Probabilidade e Amostragem
Probabilidade e Estatística
¹Carlos Didrich , ²Gleison Guardia
2022-09-20
1 Conhecendo os Dados
1.1 DataSet do projeto
Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios - 2015
A Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios - PNAD investiga anualmente, de forma permanente, características gerais da população, de educação, trabalho, rendimento e habitação e outras, com periodicidade variável, de acordo com as necessidades de informação para o país, como as características sobre migração, fecundidade, nupcialidade, saúde, segurança alimentar, entre outros temas. O levantamento dessas estatísticas constitui, ao longo dos 49 anos de realização da pesquisa, um importante instrumento para formulação, validação e avaliação de políticas orientadas para o desenvolvimento socioeconômico e a melhoria das condições de vida no Brasil.
Fonte dos Dados
Variáveis utilizadas
Renda
Rendimento mensal do trabalho principal para pessoas de 10 anos ou mais de idade.
Idade
Idade do morador na data de referência em anos.
Altura (elaboração própria)
Altura do morador em metros.
UF
| Código | Descrição |
|---|---|
| 11 | Rondônia |
| 12 | Acre |
| 13 | Amazonas |
| 14 | Roraima |
| 15 | Pará |
| 16 | Amapá |
| 17 | Tocantins |
| 21 | Maranhão |
| 22 | Piauí |
| 23 | Ceará |
| 24 | Rio Grande do Norte |
| 25 | Paraíba |
| 26 | Pernambuco |
| 27 | Alagoas |
| 28 | Sergipe |
| 29 | Bahia |
| 31 | Minas Gerais |
| 32 | Espírito Santo |
| 33 | Rio de Janeiro |
| 35 | São Paulo |
| 41 | Paraná |
| 42 | Santa Catarina |
| 43 | Rio Grande do Sul |
| 50 | Mato Grosso do Sul |
| 51 | Mato Grosso |
| 52 | Goiás |
| 53 | Distrito Federal |
Sexo
| Código | Descrição |
|---|---|
| 0 | Masculino |
| 1 | Feminino |
Anos de Estudo
| Código | Descrição |
|---|---|
| 1 | Sem instrução e menos de 1 ano |
| 2 | 1 ano |
| 3 | 2 anos |
| 4 | 3 anos |
| 5 | 4 anos |
| 6 | 5 anos |
| 7 | 6 anos |
| 8 | 7 anos |
| 9 | 8 anos |
| 10 | 9 anos |
| 11 | 10 anos |
| 12 | 11 anos |
| 13 | 12 anos |
| 14 | 13 anos |
| 15 | 14 anos |
| 16 | 15 anos ou mais |
| 17 | Não determinados |
| Não aplicável |
Cor
| Código | Descrição |
|---|---|
| 0 | Indígena |
| 2 | Branca |
| 4 | Preta |
| 6 | Amarela |
| 8 | Parda |
| 9 | Sem declaração |
Observação
Os seguintes tratamentos foram realizados nos dados originais:
- Foram eliminados os registros onde a Renda era inválida (999 999 999 999);
- Foram eliminados os registros onde a Renda era missing;
- Foram considerados somente os registros das Pessoas de Referência de cada domicílio (responsável pelo domicílio).
Configurações
Carregando o pacote ggplot2
library(ggplot2)Fazendo a configuração para os gráficos
options(repr.plot.width = 7, repr.plot.height = 4)Importando dataset do projeto
dados <- read.csv('dados.csv')
head(dados, 5)## UF Sexo Idade Cor Anos.de.Estudo Renda Altura
## 1 11 0 23 8 12 800 1.603808
## 2 11 1 23 2 12 1150 1.739790
## 3 11 1 35 8 15 880 1.760444
## 4 11 0 46 2 6 3500 1.783158
## 5 11 1 47 8 9 150 1.6906312 Distribuições de Probabilidade
Problema
Em um concurso para preencher uma vaga de cientista de dados temos um total de 10 questões de múltipla escolha com 3 alternativas possíveis em cada questão. Cada questão tem o mesmo valor. Suponha que um candidato resolva se aventurar sem ter estudado absolutamente nada. Ele resolve fazer a prova de olhos vendados e chutar todas as resposta. Assumindo que a prova vale 10 pontos e a nota de corte seja 5, obtenha a probabilidade deste candidato acertar 5 questões e também a probabilidade deste candidato passar para a próxima etapa do processo seletivo.
2.1 Distribuição Binomial
Um evento binomial é caracterizado pela possibilidade de ocorrência de apenas duas categorias. Estas categorias somadas representam todo o espaço amostral, sendo também mutuamente excludentes, ou seja, a ocorrência de uma implica na não ocorrência da outra.
Em análises estatísticas o uso mais comum da distribuição binomial é na solução de problemas que envolvem situações de sucesso e fracasso.
\[P(k)=\binom{n}{k} p^k q^{n-k}\]
Onde:
\(p\) = probabilidade de sucesso
\(q = (1 - p)\) = probabilidade de fracasso
\(n\) = número de eventos estudados
\(k\) = número de eventos desejados que tenham sucesso
O valor esperado ou a média da distribuição binomial é igual ao número de experimentos realizados multiplicado pela chance de ocorrência do evento.
\[\mu = n \times p\] ### Desvio padrão da distribuição binomial
O desvio padrão é o produto entre o número de experimentos, a probabilidade de sucesso e a probabilidade de fracasso.
\[\sigma = \sqrt{n \times p \times q}\]
Combinações
Número de combinações de \(n\) objetos, tomados \(k\) a cada vez, é:
\[C_{k}^{n} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}\]
Onde
\[n! = n\times(n-1)\times(n-2)\times...\times(2)\times(1)\] \[k! = k\times(k-1)\times(k-2)\times...\times(2)\times(1)\]
Por definição
\[0! = 1\]
Documentações:
Exemplo: Mega Sena
Em um volante de loteria da Mega Sena temos um total de 60 números para escolher onde a aposta mínima é de seis números. Você que é curiosa(o) resolve calcular a probabilidade de se acertar na Mega Sena com apenas um jogo. Para isso precisamos saber quantas combinações de seis números podem ser formadas com os 60 números disponíveis.
\[C_{6}^{60} = \binom{60}{6} = \frac{60!}{6!(60 - 6)!}\] Primeiramente iremos ver quantos bilhetes (combinações) poderemos ter combinando 6 números dentro dos 60 possíveis.
combinacoes <- choose(60,6)
combinacoes## [1] 50063860Agora vamos ver a probabilidade de um acerto dentro dessas opções:
probabilidade <- 1/combinacoes
sprintf("A probabilidade é de %s", probabilidade*100) ## [1] "A probabilidade é de 1.99744885831816e-06"Ou seja, a probabilidade é de 0,000001%.
Exercício do Capítulo:
- 1 Suponha que acabamos de criar um jogo de loteria, chamado Show de Prêmios do ADS. Nesse novo jogo, o apostador marca 20 números, dentre os 25 disponíveis no bilhete, e pode ganhar até 1 milhão de reais. Determine qual o número de combinações possíveis desse experimento (espaço amostral) e a probabilidade de se ganhar o prêmio jogando apenas um bilhete (considere apenas quinze casas decimais).
Solução
combinacoes = choose(25, 20)
probabilidade = 1 / combinacoes
sprintf('Combinações = %d e Probabilidade = %0.15f', combinacoes, probabilidade)## [1] "Combinações = 53130 e Probabilidade = 0.000018821757952"Exemplo: Concurso para cientista de dados
Em um concurso para preencher uma vaga de cientista de dados temos um total de 10 questões de múltipla escolha com 3 alternativas possíveis em cada questão. Cada questão tem o mesmo valor. Suponha que um candidato resolva se aventurar sem ter estudado absolutamente nada. Ele resolve fazer a prova de olhos vendados e chutar todas as resposta. Assumindo que a prova vale 10 pontos e a nota de corte seja 5, obtenha a probabilidade deste candidato acertar 5 questões e também a probabilidade deste candidato passar para a próxima etapa do processo seletivo.
Qual o número de ensaios (\(n\))?
n <- 10
n## [1] 10Os ensaios são independentes?
Sim. A opção escolhida em uma questão não influencia em nada a opção escolhida em outra questão.
Somente dois resultados são possíveis em cada ensaio?
Sim. O candidato tem duas possibilidades, ACERTA ou ERRAR uma questão.
Qual a probabilidade de sucesso (\(p\))?
numero_de_alternativas_por_questao <- 3
p <- 1 / numero_de_alternativas_por_questao
p## [1] 0.3333333Qual a probabilidade de fracasso (\(q\))?
q<- 1 -p
q## [1] 0.6666667Qual o total de eventos que se deseja obter sucesso (\(k\))?
k <- 5
k## [1] 5Solução 1
probabilidade <- choose(n, k) * (p ** k) * (q ** (n - k))
probabilidade## [1] 0.1365645Solução 2
Obter a probabilidade do candidato passar
\[P(acertar > 4) = P(5) + P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P(10)\] Logo, vamos calcular a probabilidade de cada uma das alternativas e somá-las:
dbinom(x = 5, size = n, prob = p) +
dbinom(x = 6, size = n, prob = p) +
dbinom(x = 7, size = n, prob = p) +
dbinom(x = 8, size = n, prob = p) +
dbinom(x = 9, size = n, prob = p) +
dbinom(x = 10, size = n, prob = p)## [1] 0.2131281Existe um segundo método, onde a soma pode ser feita imediamente:
sum(dbinom(x = 5:10, size = n, prob = p))## [1] 0.2131281Ou neste método que calcula a probabilidade da segunda parte da distribuição:
pbinom(q = 4, size = n, prob = p, lower.tail = F)## [1] 0.2131281Exercício do Capítulo:
- 1 As alternativas abaixo descrevem as características básicas de um experimento binomial. Marque as alternativas que estão corretas.
