Pada artikel kali ini kita akan belajar mengenai Cramer’s Rule atau yang lebih dikenal dengan Aturan Cramer.

Metode atau aturan Cramer adalah solusi untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear, Penemu dari aturan ini yaitu Gabriel Cramer (1704-1752).

Metode Cramer digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear dengan n persamaan dan n variabel. Metode ini menggunakan matriks dan determinan yang perlu dipahami. Baik metode Cramer maupun metode matriks dengan determinan menerapkan aturan Cramer untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear tersebut.

Asumsikan bahwa sistem persamaan linear dengan n persamaan dan n variabel memiliki solusi unik seperti yang ditunjukkan oleh

Ax = b

di mana A adalah matriks koefisien, b adalah vektor untuk sisi kanan, dan x adalah vektor variabel.

Misalkan kita memiliki matriks seperti berikut:

A <-matrix(c(0,1,3,-1,-1,1,-4,0,1,0,2,4,0,1,0,-4),
nrow =4,ncol=4,byrow=TRUE)
A
##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    0    1    3   -1
## [2,]   -1    1   -4    0
## [3,]    1    0    2    4
## [4,]    0    1    0   -4

Lalu kita gunakan fungsi det untuk mendefinisikan matriks A dan vektor b:

b <-c(1,1,5,-2)
b
## [1]  1  1  5 -2
det(A)
## [1] 30

Kemudian, kita akan mendefinisikan matriks-matriks Ai(b) untuk i = 1, 2, 3, 4.

# DefineA1(b)
A1 <-A
A1[, 1]<-b
# DefineA2(b)
A2 <-A
A2[ ,2]<-b
# DefineA3(b)
A3 <-A
A3[ ,3]<-b
# DefineA4(b)
A4 <-A
A4[ ,4]<-b

Kemudian kita menggunakan fungsi det() untuk menemukan solusinya dengan menggunakan aturan Cramer

x1 <-det(A1)/det(A)
x1
## [1] 1
x2 <-det(A2)/det(A)
x2
## [1] 2
x3 <-det(A3)/det(A)
x3
## [1] 7.401487e-17
x4 <-det(A4)/det(A)
x4
## [1] 1

Mari kita perhatikan bahwa R mengembalikan x3 = 7.401487e-17. Ini berarti x3 = 7.401487 x 10^(-17), yang merupakan angka yang sangat kecil dan sangat mendekati 0. Hal ini disebabkan oleh kesalahan numerik komputasi.

Sekarang kita akan memeriksa solusinya menggunakan fungsi solve(). Kemudian R mengembalikan:

solve(A,b)
## [1] 1 2 0 1

Seperti yang dapat kita lihat dari Contoh di atas, aturan Cramer memiliki kesalahan numerik yang lebih besar yang disebabkan oleh pembagian dibandingkan dengan bentuk echelon tereduksi yang digunakan dalam fungsi solve().

Aturan Cramer bagus dalam teori matematika, tetapi tidak stabil dalam perhitungan numerik. Oleh karena itu, jika kita ingin menyelesaikan sistem persamaan linear, sebaiknya kita menggunakan bentuk echelon tereduksi daripada aturan Cramer.

Sekian untuk artikel kali ini.