U4C17 - La Distribución Binomial

Los Objetivos De La Práctica

* El Objetivo General De La Práctica

A continuación se presenta el objetivo general de la práctica:

• Encontrar E Interpretar Las Probabilidades De Acuerdo A Una Distribución De Tipo Binomial.

* Los Objetivos Específicos De La Práctica

A continuación, se presenta los objetivos específicos que tiene la siguiente práctica:

• Identificar Los Ejercicios De La Literatura De Distribuciones De Probabilidad De Tipo Binomial.

• Realizar Los Cálculos Correspondientes De Las Probabilidades.

• Visualizar La Gráfica De Densidad.

• Visualizar El Diagrama De Barra.

• Estimar El Valores Del Valor Esperado, De La Varianza Y De La Desviación Estándar.

• Realizar la Interpretación De La práctica Correspondiente.

* Investigaciones Pertinentes

* La Probabilidad

La probabilidad y la estadística están relacionadas en una forma importante. La probabilidad se emplea como herramienta; permite que se evalúe la confiabilidad de las conclusiones acerca de la población cuando tenga sólo información muestral.

Por otra parte, la probabilidad indica el grado de certidumbre o certeza de un suceso o fenómeno estudiado, en la investigación científica existen muchos fenómenos en los cuales es necesario determinar la probabilidad de que un evento ocurra o dejen de ocurrir, para lo cual el estudio de este campo, es necesario.

Además tiene aplicaciones muy importantes en investigación; dado que es base para la inferencia estadística que permite el estudio de muestras con el objetivo de inferir o extrapolar características de estas a una población.

* Las Variables Estadísticas

La definición propia de una variables estadísticas es la siguiente, de acuerdo con los estipulado por Enciclopedia en su sitio web (2022):

Una variable estadística es una característica de una muestra o población de datos que puede adoptar diferentes valores.

Cuando hablamos de variable estadística estamos hablando de una cualidad que, generalmente adopta forma numérica. Por ejemplo, la altura de Juan es de 180 centímetros. La variable estadística es la altura y está medida en centímetros.

• También podríamos, por ejemplo, decir que el beneficio de una empresa ha sido de 22.300 dólares el último año. En este caso, la variable sería el beneficio y estaría medido en dólares. Las variables son del tipo cuantitativo (se expresan con un número)

Claro que no todas las variables estadísticas son iguales y, por supuesto, no todas se pueden (en principio) expresar en forma de número.

• Así, otra variable que podríamos encontrarnos es el color de ojos de una persona. Por ejemplo, Juan tiene los ojos verdes y Andrés los tiene azules. La variable sería el color de ojos y sería una variable cualitativa. Es decir, no se expresa con número.

Los Tipos De Variables Estadísticas

Aunque hay decenas de tipos de variables estadísticas, por norma general podemos encontrarnos dos tipos de variables:

• Variable Cuantitativa: Son variables que se expresan numéricamente.

  • Variable Continua: Toman un valor infinito de valores entre un intervalo de datos. El tiempo que tarda un corredor en completar los 100 metros lisos.

  • Variable Discreta: Toman un valor finito de valores entre un intervalo de datos. Número de helados vendidos.

• Variable Cualitativa: Son variables que se expresan, por norma general, en palabras.

  • Variable Ordinal: Expresa diferentes niveles y orden.

  • Variable Nominal: Expresa un nombre claramente diferenciado. Por ejemplo el color de ojos puede ser azul, negro, castaño, verde, etc.

* Las Variables Aleatorias

La definición propia de una variable aleatoria continua es la siguiente, de acuerdo con los estipulado por Enciclopedia en su sitio web (2019):

Una variable aleatoria es la función matemática de un experimento aleatorio.

Cómo podemos comprobar la frase se compone básicamente de dos conceptos: función matemática y experimento aleatorio. Es decir, debemos entender primero qué es una función matemática y, posteriormente, definir qué entendemos por experimento aleatorio.

• Función matemática: Dicho de manera sencilla, es una ecuación que asigna valores a una variable (variable dependiente) en función de otras variables (variables independientes).

• Experimento aleatorio: Es un fenómeno de la vida real cuyos resultados se deben completamente al azar. Es decir, bajo las mismas condiciones iniciales arroja resultados diferentes.

Por la tanto una variable aleatoria, es una ecuación que describe o intenta describir los resultados (con un número) de un evento cuyos resultados se deben al azar.

En otras palabras, pensemos en una variable aleatoria que tome valores enteros.

• Por ejemplo, 1, 2 o 3. En este caso, la variable aleatoria no sería continua. Solo puede tomar el valor 1, el valor 2 o el valor 3. No puede, por ejemplo, tomar el valor 2,5 o 2,53. Si se tratara de una variable aleatoria continua, podría tomar cualquier valor en el intervalo de datos [1,3]. Por ejemplo, 1,02 o 2,067.

Cabe ser preciso, así como recalcar que una variable continua es un tipo de variable cuantitativa, o lo que es lo mismo, que se puede expresar mediante cifras. De esta forma, a parte de estos datos se pueden realizar análisis estadísticos y operaciones matemáticas.

Sea X una variable aleatoria continua. Entonces, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad (pdf) de X es una función \(f(x)\) de modo tal que para dos números cualesquiera a y b con \(a \le b\)

* Las Distribuciones De Probabilidad

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable, la probabilidad de que dicho suceso ocurra.

La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos y cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria. También puede decirse que tiene una relación estrecha con las distribuciones de frecuencia.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

* Los Diferentes Tipos De Distribuciones De Probabilidad

Esta división se realiza dependiendo del tipo de variable a estudiar. Las cuatro principales (de las que nacen todas las demás) son:

A) Si la variable es una variable discreta (números enteros), corresponderá una distribución discreta, de las cuales existen:

• Distribución Binomial (eventos independientes).

• Distribución De Poisson (eventos independientes).

• Distribución Hipergeométrica (eventos dependientes).