Somente dois resultados são possíveis:
Realização de \(n\) ensaios idênticos
Ensaios são dependentes
A probabilidade de sucesso é representada por \(p\) e a de fracasso por \(1 + p = q\). Estas probabilidades não se modificam de ensaio para ensaio
- 2 Um dado de seis faces, não viciado, é lançado para o alto quatro vezes. Utilizando a distribuição binomial, obtenha a probabilidade de o dado cair com um número par voltado para cima duas vezes.
Solução:
p = 3 / 6 # Probabilidade de sair um número PAR
n = 4 # Total de lançamentos
k = 2 # Total de sucessos (número PAR voltado para cima)
dbinom(x = k, size = n, prob = p)## [1] 0.375- 3 Um dado de seis faces, perfeitamente equilibrado, é lançado para o alto dez vezes. Utilizando a distribuição binomial, obtenha a probabilidade de o dado cair com o número 5 voltado para cima pelo menos três vezes.
Solução:
p = 1 / 6
n = 10
sum(dbinom(x = 3:10, size = n, prob = p)) # Acontecer## [1] 0.2247732#pbinom(q = 2, size = n, prob = p, lower.tail = F) # de Não acontecerExemplo: Gincana
Uma cidade do interior realiza todos os anos uma gincana para arrecadar fundos para o hospital da cidade. Na última gincana se sabe que a proporção de participantes do sexo feminino foi de 60%. O total de equipes, com 12 integrantes, inscritas na gincana deste ano é de 30. Com as informações acima responda: Quantas equipes deverão ser formadas por 8 mulheres?
A probabilidade de sucesso, ou seja, de ter uma mulher no grupo é dada pela experiência anterior:
p = 0.6
p## [1] 0.6Agora vamos declara o número integrantes por equipes:
n<-12
n## [1] 12Agora vamos declarar o número de sucessos desejado:
k<- 8
k## [1] 8Agora vamos calcular a probabilidade:
probabilidade <- dbinom(x = k, size = n, prob = p)
probabilidade## [1] 0.2128409Agora, com a probabilidade é só determinar as equipes.
equipes <- 30 * probabilidade
equipes## [1] 6.385228Logo, em média teremos 6 equipes com esta característica.
Exercícios do Capítulo:
- Suponha que a probabilidade de se contrair o novo Coronavírus seja de 70%. Em um grupo de 1500 famílias, com 5 pessoas cada, quantas podemos esperar que tenham apenas dois contaminados?
Solução:
p <- 0.7
n <- 5
k <- 2
N <- 1500
probabilidade <- dbinom(k, n, p)
media <- probabilidade * N
round(media)## [1] 198Problema
Um restaurante recebe em média 20 pedidos por hora. Qual a chance de que, em determinada hora escolhida ao acaso, o restaurante receba 15 pedidos?
Este tipo de problema que aborda a teoria de filas é resolvido com o problema de Poisson e passaremos a abordá-lo a parti de agora.
2.2 Distribuição Poisson
É empregada para descrever o número de ocorrências em um intervalo de tempo ou espaço específico. Os eventos são caracterizados pela possibilidade de contagem dos sucessos, mas a não possibilidade de contagem dos fracassos.
Como exemplos de processos onde podemos aplicar a distribuição de Poisson temos a determinação do número de clientes que entram em uma loja em determinada hora, o número de carros que chegam em um drive-thru de uma lanchonete na hora do almoço, a determinação do número de acidentes registrados em um trecho de estrada etc.
\[P(k) = \frac{e^{-\mu}(\mu)^k}{k!}\]
Onde:
\(e\) = constante cujo valor aproximado é 2,718281828459045
\(\mu\) = representa o número médio de ocorrências em um determinado intervalo de tempo ou espaço
\(k\) = número de sucessos no intervalo desejado
Experimento Poisson
A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em todo o intervalo observado.
O número de ocorrências em determinado intervalo é independente do número de ocorrências em outros intervalos.
A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em intervalos de igual comprimento.
Média da distribuição Poisson
\[\mu\] ### Desvio padrão da distribuição Poisson
\[\sigma = \sqrt{\mu}\]
Exercício do Capítulo:
- 1 As alternativas abaixo descrevem as características básicas de um experimento Poisson. Marque as alternativas que estão corretas.
A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em todo o intervalo observado;
A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em intervalos de qualquer comprimento
O número de ocorrências em determinado intervalo é dependente do número de ocorrências em outros intervalos
O número de ocorrências em determinado intervalo é independente do número de ocorrências em outros intervalos
Exemplo: Delivery
Um restaurante recebe em média 20 pedidos por hora. Qual a chance de que, em determinada hora escolhida ao acaso, o restaurante receba 15 pedidos?
Qual o número médio de ocorrências por hora (\(\mu\))?
media <- 20
media## [1] 20Qual o número de ocorrências que queremos obter no período (\(k\))?
k <- 15
k## [1] 15Solução 1
probabilidade <- ((exp(1) ** (-media)) * (media ** k)) / (factorial(k))
probabilidade## [1] 0.05164885Solução 2
Documentações:
probabilidade <- dpois(x = k, lambda = media)
probabilidade## [1] 0.05164885Exercício do Capítulo:
- 1 O número médio de clientes que entram em uma padaria por hora é igual a 20. Obtenha a probabilidade de, na próxima hora, entrarem exatamente 25 clientes.
Solução:
m = 20
k = 25
probabilidade <- dpois(x = k, lambda = m)
probabilidade * 100## [1] 4.458765Problema
Em um estudo sobre as alturas dos moradores de uma cidade verificou-se que o conjunto de dados segue uma distribuição aproximadamente normal, com média 1,70 e desvio padrão de 0,1. Com estas informações obtenha o seguinte conjunto de probabilidades:
A. probabilidade de uma pessoa, selecionada ao acaso, ter menos de 1,80 metros.
B. probabilidade de uma pessoa, selecionada ao acaso, ter entre 1,60 metros e 1,80 metros.
C. probabilidade de uma pessoa, selecionada ao acaso, ter mais de 1,90 metros.
Este tipo de problema é resolvido com a Distribuição Normal. Iremos abordar ela a partir do próximo capítulo:
2.3 Distribuição Normal
A distribuição normal é uma das mais utilizadas em estatística. É uma distribuição contínua, onde a distribuição de frequências de uma variável quantitativa apresenta a forma de sino e é simétrica em relação a sua média.
Características importantes
É simétrica em torno da média;
A área sob a curva corresponde à proporção 1 ou 100%;
As medidas de tendência central (média, mediana e moda) apresentam o mesmo valor;
Os extremos da curva tendem ao infinito em ambas as direções e, teoricamente, jamais tocam o eixo \(x\);
O desvio padrão define o achatamento e largura da distribuição. Curvas mais largas e mais achatadas apresentam valores maiores de desvio padrão;
A distribuição é definida por sua média e desvio padrão;
A probabilidade sempre será igual à área sob a curva, delimitada pelos limites inferior e superior.
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]
Onde:
\(x\) = variável normal
\(\sigma\) = desvio padrão
\(\mu\) = média
A probabilidade é obtida a partir da área sob a curva, delimitada pelos limites inferior e superior especificados. Um exemplo pode ser visto na figura abaixo.
Para obter a área acima basta calcular a integral da função para os intervalos determinados. Conforme equação abaixo:
\[P(L_i<x<L_s) = \int_{L_i}^{L_s}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]
Onde:
\(x\) = variável normal
\(\sigma\) = desvio padrão
\(\mu\) = média
\(L_i\) = limite inferior
\(L_s\) = limite superior
Tabelas padronizadas
As tabelas padronizadas foram criadas para facilitar a obtenção dos valores das áreas sob a curva normal e eliminar a necessidade de solucionar integrais definidas.
Para consultarmos os valores em uma tabela padronizada basta transformarmos nossa variável em uma variável padronizada \(Z\).
Esta variável \(Z\) representa o afastamento em desvios padrões de um valor da variável original em relação à média.
