Ejemplos de Heterocedasticidad
2023
Ejemplo 1
Se cuenta con la información sobre los gastos en viajes de vacaciones de ocho familias (\(Y\) en soles), ingreso mensual (\(X_1\), en soles) y edad del jefe de familia (\(X_2\), en años). Se asume que la relación entre los gastos y cada una de las covariables (ingreso mensual y edad del jefe de familia) es lineal.
Ejemplo 1
- Código en R para el análisis gráfico
Ejemplo 1
Ejemplo 1
- Prueba de hipótesis de Goldfeld-Quandt
##
## Goldfeld-Quandt test
##
## data: mod1
## GQ = 17078, df1 = 1, df2 = 1, p-value = 0.004871
## alternative hypothesis: variance increases from segment 1 to 2Ejemplo 1
- Prueba de hipótesis de Breusch-Pagan
Ejemplo 1
- Prueba de hipótesis de Breusch-Pagan
##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: mod1
## BP = 5.3509, df = 2, p-value = 0.06888Ejemplo 1
- Prueba de hipótesis de Breusch-Pagan
## [1] 0.6688566## [1] 5.350853## [1] 0.06887746Ejemplo 1
- Prueba de hipótesis de White
##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: mod1
## BP = 7.9601, df = 5, p-value = 0.1584Ejemplo 1
- Prueba de hipótesis de White
## [1] 0.9950128## [1] 7.960102## [1] 0.01868468Ejemplo 1
- Mínimos cuadrados ponderados asumiendo que el comportamiento es proporcional a la variancia
V <- diag(x1,length(x1))
X <- as.matrix(cbind(1,x1,x2))
y1 <- as.matrix(y)
betas <- solve(t(X)%*%solve(V)%*%X)%*%t(X)%*%solve(V)%*%y
betas## [,1]
## 12.92176053
## x1 0.09176442
## x2 10.08454323Ejemplo 1
- Mínimos cuadrados ponderados asumiendo que el comportamiento es proporcional a la variancia
## [1] 2.688117## x1 x2
## 2880.6780630 -0.5602102483 -56.203561455
## x1 -0.5602102 0.0007194059 -0.003074907
## x2 -56.2035615 -0.0030749072 1.624800164Ejemplo 1
## x1 x2
## 53.67194857 0.02682174 1.27467649## Generalized least squares fit by REML
## Model: y ~ x1 + x2
## Data: NULL
## AIC BIC logLik
## 87.25434 85.6921 -39.62717
##
## Variance function:
## Structure: fixed weights
## Formula: ~x1
##
## Coefficients:
## Value Std.Error t-value p-value
## (Intercept) 12.921761 53.67195 0.240754 0.8193
## x1 0.091764 0.02682 3.421270 0.0188
## x2 10.084543 1.27468 7.911453 0.0005
##
## Correlation:
## (Intr) x1
## x1 -0.389
## x2 -0.822 -0.090
##
## Standardized residuals:
## Min Q1 Med Q3 Max
## -1.67175398 -0.09708158 0.05128327 0.16584542 1.43204921
##
## Residual standard error: 1.639548
## Degrees of freedom: 8 total; 5 residualEjemplo 2
Para ilustrar la metodología, usaremos los datos publicados por Smith et al. (2005), quienes observaron patrones estacionales en tejidos reproductivos y somáticos en el calamar Loligo forbesi. Utilizaron varias variables en calamares femeninos y masculinos, pero en este capítulo, solo usamos la longitud del manto dorsal (en mm) y el peso de los testículos de 768 calamares machos
Ejemplo 2
El objetivo es modelar el peso del testículo en función de la longitud del manto dorsal (DML) y el mes registrado. La idea detrás del análisis original fue investigar el papel de los factores endógenos y exógenos que afectan la maduración sexual, más específicamente para determinar hasta qué punto la maduración está relacionada con el tamaño y la estacionalidad. Se puede encontrar más información biológica en Smith et al. (2005).
Ejemplo 2
Nuestro punto de partida es un modelo de regresión lineal de la forma:
\[Y_i=\beta_0+\beta_1 DML_i+\beta_2 Month_i+\beta_3 DML_i \times Month_i + \varepsilon_i\]
El mes se usa como una variable nominal (con 12 niveles) y se ajusta \(DML\) como una variable continua.
El trabajo anterior sobre la especie relacionada Loligo vulgaris mostró gráficamente que la madurez era una función tanto del tamaño como de la estación, y que el tamaño en la madurez difería entre las estaciones (Raya et al., 1999).
El supuesto crucial es que \(\varepsilon_i \sim N(0,1)\).
Ejemplo 2
Ejemplo 2
Ejemplo 2
M1 <- lm(Testisweight ~ DML * fMONTH, data = Squid)
op <- par(mfrow = c(2, 2), mar = c(4, 4, 2, 2))
plot(M1, which = c(1), col = 1, add.smooth = FALSE,
caption = "")
plot(Squid$fMONTH, resid(M1), xlab = "Month",
ylab = "Residuals")
plot(Squid$DML, resid(M1), xlab = "DML",
ylab = "Residuals")
par(op)Ejemplo 2
La estructura de varianza fija
La estructura de varianza fija (The Fixed Variance Structure)
\[\varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2 DML_i) \quad i=1,\ldots,768\]
Dicha estructura de varianza permite una mayor dispersión residual si aumenta el DML.
La estructura de varianza fija
La estructura de varianza fija
## Model df AIC BIC logLik
## M.lm 1 25 3752.084 3867.385 -1851.042
## M.gls1 2 25 3620.898 3736.199 -1785.449La estructura de varianza VarIdent
Este modelo facilita la formulación de la estructura de la varianza con una dispersión diferente por estrato:
\[\varepsilon_{ij} \sim N(0,\sigma^2_j) \quad j=1,\ldots,12\]
Entonces, ahora tenemos \(var(\varepsilon_{ij})=\sigma^2_j\), y cada mes puede tener una varianza diferente.
La estructura de varianza VarIdent
vf2 <- varIdent(form= ~ 1 | fMONTH)
M.gls2 <- gls(Testisweight ~ DML*fMONTH, data =Squid, weights = vf2)
anova(M.lm, M.gls1, M.gls2)## Model df AIC BIC logLik Test L.Ratio p-value
## M.lm 1 25 3752.084 3867.385 -1851.042
## M.gls1 2 25 3620.898 3736.199 -1785.449
## M.gls2 3 36 3614.436 3780.469 -1771.218 2 vs 3 28.46161 0.0027La estructura de varianza VarIdent
## Generalized least squares fit by REML
## Model: Testisweight ~ DML * fMONTH
## Data: Squid
## AIC BIC logLik
## 3614.436 3780.469 -1771.218
##
## Variance function:
## Structure: Different standard deviations per stratum
## Formula: ~1 | fMONTH
## Parameter estimates:
## 2 9 12 11 8 10 5 7
## 1.0000000 2.9913588 1.2736165 1.5090471 0.9821378 2.2162169 1.6396315 1.3783514
## 6 4 1 3
## 1.6473098 1.4232366 1.9584902 1.9788666
##
## Coefficients:
## Value Std.Error t-value p-value
## (Intercept) 3.215222 1.8341071 1.753017 0.0800
## DML 0.021157 0.0054400 3.889175 0.0001
## fMONTH2 -6.720020 1.9597221 -3.429068 0.0006
## fMONTH3 -3.926923 2.1674222 -1.811794 0.0704
## fMONTH4 -4.772045 2.0577397 -2.319071 0.0207
## fMONTH5 -2.771457 2.1100343 -1.313466 0.1894
## fMONTH6 -9.598061 2.2226968 -4.318205 0.0000
## fMONTH7 -7.494959 2.0476376 -3.660295 0.0003
## fMONTH8 -7.479426 2.1418112 -3.492103 0.0005
## fMONTH9 -14.963009 2.1846006 -6.849311 0.0000
## fMONTH10 -12.320827 1.9458121 -6.331972 0.0000
## fMONTH11 -12.650490 2.0247519 -6.247921 0.0000
## fMONTH12 -9.235813 1.9872672 -4.647494 0.0000
## DML:fMONTH2 0.018032 0.0062548 2.882916 0.0041
## DML:fMONTH3 0.003151 0.0067435 0.467309 0.6404
## DML:fMONTH4 0.002972 0.0064731 0.459058 0.6463
## DML:fMONTH5 -0.008677 0.0066347 -1.307773 0.1914
## DML:fMONTH6 0.017620 0.0075283 2.340566 0.0195
## DML:fMONTH7 0.004647 0.0067263 0.690912 0.4898
## DML:fMONTH8 0.000500 0.0069997 0.071447 0.9431
## DML:fMONTH9 0.044242 0.0068417 6.466483 0.0000
## DML:fMONTH10 0.039495 0.0059475 6.640523 0.0000
## DML:fMONTH11 0.046671 0.0066109 7.059729 0.0000
## DML:fMONTH12 0.034099 0.0064115 5.318337 0.0000
##
## Correlation:
## (Intr) DML fMONTH2 fMONTH3 fMONTH4 fMONTH5 fMONTH6 fMONTH7
## DML -0.979
## fMONTH2 -0.936 0.916
## fMONTH3 -0.846 0.829 0.792
## fMONTH4 -0.891 0.873 0.834 0.754
## fMONTH5 -0.869 0.851 0.814 0.736 0.775
## fMONTH6 -0.825 0.808 0.772 0.698 0.735 0.717
## fMONTH7 -0.896 0.877 0.838 0.758 0.798 0.779 0.739
## fMONTH8 -0.856 0.839 0.801 0.725 0.763 0.744 0.707 0.767
## fMONTH9 -0.840 0.822 0.786 0.710 0.748 0.730 0.693 0.752
## fMONTH10 -0.943 0.923 0.882 0.798 0.840 0.819 0.778 0.844
## fMONTH11 -0.906 0.887 0.848 0.767 0.807 0.787 0.747 0.811
## fMONTH12 -0.923 0.904 0.864 0.781 0.823 0.802 0.762 0.827
## DML:fMONTH2 0.852 -0.870 -0.962 -0.721 -0.759 -0.740 -0.703 -0.763
## DML:fMONTH3 0.790 -0.807 -0.739 -0.973 -0.704 -0.687 -0.652 -0.708
## DML:fMONTH4 0.823 -0.840 -0.770 -0.696 -0.969 -0.715 -0.679 -0.737
## DML:fMONTH5 0.803 -0.820 -0.751 -0.679 -0.716 -0.966 -0.663 -0.719
## DML:fMONTH6 0.708 -0.723 -0.662 -0.599 -0.631 -0.615 -0.960 -0.634
## DML:fMONTH7 0.792 -0.809 -0.741 -0.670 -0.706 -0.688 -0.654 -0.957
## DML:fMONTH8 0.761 -0.777 -0.712 -0.644 -0.678 -0.662 -0.628 -0.682
## DML:fMONTH9 0.779 -0.795 -0.729 -0.659 -0.694 -0.677 -0.642 -0.697
## DML:fMONTH10 0.896 -0.915 -0.838 -0.758 -0.798 -0.779 -0.739 -0.802
## DML:fMONTH11 0.806 -0.823 -0.754 -0.682 -0.718 -0.700 -0.665 -0.722
## DML:fMONTH12 0.831 -0.848 -0.778 -0.703 -0.741 -0.722 -0.686 -0.744
## fMONTH8 fMONTH9 fMONTH10 fMONTH11 fMONTH12 DML:MONTH2 DML:MONTH3
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9 0.719
## fMONTH10 0.807 0.791
## fMONTH11 0.776 0.761 0.854
## fMONTH12 0.790 0.775 0.870 0.836
## DML:fMONTH2 -0.729 -0.715 -0.803 -0.771 -0.786
## DML:fMONTH3 -0.676 -0.663 -0.745 -0.716 -0.729 0.702
## DML:fMONTH4 -0.705 -0.691 -0.776 -0.745 -0.760 0.731 0.678
## DML:fMONTH5 -0.688 -0.674 -0.757 -0.727 -0.741 0.713 0.661
## DML:fMONTH6 -0.606 -0.594 -0.667 -0.641 -0.653 0.628 0.583
## DML:fMONTH7 -0.678 -0.665 -0.747 -0.717 -0.731 0.703 0.652
## DML:fMONTH8 -0.973 -0.639 -0.717 -0.689 -0.702 0.676 0.627
## DML:fMONTH9 -0.667 -0.970 -0.734 -0.705 -0.719 0.692 0.641
## DML:fMONTH10 -0.767 -0.752 -0.969 -0.811 -0.827 0.796 0.738
## DML:fMONTH11 -0.690 -0.677 -0.760 -0.964 -0.744 0.716 0.664
## DML:fMONTH12 -0.711 -0.698 -0.783 -0.753 -0.961 0.738 0.684
## DML:MONTH4 DML:MONTH5 DML:MONTH6 DML:MONTH7 DML:MONTH8 DML:MONTH9
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5 0.689
## DML:fMONTH6 0.607 0.592
## DML:fMONTH7 0.680 0.663 0.584
## DML:fMONTH8 0.653 0.637 0.562 0.629
## DML:fMONTH9 0.668 0.652 0.575 0.643 0.618
## DML:fMONTH10 0.769 0.750 0.661 0.740 0.711 0.727
## DML:fMONTH11 0.692 0.675 0.595 0.666 0.640 0.654
## DML:fMONTH12 0.713 0.696 0.613 0.686 0.659 0.675
## DML:MONTH10 DML:MONTH11
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5
## DML:fMONTH6
## DML:fMONTH7
## DML:fMONTH8
## DML:fMONTH9
## DML:fMONTH10
## DML:fMONTH11 0.753
## DML:fMONTH12 0.776 0.698
##
## Standardized residuals:
## Min Q1 Med Q3 Max
## -3.81345785 -0.59501560 -0.03602982 0.63482429 4.28871347
##
## Residual standard error: 1.273373
## Degrees of freedom: 768 total; 744 residualLa estructura de varianza VarIdent
Los números debajo de los meses (2, 9, 12, etc.) son factores de multiplicación. Muestran la tasa (ratio) con el error estándar residual estimado (1.27), el estimador para \(\sigma\). Llamemos a este estimador \(s\); Por lo tanto, \(s = 1.27\). Un factor de multiplicación se establece en \(1\) (en este caso, el mes \(2\)). En el mes 9, la varianza es 2.99 × \(s\), en el mes 12 es \(1.27 × s\), etc. Tenga en cuenta que los meses 9 y 10, y 3 tienen las tasas más altas, lo que indica que en estos meses hay más variación residual.
Ejemplo 2
Si tiene dos variables explicativas nominales, digamos mes y ubicación, y la dispersión difiere para todos los estratos, entonces puede usar varIdent (form = ~ 1 | fMONTH * factor (LOCATION)). Pero no tenemos información de ubicación para los datos del calamar.
Ejemplo 2
Ejemplo 2
Entonces, ¿qué opción es mejor: una distribución diferente por mes o una distribución diferente a lo largo de DML? Si en la Figura, los valores ajustados más pequeños son de los meses con menos distribución y los valores ajustados más grandes son de los meses con una distribución más alta, entonces usar diferentes variaciones por mes tiene más sentido.
Ejemplo 2
Ejemplo 2
El código mostrado produce un gráfico como el del slide anterior pero
colorea las observaciones del mismo mes.
La parte
col = Squid $ MONTH asegura que las
observaciones del mismo mes tengan el mismo color. Este enfoque funciona
aquí porque el MES está codificado con los valores 1–12. Si lo codificó
como “Enero”, “Febrero”, etc., entonces necesitaría hacer un nuevo
vector con los valores 1, 2, 3, etc. El gráfico no muestra ninguna
agrupación clara.
Ejemplo 2
Ejemplo 2
El coplot de los residuos frente a DML, condicional al mes para el modelo de regresión lineal:
\[Y_i=\beta_0+\beta_1 DML_i+\beta_2 Month_i+\beta_3 DML_i \times Month_i + \varepsilon_i\]
El coplot resultante muestra que la variación residual difiere por mes, pero en algunos meses (por ejemplo, 3, 9 y 10), la dispersión residual también aumenta para valores de DML más grandes. Entonces, ambos son influyentes: la dispersión residual está influenciada por el mes y la longitud.
La estructura de varianza varPower
En la siguiente estructura de varianza \[\varepsilon_{ij} \sim N(0,\sigma^2 \times |DML_{ij}|^{2\delta} )\] Si la covariable de la varianza tiene valores iguales a cero, no debe utilizarse varPower. Para los datos de squid, todos los valores DML son mayores que 0 (DML es la longitud); por lo que no es un problema con este ejemplo. El siguiente código R implementa la función varPower. El AIC del modelo es 3473.019 y \(\delta=1.75\)
La estructura de varianza varPower
vf3 <- varPower(form =~ DML)
M.gls3 <- gls(Testisweight ~ DML * fMONTH, weights = vf3, data = Squid)
summary(M.gls3)## Generalized least squares fit by REML
## Model: Testisweight ~ DML * fMONTH
## Data: Squid
## AIC BIC logLik
## 3473.019 3592.932 -1710.509
##
## Variance function:
## Structure: Power of variance covariate
## Formula: ~DML
## Parameter estimates:
## power
## 1.759009
##
## Coefficients:
## Value Std.Error t-value p-value
## (Intercept) -4.929709 1.7872866 -2.758208 0.0060
## DML 0.047115 0.0063601 7.408002 0.0000
## fMONTH2 1.484031 2.1039518 0.705354 0.4808
## fMONTH3 3.803713 2.0014786 1.900451 0.0578
## fMONTH4 3.587745 2.0352382 1.762813 0.0783
## fMONTH5 4.095226 2.0049060 2.042603 0.0414
## fMONTH6 -0.512658 2.1004444 -0.244071 0.8072
## fMONTH7 3.888254 1.8751350 2.073586 0.0385
## fMONTH8 3.501394 2.0700007 1.691494 0.0912
## fMONTH9 -1.555843 1.8571087 -0.837777 0.4024
## fMONTH10 0.601705 1.8325365 0.328346 0.7427
## fMONTH11 -1.583151 1.9433455 -0.814652 0.4155
## fMONTH12 -0.806765 1.9292356 -0.418178 0.6759
## DML:fMONTH2 -0.008271 0.0089857 -0.920491 0.3576
## DML:fMONTH3 -0.021183 0.0075131 -2.819497 0.0049
## DML:fMONTH4 -0.024106 0.0080250 -3.003825 0.0028
## DML:fMONTH5 -0.029063 0.0079952 -3.635115 0.0003
## DML:fMONTH6 -0.012938 0.0085832 -1.507398 0.1321
## DML:fMONTH7 -0.037953 0.0073436 -5.168172 0.0000
## DML:fMONTH8 -0.037297 0.0079732 -4.677808 0.0000
## DML:fMONTH9 -0.002988 0.0068251 -0.437862 0.6616
## DML:fMONTH10 -0.009100 0.0067724 -1.343641 0.1795
## DML:fMONTH11 0.006744 0.0075168 0.897205 0.3699
## DML:fMONTH12 0.006668 0.0076750 0.868768 0.3853
##
## Correlation:
## (Intr) DML fMONTH2 fMONTH3 fMONTH4 fMONTH5 fMONTH6 fMONTH7
## DML -0.969
## fMONTH2 -0.849 0.823
## fMONTH3 -0.893 0.865 0.759
## fMONTH4 -0.878 0.851 0.746 0.784
## fMONTH5 -0.891 0.863 0.757 0.796 0.783
## fMONTH6 -0.851 0.824 0.723 0.760 0.747 0.759
## fMONTH7 -0.953 0.923 0.810 0.851 0.837 0.850 0.811
## fMONTH8 -0.863 0.836 0.733 0.771 0.758 0.770 0.735 0.823
## fMONTH9 -0.962 0.932 0.818 0.859 0.845 0.858 0.819 0.917
## fMONTH10 -0.975 0.945 0.829 0.871 0.856 0.869 0.830 0.930
## fMONTH11 -0.920 0.891 0.781 0.821 0.808 0.820 0.783 0.877
## fMONTH12 -0.926 0.897 0.787 0.827 0.814 0.826 0.788 0.883
## DML:fMONTH2 0.686 -0.708 -0.948 -0.612 -0.602 -0.611 -0.583 -0.653
## DML:fMONTH3 0.820 -0.847 -0.696 -0.963 -0.720 -0.731 -0.698 -0.781
## DML:fMONTH4 0.768 -0.793 -0.652 -0.685 -0.956 -0.684 -0.653 -0.732
## DML:fMONTH5 0.770 -0.795 -0.654 -0.688 -0.677 -0.951 -0.656 -0.734
## DML:fMONTH6 0.718 -0.741 -0.610 -0.641 -0.630 -0.640 -0.954 -0.684
## DML:fMONTH7 0.839 -0.866 -0.713 -0.749 -0.737 -0.748 -0.714 -0.942
## DML:fMONTH8 0.773 -0.798 -0.656 -0.690 -0.678 -0.689 -0.657 -0.736
## DML:fMONTH9 0.903 -0.932 -0.767 -0.806 -0.793 -0.805 -0.768 -0.860
## DML:fMONTH10 0.910 -0.939 -0.773 -0.812 -0.799 -0.811 -0.774 -0.867
## DML:fMONTH11 0.819 -0.846 -0.696 -0.732 -0.720 -0.731 -0.697 -0.781
## DML:fMONTH12 0.803 -0.829 -0.682 -0.717 -0.705 -0.715 -0.683 -0.765
## fMONTH8 fMONTH9 fMONTH10 fMONTH11 fMONTH12 DML:MONTH2 DML:MONTH3
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9 0.831
## fMONTH10 0.842 0.939
## fMONTH11 0.794 0.885 0.897
## fMONTH12 0.800 0.892 0.904 0.852
## DML:fMONTH2 -0.592 -0.660 -0.669 -0.630 -0.635
## DML:fMONTH3 -0.708 -0.789 -0.800 -0.754 -0.760 0.599
## DML:fMONTH4 -0.663 -0.739 -0.749 -0.706 -0.711 0.561 0.671
## DML:fMONTH5 -0.665 -0.741 -0.751 -0.709 -0.714 0.563 0.673
## DML:fMONTH6 -0.620 -0.691 -0.700 -0.660 -0.665 0.524 0.627
## DML:fMONTH7 -0.724 -0.807 -0.818 -0.771 -0.777 0.613 0.733
## DML:fMONTH8 -0.962 -0.744 -0.753 -0.711 -0.716 0.565 0.675
## DML:fMONTH9 -0.779 -0.962 -0.880 -0.830 -0.836 0.660 0.789
## DML:fMONTH10 -0.785 -0.875 -0.960 -0.836 -0.843 0.665 0.795
## DML:fMONTH11 -0.708 -0.789 -0.799 -0.958 -0.759 0.599 0.716
## DML:fMONTH12 -0.693 -0.772 -0.783 -0.738 -0.948 0.587 0.701
## DML:MONTH4 DML:MONTH5 DML:MONTH6 DML:MONTH7 DML:MONTH8 DML:MONTH9
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5 0.630
## DML:fMONTH6 0.587 0.589
## DML:fMONTH7 0.686 0.689 0.642
## DML:fMONTH8 0.632 0.635 0.591 0.691
## DML:fMONTH9 0.739 0.741 0.690 0.807 0.743
## DML:fMONTH10 0.744 0.747 0.696 0.813 0.749 0.875
## DML:fMONTH11 0.671 0.673 0.627 0.733 0.675 0.788
## DML:fMONTH12 0.657 0.659 0.614 0.718 0.661 0.772
## DML:MONTH10 DML:MONTH11
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5
## DML:fMONTH6
## DML:fMONTH7
## DML:fMONTH8
## DML:fMONTH9
## DML:fMONTH10
## DML:fMONTH11 0.795
## DML:fMONTH12 0.778 0.701
##
## Standardized residuals:
## Min Q1 Med Q3 Max
## -2.87394296 -0.61680026 -0.03835555 0.67910575 2.89389757
##
## Residual standard error: 0.0001361937
## Degrees of freedom: 768 total; 744 residualLa estructura de varianza varPower
La siguiente extensión hace posible modelar un aumento en la dispersión para valores DML más grandes, ¡pero solo en ciertos meses! \[\varepsilon_{ij} \sim N(0,\sigma^2 \times |DML_{ij}|^{2\delta_j} )\] se obtiene un AIC de 3407.51. Los parámetros \(\delta_j\) se obtienen usando el comando summary
La estructura de varianza varPower
vf4 <- varPower(form =~ DML | fMONTH)
M.gls4 <- gls(Testisweight ~ DML * fMONTH, data = Squid, weights = vf4)
summary(M.gls4)## Generalized least squares fit by REML
## Model: Testisweight ~ DML * fMONTH
## Data: Squid
## AIC BIC logLik
## 3407.511 3578.156 -1666.755
##
## Variance function:
## Structure: Power of variance covariate, different strata
## Formula: ~DML | fMONTH
## Parameter estimates:
## 2 9 12 11 8 10 5 7
## 1.728526 1.789499 1.733557 1.749259 1.617693 1.789182 1.746517 1.673240
## 6 4 1 3
## 1.754484 1.711367 1.698942 1.722739
##
## Coefficients:
## Value Std.Error t-value p-value
## (Intercept) -4.780792 1.3347144 -3.581884 0.0004
## DML 0.046587 0.0047136 9.883583 0.0000
## fMONTH2 1.334858 1.6540464 0.807026 0.4199
## fMONTH3 3.661187 1.5402903 2.376946 0.0177
## fMONTH4 3.410085 1.5457367 2.206123 0.0277
## fMONTH5 3.953013 1.5990242 2.472141 0.0137
## fMONTH6 -0.666440 1.7407690 -0.382842 0.7019
## fMONTH7 3.669068 1.3886086 2.642262 0.0084
## fMONTH8 3.241251 1.4361154 2.256957 0.0243
## fMONTH9 -1.646948 1.4697463 -1.120566 0.2628
## fMONTH10 0.520205 1.4226871 0.365649 0.7147
## fMONTH11 -1.742250 1.5319370 -1.137286 0.2558
## fMONTH12 -0.957207 1.4891786 -0.642775 0.5206
## DML:fMONTH2 -0.007741 0.0072987 -1.060629 0.2892
## DML:fMONTH3 -0.020683 0.0058091 -3.560449 0.0004
## DML:fMONTH4 -0.023433 0.0061142 -3.832576 0.0001
## DML:fMONTH5 -0.028571 0.0066472 -4.298187 0.0000
## DML:fMONTH6 -0.012384 0.0075008 -1.651069 0.0991
## DML:fMONTH7 -0.036971 0.0053041 -6.970303 0.0000
## DML:fMONTH8 -0.036261 0.0052886 -6.856548 0.0000
## DML:fMONTH9 -0.002745 0.0056084 -0.489530 0.6246
## DML:fMONTH10 -0.008962 0.0055068 -1.627408 0.1041
## DML:fMONTH11 0.007326 0.0061465 1.191940 0.2337
## DML:fMONTH12 0.007205 0.0061136 1.178596 0.2389
##
## Correlation:
## (Intr) DML fMONTH2 fMONTH3 fMONTH4 fMONTH5 fMONTH6 fMONTH7
## DML -0.969
## fMONTH2 -0.807 0.782
## fMONTH3 -0.867 0.840 0.699
## fMONTH4 -0.863 0.837 0.697 0.748
## fMONTH5 -0.835 0.809 0.674 0.723 0.721
## fMONTH6 -0.767 0.743 0.619 0.664 0.662 0.640
## fMONTH7 -0.961 0.931 0.776 0.833 0.830 0.802 0.737
## fMONTH8 -0.929 0.900 0.750 0.805 0.803 0.776 0.713 0.893
## fMONTH9 -0.908 0.880 0.733 0.787 0.784 0.758 0.696 0.873
## fMONTH10 -0.938 0.909 0.757 0.813 0.810 0.783 0.719 0.902
## fMONTH11 -0.871 0.844 0.703 0.755 0.752 0.727 0.668 0.837
## fMONTH12 -0.896 0.868 0.723 0.777 0.774 0.748 0.687 0.861
## DML:fMONTH2 0.626 -0.646 -0.947 -0.542 -0.540 -0.522 -0.480 -0.601
## DML:fMONTH3 0.786 -0.811 -0.634 -0.963 -0.679 -0.656 -0.603 -0.756
## DML:fMONTH4 0.747 -0.771 -0.603 -0.647 -0.956 -0.623 -0.573 -0.718
## DML:fMONTH5 0.687 -0.709 -0.554 -0.595 -0.593 -0.947 -0.527 -0.660
## DML:fMONTH6 0.609 -0.628 -0.491 -0.528 -0.526 -0.508 -0.954 -0.585
## DML:fMONTH7 0.861 -0.889 -0.695 -0.746 -0.743 -0.719 -0.660 -0.947
## DML:fMONTH8 0.864 -0.891 -0.697 -0.748 -0.746 -0.721 -0.662 -0.830
## DML:fMONTH9 0.814 -0.840 -0.657 -0.706 -0.703 -0.680 -0.624 -0.783
## DML:fMONTH10 0.829 -0.856 -0.669 -0.719 -0.716 -0.692 -0.636 -0.797
## DML:fMONTH11 0.743 -0.767 -0.600 -0.644 -0.642 -0.620 -0.570 -0.714
## DML:fMONTH12 0.747 -0.771 -0.603 -0.647 -0.645 -0.624 -0.573 -0.718
## fMONTH8 fMONTH9 fMONTH10 fMONTH11 fMONTH12 DML:MONTH2 DML:MONTH3
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9 0.844
