Diagonalisasi

Dalam beberapa kasus kita harus mengkomputasikan A^{r. A adalah sebuah matrix persegi yang terdiri dari n x n dan r adalah variable positive yang sangat luas. Kita perlu mesimpelkan A^r agar dapat dikomputasikan secara efisien. Salah satu caranya adalah dengan diagonalisasi.}

Contoh Matrix

Kita dekomposisikan matrix a menjadi

Lalu kita komputasikan agar menghasilkan suatu matrix dengan bahasa R ;

Q <- matrix(c(1,1,-1,1),2,2)
D <- matrix(c(3,0,0,1),2,2)
Q %*% D %*% solve(Q)

##      [,1] [,2]
## [1,]    2    1
## [2,]    1    2

Suatu matrix dapat didiagonalisasi apabila matrix tersebut memiliki vector-vector eigen-nya sendiri.

Misal kita memiliki matrix 2 x 2 ;

A <- matrix(c(2,-1,1,-1,-3,1,3,3,3),3,3)
eigen(A)

## eigen() decomposition
## $values
## [1]  4.397382 -3.824458  1.427076
## 
## $vectors
##           [,1]       [,2]       [,3]
## [1,] 0.7437078  0.2542122  0.8674476
## [2,] 0.1624484  0.9508909 -0.3981322
## [3,] 0.6484668 -0.1765859 -0.2983713

Ini sama saja dengan

Suatu matrix juga dapat diagonalisasi apabila matrix tersebut memiliki banyak eigen dengan nilai yang berbeda.

Misalnya kita memiliki matrix ;

A <- matrix(c(1, 0, 3, -2, 2, -3, 1, -3, -2), 3, 3)
eigen(A)

## eigen() decomposition
## $values
## [1]  4.50349224 -3.56576496  0.06227272
## 
## $vectors
##            [,1]        [,2]       [,3]
## [1,]  0.5276592 -0.01504018 -0.7715961
## [2,] -0.6521968 -0.47442002 -0.5343413
## [3,]  0.5442565 -0.88017012 -0.3451359

Maka hasilnya akan menjadi seperti ini

Apabila kita ingin memiliki matriks D, dengan nilai Q berasal dari nilai eigen dan vektor eigen dari A, kita dapat menuliskannya menjadi ;

p <- eigen(A)$vectors
D <- diag(eigen(A)$values)
p %*% D %*% solve(p)

##               [,1] [,2] [,3]
## [1,]  1.000000e+00   -2    1
## [2,] -7.008283e-16    2   -3
## [3,]  3.000000e+00   -3   -2

Diagonalisasi

Fairuz Ardhan Haunan

2023-05-29

Diagonalisasi