U4C19 - La Distribución De Poisson

Los Objetivos De La Práctica

* El Objetivo General De La Práctica

A continuación se presenta el objetivo general de la práctica:

• Identificar Los Valores De La Función De Probabilidad Bajo La Fórmula De Distribución De Poisson.

* Los Objetivos Específicos De La Práctica

A continuación, se presenta los objetivos específicos que tiene la siguiente práctica:

• Realizar Las Distribuciones De Probabilidad Conforma A La Probabilidad De Poisson A Partir Del Valor Medio.

• Generar Las Tablas De Probabilidad Conforme A Distribución Poisson.

• Identificar Los Valores De Probabilidad Cuando La Variable Discreta Tenga Algún Exactamente Algún Valor, ≤≤ A Algún Valor O >> O ≥≥, Entre Otros.

• Interpretar El Caso Correspondiente.

* Investigaciones Pertinentes

* La Probabilidad

La probabilidad y la estadística están relacionadas en una forma importante. La probabilidad se emplea como herramienta; permite que se evalúe la confiabilidad de las conclusiones acerca de la población cuando tenga sólo información muestral.

Por otra parte, la probabilidad indica el grado de certidumbre o certeza de un suceso o fenómeno estudiado, en la investigación científica existen muchos fenómenos en los cuales es necesario determinar la probabilidad de que un evento ocurra o dejen de ocurrir, para lo cual el estudio de este campo, es necesario.

Además tiene aplicaciones muy importantes en investigación; dado que es base para la inferencia estadística que permite el estudio de muestras con el objetivo de inferir o extrapolar características de estas a una población.

* Las Variables Estadísticas

La definición propia de una variables estadísticas es la siguiente, de acuerdo con los estipulado por Enciclopedia en su sitio web (2022):

Una variable estadística es una característica de una muestra o población de datos que puede adoptar diferentes valores.

Cuando hablamos de variable estadística estamos hablando de una cualidad que, generalmente adopta forma numérica. Por ejemplo, la altura de Juan es de 180 centímetros. La variable estadística es la altura y está medida en centímetros.

• También podríamos, por ejemplo, decir que el beneficio de una empresa ha sido de 22.300 dólares el último año. En este caso, la variable sería el beneficio y estaría medido en dólares. Las variables son del tipo cuantitativo (se expresan con un número)

Claro que no todas las variables estadísticas son iguales y, por supuesto, no todas se pueden (en principio) expresar en forma de número.

• Así, otra variable que podríamos encontrarnos es el color de ojos de una persona. Por ejemplo, Juan tiene los ojos verdes y Andrés los tiene azules. La variable sería el color de ojos y sería una variable cualitativa. Es decir, no se expresa con número.

Los Tipos De Variables Estadísticas

Aunque hay decenas de tipos de variables estadísticas, por norma general podemos encontrarnos dos tipos de variables:

• Variable Cuantitativa: Son variables que se expresan numéricamente.

  • Variable Continua: Toman un valor infinito de valores entre un intervalo de datos. El tiempo que tarda un corredor en completar los 100 metros lisos.

  • Variable Discreta: Toman un valor finito de valores entre un intervalo de datos. Número de helados vendidos.

• Variable Cualitativa: Son variables que se expresan, por norma general, en palabras.

  • Variable Ordinal: Expresa diferentes niveles y orden.

  • Variable Nominal: Expresa un nombre claramente diferenciado. Por ejemplo el color de ojos puede ser azul, negro, castaño, verde, etc.

* Las Variables Aleatorias

La definición propia de una variable aleatoria continua es la siguiente, de acuerdo con los estipulado por Enciclopedia en su sitio web (2019):

Una variable aleatoria es la función matemática de un experimento aleatorio.

Cómo podemos comprobar la frase se compone básicamente de dos conceptos: función matemática y experimento aleatorio. Es decir, debemos entender primero qué es una función matemática y, posteriormente, definir qué entendemos por experimento aleatorio.

• Función matemática: Dicho de manera sencilla, es una ecuación que asigna valores a una variable (variable dependiente) en función de otras variables (variables independientes).

• Experimento aleatorio: Es un fenómeno de la vida real cuyos resultados se deben completamente al azar. Es decir, bajo las mismas condiciones iniciales arroja resultados diferentes.