## fMONTH10 0.872 0.852
## fMONTH11 0.810 0.791 0.817
## fMONTH12 0.833 0.814 0.841 0.781
## DML:fMONTH2 -0.582 -0.568 -0.587 -0.545 -0.561
## DML:fMONTH3 -0.731 -0.714 -0.738 -0.685 -0.705 0.524
## DML:fMONTH4 -0.694 -0.678 -0.701 -0.651 -0.669 0.498 0.626
## DML:fMONTH5 -0.639 -0.624 -0.645 -0.599 -0.616 0.458 0.575
## DML:fMONTH6 -0.566 -0.553 -0.571 -0.530 -0.546 0.406 0.510
## DML:fMONTH7 -0.800 -0.782 -0.808 -0.750 -0.772 0.574 0.721
## DML:fMONTH8 -0.965 -0.784 -0.810 -0.752 -0.774 0.576 0.723
## DML:fMONTH9 -0.757 -0.955 -0.764 -0.709 -0.730 0.543 0.682
## DML:fMONTH10 -0.771 -0.753 -0.949 -0.723 -0.743 0.553 0.695
## DML:fMONTH11 -0.691 -0.675 -0.697 -0.955 -0.666 0.495 0.622
## DML:fMONTH12 -0.694 -0.678 -0.701 -0.651 -0.943 0.498 0.626
## DML:MONTH4 DML:MONTH5 DML:MONTH6 DML:MONTH7 DML:MONTH8 DML:MONTH9
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5 0.547
## DML:fMONTH6 0.484 0.446
## DML:fMONTH7 0.685 0.630 0.558
## DML:fMONTH8 0.687 0.632 0.560 0.792
## DML:fMONTH9 0.648 0.596 0.528 0.747 0.749
## DML:fMONTH10 0.660 0.607 0.538 0.761 0.763 0.719
## DML:fMONTH11 0.591 0.544 0.482 0.681 0.683 0.645
## DML:fMONTH12 0.594 0.547 0.484 0.685 0.687 0.648
## DML:MONTH10 DML:MONTH11
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5
## DML:fMONTH6
## DML:fMONTH7
## DML:fMONTH8
## DML:fMONTH9
## DML:fMONTH10
## DML:fMONTH11 0.656
## DML:fMONTH12 0.660 0.591
##
## Standardized residuals:
## Min Q1 Med Q3 Max
## -3.84617018 -0.65952121 -0.04659447 0.72786439 3.67313696
##
## Residual standard error: 0.000141327
## Degrees of freedom: 768 total; 744 residualLa estructura de varianza varPower
Es una mejor opción si la covariable de la varianza puede tomar el valor de cero. Utiliza la función varExp en R \[var(\varepsilon_{ij})= \sigma^2 \times e^{2\delta \times DML_i}\] Esta estructura modela la varianza de los residuos como \(\sigma^2\) multiplicada por una función exponencial de covariable de la varianza DML y un parámetro desconocido \(\delta\). No hay restricciones en \(\delta\) o DML. Esta estructura también permite una disminución de la dispersión de los valores DML si \(\delta\) es negativo. El AIC de este modelo es 3478.15, que es ligeramente superior al del modelo M.gls3.
La estructura de varianza varPower
vf5 <- varExp(form =~ DML)
M.gls5 <- gls(Testisweight ~ DML * fMONTH, weights = vf5, data = Squid)
summary(M.gls5)## Generalized least squares fit by REML
## Model: Testisweight ~ DML * fMONTH
## Data: Squid
## AIC BIC logLik
## 3478.152 3598.066 -1713.076
##
## Variance function:
## Structure: Exponential of variance covariate
## Formula: ~DML
## Parameter estimates:
## expon
## 0.006832722
##
## Coefficients:
## Value Std.Error t-value p-value
## (Intercept) -5.806517 1.8330589 -3.167665 0.0016
## DML 0.050739 0.0065915 7.697645 0.0000
## fMONTH2 2.423940 2.1768785 1.113493 0.2659
## fMONTH3 4.625046 2.0688223 2.235594 0.0257
## fMONTH4 4.177234 2.1010592 1.988156 0.0472
## fMONTH5 4.959600 2.0789990 2.385571 0.0173
## fMONTH6 -0.038121 2.1738466 -0.017536 0.9860
## fMONTH7 4.599049 1.9800593 2.322682 0.0205
## fMONTH8 4.145204 2.2040101 1.880755 0.0604
## fMONTH9 -0.784126 1.9174903 -0.408933 0.6827
## fMONTH10 1.356938 1.8941664 0.716377 0.4740
## fMONTH11 -0.767039 2.0028545 -0.382973 0.7018
## fMONTH12 0.104666 2.0147500 0.051950 0.9586
## DML:fMONTH2 -0.012283 0.0092804 -1.323486 0.1861
## DML:fMONTH3 -0.024509 0.0078056 -3.139879 0.0018
## DML:fMONTH4 -0.026433 0.0082939 -3.187089 0.0015
## DML:fMONTH5 -0.032475 0.0083127 -3.906619 0.0001
## DML:fMONTH6 -0.014681 0.0088670 -1.655662 0.0982
## DML:fMONTH7 -0.040992 0.0078671 -5.210505 0.0000
## DML:fMONTH8 -0.040032 0.0085149 -4.701436 0.0000
## DML:fMONTH9 -0.006819 0.0071006 -0.960330 0.3372
## DML:fMONTH10 -0.012862 0.0070796 -1.816806 0.0696
## DML:fMONTH11 0.003242 0.0077696 0.417267 0.6766
## DML:fMONTH12 0.002804 0.0080791 0.347013 0.7287
##
## Correlation:
## (Intr) DML fMONTH2 fMONTH3 fMONTH4 fMONTH5 fMONTH6 fMONTH7
## DML -0.972
## fMONTH2 -0.842 0.818
## fMONTH3 -0.886 0.861 0.746
## fMONTH4 -0.872 0.848 0.735 0.773
## fMONTH5 -0.882 0.857 0.742 0.781 0.769
## fMONTH6 -0.843 0.819 0.710 0.747 0.736 0.743
## fMONTH7 -0.926 0.899 0.780 0.820 0.808 0.816 0.781
## fMONTH8 -0.832 0.808 0.700 0.737 0.726 0.733 0.701 0.770
## fMONTH9 -0.956 0.929 0.805 0.847 0.834 0.843 0.806 0.885
## fMONTH10 -0.968 0.940 0.815 0.857 0.844 0.853 0.816 0.896
## fMONTH11 -0.915 0.889 0.771 0.811 0.798 0.807 0.772 0.847
## fMONTH12 -0.910 0.884 0.766 0.806 0.794 0.802 0.767 0.842
## DML:fMONTH2 0.690 -0.710 -0.953 -0.611 -0.602 -0.608 -0.582 -0.639
## DML:fMONTH3 0.820 -0.844 -0.691 -0.968 -0.716 -0.723 -0.692 -0.760
## DML:fMONTH4 0.772 -0.795 -0.650 -0.684 -0.961 -0.681 -0.651 -0.715
## DML:fMONTH5 0.770 -0.793 -0.649 -0.683 -0.672 -0.956 -0.650 -0.713
## DML:fMONTH6 0.722 -0.743 -0.608 -0.640 -0.630 -0.637 -0.960 -0.669
## DML:fMONTH7 0.814 -0.838 -0.685 -0.721 -0.710 -0.718 -0.686 -0.951
## DML:fMONTH8 0.752 -0.774 -0.633 -0.666 -0.656 -0.663 -0.634 -0.696
## DML:fMONTH9 0.902 -0.928 -0.760 -0.799 -0.787 -0.795 -0.761 -0.835
## DML:fMONTH10 0.905 -0.931 -0.762 -0.802 -0.789 -0.798 -0.763 -0.837
## DML:fMONTH11 0.824 -0.848 -0.694 -0.730 -0.719 -0.727 -0.695 -0.763
## DML:fMONTH12 0.793 -0.816 -0.668 -0.702 -0.692 -0.699 -0.668 -0.734
## fMONTH8 fMONTH9 fMONTH10 fMONTH11 fMONTH12 DML:MONTH2 DML:MONTH3
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9 0.795
## fMONTH10 0.805 0.925
## fMONTH11 0.761 0.875 0.886
## fMONTH12 0.757 0.870 0.880 0.833
## DML:fMONTH2 -0.574 -0.660 -0.668 -0.632 -0.628
## DML:fMONTH3 -0.682 -0.784 -0.794 -0.751 -0.746 0.600
## DML:fMONTH4 -0.642 -0.738 -0.747 -0.707 -0.703 0.564 0.671
## DML:fMONTH5 -0.641 -0.737 -0.746 -0.705 -0.701 0.563 0.670
## DML:fMONTH6 -0.601 -0.690 -0.699 -0.661 -0.657 0.528 0.628
## DML:fMONTH7 -0.677 -0.778 -0.788 -0.745 -0.741 0.595 0.708
## DML:fMONTH8 -0.969 -0.719 -0.728 -0.688 -0.684 0.550 0.654
## DML:fMONTH9 -0.750 -0.967 -0.873 -0.825 -0.821 0.659 0.784
## DML:fMONTH10 -0.752 -0.865 -0.964 -0.828 -0.823 0.661 0.786
## DML:fMONTH11 -0.686 -0.788 -0.798 -0.963 -0.750 0.603 0.716
## DML:fMONTH12 -0.659 -0.758 -0.767 -0.726 -0.954 0.579 0.689
## DML:MONTH4 DML:MONTH5 DML:MONTH6 DML:MONTH7 DML:MONTH8 DML:MONTH9
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5 0.630
## DML:fMONTH6 0.591 0.589
## DML:fMONTH7 0.666 0.664 0.623
## DML:fMONTH8 0.615 0.614 0.575 0.649
## DML:fMONTH9 0.738 0.736 0.690 0.778 0.719
## DML:fMONTH10 0.740 0.738 0.692 0.780 0.721 0.864
## DML:fMONTH11 0.674 0.673 0.631 0.711 0.657 0.788
## DML:fMONTH12 0.648 0.647 0.606 0.684 0.632 0.757
## DML:MONTH10 DML:MONTH11
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5
## DML:fMONTH6
## DML:fMONTH7
## DML:fMONTH8
## DML:fMONTH9
## DML:fMONTH10
## DML:fMONTH11 0.790
## DML:fMONTH12 0.760 0.692
##
## Standardized residuals:
## Min Q1 Med Q3 Max
## -2.89489303 -0.57832154 -0.02423023 0.67399841 3.10068217
##
## Residual standard error: 0.3746472
## Degrees of freedom: 768 total; 744 residualLa estructura de varianza varPower
\[var(\varepsilon_{ij})= \sigma^2 \times e^{2\delta_j \times DML_i}\] Como antes, podemos permitir diferentes \(\delta\) por mes. Usando varExp(form =~ DML | fMONTH) hace el mismo truco que para el modelo M.gls4, y permite que la dispersión en DML difiera por mes.