B) Si la variable es continua (números reales), la distribución que se generará será una distribución continua. Ejemplos de ellas son:

• Distribución Normal.

• Distribución Exponencial

* La Distribución Binomial Para Eventos Independientes

La definición propia de una variables estadísticas es la siguiente, de acuerdo con los estipulado por Enciclopedia en su sitio web (2020)

Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria.

El experimento de lanzar al aire una moneda es un ejemplo sencillo de una variable aleatoria binomial. Muchos experimentos prácticos resultan en datos similares a que salga cara o cruz al tirar la moneda

Un experimento binomial es el que tiene estas cinco características:

• El experimento consiste en \(n\) intentos idénticos.

• Cada intento resulta en uno de dos resultados, el resultado uno se llama éxito, ‘S’, y el otro se llama fracaso, ‘F’.

• La probabilidad de éxito en un solo intento es igual a \(p\) y es igual de un intento a otro. La probabilidad de fracaso es igual a \(q= (1 - p)\).

• Los intentos son independientes.

• El interés es el valor de \(x\), o sea, el número de éxitos observado durante los \(n\) intentos, para \(x = 0, 1, 2, …, n.\)

Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad \(p\) y un fracaso con probabilidad \(q = 1 − p\). Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial \(x\), el número de éxito \(k\) en \(n\) ensayos independientes

* La Fórmula De La Distribución Binomial

La Formula para poder determinar la distribución de probabilidad de tipo binomial es la siguiente:

\[f(x) = prob(x=k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot q^{(n-k)} \]Donde:

• x = Puedes Ser Cualquier Valor Desde 0 Hasta N

Recordando un poco las combinaciones, cuantos éxitos \(k\) en \(n\) ensayos.

• Interpretar que \(x = k\) para la fórmula.

\[ f(x) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!} \]

• La Fórmula Para Determinar La Función Acumulada Es:

\[ F(x) = \sum_{0}^{n}f.x_i \]

• La Fórmula Para Determinar El Valor Esperado Está Dado Por:

\[\mu = n \cdot p\]

• La Fórmula Para Determinar La Varianza Está Dada Por:

\[ \sigma^{2} = n \cdot p \cdot(1-p) \]

• La Fórmula Para Determinar La Desviación Estándar Está Dada Por:

\[\sigma = \sqrt{\sigma^{2}} \]

Dentro del entorno de programación en R, para calcular la función de probabilidad binomial para un conjunto de valores discretos, \(x\), un número de ensayos \(n\) y una probabilidad de éxito \(p\) se puede hacer uso de la función dbinom().

De manera semejante, para calcular la probabilidad acumulada de una distribución binomial se puede utilizar la función pbinom() o para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria \(x\) que sigue una distribución binomial tome valores menores o iguales a \(x\) puedes hacer uso de la función pbinom()

* Desarrollo Metodológico De La Práctica

En los siguientes ejercicios también se utilizan funciones de paquetes predeterminados de lenguaje de R para una mejor comprensión de la distribución binomial.

* Actividad No. 1 - Importar E Implementar Las Librerías

# Importación De Los Paquetes Y Librerías Necesarias Para La Realización De La Práctica 
library(dplyr)
library(ggplot2)
library(mosaic) # Gráficos de distribuciones
library(cowplot) # Para varios gráficos
library(plotly)

# Acomodo Del Tipo De Notación Para El Muestro De Los Valores Obtenidos 
options(scipen=999) # Notación normal
# options(scipen=1) # Notación científica

* Actividad No. 2 - Importar E Implementar Las Funciones Previamente Codificadas

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/funciones/funciones%20para%20disribuciones%20de%20probabilidad.R")

## 
## Attaching package: 'gtools'

## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     logit

* Actividad No. 3 - Implementación De Una Semilla Aleatoria

Se necesita implementar una semilla para la generación de valores aleatorios, ya qwue, en alguna actividad será necesario hacer uso de estos.

# Implementación De Una Semilla Aleatoria 
set.seed(2023)

* Actividad No. 4 - Ejercicio De La Tienda De Ropa

* Los Datos Pertienentes Del Tema

De acuerdo con la experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30 o 30%

• Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad acumulada

• Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes

• Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.

• Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.

• Calcular la probabilidad de que sean mayor que dos

• Determinar el valor esperado y su significado

• Determinar la varianza y la desviación estándar y si significado

• Interpretar El Caso

* La Probabilidad Para 0,1,2,3 Y Su Tabla De Distribución

Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad cumulada

• Inicializar Los Valores Correspondientes

# Inicializar Los Valores Corespondientes Del Caso 
x <- c(0,1,2,3)
n <- 3
exito <- 0.30

• Determinar tabla de probabilidad usando la función f.prob.binom() creada y conforme a la fórmula.

# Creación La Tabla De Distibución De Probabilida Empleando Funciones Especiales Previamente Codificadas e Importadas 

tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla1

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 0    0.343    0.343
## 2 1    0.441    0.784
## 3 2    0.189    0.973
## 4 3    0.027    1.000

• Determinar Tabla De Probabilidad Empleando Las Funciones Predeterminadas Del Lenguaje En R ( dbinom() )

# Creación La Tabla De Distibución De Probabilida Empleando Funciones Propias De Los Paquetes Del Lenguaje En R (cumsun())

tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = cumsum(dbinom(x = x, size = n, prob = exito)))
tabla2

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 0    0.343    0.343
## 2 1    0.441    0.784
## 3 2    0.189    0.973
## 4 3    0.027    1.000

* La Visualiuzación De Las Tablas De Distribución

# Se Visualiza Las Tablas De Distribución 
plotDist(dist = "binom", size=3, prob=0.30,xlab = paste("Variables ",min(tabla1$x),"-",max(tabla1$x) ), xlim = c(-1, n+1)) 

plotDist(dist = "binom", size=3, prob=0.30,xlab = paste("Variables ",min(tabla1$x),"-",max(tabla1$x) ), kind = "histogram", xlim = c(-1, n+1)) 

* La Probabilidad De Que Compre Dos Clientes

Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes

• Identificar la probabilidad cuando \(P(x=2)\) de la tabla.
• Se puede usar tabla1, tabla2 o tabla3 es la misma.