Por la tanto una variable aleatoria, es una ecuación que describe o intenta describir los resultados (con un número) de un evento cuyos resultados se deben al azar.

En otras palabras, pensemos en una variable aleatoria que tome valores enteros.

• Por ejemplo, 1, 2 o 3. En este caso, la variable aleatoria no sería continua. Solo puede tomar el valor 1, el valor 2 o el valor 3. No puede, por ejemplo, tomar el valor 2,5 o 2,53. Si se tratara de una variable aleatoria continua, podría tomar cualquier valor en el intervalo de datos [1,3]. Por ejemplo, 1,02 o 2,067.

Cabe ser preciso, así como recalcar que una variable continua es un tipo de variable cuantitativa, o lo que es lo mismo, que se puede expresar mediante cifras. De esta forma, a parte de estos datos se pueden realizar análisis estadísticos y operaciones matemáticas.

Sea X una variable aleatoria continua. Entonces, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad (pdf) de X es una función \(f(x)\) de modo tal que para dos números cualesquiera a y b con \(a \le b\)

* Las Distribuciones De Probabilidad

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable, la probabilidad de que dicho suceso ocurra.

La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos y cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. También puede decirse que tiene una relación estrecha con las distribuciones de frecuencia.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

* Los Diferentes Tipos De Distribuciones De Probabilidad

Esta división se realiza dependiendo del tipo de variable a estudiar. Las cuatro principales (de las que nacen todas las demás) son:

A) Si la variable es una variable discreta (números enteros), corresponderá una distribución discreta, de las cuales existen:

• Distribución Binomial (eventos independientes).

• Distribución De Poisson (eventos independientes).

• Distribución Hipergeométrica (eventos dependientes).

B) Si la variable es continua (números reales), la distribución que se generará será una distribución continua. Ejemplos de ellas son:

• Distribución Normal.

• Distribución Exponencial

* La Distribución De Probabilidad De Poisson

Otra variable aleatoria discreta que tiene numerosas aplicaciones prácticas es la variable aleatoria de Poisson. Su distribución de probabilidad da un buen modelo para datos que representa el número de sucesos de un evento especificado en una unidad determinada de tiempo o espacio [@mendenhall_introduccion_2006].

Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X, el número de resultados que ocurren durante un intervalo dado o en una región específica, se llaman experimentos de Poisson.[@walpole_probabilidad_2012]

Esta distribución discreta, suele usarse para estimar el número de veces que sucede un hecho determinado (ocurrencias) en un intervalo de tiempo o de espacio. Por ejemplo,

• La variable de interés va desde el número promedio de automóviles que llegan (llegadas) a un lavado de coches en una hora o

• El número medio de reparaciones necesarias en 10 kms. de una autopista o,

• El número promedio de fugas de agua en tubería en un lapso 3 meses.

• El número de focos promedio que fallan en una cantidad de lote de 1000 focos.

• El número medio de fugas en 100 kms.de tubería, entre otros [@anderson_estadistica_2008].

Fórmula

\[ f(x) = \frac{{e^{ - \mu }\cdot \mu ^x }}{{x!}} \] en donde:

• \(f(x)\) es la función de probabilidad para valores de \(x=0,1,2,3..,n\).

• \(\mu\) es el valor medio esperado en cierto lapso de tiempo. Algunas veces expresado como \(\lambda\) lambda.

• \(x\) es la variable aleatoria. Es una variable aleatoria discreta \((x = 0, 1,. 2, . . . )\)

• \(e\) valor constante, es la base de los logaritmos naturales \(2.71728\).

Propiedades de un evento Poisson:

• La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualquiera de dos intervalos de la misma longitud.

• La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.

• El factor de proporcionalidad para la probabilidad de un hecho en un intervalo infinitésimo. Se le suele designar como parámetro de intensidad y corresponde con el número medio de hechos que cabe esperar que se produzcan en un intervalo unitario (media de la distribución);

• El valor de la media también coincide con la varianza de la distribución.

