de: 4.218 %"

* FEMENINO menor o igual a 60 KGS

¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que pese menor o igual de 60 kilogramos?

  • Graficar la función en donde \(P(x \leq 60)\)
  • Gráfica de densidad
plotDist("norm", mean = media.peso.f, sd = desv.std.peso.f, groups = x <= 60, type = "h", xlab = "Peso Mujeres", ylab = "Densidad", sub=paste("Media = ",round(media.peso.f), " Desv. Std = ", round(desv.std.peso.f,4)) )

  • Calcular la probabilidad
prob <- pnorm(q = 60, mean = media.peso.f, sd = desv.std.peso.f)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que pese menor de 60 kilogramos es de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que pese menor de 60 kilogramos es de: 47.5107 %"

* MASCULINO mayor o igual A 180 cms.

¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 180 centímetros?

  • Graficar la función en donde \(P(x >= 180)\)
  • Gráfica de densidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, groups = x >= 180, type = "h", xlab = "Estatura Hombres", ylab = "Densidad", sub=paste("Media = ",round(media.estatura.m), " Desv. Std = ", round(desv.std.estatura.m,4)) )

  • Calcular la probabilidad
prob <- pnorm(q = 180, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 180 de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 180 de: 37.6814 %"

* MASCULINO mayor o igual A 190 cms.

¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 190 centímetros?

  • Graficar la función en donde \(x >= 190\)
  • Gráfica de densidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, groups = x >= 190, type = "h", xlab = "Estatura Hombres", ylab = "Densidad", sub=paste("Media = ",round(media.estatura.m), " Desv. Std = ", round(desv.std.estatura.m,4)) )

  • Calcular la probabilidad
prob <- pnorm(q = 190, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 190 de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura mayor o igual de 190 de: 4.4012 %"

* Masculino estatura entre 160 y 170

¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímetros?

  • Graficar la función en donde \(P(160 \leq x \leq 170)\)
  • Gráfica de densidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, groups = x >= 160 & x <= 170, type = "h", xlab = "Estatura Hombres", ylab = "Densidad", sub=paste("Media = ",round(media.estatura.m), " Desv. Std = ", round(desv.std.estatura.m,4)))

  • Calcular la probabilidad
prob <- pnorm(q = 170, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m) - pnorm(q = 160, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de: 13.3723 %"

MAASCULINO estatura entre 190 y 195

¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímetros?

  • Graficar la función en donde \(P(190 \leq x \leq 195)\)
  • Gráfica de densidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m, groups = x >= 190 & x <= 195, type = "h", xlab = "Estatura Hombres", ylab = "Densidad", sub=paste("Media = ",round(media.estatura.m), " Desv. Std = ", round(desv.std.estatura.m,4)) )

  • Calcular la probabilidad
prob <- pnorm(q = 195, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m) - pnorm(q = 190, mean = media.estatura.m, sd = desv.std.estatura.m)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de: 3.5858 %"

FEMENINO estatura mayor o igual a 180 cms.

¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 180 centímetros?

  • Graficar la función en donde \(P(x >= 180)\)
  • Gráfica de densidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, groups = x >= 180, type = "h", xlab = "Estatura Mujeres", ylab = "Densidad", sub=paste("Media = ",round(media.estatura.f), " Desv. Std = ", round(desv.std.estatura.f,4)) )

  • Calcular la probabilidad
prob <- pnorm(q = 180, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 180 de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 180 de: 1.0403 %"

FEMENINO estatura mayor o igual 190 cms.

¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 190 centímetros?

  • Graficar la función en donde \(P(x >= 190)\)
  • Gráfica de densidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, groups = x >= 190, type = "h", xlab = "Estatura Mujeres", ylab = "Densidad", sub=paste("Media = ",round(media.estatura.f), " Desv. Std = ", round(desv.std.estatura.f,4)) )

  • Calcular la probabilidad
prob <- pnorm(q = 190, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 190 de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura mayor o igual de 190 de: 0.0062 %"

FEMENINO estatura entre 160 y 170 cms

¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímetros?

  • Graficar la función en donde \(P(160 \leq x \leq 170)\)
  • Gráfica de densidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, groups = x >= 160 & x <= 170, type = "h", xlab = "Estatura Mujeres", ylab = "Densidad", sub=paste("Media = ",round(media.estatura.f), " Desv. Std = ", round(desv.std.estatura.f,4)) )

  • Calcular la probabilidad
prob <- pnorm(q = 170, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f) - pnorm(q = 160, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímeros de: 55.5039 %"

FEMENINO estatura entre 190 y 195 cms

¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímetros?