# Se Estima La Probabilidad De Que Compre 2 Clientes En La Tienda 
valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 2    0.189    0.973

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad cuando x es  2  es igual a :  0.189"

Empleando La Función dbinom()

# Empleando La Función *dbinom()*
dbinom(x = 2, size = 3, prob = exito)

## [1] 0.189

* La Probabilidad De Que Compre Tres Próximos Clientes

Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes

• Identificar la probabilidad cuando \(P(x=3)\) de la tabla.
• Se puede usar tabla1, tabla2 o tabla3 es la misma.

# Se Estima La Probabilidad De Que Compre 3 Próximos Clientes En La Tienda 
valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 3    0.027        1

paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )

## [1] "La probabilidad cuando x es  3  es igual a :  0.027"

Empleando La Función dbinom()

# Empleando La Función *dbinom()*
dbinom(x = 3, size = 3, prob = exito)

## [1] 0.027

* La Probabilidad De Que Sea Menor O Igual Que 2 Clientes

Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos

• Ahora usar la función acumulada por la pregunta
• \(P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)\)

# Se Estima La Probabilidad De Que Sea Menor O Igual Que 2 Clientes 
valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x f.prob.x f.acum.x
## 1 2    0.189    0.973

paste("La probabilidad de que sea menor o igual a ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.acum.x )

## [1] "La probabilidad de que sea menor o igual a  2  es igual a :  0.973"

Empleando La Función pbinom()

# Empleando La Función *pbinom()*
pbinom(q = 2, size = 3, prob = exito)

## [1] 0.973

* La Probabilidad De Que Sea Mayor A Dos Clientes

La expresión lower.tail = FALSE como atributo de la función pbinom() significa encontrar en la tabla de distribución la sumatoria de las probabilidades a partir de el valor de \(x\), o lo que es lo mismo, \(1 - prob.acum(x)\), \(1 - 0.97 = 0.27\).

# Se Estima La Probabilidad De Que Sea Mayor A Dos Clientes  
pbinom(q = 2, size = 3, prob = exito, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.027

* El Valor Esperado

Determinar el valor esperado

• El valor esperado de la distribución binomial

\[\mu = n \cdot p\] Siendo \(p\) el éxito de la probabilidad y \(n\) el número de experimentos

VE <- n * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE)

## [1] "El valor esperado es:  0.9"

El valor esperado \(VE\) significa el valor medio o el valor promedio de todos valores de la distribución de probabilidad.

* La Varianza

Determinar La Varianza El Ejercicio Propuesto Por El Docente .

• La varianza en la distribución binomial \[\sigma^{2} = n \cdot p \cdot(1-p)\]

varianza <- n * exito * ( 1 - exito )
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))

## [1] "La varianza es:  0.63"

* La Desviación Estándar

Determinar La Desviación Estándar

• La desviación \[\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}\]

desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))

## [1] "La desviación std es:  0.79"

* Análisis E Interpretación Del Ejercicio

Llegado al final de este ejercicio, se logra concluir que

* Actividad No. 5 - Ejercicio Del Jugador De BasketBall

* Los Datos Pertienentes Del Tema

Un jugador encesta con probabilidad 0.55.

• Determinar las probabilidad de los tiros del 0 al 10 con la tabla de probabilidad

• Determinar la probabilidad de encestar cuatro tiros \(P(x=4)\)

• Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis \(P(x=6)\)

• Determinar la probabilidad de encestar al menos tres \(P(x \leq 3)\) o, \(P.acum(x = 3)\)

• Determinar el valor esperado VE

• Determinar la varianza y su desviación estándar

• Interpretar el ejercicio

* Inicialización De Los Valores Correspondientes

# Se incializan los vaslores para la realización del ejercicio. 
x <- 0:6
n <- 10
exito <- 0.55

* La Construcción De La Tabla De Distribución De Probabilidad (0-10)

A partir de este ejercicio, se manda llamar la función llamada f.binom.all() que se encuentra en el archivo “funciones para distribuciones.r” del enlace https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/Libro-Analisis-de-datos-con-R-2022/main/funciones/funciones%20para%20disribuciones%20de%20probabilidad.R

La función en encapsula la construcción de la tabla de distribución de la variable, el cálculo del valor esperado, la varianza y la desviación estándar, así como gráficos relacionados a la distribución de probabilidad binomial discreta.

A Continuación Se Presenta El Código De La Función

# 14 Abr 2023
# Función para devuelve tabla binomial, VE Varianza y Desv. Std
# de una distribución binomial. 
f.binom.all <- function(n, exito){
  tabla <- data.frame(x = 0:n,
                      f.x = dbinom(x = 0:n, size = n, prob = exito),
                      F.x = pbinom(q = 0:n, size = n, prob = exito))
  tabla
  
  # Valor esperado
  VE <- n * exito # n * p
  
  # Varianza n * p * (n - 1)
  varianza <- n * exito * (1 - exito)
  desv.std <- sqrt(varianza)
  
  g.dens <- plotDist(dist = "binom", 
                     params = c(n, exito), 
                     xlim = c(-1, n+1), 
                     kind = "d",
                     xlab ="X's", 
                     ylab = "Probabilidad", 
                     main='Distribución Binomial')
  
  g.hist <- plotDist(dist = "binom", 
                     params = c(n, exito), 
                     xlim = c(-1, n+1), 
                     kind = "h", 
                     xlab ="X's", 
                     ylab = "Probabilidad", 
                     main='Distribución Binomial')
  
  g.acum <- plotDist(dist = "binom", 
                     params = c(n, exito), 
                     xlim = c(-1, n+1), 
                     kind = "c", 
                     xlab ="X's", 
                     ylab = "Prob Acumulada", 
                     main='Distribución Binomial',
                     sub = "")
  