• Se trata de un modelo discreto y que el campo de variación de la variable será el conjunto de los número naturales, incluido el cero: \(x \in \text{{0, 1, 2, 3, 4 ......... ......}}\)

Probabilidad acumulada

\[ F(x) = \sum_{0}^{n}f.x_i \]

Esperanza, varianza y desviación estándard

Los valores de la esperanza (o media) y de la varianza para la distribución de Poisson son de la siguiente manera:

El valor medio o esperanza\[E(X) = \lambda \]

La varianza\[Var(X) = \sigma^{2} = \lambda\]

Es decir, tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales.

La desviación\[\sigma = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{\sigma^{2}}\]

El los siguiente ejercicios se hace uso de funciones de distribución para Poisson en R, al igual que otras de las distribuciones de probabilidad, R trae consigo funciones de paquete base que ya permiten calcular la probabilidad, la densidad y la generación de números aleatorios, entre otras.

De igual modo se tienen funciones previamente codificadas que generan los mismos resultados en la dirección: https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/funciones/funciones%20para%20disribuciones%20de%20probabilidad.R

* Desarrollo Metodológico De La Práctica

Se presentan ejercicios de distribuciones hipergeométricas, mostrando tablas de distribución y gráfica de la misma, se calculan probabilidades, valores esperados, varianza y desviaciones. Al final se busca la interpretación de cada ejercicio.

* Actividad No. 1 - Importar E Implementar Las Librerías

# Importación De Los Paquetes Y Librerías Necesarias Para La Realización De La Práctica 
library(plotly)
library(dplyr)
library(ggplot2)
library(mosaic) # Gráficos de distribuciones
library(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón

# Acomodo Del Tipo De Notación Para El Muestro De Los Valores Obtenidos 
options(scipen=999) # Notación normal
# options(scipen=1) # Notación científica

* Actividad No. 2 - Importar E Implementar Las Funciones Previamente Codificadas

# La Importación Y La Implementación De Funciones Previamente Codificadas 
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/funciones/funciones%20para%20disribuciones%20de%20probabilidad.R")

## 
## Attaching package: 'gtools'

## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     logit

* Actividad No. 3 - Ejercicio Del Cajero Automático

Suponga que desea saber el número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero automático de un banco.[@anderson_estadistica_2008]

Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automóviles es la misma en cualesquiera de dos lapsos de la misma duración y si la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier otro lapso, se puede aplicar la función de probabilidad de Poisson.

Dichas condiciones se satisfacen y en un análisis de datos pasados encuentra que el número promedio de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos es igual a 10;

Aquí la variable aleatoria es \(x\) número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos.

* La Probabilidad De Que Llegen Exactamente 5 Automóviles En 15 Minutos

Si la administración desea saber la probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos, \(x=5\),y se obtiene:

Inicializando variables y valores, estos valores son los parámetros que requiere la función de Poisson. \(x\) como variable aleatoria, \(\mu\) (miu) o \(\lambda\) (lambda) es el valor medio de la distribución y \(n\) como un valor final de los valores de la variable discreta \(x\), desde \(0\) hasta \(n\);.

Este último valor de \(n\) puede modificarse y observar los valores de densidad (probabilidad) de la variable discreta van reduciendo poco a poco.

# Inicializando Las Variables Correspondientes 

media <- 10 # Media En La Función De Densidad 
x <- 5    # Valor De La Variable Discreta
n = 25 # Estimación Final de la Variable Aleatoria x , pero puede variar

Utilizando la función creada conforme a la fórmula

# Estimando La Probabilidad, Mediante La Función f.prob.poisson(...), Importada Previamente. 
prob <- round(f.prob.poisson(media = media, x = x),4)
paste("La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob)

## [1] "La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.0378"

Utilizando la función dpois()

# Estimando La Probabilidad, Mediante La Función dpois(...), De Los Paquetes Por Defecto Del Lenguaje R.
prob2 <- round(dpois(x = x, lambda = media),4)
paste("La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob2)

## [1] "La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de :  0.0378"

Para este caso al igual que las entregas de Caso de binomial e hipergeométrica, también se hace uso de la función previamente f.poisson.all(…) construída para este fín y que se encuentra en el script previamente cargado con la función source().

Esta función f.poisson.all(…), devuelve entre otras cosas, la tabla de distribución, el valor esperado, la varianza, la desviación estándar así como las visualizaciones gráficas de la densidad, histograma y acumulado de la variable discreta Poisson.

