Title: Vector Space

null space, column space and row space

Nama Mahasiswa: Nabil Ulwan Muhammad Caesar

NIM: ‘220605110127’

Kelas: B

Matkul: Linear Algebra

Dosen Pengampu: Prof. Dr. Suhartono, M.Kom

Jurusan: Teknik Informatika

Lembaga: Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Anggap kita memiliki sistem persamaan linear berikut dengan variabel x1, x2, x3: x1 − x2 + 4x3 = 1 2x1 − x3 = −1 −x1 − x2 + 5x3 = 2. Kemudian, kita ingin menyelesaikan sistem persamaan linear ini. Selain itu, kita ingin menemukan semua solusi jika solusi-solusi tersebut ada. Kami telah membahas cara menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan bentuk eselon tereduksi dari matriks augmented dalam Bab 1 dan menggunakan aturan Cramer dalam Bagian 3.5. Di sini, kami menggunakan ruang nol matriks koefisien untuk menemukan semua solusi dari sistem persamaan linear tersebut.

Definisi 30 Anggap kita memiliki matriks A berukuran m × n. Ruang nol dari matriks A adalah himpunan semua solusi untuk sistem persamaan linear yang memenuhi A · x = 0. Kembali ke sistem persamaan linear di atas, di sini kita memiliki Ax = b dimana A = 1 −1 4 2 0 −1 −1 −1 5

b = 1 −1 2 . Untuk menemukan ruang nol dari matriks A, kita harus menyelesaikan sistem persamaan linear: A · X = b yaitu x1 − x2 + 4x3 = 0 2x1 − x3 = 0 −x1 − x2 + 5x3 = 0. Dengan bantuan R, kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linear ini menggunakan bentuk eselon tereduksi dari matriks A dengan menggunakan fungsi rref() dari paket pracma.

library(pracma)
## Warning: package 'pracma' was built under R version 4.2.3
A <- matrix(c(1, -1, 4, 0, 2, 0, -1, 0, -1, -1, 5, 0),
nrow=3, ncol=4, byrow=TRUE)
rref(A)
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    1    0 -0.5    0
## [2,]    0    1 -4.5    0
## [3,]    0    0  0.0    0

Kode ini menggunakan fungsi rref() dari paket pracma untuk mencari bentuk eselon tereduksi dari matriks A. Matriks A didefinisikan dengan menggunakan fungsi matrix() dan kemudian diteruskan ke fungsi rref() untuk menghasilkan hasilnya.

library(MASS)
A <- matrix(c(1, -1, 4, 2, 0, -1, -1, -1, 5),
nrow=3, ncol=3, byrow=TRUE)

Kode ini memuat paket MASS dan mendefinisikan matriks A. Namun, pada bagian ini, tidak ada pemanggilan fungsi atau operasi yang dilakukan pada matriks A.

Null(t(A))
##           [,1]
## [1,] 0.1078328
## [2,] 0.9704950
## [3,] 0.2156655

Kode ini menggunakan fungsi Null() dari paket MASS untuk mencari ruang nol (null space) dari matriks transpose dari A (t(A)). Fungsi Null() menghasilkan matriks yang berisi vektor-vektor yang membentuk ruang nol dari matriks A.

library(pracma)
A <- matrix(c(1, -1, 4, 1, 0, 2, 0, -1, -2, 0, -1, -1, 5, 3, 0),
nrow=3, ncol=5, byrow=TRUE)
rref(A)
##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]    1    0 -0.5   -1    0
## [2,]    0    1 -4.5   -2    0
## [3,]    0    0  0.0    0    0

Kode ini menggunakan fungsi rref() dari paket pracma untuk mencari bentuk eselon tereduksi dari matriks A. Matriks A didefinisikan dengan menggunakan fungsi matrix() dan kemudian diteruskan ke fungsi rref() untuk menghasilkan hasilnya.

Kode tersebut digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dan mencari bentuk eselon tereduksi serta ruang nol dari matriks yang diberikan. Fungsi rref() digunakan untuk mencari bentuk eselon tereduksi dari matriks, sedangkan fungsi Null() digunakan untuk mencari ruang nol dari matriks atau matriks transpose.

Sumber Referensi: Ruriko Yoshida - Linear Algebra and its Application with R