Tentang Matriks Tridiagonal

Metode eliminasi Gauss adalah sebuah metode yang mudah digunakan, terutama ketika semua koefisien non-nol terkonsentrasi di sepanjang diagonal utama dan beberapa diagonal sekitarnya. Sistem yang memiliki karakteristik seperti ini disebut sebagai “banded”, dan jumlah diagonal yang mengandung koefisien non-nol disebut sebagai “bandwidth”. Contoh khusus yang sering ditemui adalah matriks tridiagonal yang memiliki bandwidth tiga.

Proses eliminasi pada matriks tridiagonal dapat dianggap sebagai proses yang sederhana, karena dengan menambahkan sebuah subdiagonal tambahan, proses substitusi mundur dapat langsung dilakukan.

Penyelesaian persamaan tersebut disajikan pada Persamaan.

Fungsi penyelesaian matriks tridiagonal disajikan sebagai berikut:

tridiagmatrix <- function (L, D, U, b){
  n <- length (D)
  L <- c(NA , L)
  
  ## forward sweep
  U[1] <- U[1] / D[1]
  b[1] <- b[1] / D[1]
  for(i in 2:(n - 1)){
      U[i] <- U[i] / (D[i] - L[i] * U[i - 1])
      b[i] <- (b[i] - L[i] * b[i - 1]) /
      (D[i] - L[i] * U[i - 1])
  }
  b[n] <- (b[n] - L[n] * b[n - 1])/(D[n] - L[n] * U[n - 1])
  
  ## backward sweep
  x <- rep.int (0, n)
  x[n] <- b[n]
  for(i in (n - 1) :1)
      x[i] <- b[i] - U[i] * x[i + 1]
  return (x)
}

Berikut merupakan Soal contoh untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan tridiagmatrix()

Langkah pertama untuk menyelesaikannya, kita harus merubah persamaan tersebut kedalam bentuk matriks dengan membuat vektor diagonal l, d, u, dan b.

l <- u <- c(4, 2, 3); d <- c(3, 5, 5, 5)
b <- c(20, 28, 18, 18)

Masukkan vektor ke dalam fungsi tridiagmatrix().

tridiagmatrix(L=l, D=d, U=u, b=b)

## [1] 4 2 1 3

Kita buat augmented matriks terlebih dahulu dan langkah terakhirnya kita gunakan sintaks gauss_jordan().

scale_row <- function(m, row, k){
 m[row, ] <- m[row, ]*k
 return(m)
}

replace_row <- function(m, row1, row2, k){
  m[row2, ] <- m[row2, ] + m[row1, ]*k
  return(m)
}

gauss_jordan <- function (a){
    m <- nrow (a)
    n <- ncol (a)
    piv <- 1
    
    for(row_curr in 1:m){
        if(piv <= n){
            i <- row_curr
            while(a[i, piv] == 0 && i < m){
                i <- i + 1
                if(i > m){
                    i <- row_curr
                    piv <- piv + 1
                    if(piv > n)
                        return (a)
                }
            }

            if(i != row_curr)
                a <- swap_row(a, i, row_curr)
            
            piv_val <- a[row_curr , piv]
            a <- scale_row (a, row_curr , 1 / piv_val)
            for(j in 1: m){
                if(j != row_curr){
                    k <- a[j, piv]/a[row_curr, piv]
                    a <- replace_row (a, row_curr, j, -k)
                }
            }
            piv <- piv + 1
        }
    }
    return (a)
}

m <- matrix(c(3,4,0,0,4,5,2,0,
              0,2,5,3,0,0,3,5,
              20,28,18,18), nrow=4)
gauss_jordan(m)

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]    1    0    0    0    4
## [2,]    0    1    0    0    2
## [3,]    0    0    1    0    1
## [4,]    0    0    0    1    3

Source : https://bookdown.org/moh_rosidi2610/Metode_Numerik/linearaljabar.html#matriktridiagonal