\[Z = \frac{x-\mu}{\sigma}\]
Onde:
\(x\) = variável normal com média \(\mu\) e desvio padrão \(\sigma\)
\(\sigma\) = desvio padrão
\(\mu\) = média
Documentações:
Construindo tabela normal padronizada
Z <- seq(0, 3.99, by=0.01)
probabilidade <- pnorm(Z)
tabela_normal_padronizada <- matrix(probabilidade, ncol=10, byrow=TRUE)
colnames(tabela_normal_padronizada) <- format(seq(0.00, 0.09, by=0.01))
rownames(tabela_normal_padronizada) <- format(seq(0.00, 3.90, by=0.10), digits = 2, nsmall = 2)
tabela_normal_padronizada## 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
## 0.00 0.5000000 0.5039894 0.5079783 0.5119665 0.5159534 0.5199388 0.5239222
## 0.10 0.5398278 0.5437953 0.5477584 0.5517168 0.5556700 0.5596177 0.5635595
## 0.20 0.5792597 0.5831662 0.5870644 0.5909541 0.5948349 0.5987063 0.6025681
## 0.30 0.6179114 0.6217195 0.6255158 0.6293000 0.6330717 0.6368307 0.6405764
## 0.40 0.6554217 0.6590970 0.6627573 0.6664022 0.6700314 0.6736448 0.6772419
## 0.50 0.6914625 0.6949743 0.6984682 0.7019440 0.7054015 0.7088403 0.7122603
## 0.60 0.7257469 0.7290691 0.7323711 0.7356527 0.7389137 0.7421539 0.7453731
## 0.70 0.7580363 0.7611479 0.7642375 0.7673049 0.7703500 0.7733726 0.7763727
## 0.80 0.7881446 0.7910299 0.7938919 0.7967306 0.7995458 0.8023375 0.8051055
## 0.90 0.8159399 0.8185887 0.8212136 0.8238145 0.8263912 0.8289439 0.8314724
## 1.00 0.8413447 0.8437524 0.8461358 0.8484950 0.8508300 0.8531409 0.8554277
## 1.10 0.8643339 0.8665005 0.8686431 0.8707619 0.8728568 0.8749281 0.8769756
## 1.20 0.8849303 0.8868606 0.8887676 0.8906514 0.8925123 0.8943502 0.8961653
## 1.30 0.9031995 0.9049021 0.9065825 0.9082409 0.9098773 0.9114920 0.9130850
## 1.40 0.9192433 0.9207302 0.9221962 0.9236415 0.9250663 0.9264707 0.9278550
## 1.50 0.9331928 0.9344783 0.9357445 0.9369916 0.9382198 0.9394292 0.9406201
## 1.60 0.9452007 0.9463011 0.9473839 0.9484493 0.9494974 0.9505285 0.9515428
## 1.70 0.9554345 0.9563671 0.9572838 0.9581849 0.9590705 0.9599408 0.9607961
## 1.80 0.9640697 0.9648521 0.9656205 0.9663750 0.9671159 0.9678432 0.9685572
## 1.90 0.9712834 0.9719334 0.9725711 0.9731966 0.9738102 0.9744119 0.9750021
## 2.00 0.9772499 0.9777844 0.9783083 0.9788217 0.9793248 0.9798178 0.9803007
## 2.10 0.9821356 0.9825708 0.9829970 0.9834142 0.9838226 0.9842224 0.9846137
## 2.20 0.9860966 0.9864474 0.9867906 0.9871263 0.9874545 0.9877755 0.9880894
## 2.30 0.9892759 0.9895559 0.9898296 0.9900969 0.9903581 0.9906133 0.9908625
## 2.40 0.9918025 0.9920237 0.9922397 0.9924506 0.9926564 0.9928572 0.9930531
## 2.50 0.9937903 0.9939634 0.9941323 0.9942969 0.9944574 0.9946139 0.9947664
## 2.60 0.9953388 0.9954729 0.9956035 0.9957308 0.9958547 0.9959754 0.9960930
## 2.70 0.9965330 0.9966358 0.9967359 0.9968333 0.9969280 0.9970202 0.9971099
## 2.80 0.9974449 0.9975229 0.9975988 0.9976726 0.9977443 0.9978140 0.9978818
## 2.90 0.9981342 0.9981929 0.9982498 0.9983052 0.9983589 0.9984111 0.9984618
## 3.00 0.9986501 0.9986938 0.9987361 0.9987772 0.9988171 0.9988558 0.9988933
## 3.10 0.9990324 0.9990646 0.9990957 0.9991260 0.9991553 0.9991836 0.9992112
## 3.20 0.9993129 0.9993363 0.9993590 0.9993810 0.9994024 0.9994230 0.9994429
## 3.30 0.9995166 0.9995335 0.9995499 0.9995658 0.9995811 0.9995959 0.9996103
## 3.40 0.9996631 0.9996752 0.9996869 0.9996982 0.9997091 0.9997197 0.9997299
## 3.50 0.9997674 0.9997759 0.9997842 0.9997922 0.9997999 0.9998074 0.9998146
## 3.60 0.9998409 0.9998469 0.9998527 0.9998583 0.9998637 0.9998689 0.9998739
## 3.70 0.9998922 0.9998964 0.9999004 0.9999043 0.9999080 0.9999116 0.9999150
## 3.80 0.9999277 0.9999305 0.9999333 0.9999359 0.9999385 0.9999409 0.9999433
## 3.90 0.9999519 0.9999539 0.9999557 0.9999575 0.9999593 0.9999609 0.9999625
## 0.07 0.08 0.09
## 0.00 0.5279032 0.5318814 0.5358564
## 0.10 0.5674949 0.5714237 0.5753454
## 0.20 0.6064199 0.6102612 0.6140919
## 0.30 0.6443088 0.6480273 0.6517317
## 0.40 0.6808225 0.6843863 0.6879331
## 0.50 0.7156612 0.7190427 0.7224047
## 0.60 0.7485711 0.7517478 0.7549029
## 0.70 0.7793501 0.7823046 0.7852361
## 0.80 0.8078498 0.8105703 0.8132671
## 0.90 0.8339768 0.8364569 0.8389129
## 1.00 0.8576903 0.8599289 0.8621434
## 1.10 0.8789995 0.8809999 0.8829768
## 1.20 0.8979577 0.8997274 0.9014747
## 1.30 0.9146565 0.9162067 0.9177356
## 1.40 0.9292191 0.9305634 0.9318879
## 1.50 0.9417924 0.9429466 0.9440826
## 1.60 0.9525403 0.9535213 0.9544860
## 1.70 0.9616364 0.9624620 0.9632730
## 1.80 0.9692581 0.9699460 0.9706210
## 1.90 0.9755808 0.9761482 0.9767045
## 2.00 0.9807738 0.9812372 0.9816911
## 2.10 0.9849966 0.9853713 0.9857379
## 2.20 0.9883962 0.9886962 0.9889893
## 2.30 0.9911060 0.9913437 0.9915758
## 2.40 0.9932443 0.9934309 0.9936128
## 2.50 0.9949151 0.9950600 0.9952012
## 2.60 0.9962074 0.9963189 0.9964274
## 2.70 0.9971972 0.9972821 0.9973646
## 2.80 0.9979476 0.9980116 0.9980738
## 2.90 0.9985110 0.9985588 0.9986051
## 3.00 0.9989297 0.9989650 0.9989992
## 3.10 0.9992378 0.9992636 0.9992886
## 3.20 0.9994623 0.9994810 0.9994991
## 3.30 0.9996242 0.9996376 0.9996505
## 3.40 0.9997398 0.9997493 0.9997585
## 3.50 0.9998215 0.9998282 0.9998347
## 3.60 0.9998787 0.9998834 0.9998879
## 3.70 0.9999184 0.9999216 0.9999247
## 3.80 0.9999456 0.9999478 0.9999499
## 3.90 0.9999641 0.9999655 0.9999670
A tabela acima fornece a área sob a curva entre \(-\infty\) e \(Z\) desvios padrão acima da média. Lembrando que por se tratar de valores padronizados temos \(\mu = 0\).
Exercício 0 do Capítulo:
- 1 Suponha que temos uma variável X, que segue uma distribuição normal com média 190 e desvio padrão 15. Considerando a tabela padronizada, Qual seria o valor da área sob a curva normal (probabilidade) para um valor de X igual a 200? Lembre-se que, para consultarmos os valores em uma tabela padronizada, basta transformarmos a nossa variável em uma variável padronizada Z.
Solução:
Alternativa correta! Com a transformação, obtemos um Z igual a 0,67. Para consultar na tabela, basta localizar o valor que se encontra no cruzamento entre a linha de valor 0,60 e a coluna de valor 0,07.
Exemplo: Qual sua altura?
Em um estudo sobre as alturas dos moradores de uma cidade verificou-se que o conjunto de dados segue uma distribuição aproximadamente normal, com média 1,70 e desvio padrão de 0,1. Com estas informações obtenha o seguinte conjunto de probabilidades:
A. probabilidade de uma pessoa, selecionada ao acaso, ter menos de 1,80 metros.
B. probabilidade de uma pessoa, selecionada ao acaso, ter entre 1,60 metros e 1,80 metros.
C. probabilidade de uma pessoa, selecionada ao acaso, ter mais de 1,90 metros.
Problema A - Identificação da área sob a curva
Obter a variável padronizada \(Z\)
Atribuindo a média
media <- 1.7
media## [1] 1.7Atribuindo o desvio padrão
desvio_padrao <- 0.1
desvio_padrao## [1] 0.1Encontrando o valor de \(Z\)
Z <- (1.8 - media) / desvio_padrao
Z## [1] 1Solução 1 - Utilizando a tabela
# A tabela de Z calculada em cima mostra todas as probabilidades conforme seu Z calculado nesse caso deu 1 onde na tabela observando, vemos quje 1 e 00 dão o valor de :
0.8413447 ## [1] 0.8413447Solução 2 - Utilizando função
pnorm(Z)## [1] 0.8413447Problema B - Identificação da área sob a curva
Obter a variável padronizada \(Z\)
Z inferior:
Z_inferior <- (1.6 - media) / desvio_padrao
round(Z_inferior, 2)## [1] -1Z superior:
Z_superior <- (1.8 - media) / desvio_padrao
round(Z_superior, 2)## [1] 1Solução 1 - Utilizando tabela
probabilidade <- 1 - 0.9772499
probabilidadeprobabilidade <- 1 - 0.9772499probabilidade <- (0.8413447 - 0.5) * 2
probabilidade## [1] 0.6826894Solução 2 - Utilizando função
probabilidade <- pnorm(Z_superior) - pnorm(Z_inferior)
probabilidade## [1] 0.6826895Problema C - Identificação da área sob a curva
Obter a variável padronizada \(Z\)
Z <- (1.9 - media) / desvio_padrao
Z## [1] 2Solução 1 - Utilizando tabela
probabilidade <- 1 - 0.9772499
probabilidadeprobabilidade <- 1 - 0.9772499Solução 2 - Utilizando função
probabilidade <- 1 - pnorm(Z)
probabilidade## [1] 0.02275013Exercício 1 do Capítulo
A aplicação de uma prova de estatística em um concurso apresentou um conjunto de notas normalmente distribuídas. Verificou-se que o conjunto de notas tinha média 70 e desvio padrão de 5 pontos. Qual a probabilidade de um aluno, selecionado ao acaso, ter nota menor que 85?