  t_dist <- 'Distribución Binomial'
  g_barra <- ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.x , fill=x)) +
    geom_bar(stat="identity") +
    geom_vline(xintercept = VE, color = 'red', linetype = "dashed", size = 1) +
    geom_vline(xintercept = VE - desv.std, color = 'blue', linetype = "dashed", size = 1) +
    geom_vline(xintercept = VE + desv.std, color = 'blue', linetype = "dashed", size = 1) +
    labs(title=t_dist, subtitle = paste("VE", round(VE, 2), "± Desv. Std", round(desv.std, 2)), x="Variable X", y="Probabilidad")
  
  g.text <- ggplot(data = tabla) +
    geom_col(aes(x = x, y = f.x), fill='blue') + 
    ggtitle(label = "Distribución binomial",subtitle = paste("ve=", VE, ";", 
                                                             "var=", round(varianza, 2), ";",
                                                             "sd=", round(desv.std, 2))
    )
  g.hist.plotly <- plot_ly(
    x = c(tabla$x),
    y = c(tabla$f.x),
    type = "bar") %>%
    layout(title = "Distribución binomial",
           xaxis = list(title = "x's"), 
           yaxis = list(title = "Función de Prob. f(X)")
    )
  
  
  g.acum.plotly <- plot_ly(
    x = c(tabla$x),
    y = c(tabla$F.x),
    type = "scatter" ,
    mode = "lines") %>%
    layout(title = "Distribución binomial",
           xaxis = list(title = "x's"), 
           yaxis = list(title = "Función Acumulada F(X)")
    )
  
  
  distribucion <- list(tabla = tabla, VE = VE, 
                       varianza = varianza, desv.std = desv.std, 
                       g.dens = g.dens, 
                       g.hist = g.hist,
                       g.acum = g.acum,
                       g.text = g.text,
                       g_barra = g_barra,
                       g.hist.plotly = g.hist.plotly,
                       g.acum.plotly = g.acum.plotly,
                       g_all = f.hist.dens.discreta(tabla))
  
}

Se construye la tabla de probabilidades

Llamando la función f.binom.all(n = , exito = ) con los argumentos y parámetros adecuados y asignando el contenido a una variable llamada resultado.

A partir de este resultado, se identifican, las tablas de probabilidad, el valor esperado, la varianza, la desviación y algunos gráficos de la distribución.

resultado <-  f.binom.all(n = n, exito = exito)

## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

* La Tabla De Probabilidad (0-6)

resultado$tabla

##     x          f.x          F.x
## 1   0 0.0003405063 0.0003405063
## 2   1 0.0041617435 0.0045022498
## 3   2 0.0228895894 0.0273918393
## 4   3 0.0746031063 0.1019949456
## 5   4 0.1595677552 0.2615627008
## 6   5 0.2340327076 0.4955954083
## 7   6 0.2383666466 0.7339620550
## 8   7 0.1664782929 0.9004403478
## 9   8 0.0763025509 0.9767428988
## 10  9 0.0207241496 0.9974670484
## 11 10 0.0025329516 1.0000000000

* La Visualización De Probabilidades

Visualiza gráficamente la tabla de probabilidades, mediante la función plot_grid(), que permite visualizar de dos o más gráficos en el mismo reglón aprovechando el contenido de la variable resultado.

# Se Visualiza La Tabla De Probabilidades De Manera De Densidad 
plot_grid(resultado$g.dens, resultado$g_all$dens  )

# Se Visualiza La Tabla De Probabilidades De Manera De Barras 
plot_grid(resultado$g_barra, resultado$g_all$acum )

Utilizando plotly que se encuentra en la variable resultado

# Utilizando la Función " *plotly* " 
resultado$g.hist.plotly 

# Utilizando la Función " *plotly* " 
resultado$g.acum.plotly

* La Probabilidad De Encestar 4 Tiros

Calcular La Probabilidad De Encestar 4 Tiros \(f(x=4)\)

# Se Estima La Probabilidad De Encestar 4 Tiros
dbinom(x = 4, size = n, prob = exito)

## [1] 0.1595678

* La Probabilidad De Encestar 6 Tiros

Determinar La Probabilidad De Encestar 6 Tiros \(f(x=6)\)

# Se Estima La Probabilidad De Encestar 6 Tiros
dbinom(x = 6, size = n, prob = exito)

## [1] 0.2383666

* La Probabilidad De Encestar Al Menos 3 Tiros

Empleando la función pbinom() para determinar el valor acumulado.\(f(x \geq3) = 1 - F(x=2)\) como mínimo 3.

# Se Estima La Probabilidad De Encestar Al Menos 3 Tiros
pbinom(q = 3, size = n, prob = exito, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.8980051

o utilizando el renglón de la tabla de distribución en la columna de probabilidad acumulada F(x).

# Utilzando La Probabilidad Acumulada 
valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(resultado$tabla, x == valor.x) 
la.probabilidad

##   x        f.x       F.x
## 1 3 0.07460311 0.1019949

1 - la.probabilidad$F.x

## [1] 0.8980051

* El Valor Esperado

De igual forma utilizar la función

# Determinando El Valor Esperado 
paste("El valor esperado es: ",resultado$VE)

## [1] "El valor esperado es:  5.5"

El valor esperado de 5.5 significa que es lo que se espera encestar en promedio de los \(n=\) 10 tiros.

* La Varianza

Determinar La Varianza El Ejercicio Propuesto Por El Docente .

• La varianza en la distribución binomial \[\sigma^{2} = n \cdot p \cdot(1-p)\]

paste ("La varianza es: ", round(resultado$varianza, 4))

## [1] "La varianza es:  2.475"

* La Desviación Estándar

Determinar La Desviación Estándar

• La desviación \[\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}\]

paste("La desviación std es: ", round(resultado$desv.std, 4))

## [1] "La desviación std es:  1.5732"

* Análisis E Interpretación Del Ejercicio

Llegado al final de este ejercicio, se logra concluir que del valor esperado 5.5 hay una desviación aproximada de 1.5732133 hacia arriba o hacia abajo.