La estructura de varianza varPower
vf5 <- varExp(form =~ DML| fMONTH)
M.gls5b<- gls(Testisweight ~ DML * fMONTH, weights = vf5, data = Squid)
summary(M.gls5b)## Generalized least squares fit by REML
## Model: Testisweight ~ DML * fMONTH
## Data: Squid
## AIC BIC logLik
## 3419.719 3590.364 -1672.859
##
## Variance function:
## Structure: Exponential of variance covariate, different strata
## Formula: ~DML | fMONTH
## Parameter estimates:
## 2 9 12 11 8 10
## 0.005463389 0.007471842 0.006089458 0.006700874 0.004340124 0.007371241
## 5 7 6 4 1 3
## 0.006060548 0.005575354 0.006959398 0.005612054 0.005510233 0.006214619
##
## Coefficients:
## Value Std.Error t-value p-value
## (Intercept) -4.894770 1.3731858 -3.564535 0.0004
## DML 0.047439 0.0047458 9.995897 0.0000
## fMONTH2 1.411837 1.6306056 0.865836 0.3869
## fMONTH3 3.753626 1.6212102 2.315323 0.0209
## fMONTH4 3.158700 1.5841959 1.993882 0.0465
## fMONTH5 4.120560 1.6100910 2.559209 0.0107
## fMONTH6 -0.923052 1.8587005 -0.496612 0.6196
## fMONTH7 3.323738 1.5088413 2.202841 0.0279
## fMONTH8 2.573054 1.5951310 1.613067 0.1072
## fMONTH9 -1.407641 1.5296089 -0.920262 0.3577
## fMONTH10 0.712435 1.4822987 0.480628 0.6309
## fMONTH11 -1.716261 1.5976520 -1.074240 0.2831
## fMONTH12 -0.850819 1.5633639 -0.544223 0.5865
## DML:fMONTH2 -0.008418 0.0067256 -1.251662 0.2111
## DML:fMONTH3 -0.021388 0.0060096 -3.559016 0.0004
## DML:fMONTH4 -0.022601 0.0060364 -3.744098 0.0002
## DML:fMONTH5 -0.029560 0.0063492 -4.655636 0.0000
## DML:fMONTH6 -0.011520 0.0079472 -1.449555 0.1476
## DML:fMONTH7 -0.035553 0.0058585 -6.068647 0.0000
## DML:fMONTH8 -0.033832 0.0058529 -5.780393 0.0000
## DML:fMONTH9 -0.004948 0.0057458 -0.861090 0.3895
## DML:fMONTH10 -0.011078 0.0056540 -1.959409 0.0504
## DML:fMONTH11 0.006737 0.0063060 1.068377 0.2857
## DML:fMONTH12 0.006354 0.0062726 1.012921 0.3114
##
## Correlation:
## (Intr) DML fMONTH2 fMONTH3 fMONTH4 fMONTH5 fMONTH6 fMONTH7
## DML -0.974
## fMONTH2 -0.842 0.820
## fMONTH3 -0.847 0.825 0.713
## fMONTH4 -0.867 0.844 0.730 0.734
## fMONTH5 -0.853 0.830 0.718 0.722 0.739
## fMONTH6 -0.739 0.719 0.622 0.626 0.640 0.630
## fMONTH7 -0.910 0.886 0.766 0.771 0.789 0.776 0.672
## fMONTH8 -0.861 0.838 0.725 0.729 0.746 0.734 0.636 0.783
## fMONTH9 -0.898 0.874 0.756 0.760 0.778 0.766 0.663 0.817
## fMONTH10 -0.926 0.902 0.780 0.785 0.803 0.790 0.684 0.843
## fMONTH11 -0.860 0.837 0.724 0.728 0.745 0.733 0.635 0.782
## fMONTH12 -0.878 0.855 0.740 0.744 0.761 0.749 0.649 0.799
## DML:fMONTH2 0.687 -0.706 -0.951 -0.582 -0.596 -0.586 -0.508 -0.625
## DML:fMONTH3 0.769 -0.790 -0.647 -0.967 -0.666 -0.656 -0.568 -0.700
## DML:fMONTH4 0.765 -0.786 -0.645 -0.648 -0.961 -0.653 -0.566 -0.697
## DML:fMONTH5 0.728 -0.747 -0.613 -0.616 -0.631 -0.953 -0.538 -0.662
## DML:fMONTH6 0.581 -0.597 -0.490 -0.492 -0.504 -0.496 -0.957 -0.529
## DML:fMONTH7 0.789 -0.810 -0.664 -0.668 -0.684 -0.673 -0.583 -0.949
## DML:fMONTH8 0.789 -0.811 -0.665 -0.669 -0.684 -0.673 -0.583 -0.718
## DML:fMONTH9 0.804 -0.826 -0.677 -0.681 -0.697 -0.686 -0.594 -0.732
## DML:fMONTH10 0.817 -0.839 -0.688 -0.692 -0.708 -0.697 -0.604 -0.744
## DML:fMONTH11 0.733 -0.753 -0.617 -0.621 -0.635 -0.625 -0.541 -0.667
## DML:fMONTH12 0.737 -0.757 -0.620 -0.624 -0.639 -0.628 -0.544 -0.670
## fMONTH8 fMONTH9 fMONTH10 fMONTH11 fMONTH12 DML:MONTH2 DML:MONTH3
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9 0.773
## fMONTH10 0.797 0.832
## fMONTH11 0.740 0.772 0.796
## fMONTH12 0.756 0.789 0.814 0.755
## DML:fMONTH2 -0.591 -0.617 -0.636 -0.590 -0.603
## DML:fMONTH3 -0.662 -0.690 -0.712 -0.661 -0.675 0.557
## DML:fMONTH4 -0.659 -0.687 -0.709 -0.658 -0.672 0.555 0.621
## DML:fMONTH5 -0.626 -0.653 -0.674 -0.625 -0.639 0.527 0.590
## DML:fMONTH6 -0.501 -0.522 -0.539 -0.500 -0.511 0.421 0.472
## DML:fMONTH7 -0.679 -0.708 -0.731 -0.678 -0.693 0.572 0.640
## DML:fMONTH8 -0.972 -0.709 -0.731 -0.679 -0.693 0.572 0.640
## DML:fMONTH9 -0.692 -0.960 -0.745 -0.691 -0.706 0.583 0.652
## DML:fMONTH10 -0.704 -0.734 -0.954 -0.702 -0.718 0.592 0.663
## DML:fMONTH11 -0.631 -0.658 -0.679 -0.959 -0.644 0.531 0.594
## DML:fMONTH12 -0.634 -0.661 -0.682 -0.633 -0.950 0.534 0.597
## DML:MONTH4 DML:MONTH5 DML:MONTH6 DML:MONTH7 DML:MONTH8 DML:MONTH9
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5 0.588
## DML:fMONTH6 0.469 0.446
## DML:fMONTH7 0.637 0.606 0.484
## DML:fMONTH8 0.637 0.606 0.484 0.657
## DML:fMONTH9 0.649 0.617 0.493 0.669 0.670
## DML:fMONTH10 0.660 0.627 0.501 0.680 0.681 0.693
## DML:fMONTH11 0.592 0.563 0.449 0.610 0.610 0.622
## DML:fMONTH12 0.595 0.566 0.452 0.613 0.613 0.625
## DML:MONTH10 DML:MONTH11
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5
## DML:fMONTH6
## DML:fMONTH7
## DML:fMONTH8
## DML:fMONTH9
## DML:fMONTH10
## DML:fMONTH11 0.632
## DML:fMONTH12 0.635 0.569
##
## Standardized residuals:
## Min Q1 Med Q3 Max
## -3.83948823 -0.63687095 -0.03132638 0.72367209 3.55001286
##
## Residual standard error: 0.3900404
## Degrees of freedom: 768 total; 744 residualLa estructura de varianza varConstPower
Otra estructura de varianza es una constante más la potencia de la covariable de la varianza, y se implementa en la función varConstPower. \[var(\varepsilon_{ij})= \sigma^2 \times (\delta_1+|DML_{ij}|^{\delta_2})^2\] esta estructura de varianza funciona mejor que varExp si la covariable de la varianza tiene valores cercanos a cero. El AIC es 3475.02.
