Pruebas de Hipótesis para 2 Poblaciones Bajo Normalidad

1 Introducción

Se consideran dos poblaciones, a saber, \(X\sim \textsf{N}(\mu_X,\sigma_X^2)\) y \(Y\sim \textsf{N}(\mu_Y,\sigma_Y^2)\), de las cuales se tienen muestras aleatorias independientes \(X_1,\ldots,X_{n_X}\) y \(Y_1,\ldots,Y_{n_Y}\), respectivamente.

El objetivo es comparar los parámetros de las dos poblaciones.

2 Para la diferencia de medias pobacional \(\mu_X - \mu_Y\)

El proceso de prueba para \(\mu_X - \mu_Y\) se puede resumir con el siguiente esquema:

donde

\[ f=\left\lceil {\frac{\left(\frac{s^2_{X}}{n_X}+\frac{s^2_{Y}}{n_Y} \right)^2 }{\frac{\left( \frac{s^2_{X}}{n_X}\right)^2 }{n_X-1}+\frac{\left( \frac{s^2_{Y}}{n_Y}\right)^2 }{n_Y-1}}} \right\rceil \]

y

\[ S_p=\sqrt{\frac{(n_X-1)S^2_{X}+(n_Y-1)S^2_{Y}}{n_X+n_Y-2}} \]

Cuando se quiere probar la igualdad de las medias se usa \(\delta_0=0\).

2.1 Ejemplo

Simular dos muestras aleatorias, una de tamaño \(n_X=25\) de una población Normal con media \(\mu_X=5\) y varianza \(\sigma_X^2=0.50\), y otra de tamaño \(n_Y=20\) de una población Normal con media \(\mu_Y=4\) y varianza \(\sigma_Y^2=0.25\). Usando estas muestras, probar al 95% de confianza el sistema de hipótesis

\[H_0:\mu_X-\mu_Y = 0\qquad\text{ frente a }\qquad H_1:\mu_X-\mu_Y\neq 0\,.\]

# simulacion de los datos
set.seed(1234)
x <- rnorm(n = 25, mean = 5, sd = 0.50)
y <- rnorm(n = 20, mean = 4, sd = 0.25)

# inspeccionar los datos
head(x)

## [1] 4.396467 5.138715 5.542221 3.827151 5.214562 5.253028

head(y)

## [1] 3.637949 4.143689 3.744086 3.996215 3.766013 4.275574

# tendencia
summary(x)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   3.827   4.612   4.755   4.879   5.139   6.208

summary(y)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   3.455   3.727   3.804   3.847   3.927   4.362

# diagrama de caja
boxplot(x, y, border = c("darkblue","black"), col = "white", boxwex = 0.4, outline = F)
points(x = jitter(x = rep(1,25), amount = 0.08), y = x, pch = 16, col = adjustcolor("blue",  0.5))
points(x = jitter(x = rep(2,20), amount = 0.08), y = y, pch = 16, col = adjustcolor("black", 0.5))

# prueba normalidad
shapiro.test(x)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  x
## W = 0.93222, p-value = 0.09781

shapiro.test(y)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  y
## W = 0.94453, p-value = 0.2916

# prueba de diferencia de medias
t.test(x = x, y = y, alternative = "two.sided", mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, conf.level = 0.95)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  x and y
## t = 9.8489, df = 36.047, p-value = 9.186e-12
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.8197809 1.2449267
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  4.879109  3.846755

Decisión: Rechazar \(H_0\).

3 Prueba de homocedasticidad

Se tienen los siguientes sistemas de hipótesis:

\[\text{Sistema A: }\qquad H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\qquad\text{ frente a }\qquad H_1:\sigma_1^2<\sigma_2^2\] \[\text{Sistema B: }\qquad H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\qquad \text{ frente a }\qquad H_1:\sigma_1^2>\sigma_2^2\] \[\text{Sistema C: }\qquad H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\qquad \text{ frente a }\qquad H_1:\sigma_1^2\neq\sigma_2^2\] El estadístico de prueba es

\[F=\frac{S^2_X}{S^2_Y}\]

y los tests son respectivamente:

\[\tau_A:\qquad \text{Rechazar }H_0\text{ si }f_c<\textsf{F}_{n_X-1,n_Y-1,\alpha}\]

\[\tau_B:\qquad \text{Rechazar }H_0\text{ si }f_c>\textsf{F}_{n_X-1,n_Y-1,1-\alpha}\]

\[\tau_C:\qquad \text{Rechazar }H_0\text{ si }f_c<\textsf{F}_{n_X-1,n_Y-1,\alpha/2}\text{ o } f_c>\textsf{F}_{n_X-1,n_Y-1,1-\alpha/2}\]

3.1 Ejemplo

Hacer la prueba de homocedasticidad a dos colas usando los datos de la simulación anterior.

var.test(x = x, y = y, ratio = 1, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  x and y
## F = 4.3366, num df = 24, denom df = 19, p-value = 0.001858
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##   1.768377 10.170061
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           4.336629

# estadistico de prueba
est <- var(x)/var(y)
print(est)

## [1] 4.336629

# percentiles
qf(p = 0.025, df1 = 25-1, df2 = 20-1, lower.tail = TRUE )

## [1] 0.4264113

qf(p = 0.025, df1 = 25-1, df2 = 20-1, lower.tail = FALSE)

## [1] 2.452321

# valor p
p1 <- pf(q = est, df1 = 25-1, df2 = 20-1, lower.tail = TRUE )
p1

## [1] 0.9990709

p2 <- pf(q = est, df1 = 25-1, df2 = 20-1, lower.tail = FALSE)
p2

## [1] 0.000929077

p  <- 2*min(p1,p2)
p

## [1] 0.001858154

Decisión: Rechazar \(H_0\).