* Actividad No. 6 - La Recuperación De Un Paciente

* Los Datos Pertienentes Del Tema

La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es \(0.40\). Si se sabe que \(15\) personas contraen tal enfermedad,

• Determine tabla de probabilidad de 1 al 15, incluyendo el 0.

• Visualizar la gráfica de probabilidades.

• ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos diez,

• ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan de tres a ocho? y

• ¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco?

• ¿Cuál es el valor esperado ‘VE’ o la esperanza media?

• ¿Cual es la varianza y la desviación estándar?

• ¿Cómo se comportarían las probabilidades para un experimento de 100 personas?

• Interpretación del ejercicio [@walpole_probabilidad_2012].

* La Tabla De Distribución

Inicializar valores

x <- 0:15
n <- 15
exito <- 0.40

Se construye la tabla de probabilidades con las funciones construidas que se encuentran en enlace citado al principio del documento y con la variable resultado.

resultado <-  f.binom.all(n = n, exito = exito)
resultado$tabla

##     x            f.x         F.x
## 1   0 0.000470184985 0.000470185
## 2   1 0.004701849846 0.005172035
## 3   2 0.021941965947 0.027114001
## 4   3 0.063387901624 0.090501902
## 5   4 0.126775803249 0.217277706
## 6   5 0.185937844765 0.403215550
## 7   6 0.206597605294 0.609813156
## 8   7 0.177083661681 0.786896817
## 9   8 0.118055774454 0.904952592
## 10  9 0.061214105272 0.966166697
## 11 10 0.024485642109 0.990652339
## 12 11 0.007419891548 0.998072231
## 13 12 0.001648864788 0.999721096
## 14 13 0.000253671506 0.999974767
## 15 14 0.000024159191 0.999998926
## 16 15 0.000001073742 1.000000000

* La Gráfica De Probabilidades

La gráfica se presenta con el contenido de alguna gráfica de la variable resultado que contiene lo que devuelve el código de la función ejecutada.

plot_grid(resultado$g.dens, resultado$g_all$dens  )

plot_grid(resultado$g_barra, resultado$g_all$acum )

o

Utilizando plotly que se encuentra en la variable resultado

# resultado$g.hist.plotly 

# resultado$g.acum.plotly

* La Probabilidad De Que Sobrevivan Al Menos Diez

Se requiere la suma de las probabilidades en dónde \(f(x\leq 10)\) o bien \(f(x=0) + f(x=1) + f(x=2) ... + f(x=10)\) o mediante la función acumulada de la probabilidad.\(F(x=10)\). Como se necesita la probabilidad acumulada entonces se usa pbinom().

x = 10
prob <- pbinom(q = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que se enfermen menos que diez es: ", prob, " o el ", round(prob * 100, 2), "%") 

## [1] "La probabilidad de que se enfermen menos que diez es:  0.990652339224576  o el  99.07 %"

* La Probabilidad de que sobrevivan de tres a ocho

Se requiere el valor acumulado entre tres y ocho es decir, \(F(x=8) - F(x=2)\) , o sumar las probabilidades de tres a ocho \(f(x=3) + f(x=4) + f(x=5) + f(x=6) + f(x=7)+f(x=8)\)

Se usa la resta usando la función pbinom()

x1 = 2  #
x2 = 8
prob <- pbinom(q = x2, size = n, prob = exito) - pbinom(q = x1, size = n, prob = exito) 
paste ("La probabilidad de que se enfermen de tres a ocho es: ", prob, " o el ", round(prob * 100, 2), "%")

## [1] "La probabilidad de que se enfermen de tres a ocho es:  0.877838591066112  o el  87.78 %"

Se comprueba sumando las probabilidades de tres a ocho

sum(dbinom(x = 3:8, size = n, prob = exito))

## [1] 0.8778386

o sumando los renglones de las probabilidades de tres a ocho de la tabla de probabilidad.

sum(filter(resultado$tabla, x %in% 3:8) %>%
  select(f.x))

## [1] 0.8778386

* La probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco

Aquí se calcula la probabilidad con la función dbinom() cuando \(f(x=5)\)

x = 5
prob <- dbinom(x = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que se enfermen menos que diez es: ", prob, " o el ", round(prob * 100, 2), "%") 

## [1] "La probabilidad de que se enfermen menos que diez es:  0.185937844764672  o el  18.59 %"

Se comprueba la probabilidad extrayendo con la función filter() el registro de la tabla de distribución cuando \(x==10\).

filter(resultado$tabla, x==5)

##   x       f.x       F.x
## 1 5 0.1859378 0.4032156

* El Valor esperado

Se determina el valor medio o el valor esperado de la tabla de distribución.

VE <- resultado$VE
paste("El valor esperado es: ",VE)

## [1] "El valor esperado es:  6"

Se espera que se recuperen 6 en promedio

* La Varianza y Desviación Estándar

Se calcula la varianza

varianza <- resultado$varianza
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))

## [1] "La varianza es:  3.6"

Se determina la desviación

desviacion.std <- resultado$desv.std
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))

## [1] "La desviación std es:  1.9"

Siendo la desviación una medida de variabilidad significa que tanto estarían las probabilidades por encima o por debajo del valor esperado.

* Las Probabilidades para un experimento de 100 personas

Con la función de aleatoriedad rbinom() se calculan las probabilidades de una muestra de \(100\), con las proporciones o frecuencias relativas siendo los elementos de la función \(n\) la cantidad de experimentos que serían \(100\), size el tamaño del estudio original es decir \(15\) y prob la probabilidad de éxito.