  • Graficar la función en donde \(P(190 \leq x \leq 195)\)
  • Gráfica de densidad
plotDist("norm", mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f, groups = x >= 190 & x <= 195, type = "h", xlab = "Estatura Mujeres", ylab = "Densidad", sub=paste("Media = ",round(media.estatura.f), " Desv. Std = ", round(desv.std.estatura.f,4)) )

  • Calcular la probabilidad
prob <- pnorm(q = 195, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f) - pnorm(q = 190, mean = media.estatura.f, sd = desv.std.estatura.f)
paste("La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona femenino que tenga una estatura entre 190 y 195 centímeros es de: 0.006 %"

MASCULINO o FEMENINO estatura entre 160 y 170 cms

¿Cuál es la probabilidad de encontrar a una persona masculino o femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímetros?

  • Graficar la función en donde \(P(160 \leq x \leq 170)\)
  • Gráfica de densidad
plotDist("norm", mean = mean(datos$estatura), sd = sd(datos$estatura), groups = x >= 160 & x <= 170, type = "h", xlab = "Estatura Hombres y Mujeres", ylab = "Densidad", sub=paste("Media = ",round(mean(datos$estatura)), " Desv. Std = ", round(sd(datos$estatura),4)) )

  • Calcular la probabilidad
prob <- pnorm(q = 170, mean = mean(datos$estatura), sd = sd(datos$estatura)) - pnorm(q = 160, mean = mean(datos$estatura), sd = sd(datos$estatura))
paste("La probabilidad de encontrar a una persona masculino o femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímetros? es de:", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de encontrar a una persona masculino o femenino que tenga una estatura entre 160 y 170 centímetros? es de: 33.3526 %"

Interpretación

Pendiente …

Fábrica de bombillas

Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas (focos) de luz que tienen una duración, antes de quemarse (fundirse), que se distribuye normalmente con media igual a 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una bombilla se queme entre 778 y 834 horas. @walpole_probabilidad_2012].

Inicializar valores

\[\mu = 800\] \[ \sigma=40\]

  • Se busca:

\[P(778 \leq x \leq 834)\]

media <- 800
desv.stadandar <- 40

La gráfica de la distribución normal

plotDist("norm", mean = media, sd = desv.stadandar, groups = x >= 778 & x <= 834, type = "h", xlab = "Distribución de la duración bombillas (focos)", ylab = "Densidad" )

Cálculo de la probabilidad

  • La probabilidad de que una bombilla se queme entre 778 y 834 horas.
prob <- pnorm(q = 834, mean = media, sd = desv.stadandar) - pnorm(q = 778, mean = media, sd = desv.stadandar)
paste("La probabilidad de que una bombilla se queme entre 778 y 834 horas es:", round(prob * 100, 4), "%")
## [1] "La probabilidad de que una bombilla se queme entre 778 y 834 horas es: 51.1178 %"

Interpretación

Dado que la probabilidad de el área bajo la curva de una distribución normal es del 100% y solicitan la probabilidad en el intervalo entre 778 y 834, entonces se resta la probabilidad de 834 menos la probabilidad de 778 para encontrar el área bajo la curva de este intervalo de esa variable aleatoria. En la gráfica el color rosa es el área bajo la curva del intervalo.

La probabilidad de que un foco se funda en un rango entre 778 horas y 834 horas es de 51.1178 %

Sueldos mensuales

Los sueldos mensuales en una empresa siguen una distribución normal con media de 1200 soles, y desviación estándar de 200 soles.

¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 1000 y 1550 soles?[@matemovil].

Inicializar valores

\[\mu = 1200\] \[ \sigma=200\]

  • Se busca:

\[1000 \leq x \leq 1550\]

media <- 1200
desv.stadandar <- 200

La gráfica de la distribución normal

plotDist("norm", mean = media, sd = desv.stadandar, groups = x >= 1000 & x <= 1550, type = "h", xlab = "Ganancias de trabajadores en soles", ylab = "Densidad" )

Cálculo de la probabilidad

  • ¿Qué porcentaje de trabajadores ganan entre 1000 y 1550 soles?
prob <- pnorm(q = 1550, mean = media, sd = desv.stadandar) - pnorm(q = 1000, mean = media, sd = desv.stadandar)
paste("La probabilidad de que una persoan gane entre 1000 y 1550 soles es de:", round(prob * 100, 4), "%")
## [1] "La probabilidad de que una persoan gane entre 1000 y 1550 soles es de: 80.1286 %"

Interpretación

La probabilidad de que una persona gane entre 1000 y 1550 soles es de:“, 80.1286,”%” que es el porcentaje de trabajadores que ganan en ese intérvalo.