Solução
X <- 85
media <- 70
desvio_padrao <- 5
Z <- (X - media) / desvio_padrao
round(pnorm(Z), 7)## [1] 0.9986501Exercício 2 do Capítulo
O Inmetro verificou que as lâmpadas incandescentes da fabricante XPTO apresentam uma vida útil normalmente distribuída, com média igual a 720 dias e desvio padrão igual a 30 dias. Calcule a probabilidade de uma lâmpada escolhida ao acaso durar:
- Entre 650 e 750 dias
- Mais que 800 dias
- Menos que 700 dias
Solução 1
###1. entre 650 e 750 dias
media <- 720
desvio_padrao <- 30
Z_inferior = (650 - media) / desvio_padrao
Z_superior = (750 - media) / desvio_padrao
probabilidade <- pnorm(Z_superior) - pnorm(Z_inferior)
round(probabilidade, 4)## [1] 0.83152. mais que 800 dias
Z = (800 - media) / desvio_padrao
probabilidade <- pnorm(-Z)
round(probabilidade, 4)## [1] 0.00383. menos que 700 dias
Z = (700 - media) / desvio_padrao
probabilidade <- pnorm(Z)
round(probabilidade, 4)## [1] 0.2525Solução 2
Utilizando a tabela padronizada ou o ferramental disponibilizado pelo R, encontre a área sob a curva normal para os valores de Z abaixo:
- \(0 < Z < 1,23\)
- \(Z > 2,14\)
- \(-1,56 < Z < 1,48\)
- \(Z < -0,78\)
Solução
1. 0 < Z < 1,23
round(pnorm(1.23), 4) - round(pnorm(0), 4)## [1] 0.39072. Z > 2,14
1 - round(pnorm(2.14), 4)## [1] 0.01623. -1,56 < Z < 1,48
round(pnorm(1.48), 4) - round(pnorm(-1.56), 4)## [1] 0.87124. Z < -0,78
round(pnorm(-0.78), 4)## [1] 0.2177Exercício 3 do capítulo:
1 O faturamento diário de um motorista de aplicativo segue uma distribuição aproximadamente normal, com média R$ 300,00 e desvio padrão igual a R$ 50,00. Obtenha as probabilidades de que, em um dia aleatório, o motorista ganhe: Entre R$ 250,00 e R$ 350,00
Entre R$ 400,00 e R$ 500,00
Solução
1. entre R$ 250,00 e R$ 350,00
media <- 300
desvio_padrao <- 50
Z_inferior = (250 - media) / desvio_padrao
Z_superior = (350 - media) / desvio_padrao
probabilidade <- pnorm(Z_superior) - pnorm(Z_inferior)
round(probabilidade, 4)## [1] 0.68272. entre R$ 400,00 e R$ 500,00
media <- 300
desvio_padrao <- 50
Z_inferior = (400 - media) / desvio_padrao
Z_superior = (500 - media) / desvio_padrao
probabilidade <- pnorm(Z_superior) - pnorm(Z_inferior)
round(probabilidade, 4)## [1] 0.0227Exercício 4 do capítulo:
O tempo para concluir uma prova de concurso público se distribui normalmente, com uma média de 80 minutos e desvio padrão de 10 minutos. Suponha que uma das salas de prova tenha 60 candidatos e que a duração da prova seja de 90 minutos. Quantos candidatos você acha que não conseguirão concluir a prova no tempo determinado?
Observação: Utilize a função round() para arredondar o resultado obtido.
Solução:
media <- 80
desvio_padrao <- 10
N <- 60
Z = (90 - media) / desvio_padrao
n <- pnorm(-Z) * N
round(n)## [1] 103 AMOSTRAGEM
3.1 População e Amostra
População
Conjunto de todos os elementos de interesse em um estudo. Diversos elementos podem compor uma população, por exemplo: pessoas, idades, alturas, carros etc.
Com relação ao tamanho, as populações podem ser limitadas (populações finitas) ou ilimitadas (populações infinitas).
Populações finitas
Permitem a contagem de seus elementos. Como exemplos temos o número de funcionário de uma empresa, a quantidade de alunos em uma escola etc.
Populações infinitas
Não é possível contar seus elementos. Como exemplos temos a quantidade de porções que se pode extrair da água do mar para uma análise, temperatura medida em cada ponto de um território etc.
Quando os elementos de uma população puderem ser contados, porém apresentando uma quantidade muito grande, assume-se a população como infinita..
Amostra
Subconjunto representativo da população.
Os atributos numéricos de uma população como sua média, variância e desvio padrão, são conhecidos como parâmetros. O principal foco da inferência estatística é justamente gerar estimativas e testar hipóteses sobre os parâmetros populacionais utilizando as informações de amostras.
3.2 Quando utilizar uma amostra?
Populações infinitas
O estudo não chegaria nunca ao fim. Não é possível investigar todos os elementos da população.
Testes destrutivos
Estudos onde os elementos avaliados são totalmente consumidos ou destruídos. Exemplo: testes de vida útil, testes de segurança contra colisões em automóveis.
Resultados rápidos
Pesquisas que precisam de mais agilidade na divulgação. Exemplo: pesquisas de opinião, pesquisas que envolvam problemas de saúde pública.
Custos elevados
Quando a população é finita mas muito numerosa, o custo de um censo pode tornar o processo inviável.
Exercícios do Capítulo
- 1 Sobre amostras e população, avalie as afirmativas abaixo:
- Quando os elementos de uma população puderem ser contados, mas apresentando uma quantidade muito grande, assume-se a população como infinita
- Estudos envolvendo populações infinitas devem ser realizados com a utilização de amostras 3)Amostra é um subconjunto qualquer de uma população
Quais afirmativas estão corretas?
- 2 Dentre as alternativas abaixo, quais mostram situações onde a utilização de um processo de amostragem é necessário?
- Medição da quantidade média de açúcar nas latas de refrigerante de determinado fabricante (Amostra)
- Medição da quantidade de coliformes fecais nas águas da praia de Copacabana (Amostra)
- Medição dos pesos dos alunos de uma sala de aula (População)
- Medição dos níveis de colesterol no sangue de um paciente (Amostra)
3.3 Amostragem Aleatória Simples
É uma das principais maneiras de se extrair uma amostra de uma população. A exigência fundamental deste tipo de abordagem é que cada elemento da população tenha a mesma chance de ser selecionado para fazer parte da amostra.
Documentações:
install.packages('dplyr')## Installing package into '/cloud/lib/x86_64-pc-linux-gnu-library/4.3'
## (as 'lib' is unspecified)library(dplyr)##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, unionPrimeiro, vamos compreender quantas linhas de dados temos no nosso dataset.
nrow(dados)## [1] 76840Agora vamos ver a média de renda do nosso dataset
mean(dados$Renda)## [1] 2000.383Vamos gerar nossa amostra dentro do Dataset
set.seed(2811)
amostra <- sample_n(dados, 1000)Aqui temos a quantidade de amostras selecionadas para o novo Dataset
nrow(amostra)## [1] 1000Agora vamos comparar a média da amostra com a média do Dataset original
mean(amostra$Renda)## [1] 1884.602mean(dados$Renda)## [1] 2000.383Vamos ver a representatividade de outra variável denro do Dataset original.
mean(dados$Renda)## [1] 2000.383Agora vamos comparar a mesma vaiável dentro do novo Dataset
prop.table(table(amostra$Sexo))##
## 0 1
## 0.679 0.3213.4 Amostragem Estratificada
É uma melhoria do processo de amostragem aleatória simples. Neste método é proposta a divisão da população em subgrupos de elementos com características similares, ou seja, grupos mais homogêneos. Com estes subgrupos separados, aplica-se a técnica de amostragem aleatória simples dentro de cada subgrupo individualmente.
3.5 Amostragem por Conglomerados
Também visa melhorar o critério de amostragem aleatória simples. Na amostragem por conglomerados são também criados subgrupos, porém não serão homogêneas como na amostragem estratificada. Na amostragem por conglomerados os subgrupos serão heterogêneos, onde, em seguida, serão aplicadas a amostragem aleatória simples ou estratificada.
Um exemplo bastante comum de aplicação deste tipo de técnica é na divisão da população em grupos territoriais, onde os elementos investigados terão características bastante variadas.
Exercício do Capítulo
- 1 Sobre as técnicas de amostragem, avalie as alternativas abaixo e marque as corretas.
- Na amostragem por conglomerados, os subgrupos separados da população não precisam ser homogêneos (Certo: Estratificada seriam grupos homogêneos)
- O principal foco da inferência estatística é justamente gerar estimativas e testar hipóteses sobre os parâmetros amostrais, utilizando as informações da população (Certo)
- Na amostragem aleatória simples, separamos a população em subgrupos de elementos com características similares e depois realizamos a seleção da amostra(Errado: O certo seria a estratificada e não a simples)
- A exigência fundamental de um processo de amostragem aleatória simples é que cada elemento da população tenha as mesmas chances de ser selecionado para fazer parte da amostra
4 ESTIMAÇÃO
Problema
Suponha que os pesos dos sacos de arroz de uma indústria alimentícia se distribuem aproximadamente como uma normal de desvio padrão populacional igual a 150 g. Selecionada uma amostra aleatório de 20 sacos de um lote específico, obteve-se um peso médio de 5.050 g. Construa um intervalo de confiança para a média populacional assumindo um nível de significância de 5%.
É a forma de se fazer suposições generalizadas sobre os parâmetros de uma população tendo como base as informações de uma amostra.
Parâmetros são os atributos numéricos de uma população, tal como a média, desvio padrão etc.
Estimativa é o valor obtido para determinado parâmetro a partir dos dados de uma amostra da população.