* La Tabla De Probabilidad Y La Gráfica De La Distribución De Poisson

Se crea una tabla de distribución codificada manualmente:

# Creando La Tabla De Distribución Correspondiente Mediante La Codificación Manual, Es Decir, Creando Grafica Por Gráfica. 
tabla1 <- data.frame(x=0:25, f.x = round(dpois(x = 0:25, lambda = media),8), F.x = round(ppois(q=0:25, lambda = media), 8))
tabla1

##     x        f.x        F.x
## 1   0 0.00004540 0.00004540
## 2   1 0.00045400 0.00049940
## 3   2 0.00227000 0.00276940
## 4   3 0.00756665 0.01033605
## 5   4 0.01891664 0.02925269
## 6   5 0.03783327 0.06708596
## 7   6 0.06305546 0.13014142
## 8   7 0.09007923 0.22022065
## 9   8 0.11259903 0.33281968
## 10  9 0.12511004 0.45792971
## 11 10 0.12511004 0.58303975
## 12 11 0.11373640 0.69677615
## 13 12 0.09478033 0.79155648
## 14 13 0.07290795 0.86446442
## 15 14 0.05207710 0.91654153
## 16 15 0.03471807 0.95125960
## 17 16 0.02169879 0.97295839
## 18 17 0.01276400 0.98572239
## 19 18 0.00709111 0.99281350
## 20 19 0.00373216 0.99654566
## 21 20 0.00186608 0.99841174
## 22 21 0.00088861 0.99930035
## 23 22 0.00040391 0.99970426
## 24 23 0.00017561 0.99987988
## 25 24 0.00007317 0.99995305
## 26 25 0.00002927 0.99998232

Se hace la misma tabla de distribución usando la variable resultado que provienen de haber ejecutado la función previamente.

Ejecutando la función f.poisson.all(…)

# Creando La Tabla De Distribución Correspondiente Mediante La Función f.poisson.all(...), Codificada Previamente. 
resultado <- f.poisson.all(media = media)

## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

# Visualizando La Tabla Creada Anteriormente 
tabla <- resultado$tabla
tabla

##     x        f.x        F.x
## 1   0 0.00004540 0.00004540
## 2   1 0.00045400 0.00049940
## 3   2 0.00227000 0.00276940
## 4   3 0.00756665 0.01033605
## 5   4 0.01891664 0.02925269
## 6   5 0.03783327 0.06708596
## 7   6 0.06305546 0.13014142
## 8   7 0.09007923 0.22022065
## 9   8 0.11259903 0.33281968
## 10  9 0.12511004 0.45792971
## 11 10 0.12511004 0.58303975
## 12 11 0.11373640 0.69677615
## 13 12 0.09478033 0.79155648
## 14 13 0.07290795 0.86446442
## 15 14 0.05207710 0.91654153
## 16 15 0.03471807 0.95125960
## 17 16 0.02169879 0.97295839
## 18 17 0.01276400 0.98572239
## 19 18 0.00709111 0.99281350
## 20 19 0.00373216 0.99654566
## 21 20 0.00186608 0.99841174

El resultado de ambas tablas debe ser similar.

* Visualizando La Gráfica De La Distribución De Poisson

Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.

# Se Visualiza La Gráfica De La Distribución De Poisson
plot_grid(resultado$g.dens, resultado$g_all$dens)

Histograma y Acumulado

# Se Visualiza La Gráfica De La Distribución De Poisson
plot_grid(resultado$g_barra, resultado$g_all$acum)

Usando plotly para visualizaciones dinámicas

# Se Visualiza La Gráfica De La Distribución De Poisson
resultado$g.hist.plotly

resultado$g.acum.plotly

* La Probabilidad De Que X Sea Menor O Igual A 10

\[f(x \leq10) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + ... + P(x=10)\]

i <- 10
tabla$F.x[i + 1]

## [1] 0.5830397

paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: ", tabla$F.x[i + 1])

## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es:  0.58303975"

* Utilizando La Función ppois()

ppois() determina la probabilidad acumulada de una distribución Poisson.

prob <- round(ppois(q = 10, lambda = media), 4)
paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: ", prob)

## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es:  0.583"

* La Media Diferente

En el ejemplo anterior se usó un lapso de 15 minutos, pero también se usan otros lapsos. Suponga que desea calcular la probabilidad de una llegada en un lapso de 3 minutos.

