1.1 Experimentos aleatorios

Un experimento aleatorio es aquel que, aunque se repita de la misma manera cada vez que se realiza, puede generar diferentes resultados (Montgomery and Runger 2018) (p. 18).

1.2 Espacio Muestral

El espacio muestral de un experimento aleatorio, denotado como \(S\), es la colección de todos los posibles resultados que pueden ocurrir. Este espacio puede ser categorizado como continuo o discreto (Montgomery and Runger 2018) (p. 20). Por ejemplo, como espacio muestral continuo podría considerarse los pesos corporales de los(as) pacientes de un hospital, mientras que en un espacio muestral discreto se pueden tener en cuenta los resultados de lanzar un dado, que son las caras posibles. Para fines prácticos un espacio muestral continuo puede ser discretizado.

1.3 Eventos

En el contexto de un experimento aleatorio, un evento se refiere a un subconjunto específico dentro del espacio muestral. En otras palabras, un evento es una colección de posibles resultados del experimento. Esto nos permite analizar y estudiar conjuntos de resultados específicos en lugar de considerar todos los posibles resultados en su conjunto (Montgomery and Runger 2018) (p. 21).

1.4 Ejemplos

• En el experimento de lanzar una moneda el espacio muestral es:

\(\Omega = \{Cara, Sello\}\)

• En el experimento de lanzar dos monedas el espacio muestral es:

\(\Omega = \{Cara-Cara, Cara-Sello, Sello-Cara , Sello-Sello\}\)

• En el mismo experimento, un evento de interés podrían ser el que las monedas caigan del mismo lado, correspondiendo al subconjunto:

\(E = \{Cara-Cara, Sello-Sello\}\)

• En el experimento de lanzar un dado de seis caras el espacio muestral es :

\(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

• Un evento para el mismo experimento podría ser que que resulte una número impar, donde el subconjunto de interés sería:

\(E = \{1,3,5\}\)

2.1 Resultados equiprobables

Según (Montgomery and Runger 2018) (p. 27), cuando un espacio muestral está compuesto por \(N\) posibles resultados que tienen la misma probabilidad de ocurrir, la probabilidad de cada resultado es de \(\frac{1}{N}\). En otras palabras, si todos los resultados son equiprobables, la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos se calcula dividiendo 1 entre el número total de resultados posibles.

Un ejemplo que ilustra este concepto es el de un dado no cargado con 6 caras. En este caso, cada una de las caras tiene una probabilidad igual de ocurrir, es decir, \(P(x) = \frac{1}{6}\) para cada resultado \(x\) perteneciente al espacio muestral \(\Omega\). Esto significa que la probabilidad de obtener cualquier cara específica del dado es de \(\frac{1}{6}\).

2.2 Probablilidad de un evento

(Montgomery and Runger 2018) (p. 28) indica que, en el caso de un espacio muestral discreto, la probabilidad de un evento \(E\), denotada como \(P(E)\), se calcula como la suma de las probabilidades de los resultados que pertenecen al evento \(E\). En otras palabras, si un evento \(E\) está compuesto por varios resultados específicos del espacio muestral, la probabilidad de que ocurra \(E\) es igual a la suma de las probabilidades individuales de cada resultado dentro de \(E\).

Tomemos como ejemplo un dado, donde sabemos que su espacio muestral está compuesto por los números del 1 al 6:

\(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

Un evento que podríamos considerar es que el resultado sea un número impar, en que el subconjunto correspondiente sería:

\(E = \{1,3,5\}\)

Ahora sabiendo que la probabilidad de cada cara es de \(\frac{1}{6}\) entonces,

\(P(E) = P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \times 3 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

2.3 Definición de Axiomas

La probabilidad es un número asignado a cada miembro de una colección de eventos de un experimento aleatorio, y cumple con las siguientes propiedades:

• \(P(S) = 1\) donde \(S\) es el espacio muestral.

• \(0 \leq P(E) \leq 1\) para cualquier evento \(E\).

• Para dos eventos \(E_1\) y \(E_2\) con \(E_1 \cap E_2 =\emptyset\), se cumple que \(P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2)\)

Estas propiedades son fundamentales en la teoría de la probabilidad y nos permiten realizar cálculos y razonamientos consistentes en relación con los eventos de un experimento aleatorio.

Actividad
Señale tres experimentos con espacio muestral discreto y tres con espacio muestra continuo. Para cada uno, señale sus eventos e indique si son equiprobables o no.