4.1 Teorema do limite central
O Teorema do Limite Central afirma que, com o aumento do tamanho da amostra, a distribuição das médias amostrais se aproximam de uma distribuição normal com média igual à média da população e desvio padrão igual ao desvio padrão da variável original dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. Este fato é assegurado para \(n\) maior ou igual a 30.
\[\sigma_\bar{x} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
O desvio padrão das médias amostrais é conhecido como erro padrão da média
Documentações:
Entendendo o Teorema do Limite Central
Vamos fazer uma amostragem de para exemplificar o teorema. Neste caso, serão 1500 amostras com 2000 valores cada.
n <- 2000
total_de_amostras <- 1500Construindo o dataframe das amostas:
for (i in 1:total_de_amostras){
if(i==1){
amostras <- data.frame('Amostra_1' = sample(dados$Idade, n))
}else{
amostras[paste('Amostra_', i)] <- sample(dados$Idade, n)
}
}
#amostrasPara não ficar complicada a apresentação neste livro, retiramos a apresentação da #amostras. Mas para efetio de visualização, recomendamos que possa deixa-lo aparente, retirando # que comenta a linha.
Agora vamos encontrar as médias de cada uma das amostras.
colMeans(amostras)## Amostra_1 Amostra_ 2 Amostra_ 3 Amostra_ 4 Amostra_ 5
## 43.8630 44.5210 43.7675 43.4315 43.9250
## Amostra_ 6 Amostra_ 7 Amostra_ 8 Amostra_ 9 Amostra_ 10
## 43.9130 44.3235 44.6070 43.9155 43.5045
## Amostra_ 11 Amostra_ 12 Amostra_ 13 Amostra_ 14 Amostra_ 15
## 43.8375 43.9435 43.6700 44.1435 44.0400
## Amostra_ 16 Amostra_ 17 Amostra_ 18 Amostra_ 19 Amostra_ 20
## 44.4050 43.9625 43.8730 44.0850 44.3590
## Amostra_ 21 Amostra_ 22 Amostra_ 23 Amostra_ 24 Amostra_ 25
## 43.7365 43.7530 43.8630 44.4740 44.0940
## Amostra_ 26 Amostra_ 27 Amostra_ 28 Amostra_ 29 Amostra_ 30
## 44.4615 44.1990 44.0075 43.8310 44.0135
## Amostra_ 31 Amostra_ 32 Amostra_ 33 Amostra_ 34 Amostra_ 35
## 44.1795 44.5690 43.5745 44.5545 43.1915
## Amostra_ 36 Amostra_ 37 Amostra_ 38 Amostra_ 39 Amostra_ 40
## 43.9195 44.3660 43.6615 44.2210 43.4445
## Amostra_ 41 Amostra_ 42 Amostra_ 43 Amostra_ 44 Amostra_ 45
## 44.2025 43.8385 44.8325 44.3020 44.2130
## Amostra_ 46 Amostra_ 47 Amostra_ 48 Amostra_ 49 Amostra_ 50
## 44.2290 44.4985 43.8020 44.1810 44.1430
## Amostra_ 51 Amostra_ 52 Amostra_ 53 Amostra_ 54 Amostra_ 55
## 44.1285 43.5455 43.9625 44.1375 43.7260
## Amostra_ 56 Amostra_ 57 Amostra_ 58 Amostra_ 59 Amostra_ 60
## 44.4570 44.0750 44.2465 43.8230 43.9560
## Amostra_ 61 Amostra_ 62 Amostra_ 63 Amostra_ 64 Amostra_ 65
## 43.8025 44.1075 43.7900 43.8295 44.2095
## Amostra_ 66 Amostra_ 67 Amostra_ 68 Amostra_ 69 Amostra_ 70
## 44.2495 44.1970 44.3415 43.8225 43.8785
## Amostra_ 71 Amostra_ 72 Amostra_ 73 Amostra_ 74 Amostra_ 75
## 44.2100 44.1360 44.4235 43.7990 44.2790
## Amostra_ 76 Amostra_ 77 Amostra_ 78 Amostra_ 79 Amostra_ 80
## 44.0095 43.9950 44.5315 44.3650 44.1310
## Amostra_ 81 Amostra_ 82 Amostra_ 83 Amostra_ 84 Amostra_ 85
## 43.7680 43.8540 44.1510 43.9505 44.1765
## Amostra_ 86 Amostra_ 87 Amostra_ 88 Amostra_ 89 Amostra_ 90
## 44.3785 44.0515 43.6770 44.3115 44.1085
## Amostra_ 91 Amostra_ 92 Amostra_ 93 Amostra_ 94 Amostra_ 95
## 44.4085 44.1305 44.4815 44.5025 43.9600
## Amostra_ 96 Amostra_ 97 Amostra_ 98 Amostra_ 99 Amostra_ 100
## 43.9775 44.1455 43.7525 43.7610 44.1115
## Amostra_ 101 Amostra_ 102 Amostra_ 103 Amostra_ 104 Amostra_ 105
## 43.7295 44.1530 44.2245 43.8045 44.1275
## Amostra_ 106 Amostra_ 107 Amostra_ 108 Amostra_ 109 Amostra_ 110
## 43.9465 43.9040 44.0100 44.2360 44.1290
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## 43.7910 43.9410 44.4195 44.0250 43.8745
## Amostra_ 1101 Amostra_ 1102 Amostra_ 1103 Amostra_ 1104 Amostra_ 1105
## 43.9460 43.9275 43.8500 43.9815 44.2970
## Amostra_ 1106 Amostra_ 1107 Amostra_ 1108 Amostra_ 1109 Amostra_ 1110
## 43.9580 43.9460 44.1110 44.1445 44.1980
## Amostra_ 1111 Amostra_ 1112 Amostra_ 1113 Amostra_ 1114 Amostra_ 1115
## 43.4830 43.8345 44.3675 43.6160 43.9195
## Amostra_ 1116 Amostra_ 1117 Amostra_ 1118 Amostra_ 1119 Amostra_ 1120
## 44.0460 43.9725 44.0745 44.2895 43.9875
## Amostra_ 1121 Amostra_ 1122 Amostra_ 1123 Amostra_ 1124 Amostra_ 1125
## 43.6365 43.6685 44.1730 43.9705 44.1515
## Amostra_ 1126 Amostra_ 1127 Amostra_ 1128 Amostra_ 1129 Amostra_ 1130
## 43.6645 44.0095 43.8085 44.2750 44.0410
## Amostra_ 1131 Amostra_ 1132 Amostra_ 1133 Amostra_ 1134 Amostra_ 1135
## 43.4560 43.9270 44.1890 43.9960 44.4375
## Amostra_ 1136 Amostra_ 1137 Amostra_ 1138 Amostra_ 1139 Amostra_ 1140
## 44.4825 43.6460 44.4795 43.4470 43.8660
## Amostra_ 1141 Amostra_ 1142 Amostra_ 1143 Amostra_ 1144 Amostra_ 1145
## 43.4775 43.7425 43.6255 44.2525 44.1240
## Amostra_ 1146 Amostra_ 1147 Amostra_ 1148 Amostra_ 1149 Amostra_ 1150
## 44.1500 43.6560 43.9715 43.6270 44.1710
## Amostra_ 1151 Amostra_ 1152 Amostra_ 1153 Amostra_ 1154 Amostra_ 1155
## 44.7390 44.0055 44.3340 44.4675 43.7935
## Amostra_ 1156 Amostra_ 1157 Amostra_ 1158 Amostra_ 1159 Amostra_ 1160
## 43.9780 43.7335 43.4640 44.0145 43.9580
## Amostra_ 1161 Amostra_ 1162 Amostra_ 1163 Amostra_ 1164 Amostra_ 1165
## 43.8510 44.2615 44.1915 43.9975 44.4405
## Amostra_ 1166 Amostra_ 1167 Amostra_ 1168 Amostra_ 1169 Amostra_ 1170
## 44.3535 43.4440 43.9235 44.3045 44.1775
## Amostra_ 1171 Amostra_ 1172 Amostra_ 1173 Amostra_ 1174 Amostra_ 1175
## 43.8580 43.7055 43.6570 43.9095 44.2045
## Amostra_ 1176 Amostra_ 1177 Amostra_ 1178 Amostra_ 1179 Amostra_ 1180
## 44.1745 43.7340 44.2450 43.6420 43.7800
## Amostra_ 1181 Amostra_ 1182 Amostra_ 1183 Amostra_ 1184 Amostra_ 1185
## 43.9310 43.6380 44.1465 43.7405 43.9990
## Amostra_ 1186 Amostra_ 1187 Amostra_ 1188 Amostra_ 1189 Amostra_ 1190
## 44.1535 44.1290 44.1490 44.0115 44.1505
## Amostra_ 1191 Amostra_ 1192 Amostra_ 1193 Amostra_ 1194 Amostra_ 1195
## 44.2360 44.3415 44.0745 43.8185 43.7620
## Amostra_ 1196 Amostra_ 1197 Amostra_ 1198 Amostra_ 1199 Amostra_ 1200
## 44.2140 43.6440 44.1870 44.2135 44.2265
## Amostra_ 1201 Amostra_ 1202 Amostra_ 1203 Amostra_ 1204 Amostra_ 1205
## 44.0050 43.5825 44.4240 44.2345 44.4245
## Amostra_ 1206 Amostra_ 1207 Amostra_ 1208 Amostra_ 1209 Amostra_ 1210
## 44.1510 44.0095 43.9800 43.9770 44.0325
## Amostra_ 1211 Amostra_ 1212 Amostra_ 1213 Amostra_ 1214 Amostra_ 1215
## 43.7675 44.2450 43.9010 44.0630 44.3320
## Amostra_ 1216 Amostra_ 1217 Amostra_ 1218 Amostra_ 1219 Amostra_ 1220
## 44.2245 43.8905 43.9055 44.1710 44.3115
## Amostra_ 1221 Amostra_ 1222 Amostra_ 1223 Amostra_ 1224 Amostra_ 1225
## 43.7455 43.8780 44.2990 44.5630 44.4750
## Amostra_ 1226 Amostra_ 1227 Amostra_ 1228 Amostra_ 1229 Amostra_ 1230
## 44.3215 43.9240 44.1405 44.5940 43.5080
## Amostra_ 1231 