La variable llamada variables contiene los valores aleatorios de la muestra y la frecuencia es la cantidad de ocasiones de cada variable aleatoria.

muestra <- 100
variables <- rbinom(n = muestra, size = n, prob = exito)
variables

##   [1]  6  5  4  5  3  4  6  7  5  6  8  4  4 12  8  4  5  8  5  7  7  6  5  9  7
##  [26]  7  7  4  5  4  7  7  7  6  7  7  8  7  7  8  5  7  5  5  8  8  6 10  5  8
##  [51]  3  6  5  6  4  6  9  7 11  8  5  5  8  5  4  6  6  3  5  5  5  4  7  4  8
##  [76]  4  8  5  6  8  7  6  7  8  7  4  6  6  7  6  7  5 11 10  8  5  7  7  7  7

frecuencia = table(variables)
frecuencia

## variables
##  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 
##  3 13 21 16 25 15  2  2  2  1

Las probabilidades relativas de la muestra

probs <- prop.table(frecuencia)
probs

## variables
##    3    4    5    6    7    8    9   10   11   12 
## 0.03 0.13 0.21 0.16 0.25 0.15 0.02 0.02 0.02 0.01

tablaexp <- data.frame(x=1:length(frecuencia), f.prob.x = as.vector(probs), f.acum.x = cumsum(as.vector(probs)))
tablaexp

##     x f.prob.x f.acum.x
## 1   1     0.03     0.03
## 2   2     0.13     0.16
## 3   3     0.21     0.37
## 4   4     0.16     0.53
## 5   5     0.25     0.78
## 6   6     0.15     0.93
## 7   7     0.02     0.95
## 8   8     0.02     0.97
## 9   9     0.02     0.99
## 10 10     0.01     1.00

* La Visualización las probabilidades del experimento

A partir de la nueva tabla del experimento se compara con la tabla original en dos gráficas

Con la función par(mfrow=c(1,2)) se puede ver dos gráficas tipo plot() al mismo tiempo en el mismo renglón.

par(mfrow=c(1,2))
plot(x = resultado$tabla$x, y=resultado$tabla$f.x, type = "h", xlab = "X", ylab= "f(x)", main = "15 pacientes")
plot(x = tablaexp$x, y=tablaexp$f.prob.x, type = "h", xlab = "X", ylab= "f(x)", xlim = c(0,15), ylim = range(0, 0.20), main="Simulando 100 pacientes")

* Actividad No. 7 - Aprobar Un Examen

* Los Datos Pertienentes Del Tema

Un estudio refleja que al aplicar un examen de estadística la probabilidad de aprobar (éxito) es del \(60\%\). Se pide lo siguiente:

• Encuentre la tabla de distribución binomial para 30 estudiantes que presentan el examen

• ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 5 alumnos?

• ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 10 alumnos?

• ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 15 o menos alumnos?

• ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 alumnos?

• ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos?

• Determinar el valor esperado VE y su significado.

• Determinar la varianza y su desviación estándard y su significado.

* La Tabla de distribución binomial

Se incializan valores

x <- 0:30
n <- 30
exito <- 0.60

Se construye la tabla

resultado <- f.binom.all(n = n, exito = exito)

tabla <- resultado$tabla
tabla

##     x                  f.x                  F.x
## 1   0 0.000000000001152922 0.000000000001152922
## 2   1 0.000000000051881468 0.000000000053034389
## 3   2 0.000000001128421923 0.000000001181456312
## 4   3 0.000000015797906917 0.000000016979363229
## 5   4 0.000000159953807533 0.000000176933170762
## 6   5 0.000001247639698760 0.000001424572869522
## 7   6 0.000007797748117251 0.000009222320986774
## 8   7 0.000040102704603007 0.000049325025589781
## 9   8 0.000172942913600469 0.000222267939190250
## 10  9 0.000634124016535054 0.000856391955725303
## 11 10 0.001997490652085418 0.002853882607810724
## 12 11 0.005447701778414773 0.008301584386225485
## 13 12 0.012938291723735080 0.021239876109960601
## 14 13 0.026871836656988245 0.048111712766948846
## 15 14 0.048945131053800175 0.097056843820749084
## 16 15 0.078312209686080117 0.175369053506829159
## 17 16 0.110126544871050142 0.285495598377879189
## 18 17 0.136038673076003175 0.421534271453882614
## 19 18 0.147375229165670141 0.568909500619552144
## 20 19 0.139618638156950664 0.708528138776503003
## 21 20 0.115185376479484264 0.823713515255987683
## 22 21 0.082275268913917302 0.905988784169904804
## 23 22 0.050487096833540038 0.956475881003445050
## 24 23 0.026341094000107985 0.982816975003552917
## 25 24 0.011524228625047248 0.994341203628600123
## 26 25 0.004148722305017007 0.998489925933617184
## 27 26 0.001196746818754908 0.999686672752372107
## 28 27 0.000265943737501089 0.999952616489873214
## 29 28 0.000042740957812675 0.999995357447685862
## 30 29 0.000004421478394415 0.999999778926080274
## 31 30 0.000000221073919721 1.000000000000000000

* La Visualización De La Gráfica De Probabilidades

plot_grid(resultado$g.dens, resultado$g_all$dens  )

plot_grid(resultado$g_barra, resultado$g_all$acum )

Utilizando plotly que se encuentra en la variable resultado

resultado$g.hist.plotly 

resultado$g.acum.plotly

* La Probabilidad de que aprueben 15 o menos alumnos

Se calcula la probabilidad de \(f(x=0) + f(x=1) + P(f=2) ... + f(x=15)\) o la probabilidad acumulada cuando \(F(x=15)\)

prob <- pbinom(q = 15, size = n, prob = exito)
paste("La probabilidad de que aprueben 15 o menos es de ", round(prob, 4))

## [1] "La probabilidad de que aprueben 15 o menos es de  0.1754"

* La Probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 alumnos

Se calcula la probabilidad acumulada de \(F(x=20) - F(x=9)\) o sumando \(f(10) + f(11) + f(12) + ... + f(20)\)

prob <- pbinom(q = 20, size = n, prob = exito) - pbinom(q = 9, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 estudiantes es de: ", prob)