4 Para la diferencia de proporciones poblacional \(\pi_X-\pi_Y\)

aciones, a saber, \(X\sim Ber(\pi_X)\) y \(Y\sim Ber(\pi_Y)\), de las cuales se tienen las muestras aleatorias independientes** \(X_1,\ldots,X_{n_X}\) y \(Y_1,\ldots,Y_{n_Y}\), respectivamente.

Se tienen los siguientes sistemas de hipótesis:

\[\text{Sistema A: }\qquad H_0:\pi_X-\pi_Y=\delta_0\qquad\text{ frente a }\qquad H_1:\pi_X-\pi_Y<\delta_0\] \[\text{Sistema B: }\qquad H_0:\pi_X-\pi_Y=\delta_0\qquad \text{ frente a }\qquad H_1:\pi_X-\pi_Y>\delta_0\] \[\text{Sistema C: }\qquad H_0:\pi_X-\pi_Y=\delta_0\qquad \text{ frente a }\qquad H_1:\pi_X-\pi_Y\neq\delta_0\] El estadístico de prueba es

\[Z=\frac{(P_X-P_Y) - \delta_0}{\sqrt{\frac{P_X(1-P_X)}{n_X}+\frac{P_Y(1-P_Y)}{n_Y}}}\]

y los tests son respectivamente:

\[\tau_A:\qquad \text{Rechazar }H_0\text{ si }z_c<z_{\alpha}\]

\[\tau_B:\qquad \text{Rechazar }H_0\text{ si }z_c>z_{1-\alpha}\]

\[\tau_C:\qquad \text{Rechazar }H_0\text{ si }|z_c|>z_{1-\alpha/2}\]

4.1 Ejercicio

Los extractos de St. John’s Wort se utilizan ampliamente para tratar la depresión. Un artículo del número del 18 de abril de 2001 del Journal of the American Medical Association, títulado Effectiveness of St. John’s Wort on Major Depression: A Randomized Controlled Trial, comparó la eficacia de un extracto estándar de St. John’s Wort con un placebo en 200 pacientes diagnosticados de depresión mayor.

Los pacientes fueron asignados aleatoriamente a dos grupos (50/50). Un grupo recibió la hierba y el otro recibió el placebo. Después de 8 semanas, 19 de los pacientes tratados con placebo mostraron una mejoría y 27 de los tratados con St. John’s Wort mejoraron. ¿Existe alguna razón para creer que el tratamiento es eficaz para tratar la depresión mayor? Use una confiabilidad del 95%.

5 Prueba de independencia entre dos variables categóricas

La prueba de independencia se utiliza cuando se quiere probar si existe una relación entre dos variables categóricas.

El sistema de hipótesis es:

\[H_0:\text{Las variables son independientes}\] \[\text{frente a}\] \[H_1:\text{Las variables no son independientes.}\]

El estadístico de prueba es:

\[\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{p}\frac{(n_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}\] donde \(k\) es el número de categorías de \(X\), \(p\) es el número de categorías de \(Y\), \(n_{ij}\) es la frecuencia absoluta de la \(i\)-ésima categoría de \(X\) y la \(j\)-ésima categoría de \(Y\), y \(e_{ij}=\frac{n_{i\bullet}n_{\bullet j}}{n_{\bullet\bullet}}\) es la frecuencia esperada bajo la hipótesis de independencia.

El test es:

\[\tau:\qquad \text{Rechazar }H_0\text{ si }\chi^2_c>\chi^2_{(k-1)(p-1),1-\alpha}\]

5.1 Ejemplo

Tomado de: Barón F.J. Bioestadística. Universidad de Málaga. http://www.bioestadistica.uma.es/baron/bioestadistica.pdf

Se seleccionó una muestra de 500 niños para determinar si existe una asociación entre el nivel socio-económico y la presencia o ausencia de un defecto de pronunciación. Con base en los resultados de la tabla, ¿qué se puede concluir utilizando un 5% de significancia?

\(X\): Defecto en la pronunciación.

\(Y\): Nivel socio-económico.

\(X / Y\)	Alto	Medio-alto	Medio-bajo	Bajo
Sí	8	24	32	27
No	42	121	138	108

El sistema de hipótesis está dado por:

\[H_0:\text{No existe una asociación entre el defecto en la pronunciación y el nivel socio-económico}\] \[\text{frente a}\] \[H_1:\text{Sí existe una asociación entre el defecto en la pronunciación y el nivel socio-económico}\]

#tabla de frecuencias
tabla <- matrix(data = c(8,24,32,27,42,121,138,108), nrow = 2, ncol = 4, byrow = T)
colnames(tabla) <- c("Alto","Medio-alto","Medio-bajo","Bajo")
rownames(tabla) <- c("Con defecto", "Sin defecto")
print(tabla)

##             Alto Medio-alto Medio-bajo Bajo
## Con defecto    8         24         32   27
## Sin defecto   42        121        138  108

# prueba de hipótesis
chisq.test(x = tabla)

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tabla
## X-squared = 0.76536, df = 3, p-value = 0.8577

# percentil
qchisq(p = 0.05, df = 3, lower.tail = F)

## [1] 7.814728

Como el valor \(p=0.8577>0.05\), se concluye que no hay suficiente evidencia estadística para afirmar que existe una asociación entre el nivel socio-económico y tener un defecto de pronunciación.

6 Referencias