Amostra_ 1232 Amostra_ 1233 Amostra_ 1234 Amostra_ 1235
## 44.0175 44.1580 44.3250 44.5065 44.4005
## Amostra_ 1236 Amostra_ 1237 Amostra_ 1238 Amostra_ 1239 Amostra_ 1240
## 43.3845 44.1365 43.9820 44.1465 44.2145
## Amostra_ 1241 Amostra_ 1242 Amostra_ 1243 Amostra_ 1244 Amostra_ 1245
## 43.5610 44.0795 44.1745 44.3100 43.8395
## Amostra_ 1246 Amostra_ 1247 Amostra_ 1248 Amostra_ 1249 Amostra_ 1250
## 43.8815 43.7255 44.1435 44.2590 44.2215
## Amostra_ 1251 Amostra_ 1252 Amostra_ 1253 Amostra_ 1254 Amostra_ 1255
## 43.9810 43.7850 44.0555 44.4205 44.1570
## Amostra_ 1256 Amostra_ 1257 Amostra_ 1258 Amostra_ 1259 Amostra_ 1260
## 44.0725 43.6155 43.9780 44.3300 43.9950
## Amostra_ 1261 Amostra_ 1262 Amostra_ 1263 Amostra_ 1264 Amostra_ 1265
## 44.2165 43.6175 44.1080 44.1835 44.1730
## Amostra_ 1266 Amostra_ 1267 Amostra_ 1268 Amostra_ 1269 Amostra_ 1270
## 44.1295 44.6735 43.4220 43.9455 44.3810
## Amostra_ 1271 Amostra_ 1272 Amostra_ 1273 Amostra_ 1274 Amostra_ 1275
## 44.2325 43.9250 43.5865 43.7995 43.7595
## Amostra_ 1276 Amostra_ 1277 Amostra_ 1278 Amostra_ 1279 Amostra_ 1280
## 44.0105 44.3665 44.1370 44.5965 43.5590
## Amostra_ 1281 Amostra_ 1282 Amostra_ 1283 Amostra_ 1284 Amostra_ 1285
## 44.2070 44.4945 43.7400 44.0340 44.0635
## Amostra_ 1286 Amostra_ 1287 Amostra_ 1288 Amostra_ 1289 Amostra_ 1290
## 44.2735 44.0420 43.9100 43.9290 43.6920
## Amostra_ 1291 Amostra_ 1292 Amostra_ 1293 Amostra_ 1294 Amostra_ 1295
## 44.0760 44.0175 44.2430 44.3790 43.9005
## Amostra_ 1296 Amostra_ 1297 Amostra_ 1298 Amostra_ 1299 Amostra_ 1300
## 44.0010 44.1305 43.9390 44.0615 44.0755
## Amostra_ 1301 Amostra_ 1302 Amostra_ 1303 Amostra_ 1304 Amostra_ 1305
## 44.0535 43.7505 43.9490 44.2505 43.8290
## Amostra_ 1306 Amostra_ 1307 Amostra_ 1308 Amostra_ 1309 Amostra_ 1310
## 43.8430 44.2100 44.4600 44.4425 43.8740
## Amostra_ 1311 Amostra_ 1312 Amostra_ 1313 Amostra_ 1314 Amostra_ 1315
## 44.1775 44.1445 43.9500 43.8520 44.1330
## Amostra_ 1316 Amostra_ 1317 Amostra_ 1318 Amostra_ 1319 Amostra_ 1320
## 43.9675 44.1105 43.9685 43.9845 43.8235
## Amostra_ 1321 Amostra_ 1322 Amostra_ 1323 Amostra_ 1324 Amostra_ 1325
## 43.6020 44.0120 44.0190 43.9715 43.8410
## Amostra_ 1326 Amostra_ 1327 Amostra_ 1328 Amostra_ 1329 Amostra_ 1330
## 43.8525 43.6675 44.4260 43.7690 43.9845
## Amostra_ 1331 Amostra_ 1332 Amostra_ 1333 Amostra_ 1334 Amostra_ 1335
## 44.5805 43.9710 43.5585 43.9135 43.9265
## Amostra_ 1336 Amostra_ 1337 Amostra_ 1338 Amostra_ 1339 Amostra_ 1340
## 44.4870 43.9725 43.9620 43.7190 44.0965
## Amostra_ 1341 Amostra_ 1342 Amostra_ 1343 Amostra_ 1344 Amostra_ 1345
## 44.2845 44.2150 44.3245 44.0460 44.2500
## Amostra_ 1346 Amostra_ 1347 Amostra_ 1348 Amostra_ 1349 Amostra_ 1350
## 43.7270 44.2755 44.1930 44.1430 44.0895
## Amostra_ 1351 Amostra_ 1352 Amostra_ 1353 Amostra_ 1354 Amostra_ 1355
## 44.1025 44.6860 43.8755 44.0360 44.2010
## Amostra_ 1356 Amostra_ 1357 Amostra_ 1358 Amostra_ 1359 Amostra_ 1360
## 44.7700 44.1100 43.7625 44.0850 43.6645
## Amostra_ 1361 Amostra_ 1362 Amostra_ 1363 Amostra_ 1364 Amostra_ 1365
## 44.2100 43.9670 44.1335 44.6950 44.1990
## Amostra_ 1366 Amostra_ 1367 Amostra_ 1368 Amostra_ 1369 Amostra_ 1370
## 44.2495 43.7450 44.2135 44.4050 43.9000
## Amostra_ 1371 Amostra_ 1372 Amostra_ 1373 Amostra_ 1374 Amostra_ 1375
## 44.1435 44.0750 43.8490 44.2070 43.8460
## Amostra_ 1376 Amostra_ 1377 Amostra_ 1378 Amostra_ 1379 Amostra_ 1380
## 44.1695 44.0005 43.6840 43.7745 44.0805
## Amostra_ 1381 Amostra_ 1382 Amostra_ 1383 Amostra_ 1384 Amostra_ 1385
## 44.0310 43.9700 43.9305 44.5020 44.1760
## Amostra_ 1386 Amostra_ 1387 Amostra_ 1388 Amostra_ 1389 Amostra_ 1390
## 43.9820 44.5690 44.1440 43.9485 43.8785
## Amostra_ 1391 Amostra_ 1392 Amostra_ 1393 Amostra_ 1394 Amostra_ 1395
## 44.1485 43.7345 43.9155 44.0705 44.2605
## Amostra_ 1396 Amostra_ 1397 Amostra_ 1398 Amostra_ 1399 Amostra_ 1400
## 43.9020 44.6340 44.7430 44.1415 43.6710
## Amostra_ 1401 Amostra_ 1402 Amostra_ 1403 Amostra_ 1404 Amostra_ 1405
## 44.5080 44.2920 44.2040 44.0305 43.4900
## Amostra_ 1406 Amostra_ 1407 Amostra_ 1408 Amostra_ 1409 Amostra_ 1410
## 44.0535 43.8870 44.0515 44.2425 44.3465
## Amostra_ 1411 Amostra_ 1412 Amostra_ 1413 Amostra_ 1414 Amostra_ 1415
## 44.2280 44.2055 43.9940 43.6295 43.5660
## Amostra_ 1416 Amostra_ 1417 Amostra_ 1418 Amostra_ 1419 Amostra_ 1420
## 43.6330 44.3440 44.1715 44.8225 44.2070
## Amostra_ 1421 Amostra_ 1422 Amostra_ 1423 Amostra_ 1424 Amostra_ 1425
## 44.3880 44.2550 43.7825 44.1515 43.8715
## Amostra_ 1426 Amostra_ 1427 Amostra_ 1428 Amostra_ 1429 Amostra_ 1430
## 43.9625 43.9050 44.4170 44.3070 43.9265
## Amostra_ 1431 Amostra_ 1432 Amostra_ 1433 Amostra_ 1434 Amostra_ 1435
## 43.9105 44.2835 43.9445 44.3640 44.1680
## Amostra_ 1436 Amostra_ 1437 Amostra_ 1438 Amostra_ 1439 Amostra_ 1440
## 43.8295 43.8560 44.3985 44.1565 44.0365
## Amostra_ 1441 Amostra_ 1442 Amostra_ 1443 Amostra_ 1444 Amostra_ 1445
## 43.7785 44.3440 43.9810 43.7560 44.3495
## Amostra_ 1446 Amostra_ 1447 Amostra_ 1448 Amostra_ 1449 Amostra_ 1450
## 44.0780 43.8645 43.7960 44.5370 43.9200
## Amostra_ 1451 Amostra_ 1452 Amostra_ 1453 Amostra_ 1454 Amostra_ 1455
## 44.0955 44.2415 44.0175 44.5160 44.0315
## Amostra_ 1456 Amostra_ 1457 Amostra_ 1458 Amostra_ 1459 Amostra_ 1460
## 43.8840 43.9805 43.9490 44.3640 43.9400
## Amostra_ 1461 Amostra_ 1462 Amostra_ 1463 Amostra_ 1464 Amostra_ 1465
## 44.5700 44.2835 44.5610 44.1155 44.1415
## Amostra_ 1466 Amostra_ 1467 Amostra_ 1468 Amostra_ 1469 Amostra_ 1470
## 44.5040 43.8760 44.4300 43.7380 44.2100
## Amostra_ 1471 Amostra_ 1472 Amostra_ 1473 Amostra_ 1474 Amostra_ 1475
## 43.4445 44.0845 44.2205 43.7395 44.3750
## Amostra_ 1476 Amostra_ 1477 Amostra_ 1478 Amostra_ 1479 Amostra_ 1480
## 44.0740 44.0460 44.2415 43.8260 43.8750
## Amostra_ 1481 Amostra_ 1482 Amostra_ 1483 Amostra_ 1484 Amostra_ 1485
## 44.0400 44.3605 43.6715 44.1300 44.4770
## Amostra_ 1486 Amostra_ 1487 Amostra_ 1488 Amostra_ 1489 Amostra_ 1490
## 43.9395 44.3985 44.1135 43.7225 44.0750
## Amostra_ 1491 Amostra_ 1492 Amostra_ 1493 Amostra_ 1494 Amostra_ 1495
## 43.6755 44.2945 43.4865 44.1700 44.1165
## Amostra_ 1496 Amostra_ 1497 Amostra_ 1498 Amostra_ 1499 Amostra_ 1500
## 43.7065 44.2105 44.4430 44.4730 43.9480Devido a mesma situação de visualização, comentamos a apresentação do resultado. #colMeans(amostras)
O Teorema do Limite Central afirma que, com o aumento do tamanho da amostra, a distribuição das médias amostrais se aproxima de uma distribuição normal com média igual à média da população e desvio padrão igual ao desvio padrão da variável original dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. Este fato é assegurado para n maior ou igual a 30.