Regla de tres:

\[ 10 = 15\] \[ ? = 3\]

Entonces, la probabilidad de \(x=4\) llegadas en un lapso de 3 minutos con \(μ = 2\) está dada por la siguiente nueva función de probabilidad de Poisson.

\[ \mu = 2 \]

\[ f(x) = \frac{{e^{ - \mu }\cdot \mu ^x }}{{x!}} \]

Entonces ….

media <- 2
x <- 4

# Determinando El Valor De La Probabilidad Solicitada 
prob <- round(dpois(x = 4, lambda = media),4)
paste("La probabilidad cuando x = 4 y media igual a 2 es del:", prob * 100, "%")

## [1] "La probabilidad cuando x = 4 y media igual a 2 es del: 9.02 %"

* El Valor De La Esperanza Media

Regresando a la media \(\mu = 10 \text{ o }\lambda = 10\) , entonces la esperanza media es igual a: \(10\)

* La Varianza

La varianza es igual a \(10\)

* La Desviación Estándar

La raiz cuadrada de \(\sqrt{10}\)

# Determinando El Valor De La Desviación Estándar 
sqrt(media)

## [1] 1.414214

* Actividad No. 4 - Ejercicio De Las Instalaciones Industriales

En ciertas instalaciones industriales los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es \(0.005\) y los accidentes son independientes entre sí.

¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días habrá un accidente en un día?
Se multiplica la cantidad la de días por su probabilidad para encontrar la media. Esta media será el parámetro para la distribución Poisson.

# Inicializando Las Vaiable Correspondiente Para Este Ejercicio 
n <- 400
prob <- 0.005
media <- n * prob
media

## [1] 2

La variable aleatoria son los días desde \(x=0\)…hasta \(x=n\)

* La Tabla De La Distribución De Probabilidad De Poisson

# Estimando La Tabla De Probabilidad De Poisson, Mediante El Uso De La Función f.poisson.all(...)
resultado <- f.poisson.all(media = media)

# Visualizando La Tabla Creada Anteriormente
tabla <- resultado$tabla
tabla

##   x        f.x       F.x
## 1 0 0.13533528 0.1353353
## 2 1 0.27067057 0.4060059
## 3 2 0.27067057 0.6766764
## 4 3 0.18044704 0.8571235
## 5 4 0.09022352 0.9473470

* La Visualización De La Distribución De Poisson

Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.

# Se Visualiza Los Datos Correspondientes A La Distrubucción De Poisson 
plot_grid(resultado$g.dens, resultado$g_all$dens)

Histograma/Barra y acumulado

# Se Visualiza Los Datos Correspondientes A La Distrubucción De Poisson 
plot_grid(resultado$g_barra, resultado$g_all$acum)

Usando plotly para visualizaciones dinámicas

# Se Visualiza Los Datos Correspondientes A La Distrubucción De Poisson, Empleando La Función plotly.
resultado$g.hist.plotly

resultado$g.acum.plotly

* La Probabilidad De Que En Cualquier Periodo Dado De 400 Días Habrá Un Accidente En Un Día

\(f(x=1)\)

Recordar que el índice de la tabla empieza en el valor cero de tal forma que se necesita el siguiente valor \(x+1\) en la tabla:

# Se Estima La Probabilidad Correspondiente Al Enunuciado Anterior  
i <- 1
prob <- tabla$f.x[i+1]
paste("La probabilidad del valor de x=1 es: ", prob)

## [1] "La probabilidad del valor de x=1 es:  0.27067057"

# Se Muestra La Probabilidad Obtenida
paste("La probabilidad del valor de x=1 es: ", round(dpois(x = 1, lambda = media), 4))

## [1] "La probabilidad del valor de x=1 es:  0.2707"

* La Probabilidad De Que Haya A Lo Más Tres Días Con Un Accidente

• El indice en la tabla comienza en cero \[ f(x=0) + f(x=1) + f(x=2) + f(x=3) \\ 0.13533528 + 0.27067057 + 0.27067057 + 0.18044704 = 0.8571235 \]

# Se Estima La Probabilidad Correspondiente Al Enunuciado Anterior  
i <- 3
prob <- round(tabla$F.x[i+1],4)
paste("La probabilidad del valor de x<=3 es: ", prob)

## [1] "La probabilidad del valor de x<=3 es:  0.8571"

# Se Muestra La Probabilidad Estimada Anteriormente 
paste("La probabilidad acumlada del valor de x<=3 es: ", round(ppois(q = 3, lambda = media, lower.tail = TRUE), 4))

## [1] "La probabilidad acumlada del valor de x<=3 es:  0.8571"

* Actividad No. 5 - Ejercicio De Frabricante De Automóviles

Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con \(\lambda = 5\) [@walpole_probabilidad_2012].