La estructura de varianza varConstPower
vf6 <- varConstPower(form =~ DML)
M.gls6 <- gls(Testisweight ~ DML * fMONTH,weights = vf6, data = Squid)
summary(M.gls6)## Generalized least squares fit by REML
## Model: Testisweight ~ DML * fMONTH
## Data: Squid
## AIC BIC logLik
## 3475.019 3599.544 -1710.509
##
## Variance function:
## Structure: Constant plus power of variance covariate
## Formula: ~DML
## Parameter estimates:
## const power
## 0.0992986 1.7590192
##
## Coefficients:
## Value Std.Error t-value p-value
## (Intercept) -4.929714 1.7872865 -2.758212 0.0060
## DML 0.047115 0.0063601 7.408006 0.0000
## fMONTH2 1.484040 2.1039523 0.705358 0.4808
## fMONTH3 3.803718 2.0014789 1.900454 0.0578
## fMONTH4 3.587746 2.0352385 1.762814 0.0783
## fMONTH5 4.095235 2.0049064 2.042607 0.0414
## fMONTH6 -0.512660 2.1004449 -0.244072 0.8072
## fMONTH7 3.888254 1.8751362 2.073585 0.0385
## fMONTH8 3.501395 2.0700027 1.691493 0.0912
## fMONTH9 -1.555844 1.8571088 -0.837778 0.4024
## fMONTH10 0.601701 1.8325367 0.328343 0.7427
## fMONTH11 -1.583146 1.9433458 -0.814650 0.4155
## fMONTH12 -0.806757 1.9292365 -0.418174 0.6759
## DML:fMONTH2 -0.008271 0.0089857 -0.920496 0.3576
## DML:fMONTH3 -0.021183 0.0075131 -2.819500 0.0049
## DML:fMONTH4 -0.024106 0.0080250 -3.003825 0.0028
## DML:fMONTH5 -0.029063 0.0079952 -3.635119 0.0003
## DML:fMONTH6 -0.012938 0.0085832 -1.507397 0.1321
## DML:fMONTH7 -0.037953 0.0073436 -5.168167 0.0000
## DML:fMONTH8 -0.037297 0.0079732 -4.677804 0.0000
## DML:fMONTH9 -0.002988 0.0068251 -0.437863 0.6616
## DML:fMONTH10 -0.009100 0.0067724 -1.343638 0.1795
## DML:fMONTH11 0.006744 0.0075168 0.897202 0.3699
## DML:fMONTH12 0.006668 0.0076750 0.868762 0.3853
##
## Correlation:
## (Intr) DML fMONTH2 fMONTH3 fMONTH4 fMONTH5 fMONTH6 fMONTH7
## DML -0.969
## fMONTH2 -0.849 0.823
## fMONTH3 -0.893 0.865 0.759
## fMONTH4 -0.878 0.851 0.746 0.784
## fMONTH5 -0.891 0.863 0.757 0.796 0.783
## fMONTH6 -0.851 0.824 0.723 0.760 0.747 0.759
## fMONTH7 -0.953 0.923 0.810 0.851 0.837 0.850 0.811
## fMONTH8 -0.863 0.836 0.733 0.771 0.758 0.770 0.735 0.823
## fMONTH9 -0.962 0.932 0.818 0.859 0.845 0.858 0.819 0.917
## fMONTH10 -0.975 0.945 0.829 0.871 0.856 0.869 0.830 0.930
## fMONTH11 -0.920 0.891 0.781 0.821 0.808 0.820 0.783 0.877
## fMONTH12 -0.926 0.897 0.787 0.827 0.814 0.826 0.788 0.883
## DML:fMONTH2 0.686 -0.708 -0.948 -0.612 -0.602 -0.611 -0.583 -0.653
## DML:fMONTH3 0.820 -0.847 -0.696 -0.963 -0.720 -0.731 -0.698 -0.781
## DML:fMONTH4 0.768 -0.793 -0.652 -0.685 -0.956 -0.684 -0.653 -0.732
## DML:fMONTH5 0.770 -0.795 -0.654 -0.688 -0.677 -0.951 -0.656 -0.734
## DML:fMONTH6 0.718 -0.741 -0.610 -0.641 -0.630 -0.640 -0.954 -0.684
## DML:fMONTH7 0.839 -0.866 -0.713 -0.749 -0.737 -0.748 -0.714 -0.942
## DML:fMONTH8 0.773 -0.798 -0.656 -0.690 -0.678 -0.689 -0.657 -0.736
## DML:fMONTH9 0.903 -0.932 -0.767 -0.806 -0.793 -0.805 -0.768 -0.860
## DML:fMONTH10 0.910 -0.939 -0.773 -0.812 -0.799 -0.811 -0.774 -0.867
## DML:fMONTH11 0.819 -0.846 -0.696 -0.732 -0.720 -0.731 -0.697 -0.781
## DML:fMONTH12 0.803 -0.829 -0.682 -0.717 -0.705 -0.715 -0.683 -0.765
## fMONTH8 fMONTH9 fMONTH10 fMONTH11 fMONTH12 DML:MONTH2 DML:MONTH3
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9 0.831
## fMONTH10 0.842 0.939
## fMONTH11 0.794 0.885 0.897
## fMONTH12 0.800 0.892 0.904 0.852
## DML:fMONTH2 -0.592 -0.660 -0.669 -0.630 -0.635
## DML:fMONTH3 -0.708 -0.789 -0.800 -0.754 -0.760 0.599
## DML:fMONTH4 -0.663 -0.739 -0.749 -0.706 -0.711 0.561 0.671
## DML:fMONTH5 -0.665 -0.741 -0.751 -0.709 -0.714 0.563 0.673
## DML:fMONTH6 -0.620 -0.691 -0.700 -0.660 -0.665 0.524 0.627
## DML:fMONTH7 -0.724 -0.807 -0.818 -0.771 -0.777 0.613 0.733
## DML:fMONTH8 -0.962 -0.744 -0.753 -0.711 -0.716 0.565 0.675
## DML:fMONTH9 -0.779 -0.962 -0.880 -0.830 -0.836 0.660 0.789
## DML:fMONTH10 -0.785 -0.875 -0.960 -0.836 -0.843 0.665 0.795
## DML:fMONTH11 -0.708 -0.789 -0.799 -0.958 -0.759 0.599 0.716
## DML:fMONTH12 -0.693 -0.772 -0.783 -0.738 -0.948 0.587 0.701
## DML:MONTH4 DML:MONTH5 DML:MONTH6 DML:MONTH7 DML:MONTH8 DML:MONTH9
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5 0.630
## DML:fMONTH6 0.587 0.589
## DML:fMONTH7 0.686 0.689 0.642
## DML:fMONTH8 0.632 0.635 0.591 0.691
## DML:fMONTH9 0.739 0.741 0.690 0.807 0.743
## DML:fMONTH10 0.744 0.747 0.696 0.813 0.749 0.875
## DML:fMONTH11 0.671 0.673 0.627 0.733 0.675 0.788
## DML:fMONTH12 0.657 0.659 0.614 0.718 0.661 0.772
## DML:MONTH10 DML:MONTH11
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5
## DML:fMONTH6
## DML:fMONTH7
## DML:fMONTH8
## DML:fMONTH9
## DML:fMONTH10
## DML:fMONTH11 0.795
## DML:fMONTH12 0.778 0.701
##
## Standardized residuals:
## Min Q1 Med Q3 Max
## -2.87394422 -0.61679894 -0.03835564 0.67910610 2.89390038
##
## Residual standard error: 0.000136185
## Degrees of freedom: 768 total; 744 residualLa estructura de varianza varConstPower
Nuevamente, podemos permitir diferentes \(δ_1\) y \(δ_2\) por estrato de una variable nominal (por ejemplo, MES). Tal modelo está equipado en R por
vf7 <- varConstPower(form =~ DML | fMONTH)
M.gls7 <- gls(Testisweight ~ DML * fMONTH,weights = vf7, data = Squid)
summary(M.gls7)
El AIC de este modelo es 3431.51. La estructura de varianza asociada está dada por
\[var(\varepsilon_{ij})= \sigma^2 \times (\delta_{1j}+|DML_{ij}|^{\delta_{2j}})^2\]
La estructura de varianza varConstPower
## Generalized least squares fit by REML
## Model: Testisweight ~ DML * fMONTH
## Data: Squid
## AIC BIC logLik
## 3431.511 3657.501 -1666.755
##
## Variance function:
## Structure: Constant plus power of variance covariate, different strata
## Formula: ~DML | fMONTH
## Parameter estimates:
## 2 9 12 11 8 10
## const 0.1097975 0.1043488 0.09784988 0.09884097 0.09960156 0.09366559
## power 1.7285071 1.7894874 1.73354012 1.74924518 1.61767748 1.78916839
## 5 7 6 4 1 3
## const 0.09790642 0.09738866 0.0982109 0.09749709 0.09887854 0.09964983
## power 1.74649742 1.67322887 1.7544703 1.71135051 1.69892986 1.72272354
##
## Coefficients:
## Value Std.Error t-value p-value
## (Intercept) -4.780734 1.3347327 -3.581791 0.0004
## DML 0.046587 0.0047136 9.883436 0.0000
## fMONTH2 1.334804 1.6540504 0.806991 0.4199
## fMONTH3 3.661134 1.5403061 2.376887 0.0177
## fMONTH4 3.410004 1.5457479 2.206054 0.0277
## fMONTH5 3.952974 1.5990267 2.472112 0.0137
## fMONTH6 -0.666531 1.7407867 -0.382891 0.7019
## fMONTH7 3.668979 1.3886305 2.642157 0.0084
## fMONTH8 3.241153 1.4361364 2.256856 0.0243
## fMONTH9 -1.647050 1.4697680 -1.120619 0.2628
## fMONTH10 0.520091 1.4227059 0.365565 0.7148
## fMONTH11 -1.742335 1.5319559 -1.137327 0.2558
## fMONTH12 -0.957265 1.4891942 -0.642807 0.5205
## DML:fMONTH2 -0.007741 0.0072986 -1.060614 0.2892
## DML:fMONTH3 -0.020683 0.0058092 -3.560399 0.0004
## DML:fMONTH4 -0.023433 0.0061142 -3.832526 0.0001
## DML:fMONTH5 -0.028571 0.0066471 -4.298217 0.0000
## DML:fMONTH6 -0.012384 0.0075009 -1.651011 0.0992
## DML:fMONTH7 -0.036971 0.0053042 -6.970129 0.0000
## DML:fMONTH8 -0.036261 0.0052886 -6.856400 0.0000
## DML:fMONTH9 -0.002745 0.0056085 -0.489451 