Para testar esta primeira parte, iremos fazer um histograma das médias amostrais.
hist(
x = colMeans(amostras),
main = 'Histograma das Idades Médias',
xlab = 'Idades',
ylab = 'Frequências',
col = 'green'
)
Veja que se assemelha muito a uma distribuição normal.
O Teorema do Limite Central afirma que, com o aumento do tamanho da amostra, a distribuição das médias amostrais se aproxima de uma distribuição normal com média igual à média da população e desvio padrão igual ao desvio padrão da variável original dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. Este fato é assegurado para n maior ou igual a 30.
Vamos agora verificar as duas médias e comparar:
Dados brutos:
mean(dados$Idade)## [1] 44.07142Amostras
mean(colMeans(amostras))## [1] 44.06931Veja que praticamente ambos tem o mesmo valor.
O Teorema do Limite Central afirma que, com o aumento do tamanho da amostra, a distribuição das médias amostrais se aproxima de uma distribuição normal com média igual à média da população e desvio padrão igual ao desvio padrão da variável original dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. Este fato é assegurado para n maior ou igual a 30.
\[\sigma_\bar{x} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
Vamos verificar a expressão acima:
Desvio padrão da amostra:
sd(colMeans(amostras))## [1] 0.2769366Desvio padrão dos dados brutos pela raiz quadrada do número de amostras
sd(dados$Idade) / sqrt(n)## [1] 0.2790743Observe novamente a proximidade destes dois valores.
4.2 Níveis de confiança e significância
O nível de confiança (\(1 - \alpha\)) representa a probabilidade de acerto da estimativa. De forma complementar o nível de significância (\(\alpha\)) expressa a probabilidade de erro da estimativa.
O nível de confiança representa o grau de confiabilidade do resultado da estimativa estar dentro de determinado intervalo. Quando fixamos em uma pesquisa um nível de confiança de 95%, por exemplo, estamos assumindo que existe uma probabilidade de 95% dos resultados da pesquisa representarem bem a realidade, ou seja, estarem corretos.
O nível de confiança de uma estimativa pode ser obtido a partir da área sob a curva normal como ilustrado na figura abaixo.
4.3 Erro inferencial
O erro inferencial é definido pelo desvio padrão das médias amostrais \(\sigma_\bar{x}\) e pelo nível de confiança determinado para o processo.
\[e = z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
Exercício do Capítulo:
- 1 Sobre os níveis de confiança e significância, avalie as afirmativas abaixo:
O nível de confiança \((1 - \alpha)\) representa a probabilidade de acerto da estimativa. De forma complementar, o nível de significância \((\alpha)\) expressa a probabilidade de erro da estimativa
O nível de confiança representa o grau de confiabilidade do resultado da estimativa estar dentro de determinado intervalo
O nível de confiança de uma estimativa pode ser obtido a partir da área sob a curva normal, como ilustrado na figura abaixo:
Quais afirmativas estão corretas?
4.4 Intervalos de confiança
Intevalo de confiança para a média da população
Com desvio padrão populacional conhecido
\[\mu = \bar{x} \pm z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
Com desvio padrão populacional desconhecido
\[\mu = \bar{x} \pm z\frac{s}{\sqrt{n}}\]
Exemplo:
Suponha que os pesos dos sacos de arroz de uma indústria alimentícia se distribuem aproximadamente como uma normal de desvio padrão populacional igual a 150 g. Selecionada uma amostra aleatório de 20 sacos de um lote específico, obteve-se um peso médio de 5.050 g. Construa um intervalo de confiança para a média populacional assumindo um nível de significância de 5%.
Média amostral
media_amostral <- 5050
media_amostral## [1] 5050Nível de significância (\(\alpha\))
significancia <- 0.05
significancia## [1] 0.05Nível de confiança (\(1 - \alpha\))
confianca <- 1 - significancia
confianca## [1] 0.95Obtendo \(z\)
tabela_normal_padronizada[17:26, ]## 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
## 1.60 0.9452007 0.9463011 0.9473839 0.9484493 0.9494974 0.9505285 0.9515428
## 1.70 0.9554345 0.9563671 0.9572838 0.9581849 0.9590705 0.9599408 0.9607961
## 1.80 0.9640697 0.9648521 0.9656205 0.9663750 0.9671159 0.9678432 0.9685572
## 1.90 0.9712834 0.9719334 0.9725711 0.9731966 0.9738102 0.9744119 0.9750021
## 2.00 0.9772499 0.9777844 0.9783083 0.9788217 0.9793248 0.9798178 0.9803007
## 2.10 0.9821356 0.9825708 0.9829970 0.9834142 0.9838226 0.9842224 0.9846137
## 2.20 0.9860966 0.9864474 0.9867906 0.9871263 0.9874545 0.9877755 0.9880894
## 2.30 0.9892759 0.9895559 0.9898296 0.9900969 0.9903581 0.9906133 0.9908625
## 2.40 0.9918025 0.9920237 0.9922397 0.9924506 0.9926564 0.9928572 0.9930531
## 2.50 0.9937903 0.9939634 0.9941323 0.9942969 0.9944574 0.9946139 0.9947664
## 0.07 0.08 0.09
## 1.60 0.9525403 0.9535213 0.9544860
## 1.70 0.9616364 0.9624620 0.9632730
## 1.80 0.9692581 0.9699460 0.9706210
## 1.90 0.9755808 0.9761482 0.9767045
## 2.00 0.9807738 0.9812372 0.9816911
## 2.10 0.9849966 0.9853713 0.9857379
## 2.20 0.9883962 0.9886962 0.9889893
## 2.30 0.9911060 0.9913437 0.9915758
## 2.40 0.9932443 0.9934309 0.9936128
## 2.50 0.9949151 0.9950600 0.9952012
Econtrando a metade da confiança:
0.95 / 2## [1] 0.475Encontrando o lado positivo da área:
0.5 + (0.95 / 2)## [1] 0.975Observando a tabela e determinando o valor de \(z\)
tabela_normal_padronizada## 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
## 0.00 0.5000000 0.5039894 0.5079783 0.5119665 0.5159534 0.5199388 0.5239222
## 0.10 0.5398278 0.5437953 0.5477584 0.5517168 0.5556700 0.5596177 0.5635595
## 0.20 0.5792597 0.5831662 0.5870644 0.5909541 0.5948349 0.5987063 0.6025681
## 0.30 0.6179114 0.6217195 0.6255158 0.6293000 0.6330717 0.6368307 0.6405764
## 0.40 0.6554217 0.6590970 0.6627573 0.6664022 0.6700314 0.6736448 0.6772419
## 0.50 0.6914625 0.6949743 0.6984682 0.7019440 0.7054015 0.7088403 0.7122603
## 0.60 0.7257469 0.7290691 0.7323711 0.7356527 0.7389137 0.7421539 0.7453731
## 0.70 0.7580363 0.7611479 0.7642375 0.7673049 0.7703500 0.7733726 0.7763727
## 0.80 0.7881446 0.7910299 0.7938919 0.7967306 0.7995458 0.8023375 0.8051055
## 0.90 0.8159399 0.8185887 0.8212136 0.8238145 0.8263912 0.8289439 0.8314724
## 1.00 0.8413447 0.8437524 0.8461358 0.8484950 0.8508300 0.8531409 0.8554277
## 1.10 0.8643339 0.8665005 0.8686431 0.8707619 0.8728568 0.8749281 0.8769756
## 1.20 0.8849303 0.8868606 0.8887676 0.8906514 0.8925123 0.8943502 0.8961653
## 1.30 0.9031995 0.9049021 0.9065825 0.9082409 0.9098773 0.9114920 0.9130850
## 1.40 0.9192433 0.9207302 0.9221962 0.9236415 0.9250663 0.9264707 0.9278550
## 1.50 0.9331928 0.9344783 0.9357445 0.9369916 0.9382198 0.9394292 0.9406201
## 1.60 0.9452007 0.9463011 0.9473839 0.9484493 0.9494974 0.9505285 0.9515428
## 1.70 0.9554345 0.9563671 0.9572838 0.9581849 0.9590705 0.9599408 0.9607961
## 1.80 0.9640697 0.9648521 0.9656205 0.9663750 0.9671159 0.9678432 0.9685572
## 1.90 0.9712834 0.9719334 0.9725711 0.9731966 0.9738102 0.9744119 0.9750021
## 2.00 0.9772499 0.9777844 0.9783083 0.9788217 0.9793248 0.9798178 0.9803007
## 2.10 0.9821356 0.9825708 0.9829970 0.9834142 0.9838226 0.9842224 0.9846137
## 2.20 0.9860966 0.9864474 0.9867906 0.9871263 0.9874545 0.9877755 0.9880894
## 2.30 0.9892759 