* La Tabla De Distribución Cuando La Media Es Igual A 5

# Inicializando Los Valores Pertienentes 
media <- 5

# Se Construye La Tabla De Distribución Pertinente
resultado <- f.poisson.all(media = media)

# Se Visualizando La Tabla De Distribución Creada Anteriormente 
tabla <- resultado$tabla
tabla

##     x        f.x        F.x
## 1   0 0.00673795 0.00673795
## 2   1 0.03368973 0.04042768
## 3   2 0.08422434 0.12465202
## 4   3 0.14037390 0.26502592
## 5   4 0.17546737 0.44049329
## 6   5 0.17546737 0.61596065
## 7   6 0.14622281 0.76218346
## 8   7 0.10444486 0.86662833
## 9   8 0.06527804 0.93190637
## 10  9 0.03626558 0.96817194
## 11 10 0.01813279 0.98630473

* La Visualización De La Distribución De Poisson

Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.

# Se Construye La Tabla De Datos Correspondientes Mediantye El Uso De La Función plot_grid(...)
plot_grid(resultado$g.dens, resultado$g_all$dens)

Gráficos De Histograma y Lineal Acumulado

# Se Construye La Tabla De Datos Correspondientes Mediantye El Uso De La Función plot_grid(...)
plot_grid(resultado$g_barra, resultado$g_all$acum)

Usando plotly para visualizaciones dinámicas

# Se Visualizan Los Gráfico De Manera Dinámica Gracias A La Implementación De La Función plotly
resultado$g.hist.plotly

resultado$g.acum.plotly

* La Probabilidad De Que Hasta 3 Automóviles Por Año, Sufran Un Accidente.

\[f(X \leq 3)\]

\[f(X=0) + f(X=1) + f(X=2) + f(X=3)\]

i <- 3
prob <- tabla$F.x[i+1]
paste("La probabilidad del valor de x<=3 es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabilidad del valor de x<=3 es:  26.5026 %"

paste("La probabilidad del valor de x<=3 es: ", round(ppois(q = 3, lambda = media),4) * 100, "%")

## [1] "La probabilidad del valor de x<=3 es:  26.5 %"

* La Probabilidad De Que Hasta 3 Automóviles Por Año, Sufran Una Catastrofe

\[f(X \leq 3)\]

\[f(X=0) + f(X=1) + f(X=2) + f(X=3)\]

i <- 3
prob <- tabla$F.x[i+1]
paste("La probabilidad del valor de x<=3 es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabilidad del valor de x<=3 es:  26.5026 %"

paste("La probabilidad del valor de x<=3 es: ", round(ppois(q = 3, lambda = media),4) * 100, "%")

## [1] "La probabilidad del valor de x<=3 es:  26.5 %"

* ¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe?

\[ 1 - F(X \leq 1) \] \[ 1 - (f(X=0) + f(x=1))\]

i <- 1
prob <- 1 - tabla$F.x[i+1]
paste("La probabilidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabilidad del valor de x>1 es:  95.9572 %"

prob <- ppois(q = 1, lambda = media, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")

## [1] "La probabilidad del valor de x>1 es:  95.9572 %"

* Actividad No. 6 - Ejercicio De La Declaración De Impuestos

Suponga que, en promedio, \(1 \text { persona en }1000\)
comete un error numérico al preparar su declaración de impuestos. Si se seleccionan \(10,000\) formas al azar y se examinan, encuentre la probabilidad de que \(6, 7 \text { u } 8\) de las formas contengan un error.

\[ f(x=6:8) = f(x=6) + f(x=7) + f(x=8) \]