0.6247
## DML:fMONTH10 -0.008961 0.0055068 -1.627300 0.1041
## DML:fMONTH11 0.007327 0.0061465 1.191985 0.2336
## DML:fMONTH12 0.007206 0.0061136 1.178625 0.2389
##
## Correlation:
## (Intr) DML fMONTH2 fMONTH3 fMONTH4 fMONTH5 fMONTH6 fMONTH7
## DML -0.969
## fMONTH2 -0.807 0.782
## fMONTH3 -0.867 0.840 0.699
## fMONTH4 -0.863 0.837 0.697 0.748
## fMONTH5 -0.835 0.809 0.674 0.723 0.721
## fMONTH6 -0.767 0.743 0.619 0.664 0.662 0.640
## fMONTH7 -0.961 0.931 0.776 0.833 0.830 0.802 0.737
## fMONTH8 -0.929 0.900 0.750 0.805 0.803 0.776 0.713 0.893
## fMONTH9 -0.908 0.880 0.733 0.787 0.784 0.758 0.696 0.873
## fMONTH10 -0.938 0.909 0.757 0.813 0.810 0.783 0.719 0.902
## fMONTH11 -0.871 0.844 0.703 0.755 0.752 0.727 0.668 0.837
## fMONTH12 -0.896 0.868 0.723 0.777 0.774 0.748 0.687 0.861
## DML:fMONTH2 0.626 -0.646 -0.947 -0.542 -0.540 -0.522 -0.480 -0.601
## DML:fMONTH3 0.786 -0.811 -0.634 -0.963 -0.679 -0.656 -0.603 -0.756
## DML:fMONTH4 0.747 -0.771 -0.603 -0.647 -0.956 -0.623 -0.573 -0.718
## DML:fMONTH5 0.687 -0.709 -0.554 -0.595 -0.593 -0.947 -0.527 -0.660
## DML:fMONTH6 0.609 -0.628 -0.491 -0.528 -0.526 -0.508 -0.954 -0.585
## DML:fMONTH7 0.861 -0.889 -0.695 -0.746 -0.743 -0.719 -0.660 -0.947
## DML:fMONTH8 0.864 -0.891 -0.697 -0.748 -0.746 -0.721 -0.662 -0.830
## DML:fMONTH9 0.814 -0.840 -0.657 -0.706 -0.703 -0.680 -0.624 -0.783
## DML:fMONTH10 0.829 -0.856 -0.669 -0.719 -0.716 -0.692 -0.636 -0.797
## DML:fMONTH11 0.743 -0.767 -0.600 -0.644 -0.642 -0.620 -0.570 -0.714
## DML:fMONTH12 0.747 -0.771 -0.603 -0.647 -0.645 -0.624 -0.573 -0.718
## fMONTH8 fMONTH9 fMONTH10 fMONTH11 fMONTH12 DML:MONTH2 DML:MONTH3
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9 0.844
## fMONTH10 0.872 0.852
## fMONTH11 0.810 0.791 0.817
## fMONTH12 0.833 0.814 0.841 0.781
## DML:fMONTH2 -0.582 -0.568 -0.587 -0.545 -0.561
## DML:fMONTH3 -0.731 -0.714 -0.738 -0.685 -0.705 0.524
## DML:fMONTH4 -0.694 -0.678 -0.701 -0.651 -0.669 0.498 0.626
## DML:fMONTH5 -0.639 -0.624 -0.645 -0.599 -0.616 0.458 0.575
## DML:fMONTH6 -0.566 -0.553 -0.571 -0.530 -0.546 0.406 0.510
## DML:fMONTH7 -0.800 -0.782 -0.808 -0.750 -0.772 0.574 0.721
## DML:fMONTH8 -0.965 -0.784 -0.810 -0.752 -0.774 0.576 0.723
## DML:fMONTH9 -0.757 -0.955 -0.764 -0.709 -0.730 0.543 0.682
## DML:fMONTH10 -0.771 -0.753 -0.949 -0.723 -0.743 0.553 0.695
## DML:fMONTH11 -0.691 -0.675 -0.697 -0.955 -0.666 0.495 0.622
## DML:fMONTH12 -0.694 -0.678 -0.701 -0.651 -0.943 0.498 0.626
## DML:MONTH4 DML:MONTH5 DML:MONTH6 DML:MONTH7 DML:MONTH8 DML:MONTH9
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5 0.547
## DML:fMONTH6 0.484 0.446
## DML:fMONTH7 0.685 0.630 0.558
## DML:fMONTH8 0.687 0.632 0.560 0.792
## DML:fMONTH9 0.648 0.596 0.528 0.747 0.749
## DML:fMONTH10 0.660 0.607 0.538 0.761 0.763 0.719
## DML:fMONTH11 0.591 0.544 0.482 0.681 0.683 0.645
## DML:fMONTH12 0.594 0.547 0.485 0.685 0.687 0.648
## DML:MONTH10 DML:MONTH11
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5
## DML:fMONTH6
## DML:fMONTH7
## DML:fMONTH8
## DML:fMONTH9
## DML:fMONTH10
## DML:fMONTH11 0.656
## DML:fMONTH12 0.660 0.591
##
## Standardized residuals:
## Min Q1 Med Q3 Max
## -3.84611866 -0.65952010 -0.04660336 0.72786160 3.67317409
##
## Residual standard error: 0.0001413368
## Degrees of freedom: 768 total; 744 residualLa estructura de varianza de varComb
La última estructura de varianza que discutimos es la combinación de estructuras de varianza mediante la función varComb(form =~ DML | fMONTH). Con esta estructura, podemos permitir tanto un aumento en la dispersión residual para valores de DML más grandes como una dispersión diferente por mes. \[var(\varepsilon_{ij})= \sigma^2_j \times e^{2\delta \times DML_{ij}}\]
La estructura de varianza de varComb
\[var(\varepsilon_{ij})= \sigma^2_j \times e^{2\delta \times DML_{ij}}\] Tenga en cuenta que \(\sigma\) tiene un índice \(j\) que va de 1 a 12, lo que permite diferentes dispersiones por mes. Además, la varianza aumenta para valores de DML más grandes. Esta es una combinación de varIdent(form =~ DML | fMONTH) y varExp(form =~ DML | fMONTH).
La estructura de varianza de varComb
vf8 <- varComb(varIdent(form =~ 1 | fMONTH),varExp(form =~ DML) )
M.gls8 <- gls(Testisweight ~ DML * fMONTH, weights = vf8, data = Squid)
summary(M.gls8)## Generalized least squares fit by REML
## Model: Testisweight ~ DML * fMONTH
## Data: Squid
## AIC BIC logLik
## 3414.817 3585.463 -1670.409
##
## Combination of variance functions:
## Structure: Different standard deviations per stratum
## Formula: ~1 | fMONTH
## Parameter estimates:
## 2 9 12 11 8 10 5 7
## 1.0000000 1.4806124 1.0577479 1.1948713 0.5829508 1.4255760 1.1276272 0.7353371
## 6 4 1 3
## 1.2712403 0.9710618 0.8668383 1.0561606
## Structure: Exponential of variance covariate
## Formula: ~DML
## Parameter estimates:
## expon
## 0.006711739
##
## Coefficients:
## Value Std.Error t-value p-value
## (Intercept) -5.736151 1.3338630 -4.300405 0.0000
## DML 0.050479 0.0047787 10.563281 0.0000
## fMONTH2 2.344293 1.6592720 1.412845 0.1581
## fMONTH3 4.562183 1.5823700 2.883133 0.0041
## fMONTH4 4.093799 1.5747097 2.599717 0.0095
## fMONTH5 4.899926 1.6248649 3.015590 0.0027
## fMONTH6 -0.133657 1.8275546 -0.073134 0.9417
## fMONTH7 4.498393 1.4130419 3.183482 0.0015
## fMONTH8 4.049296 1.4642241 2.765490 0.0058
## fMONTH9 -0.911710 1.5071709 -0.604915 0.5454
## fMONTH10 1.223250 1.4517414 0.842609 0.3997
## fMONTH11 -0.871767 1.5618399 -0.558167 0.5769
## fMONTH12 0.027422 1.5284506 0.017941 0.9857
## DML:fMONTH2 -0.011970 0.0072705 -1.646371 0.1001
## DML:fMONTH3 -0.024283 0.0060421 -4.018869 0.0001
## DML:fMONTH4 -0.026108 0.0062894 -4.151042 0.0000
## DML:fMONTH5 -0.032272 0.0067526 -4.779230 0.0000
## DML:fMONTH6 -0.014290 0.0079269 -1.802725 0.0718
## DML:fMONTH7 -0.040550 0.0054713 -7.411407 0.0000
## DML:fMONTH8 -0.039657 0.0054664 -7.254776 0.0000
## DML:fMONTH9 -0.006279 0.0057942 -1.083700 0.2788
## DML:fMONTH10 -0.012246 0.0056903 -2.152137 0.0317
## DML:fMONTH11 0.003681 0.0063176 0.582578 0.5604
## DML:fMONTH12 0.003103 0.0063345 0.489863 0.6244
##
## Correlation:
## (Intr) DML fMONTH2 fMONTH3 fMONTH4 fMONTH5 fMONTH6 fMONTH7
## DML -0.972
## fMONTH2 -0.804 0.781
## fMONTH3 -0.843 0.819 0.678
## fMONTH4 -0.847 0.823 0.681 0.714
## fMONTH5 -0.821 0.798 0.660 0.692 0.695
## fMONTH6 -0.730 0.709 0.587 0.615 0.618 0.599
## fMONTH7 -0.944 0.917 0.759 0.796 0.800 0.775 0.689
## fMONTH8 -0.911 0.885 0.732 0.768 0.772 0.748 0.665 0.860
## fMONTH9 -0.885 0.860 0.711 0.746 0.750 0.727 0.646 0.835
## fMONTH10 -0.919 0.893 0.739 0.775 0.778 0.754 0.671 0.867
## fMONTH11 -0.854 0.830 0.687 0.720 0.723 0.701 0.623 0.806
## fMONTH12 -0.873 0.848 0.702 0.736 0.739 0.716 0.637 0.824
## DML:fMONTH2 0.639 -0.657 -0.952 -0.538 -0.541 -0.524 -0.466 -0.603
## DML:fMONTH3 0.769 -0.791 -0.618 -0.967 -0.651 -0.631 -0.561 -0.726
## DML:fMONTH4 0.738 -0.760 -0.594 -0.622 -0.960 -0.606 -0.539 -0.697
## DML:fMONTH5 0.688 -0.708 -0.553 -0.580 -0.583 -0.953 -0.502 -0.649
## DML:fMONTH6 0.586 -0.603 -0.471 -0.494 -0.496 -0.481 -0.960 -0.553
## DML:fMONTH7 0.849 -0.873 -0.682 -0.715 -0.719 -0.697 -0.619 -0.955
## DML:fMONTH8 0.850 -0.874 -0.683 -0.716 -0.720 -0.697 -0.620 -0.802
## DML:fMONTH9 0.801 -0.825 -0.644 -0.676 -0.679 -0.658 -0.585 -0.757
## DML:fMONTH10 0.816 -0.840 -0.656 -0.688 -0.691 -0.670 -0.596 -0.770
## DML:fMONTH11 0.735 -0.756 -0.591 -0.620 -0.623 -0.603 -0.537 -0.694
## DML:fMONTH12 0.733 -0.754 -0.589 -0.618 -0.621 -0.602 -0.535 -0.692
## fMONTH8 fMONTH9 fMONTH10 fMONTH11 fMONTH12 DML:MONTH2 DML:MONTH3
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9 0.806