## [1] "La probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 estudiantes es de:  0.822857123300262"

o bien …

# o
sum(dbinom(x = 10:20, size = n, prob = exito))

## [1] 0.8228571

o bien usando la tabla, se comprueba sumando los valores de los registros 11 al 21

sum(tabla$f.x[11:21])  

## [1] 0.8228571

* La Probabilidad de que aprueben de 25 o más alumnos alumnos

Se debe calcular \(f(x\geq25)\) o restar el valor acumulado de 24 a 1. \(1 - F(x=24)\) o sumar \(f(25) + f(26) + f(27) + ... + f(30)\)

Con pbinom() y con lower.tail() = TRUE se encuentra la probabilidad mayor a 24.

prob <- pbinom(q = 24, size = n, prob = exito, lower.tail = FALSE)
paste ("La probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos es de ", prob)

## [1] "La probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos es de  0.0056587963713998"

# Se puede comprobar sumando los renglones 26 al 31 de la tabla
sum(tabla$f.x[26:31])

## [1] 0.005658796

o bien

sum(dbinom(x = 25:30, size = n, prob = exito))

## [1] 0.005658796

* El Valor esperado

El valor esperado es la cantidad de alumnos que aprueben el examen.

VE <- resultado$VE
paste("El valor esperado es: ",VE)

## [1] "El valor esperado es:  18"

* La Varianza Y La Desviación Estándar

Varianza

varianza <- resultado$varianza
paste ("La varianza es: ", round(varianza, 4))

## [1] "La varianza es:  7.2"

Desviación

desviacion.std <- resultado$desv.std
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 4))

## [1] "La desviación std es:  2.6833"

La desviación como parte de la varianza significa la cantidad de alumnos que puede variar con respecto al valor medio \(VE\) previamente calculado.

* Actividad No. 8 - Ejercicio De Los Autobuses Contaminantes

* Los Datos Pertienentes Del Tema

Suponga que un grupo de agentes de tránsito sale a una vía principal para revisar el estado de los autobuses de transporte intermunicipal.

De datos históricos se sabe que un \(10\%\) de los camiones generan una mayor cantidad de humo de la permitida. En cada jornada los agentes revisan siempre \(18\) unidades (autobuses). Se asume que el estado de un autobús es independiente del estado de los otros autobuses. [@hernandez_manual_2021].

• Construir la tabla de distribución

• Visualizar la densidad o las probabilidades para cada variable discreta

• Calcular la probabilidad de que se encuentren exactamente 2 buses que generan una mayor cantidad de humo de la permitida.

• Calcular la probabilidad de que el número de autobuses que sobrepasan el límite de generación de gases sea al menos 4.

• Calcular la probabilidad de que existan MAS DE TRES (a partir de CUATRO) autobuses que emitan gases por encima de lo permitido en la norma

• Calcular el valor esperado.

• Calcular la varianza y la desviación.

• Generar una muestra aleatoria de 100 valores y comparar las frecuencias relativas con las probabilidad originales.

• Interpretar el caso.

* La Construcción De La Tabla de Distribución

Se inicializan variables

x <- 0:18
n <- 18
exito <- 0.10

Se construye la tabla de distribución nuevamente mandando llamar la función.

resultado <- f.binom.all(n = n, exito = exito)

tabla <- resultado$tabla
tabla

##     x                  f.x       F.x
## 1   0 0.150094635296999152 0.1500946
## 2   1 0.300189270593998137 0.4502839
## 3   2 0.283512088894331660 0.7337960
## 4   3 0.168007163789233555 0.9018032
## 5   4 0.070002984912180641 0.9718061
## 6   5 0.021778706417122911 0.9935848
## 7   6 0.005243021915233281 0.9988279
## 8   7 0.000998670840996817 0.9998265
## 9   8 0.000152574711818958 0.9999791
## 10  9 0.000018836384175180 0.9999980
## 11 10 0.000001883638417518 0.9999998
## 12 11 0.000000152213205456 1.0000000
## 13 12 0.000000009865670724 1.0000000
## 14 13 0.000000000505931832 1.0000000
## 15 14 0.000000000020076660 1.0000000
## 16 15 0.000000000000594864 1.0000000
## 17 16 0.000000000000012393 1.0000000
## 18 17 0.000000000000000162 1.0000000
## 19 18 0.000000000000000001 1.0000000

* La Visualización De Probabilidades

Se muestran las probabilidades de cada variable discreta usando directamente la variable resultado.

plot_grid(resultado$g.dens, resultado$g_all$dens  )

plot_grid(resultado$g_barra, resultado$g_all$acum )

Utilizando plotly que se encuentra en la variable resultado

resultado$g.hist.plotly 

resultado$g.acum.plotly

* La Probabilidad de que se encuentren exactamente 2 buses

\[ f(x=2) \]

x <- 2
prob <- dbinom(x = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de encontrar dos camiones contaminantes es de : ", prob)

## [1] "La probabilidad de encontrar dos camiones contaminantes es de :  0.283512088894332"

* La Probabilidad de menos de cuatro autobuses

Se requiere encontrar la probabilidad de cuando la variables tenga valores entre cero y cuatro. \(f(x=0) + f(x=1) + f(x=2) + f(x=3) + f(x=4)\) o lo que es lo mismo \(P(x\leq 4)\) o en términos de probabilidad acumulada \(F(x=4)\).

x <- 4
prob <- pbinom(q = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de: ", prob)

## [1] "La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de:  0.971806143486743"

* La Probabilidad de MAS de tres autobuses

Se requiere encontrar la probabilidad de cuando la variables tenga valores entre cuatro y dieciocho. \(f(x=4) + f(x=5) + f(x=6) + f(x=7) ... + ...f(x=18)\) o lo que es lo mismo \(P(x \geq 3)\) o en términos de probabilidad acumulada \(1 - F(x=4)\).

x1 <- 3
x2 <- 18
prob <- 1 - pbinom(q = x1, size = n, prob = exito)  
paste ("La probabilidad de encontrar mas de tres camiones es de: ", prob)