Ejercicio de contexto en lo general

En una distribución normal \(N ( \mu=5, \sigma=2 )\) calcula las siguientes probabilidades:

Inicializar valores de media y desviación [anónimo]

media <- 5
desv <- 2

P ( X ≤ 3.25)

Densidad

plotDist("norm", mean = media, sd = desv, groups = x <= 3.25, type = "h", xlab = "Contexto indistinto", ylab = "Densidad" )

Solución

x = 3.25
pnorm(q = x, mean = media, sd= desv)
## [1] 0.190787

P [ X > 4.5 ]

Densidad

plotDist("norm", mean = media, sd = desv, groups = x > 4.5, type = "h", xlab = "Contexto indistinto", ylab = "Densidad" )

Solución

x <- 4.5
pnorm(q = x, mean = media, sd= desv, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.5987063

P [X ≤ 7.2]

Densidad

plotDist("norm", mean = media, sd = desv, groups = x <= 7.2, type = "h", xlab = "Contexto indistinto", ylab = "Densidad" )

Solución

x <- 7.2
pnorm(q = x, mean = media, sd= desv)
## [1] 0.8643339

P [ 3 < X ≤ 6]

Densidad

plotDist("norm", mean = media, sd = desv, groups = x > 3 & x<= 6 , type = "h", xlab = "Contexto indistinto", ylab = "Densidad" )

Solución

x1 <- 6
x2 <- 3
pnorm(q = x1, mean = media, sd = desv) - pnorm(q = x2, mean = media, sd = desv)
## [1] 0.5328072

Pendiente

Interpretación

Carne empaquetada

Es difícil etiquetar la carne empaquetada con su peso correcto debido a los efectos de pérdida de líquido (definido como porcentaje del peso original de la carne). Supongamos que la pérdida de líquido en un paquete de pechuga de pollo se distribuye como normal con media \(4 %\) y desviación típica \(1 %\). [@uc3m_introduccion_nodate].

Inicializar valores de media y desviación

media <- 0.04
desv <- 0.01

¿Cuál es la probabilidad de que de que esté entre 3 y 5 porciento.

Gráfica de densidad

plotDist("norm", mean = media, sd = desv, groups = x >= 0.03 & x <= 0.05, type = "h", xlab = "Carne empaquetada", ylab = "Densidad" )

Cálculo de probabilidad

\(P(3 \leq x \leq 5\)

pnorm(q = 0.05, mean = media, sd = desv) - pnorm(q = 0.03, mean = media, sd = desv)
## [1] 0.6826895

* Análisis Crítico De Los Datos Obtenidos

* Interpretación De La Práctica

En este caso se representó un histograma para una serie de datos simulados que representan precisamente variables aleatorias continuas.

La distribución normal, también conocida como distribución normal gaussiana o campana de Gauss, es una distribución de probabilidad continua que se utiliza con frecuencia en estadística debido a su propiedad de cumplir con diversas situaciones en la vida diaria. Esta distribución se utiliza para representar la probabilidad de una variable continua que se encuentra en diferentes valores dentro de un rango específico.

La distribución normal también es relevante en el área educativa, donde se puede utilizar esta distribución para entender mejor el rendimiento académico de una población de estudiantes. En estos casos, la desviación estándar se puede utilizar para determinar la cantidad de estudiantes que se encuentran por debajo o por encima del promedio. Además, en psicología, la distribución normal se utiliza para medir los resultados de pruebas y experimentos para entender mejor el comportamiento humano.

En conclusión, la distribución normal es una herramienta estadística sumamente útil en la vida diaria ya que se puede aplicar en diferentes campos y para diversas situaciones. Su aplicación puede ayudar a entender y medir la efectividad de medicamentos y tratamientos médicos, comparar rendimientos de inversiones y comprender el rendimiento académico de una población estudiantil. Además, puede utilizarse para medir las probabilidades de acontecimientos futuros y comprender el comportamiento humano en diferentes contextos.

* Referencias Bibliográficas

  • Levine, D. M. (2010) Estadística para administración y economía. (7ª. ed.) México : Pearson Educación.

  • Mendenhall, W. (2010). Introducción a la Probabilidad y Estadística. (13ª. ed.) México: Cengage Learning.

  • Montgomery, D. C. (2011). Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. (2ª. ed.) México : Limusa: Wiley.

  • Quezada, L. (2010). Estadística para ingenieros. México : Empresa Editora Macro.