## fMONTH10 0.837 0.813
## fMONTH11 0.778 0.756 0.785
## fMONTH12 0.795 0.772 0.802 0.745
## DML:fMONTH2 -0.582 -0.565 -0.587 -0.545 -0.557
## DML:fMONTH3 -0.700 -0.680 -0.706 -0.656 -0.671 0.520
## DML:fMONTH4 -0.673 -0.653 -0.678 -0.631 -0.644 0.499 0.601
## DML:fMONTH5 -0.626 -0.609 -0.632 -0.587 -0.600 0.465 0.560
## DML:fMONTH6 -0.534 -0.518 -0.538 -0.500 -0.511 0.396 0.477
## DML:fMONTH7 -0.773 -0.751 -0.780 -0.725 -0.741 0.574 0.691
## DML:fMONTH8 -0.970 -0.752 -0.781 -0.726 -0.741 0.575 0.691
## DML:fMONTH9 -0.730 -0.961 -0.736 -0.684 -0.699 0.542 0.652
## DML:fMONTH10 -0.743 -0.722 -0.956 -0.697 -0.712 0.552 0.664
## DML:fMONTH11 -0.670 -0.651 -0.675 -0.961 -0.641 0.497 0.598
## DML:fMONTH12 -0.668 -0.649 -0.674 -0.626 -0.951 0.496 0.597
## DML:MONTH4 DML:MONTH5 DML:MONTH6 DML:MONTH7 DML:MONTH8 DML:MONTH9
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5 0.538
## DML:fMONTH6 0.458 0.427
## DML:fMONTH7 0.664 0.618 0.527
## DML:fMONTH8 0.664 0.619 0.527 0.764
## DML:fMONTH9 0.627 0.584 0.497 0.720 0.721
## DML:fMONTH10 0.638 0.594 0.506 0.733 0.734 0.693
## DML:fMONTH11 0.575 0.535 0.456 0.661 0.661 0.624
## DML:fMONTH12 0.573 0.534 0.455 0.659 0.660 0.622
## DML:MONTH10 DML:MONTH11
## DML
## fMONTH2
## fMONTH3
## fMONTH4
## fMONTH5
## fMONTH6
## fMONTH7
## fMONTH8
## fMONTH9
## fMONTH10
## fMONTH11
## fMONTH12
## DML:fMONTH2
## DML:fMONTH3
## DML:fMONTH4
## DML:fMONTH5
## DML:fMONTH6
## DML:fMONTH7
## DML:fMONTH8
## DML:fMONTH9
## DML:fMONTH10
## DML:fMONTH11 0.635
## DML:fMONTH12 0.634 0.571
##
## Standardized residuals:
## Min Q1 Med Q3 Max
## -3.97342370 -0.64673841 -0.02816362 0.71481708 3.70284493
##
## Residual standard error: 0.3240227
## Degrees of freedom: 768 total; 744 residualEscogiendo el mejor modelo para el conjunto de datos
## df AIC
## M.lm 25 3752.084
## M.gls1 25 3620.898
## M.gls2 36 3614.436
## M.gls3 26 3473.019
## M.gls4 37 3407.511
## M.gls5 26 3478.152
## M.gls6 27 3475.019
## M.gls7 49 3431.511
## M.gls8 37 3414.817Escogiendo el mejor modelo para el conjunto de datos
El modelo que permite un aumento en la dispersión para valores más grandes de DML (que permite diferir por mes), M.gls4(form =~ DML | fMONTH), tiene el AIC más bajo y, por lo tanto, se selecciona como el modelo óptimo. Para comparar los AIC, se usa el siguiente comando:
Resumen de todas las estructuras de varianza
| Nombre de la función de R | Que hace |
|---|---|
| VarFixed | Varianza constante |
| VarIdent | Varianzas diferentes por estrato |
| VarPower | Potencia de la covariable de la varianza |
| VarExp | Exponencial de la covariable de la varianza |
| VarConstPower | Constante más la potencia de la covariable de la varianza. |
| VarComb | Combinación de diferentes funciones de varianza |
¿Qué estructura utilizar?
Si la covariable que afecta la dispersión es una
variable nominal, la elección es simple; utilizar
varIdent. En nuestro ejemplo, permitió
modelar diferentes variaciones residuales para el peso testicular por
mes.
La diferencia entre la estructura de la varianza modelada por
las funciones varFixed,
varPower,
varExp y
varConstPower es más difícil de
explicar. Las cuatro estructuras de varianza permiten un aumento (o
disminución) en la variación residual de los datos de peso testicular a
lo largo de la covariable continua de la varianza (DML).
¿Qué estructura utilizar?
Pero, la varFixed
es bastante limitada, ya que asume que la varianza de los residuos está
relacionada linealmente con la covariable de la varianza. Esto causa
problemas si la covariable de la varianza toma valores no positivos o
cuando los requisitos de relación lineal entre la variación y la
covariable de la varianza son demasiado estrictos.
En la práctica,
puede ser mejor usar las funciones
varPower,
varExp o
varConstPower, que permiten más
flexibilidad que la varFixed.
¿Qué estructura utilizar?
La varPower no debe
utilizarse si la covariable de la varianza toma el valor de cero. En
este caso, esto no es un problema ya que DML (longitud) siempre es mayor
que cero. Pero puede ser un problema con covariables de la varianza,
tales como la temperatura o la altura, etc.
Sin embargo, encontrar
la estructura de varianza correcta para una covariable de varianza como
DML, que siempre es no cero, es más una cuestión de prueba y error, y la
mejor opción se juzga mediante el uso de herramientas como el AIC. Otro
aspecto importante es el conocimiento biológico. Si sabe a priori que
existe un cierto tipo de heterogeneidad en sus datos, puede acelerar el
proceso de selección al incluir esta información.
Validación gráfica del modelo óptimo
Para la validación de modelos gráficos, podemos usar
dos tipos de residuos:
(i) Residuos calculados como valores
ajustados observados menos (también llamados residuos ordinarios)
(ii) Residuos normalizados.
Validación gráfica del modelo óptimo
Residuos ordinarios
El siguiente código de R extrae los
residuos y los grafica en un coplot. Tenga en cuenta que estos residuos
aún muestran heterogeneidad, pero esto ahora está permitido (debido a
que la variación residual difiere según la estructura de varianza
elegida y los valores de la covariable de la varianza). Por lo tanto,
estos residuos son menos útiles para el proceso de validación del
modelo.
Validación gráfica del modelo óptimo
Validación gráfica del modelo óptimo
Residuos normalizados
Debe utilizar los residuos
estandarizados en lugar de los residuos ordinarios para la validación
del modelo. Estos se obtienen calculando los valores ajustados menos los
observados y luego dividiéndolos por la raíz cuadrada de la varianza.
Estos residuos se obtienen de \[\varepsilon_{ij}=\frac{Testisweight_{ij} − Fitted
values{ij}}{\sqrt{\sigma^2 \times |DML_{ij}|^{2 \delta_j}}}\] El
gráfico de estos residuos no debe mostrar heterogeneidad. Si hay alguna
heterogeneidad, entonces se requiere una mejora adicional del modelo.
Este gráfico se puede en R de la siguiente forma:
E2 <- resid(M.gls4, type = "normalized")
coplot(E2 ~ DML | fMONTH, data = Squid, ylab = "Normalised residuals")Validación gráfica del modelo óptimo
Bibliografía
- Maia, A. G. (2017). Econometria: conceitos e aplicações. Saint Paul Editora.
- Zuur, A., Ieno, E. N., Walker, N., Saveliev, A. A., & Smith, G. M. (2009). Mixed effects models and extensions in ecology with R. Springer Science & Business Media.
- Smith JM, Pierce GJ, Zuur AF, Boyle PR (2005) Seasonal patterns of investment in reproductive and somatic tissues in the squid Loligo forbesi. Aquatic Living Resources 18:341–351