* Los Valores Iniciales

prob <- 1 / 1000
media <- prob * 10000

* La Tabla De Distribución

resultado <- f.poisson.all(media = media)

tabla <- resultado$tabla
tabla

##     x        f.x        F.x
## 1   0 0.00004540 0.00004540
## 2   1 0.00045400 0.00049940
## 3   2 0.00227000 0.00276940
## 4   3 0.00756665 0.01033605
## 5   4 0.01891664 0.02925269
## 6   5 0.03783327 0.06708596
## 7   6 0.06305546 0.13014142
## 8   7 0.09007923 0.22022065
## 9   8 0.11259903 0.33281968
## 10  9 0.12511004 0.45792971
## 11 10 0.12511004 0.58303975
## 12 11 0.11373640 0.69677615
## 13 12 0.09478033 0.79155648
## 14 13 0.07290795 0.86446442
## 15 14 0.05207710 0.91654153
## 16 15 0.03471807 0.95125960
## 17 16 0.02169879 0.97295839
## 18 17 0.01276400 0.98572239
## 19 18 0.00709111 0.99281350
## 20 19 0.00373216 0.99654566
## 21 20 0.00186608 0.99841174

* ¿Cuál es la probabilidad de que haya entre 6 y 8 declaraciones con errores?

\[ f(x \text { de 6 a }8) = f(x=6) + f(x=7) + f(x=8) \]

Se suman las probabilidades

Usando dpois()

paste(round(dpois(x = 6, lambda = media),4), "+", round(dpois(x = 7, lambda = media),4), "+"
, round(dpois(x = 8, lambda = media),4))

## [1] "0.0631 + 0.0901 + 0.1126"

prob <- sum(dpois(x = 6:8, lambda = media))
paste("La probabilidad del valor de x de 6 a 8 es: ", round((prob * 100),4), "%")

## [1] "La probabilidad del valor de x de 6 a 8 es:  26.5734 %"

Con ppois(), restando el valor acumulado de \(F(x=8)\) - el valor cumulado en \(F(x=5)\)

prob <- ppois(q = 8, lambda = media) - ppois(q = 5, lambda = media)
prob

## [1] 0.2657337

* La Visualización De La Distribución De Poisson

Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.

plot_grid(resultado$g.dens, resultado$g_all$dens)

Histograma/barra y lineal acumulado

plot_grid(resultado$g_barra, resultado$g_all$acum)

Usando plotly para visualizaciones dinámicas

resultado$g.hist.plotly

resultado$g.acum.plotly

* Análisis Crítico De Los Datos Obtenidos

* Interpretación De La Práctica

• En este caso se representó un histograma para una serie de datos simulados que representan una Distribución de Poisson

• La distribución de Poisson es una herramienta estadística utilizada para calcular la probabilidad de ocurrencia de un determinado evento en un periodo de tiempo específico, dado que el evento tiene una tasa promedio de ocurrencia determinada. La distribución de Poisson se utiliza ampliamente en una variedad de campos, desde la investigación científica hasta la planificación empresarial, y se considera una herramienta estadística esencial en cualquier análisis de datos.

• Una de las aplicaciones más comunes de la distribución de Poisson es en el análisis de datos de frecuencia, como el número de llamadas que recibe un centro telefónico en un día de trabajo. La distribución de Poisson se puede utilizar para averiguar cuál es la probabilidad de que se reciba un cierto número de llamadas en un determinado período de tiempo. Esta información puede ser útil para determinar la cantidad de personal necesario en el centro telefónico para gestionar las llamadas entrantes.

• En conclusión, la distribución de Poisson es una herramienta estadística poderosa y versátil que se utiliza en una amplia variedad de campos. Desde la planificación empresarial hasta la investigación médica, la distribución de Poisson es esencial para prever y entender eventos que suceden en el tiempo. Los datos internos recopilados por la propia organización pueden ser una fuente excelente para poner en práctica esta herramienta estadística y lograr tomar decisiones adecuadas, eficaces y precisas.

* Referencias Bibliográficas

• Levine, D. M. (2010) Estadística para administración y economía. (7ª. ed.) México : Pearson Educación.

• Mendenhall, W. (2010). Introducción a la Probabilidad y Estadística. (13ª. ed.) México: Cengage Learning.

• Montgomery, D. C. (2011). Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. (2ª. ed.) México : Limusa: Wiley.

• Quezada, L. (2010). Estadística para ingenieros. México : Empresa Editora Macro.