## [1] "La probabilidad de encontrar mas de tres camiones es de:  0.0981968414254375"

Se puede encontrar usando la expresión lower.tail = FALSE

pbinom(q = 3, size = n, prob = exito, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.09819684

* El Valor Esperado

VE <- resultado$VE
paste("El valor esperado es: ",VE)

## [1] "El valor esperado es:  1.8"

El valor esperado de 1.8 significa el valor medio de camiones que se pueden encontrar que contaminan

* La Varianza Y La Desviación Estándar

Varianza

varianza <- resultado$varianza
paste ("La varianza es: ", round(varianza, 2))

## [1] "La varianza es:  1.62"

Desviación

desviacion.std <- resultado$desv.std
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 4))

## [1] "La desviación std es:  1.2728"

La varianza y de manera más específica la desviación significa que tanto varía (se aleja o se acerca) con respeto al valor medio o valor esperado \(VE\) el número de autobuses con probabilidad de encontrarse con partículas contaminantes.

* Los Valores Aleatorios

Se utiliza la función rbinom() para simular un estudio y generar valores aleatorios conforme a la distribución binomial.

El estudio o la simulación se hace con un experimento de 100 camiones, a partir del estudio previo de 18 camiones, es decir, se utiliza la misma probabilidad del 10% de éxito de encontrar camiones contaminantes.

n.muestra <- 100
x.muestra <- rbinom(n = n.muestra, size = n, prob = exito)
x.muestra

##   [1] 3 5 0 3 1 2 3 1 4 1 5 4 0 2 1 2 2 4 3 1 3 1 1 2 0 1 0 0 3 3 1 3 3 2 1 3 3
##  [38] 0 3 3 0 1 1 1 2 0 1 1 3 1 2 0 1 1 1 2 2 2 0 0 2 0 4 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2
##  [75] 1 1 1 4 0 1 0 1 2 2 1 3 5 3 0 0 3 4 0 1 1 0 1 0 0 1

Calculando frecuencias relativas

Con la función table() se determina la frecuencia y con prop.table() se encuentra la frecuencia relativa.

table(x.muestra)

## x.muestra
##  0  1  2  3  4  5 
## 20 29 23 19  6  3

tabla.muestra <- data.frame(prob = prop.table(table(x.muestra)))
colnames(tabla.muestra) <- c("x", "f(x)" )
tabla.muestra

##   x f(x)
## 1 0 0.20
## 2 1 0.29
## 3 2 0.23
## 4 3 0.19
## 5 4 0.06
## 6 5 0.03

Se observa que los mayores valores probabilísticos está entre 1 y 3, entonces la muestra se relaciona con los valores probabilísticos del origen de los datos.

Encontar valores de x a partir de f(x)

Con la función estadísticas qbinom() se pueden encontrar valores de x a partir de un valor de probabilidad binomial con la probabilidad de éxito

Ejemplo: Retomando los valores de el ejercicio de autobuses contaminantes

print("Datos de autobuses contaminantes")

## [1] "Datos de autobuses contaminantes"

print ("Variable aleatoria (x)")

## [1] "Variable aleatoria (x)"

print(x)

## [1] 4

print("Cantidad de la muestra (n)")

## [1] "Cantidad de la muestra (n)"

print(n)

## [1] 18

print("Probabilidad de éxito (p)")

## [1] "Probabilidad de éxito (p)"

print(exito)

## [1] 0.1

¿Cuál es el valor de \(x\) con una \(f(x)\) de 0.1859?

la función qbinom() es lo contrario a dbinom()

Aquí las probabilidades \(f(x)\) de 0 a 15

pbinom(q = x, size = n, prob = exito)

## [1] 0.9718061

Aquí el valor de x cuando \(f(x) = 0.45\)

print("El valor de x es:")

## [1] "El valor de x es:"

qbinom(p = 0.45, size = n, prob = exito)

## [1] 1

Con la función plotly() la curva acumulada de \(F(x)\)

  g.plotly <- plot_ly(
    x = c(x),
    y = c(pbinom(q = x, size = n, prob = exito)),
    type = "scatter" ,
    mode = "lines") %>%
    layout(title = "Distribución binomial",
           xaxis = list(title = "x's"), 
           yaxis = list(title = "Función de Prob. f(X)")
    )
  g.plotly

* Análisis Crítico De Los Datos Obtenidos

* Interpretación De La Práctica

La distribución binomial es un modelo estadístico utilizado para modelar la frecuencia de eventos en una serie de experimentos independientes, cada uno con dos resultados: éxito o fracaso. Se llama binomial porque se basa en la probabilidad de que un determinado evento no suceda o no suceda.

La distribución binomial se utiliza en una amplia variedad de aplicaciones. Por ejemplo, puede modelar la frecuencia de aciertos en un examen si el estudiante responde sí o no a cada pregunta, la frecuencia de éxito en una campaña de marketing, la frecuencia de defectos en una línea de producción, entre otros.

Para hacer inferencias sobre la distribución binomial, se pueden utilizar técnicas estadísticas como el intervalo de confianza y la prueba de hipótesis. Estas técnicas permiten determinar si la frecuencia observada de éxitos en una serie de experimentos es significativamente diferente de la frecuencia esperada de acuerdo con la probabilidad de éxito en cada ensayo.

En resumen, la distribución binomial es una herramienta fundamental en la estadística para modelar la frecuencia de eventos con dos posibles resultados en una serie de experimentos. Su uso es extenso en diferentes áreas, y su análisis permite tomar decisiones y tomar decisiones en base a datos.

* Referencias Bibliográficas

• Levine, D. M. (2010) Estadística para administración y economía. (7ª. ed.) México : Pearson Educación.

• Mendenhall, W. (2010). Introducción a la Probabilidad y Estadística. (13ª. ed.) México: Cengage Learning.

• Montgomery, D. C. (2011). Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. (2ª. ed.) México : Limusa: Wiley.

• Quezada, L. (2010). Estadística para ingenieros. México : Empresa Editora Macro.