0.9895559 0.9898296 0.9900969 0.9903581 0.9906133 0.9908625
## 2.40 0.9918025 0.9920237 0.9922397 0.9924506 0.9926564 0.9928572 0.9930531
## 2.50 0.9937903 0.9939634 0.9941323 0.9942969 0.9944574 0.9946139 0.9947664
## 2.60 0.9953388 0.9954729 0.9956035 0.9957308 0.9958547 0.9959754 0.9960930
## 2.70 0.9965330 0.9966358 0.9967359 0.9968333 0.9969280 0.9970202 0.9971099
## 2.80 0.9974449 0.9975229 0.9975988 0.9976726 0.9977443 0.9978140 0.9978818
## 2.90 0.9981342 0.9981929 0.9982498 0.9983052 0.9983589 0.9984111 0.9984618
## 3.00 0.9986501 0.9986938 0.9987361 0.9987772 0.9988171 0.9988558 0.9988933
## 3.10 0.9990324 0.9990646 0.9990957 0.9991260 0.9991553 0.9991836 0.9992112
## 3.20 0.9993129 0.9993363 0.9993590 0.9993810 0.9994024 0.9994230 0.9994429
## 3.30 0.9995166 0.9995335 0.9995499 0.9995658 0.9995811 0.9995959 0.9996103
## 3.40 0.9996631 0.9996752 0.9996869 0.9996982 0.9997091 0.9997197 0.9997299
## 3.50 0.9997674 0.9997759 0.9997842 0.9997922 0.9997999 0.9998074 0.9998146
## 3.60 0.9998409 0.9998469 0.9998527 0.9998583 0.9998637 0.9998689 0.9998739
## 3.70 0.9998922 0.9998964 0.9999004 0.9999043 0.9999080 0.9999116 0.9999150
## 3.80 0.9999277 0.9999305 0.9999333 0.9999359 0.9999385 0.9999409 0.9999433
## 3.90 0.9999519 0.9999539 0.9999557 0.9999575 0.9999593 0.9999609 0.9999625
## 0.07 0.08 0.09
## 0.00 0.5279032 0.5318814 0.5358564
## 0.10 0.5674949 0.5714237 0.5753454
## 0.20 0.6064199 0.6102612 0.6140919
## 0.30 0.6443088 0.6480273 0.6517317
## 0.40 0.6808225 0.6843863 0.6879331
## 0.50 0.7156612 0.7190427 0.7224047
## 0.60 0.7485711 0.7517478 0.7549029
## 0.70 0.7793501 0.7823046 0.7852361
## 0.80 0.8078498 0.8105703 0.8132671
## 0.90 0.8339768 0.8364569 0.8389129
## 1.00 0.8576903 0.8599289 0.8621434
## 1.10 0.8789995 0.8809999 0.8829768
## 1.20 0.8979577 0.8997274 0.9014747
## 1.30 0.9146565 0.9162067 0.9177356
## 1.40 0.9292191 0.9305634 0.9318879
## 1.50 0.9417924 0.9429466 0.9440826
## 1.60 0.9525403 0.9535213 0.9544860
## 1.70 0.9616364 0.9624620 0.9632730
## 1.80 0.9692581 0.9699460 0.9706210
## 1.90 0.9755808 0.9761482 0.9767045
## 2.00 0.9807738 0.9812372 0.9816911
## 2.10 0.9849966 0.9853713 0.9857379
## 2.20 0.9883962 0.9886962 0.9889893
## 2.30 0.9911060 0.9913437 0.9915758
## 2.40 0.9932443 0.9934309 0.9936128
## 2.50 0.9949151 0.9950600 0.9952012
## 2.60 0.9962074 0.9963189 0.9964274
## 2.70 0.9971972 0.9972821 0.9973646
## 2.80 0.9979476 0.9980116 0.9980738
## 2.90 0.9985110 0.9985588 0.9986051
## 3.00 0.9989297 0.9989650 0.9989992
## 3.10 0.9992378 0.9992636 0.9992886
## 3.20 0.9994623 0.9994810 0.9994991
## 3.30 0.9996242 0.9996376 0.9996505
## 3.40 0.9997398 0.9997493 0.9997585
## 3.50 0.9998215 0.9998282 0.9998347
## 3.60 0.9998787 0.9998834 0.9998879
## 3.70 0.9999184 0.9999216 0.9999247
## 3.80 0.9999456 0.9999478 0.9999499
## 3.90 0.9999641 0.9999655 0.99996701.9 + 0.06## [1] 1.96Refazendo utilizando a biblioteca do R
z <- qnorm(0.975)
z## [1] 1.959964Valores de \(z\) para os níveis de confiança mais utilizados
| Nível de confiança |
Valor da área sob a curva normal |
\(z\) |
|---|---|---|
| 90% | 0,95 | 1,645 |
| 95% | 0,975 | 1,96 |
| 99% | 0,995 | 2,575 |
Voltando para o Problema
Obtendo \(\sigma_\bar{x}\)
desvio_padrao <- 150
desvio_padrao## [1] 150Obtendo \(n\)
n <- 20
n## [1] 20Obtendo a raiz de \(n\)
raiz_de_n <- sqrt(n)
raiz_de_n## [1] 4.472136Obtendo \(\sigma\)
sigma <- desvio_padrao / raiz_de_n
sigma## [1] 33.54102Obtendo \(e\)
e <- z * sigma
e## [1] 65.73919Solução 1 - Calculando o intervalo de confiança para a média
intervalo <- c(
media_amostral - e,
media_amostral + e
)
intervalo## [1] 4984.261 5115.739Solução 2 - Calculando o intervalo de confiança para a média
Documentações:
Instalação do pacote DescTools
# install.packages('DescTools')
# OU
# packageurl <- "https://cran.r-project.org/src/contrib/Archive/DescTools/DescTools_0.99.30.tar.gz"
# install.packages(packageurl, repos=NULL, type="source")library(DescTools)MeanCI(x = 5050, sd = sigma, type = 'norm', conf.level = 0.95, sides = 'two.sided')## mean lwr.ci upr.ci
## 5050.000 4984.261 5115.739Vamos agora fazer o mesmo cálculo para o dataframe original:
mean(dados$Idade) - (z * (sd(dados$Idade) / sqrt(nrow(dados))))## [1] 43.98318mean(dados$Idade) + (z * (sd(dados$Idade) / sqrt(nrow(dados))))## [1] 44.15967sigma <- sd(dados$Idade) / sqrt(nrow(dados))
sigma## [1] 0.0450237MeanCI(x = mean(dados$Idade), sd = sigma, type = 'norm', conf.level = 0.95, sides = 'two.sided')## mean lwr.ci upr.ci
## 44.07142 43.98318 44.15967Exercicio do capítulo:
- 1 Para estimar o valor médio gasto por cada cliente de uma grande rede de fast food, foi selecionada uma amostra de 50 clientes. Assumindo que o valor do desvio padrão da população seja de R$ 6,00 e que essa população se distribui normalmente, obtenha a margem de erro desta estimativa, para um nível de confiança de 95%.
Solução:
n <- 50
desvio_padrao <- 6
nivel_confianca <- 0.95
probabilidade <- 0.5 + (nivel_confianca / 2)
Z <- qnorm(probabilidade)
e <- Z * (desvio_padrao / sqrt(n))
round(e, 2)## [1] 1.66- 2 Uma amostra aleatória simples de 1976 itens de uma população normalmente distribuída, com desvio padrão igual a 11, resultou em uma média amostral de 28. Qual o intervalo de confiança de 90% para a média populacional?
Solução:
n <- 1976
desvio_padrao <- 11
media_amostral <- 28
nivel_confianca <- 0.9
p <- 0.5 + (nivel_confianca / 2)
Z <- qnorm(p)
round( media_amostral - ( Z * ( desvio_padrao / sqrt(n) ) ), 2 )## [1] 27.59round( media_amostral + ( Z * ( desvio_padrao / sqrt(n) ) ), 2 )## [1] 28.415 CÁLCULO DO TAMANHO DA AMOSTRA
Problema
Estamos estudando o rendimento mensal dos chefes de domicílios no Brasil. Nosso supervisor determinou que o erro máximo em relação a média seja de R\(\$\) 100,00. Sabemos que o desvio padrão populacional deste grupo de trabalhadores é de R\(\$\) 3.323,39. Para um nível de confiança de 95%, qual deve ser o tamanho da amostra de nosso estudo?
5.1 Variáveis quantitativas e população infinita
\[e = z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
Com desvio padrão conhecido
\[n = \left(z\frac{\sigma}{e}\right)^2\]
Com desvio padrão desconhecido
\[n = \left(z\frac{s}{e}\right)^2\]
Onde:
\(z\) = variável normal padronizada
\(\sigma\) = desvio padrão populacional
\(s\) = desvio padrão amostral
\(e\) = erro inferencial
Observações
O desvio padrão (\(\sigma\) ou \(s\)) e o erro (\(e\)) devem estar na mesma unidade de medida.
Quando o erro (\(e\)) for representado em termos percentuais, deve ser interpretado como um percentual relacionado à média.
Exemplo: Rendimento médio
Estamos estudando o rendimento mensal dos chefes de domicílios no Brasil. Nosso supervisor determinou que o erro máximo em relação a média seja de R\(\$\) 100,00. Sabemos que o desvio padrão populacional deste grupo de trabalhadores é de R\(\$\) 3.323,39. Para um nível de confiança de 95%, qual deve ser o tamanho da amostra de nosso estudo?
Obtendo \(z\)
z <- qnorm(0.5+(0.95/2))
z## [1] 1.959964Obtendo \(\sigma\)
sigma <- 3323.39
sigma## [1] 3323.39Obtendo \(e\)
e <- 100
e## [1] 100Obtendo \(n\)
n <- (z * (sigma / e)) ** 2
round(n)## [1] 4243Logo, para satisfazer as condições estabelecidas, precisaremos de uma amostra com 4243 participantes.
Exercício do Capítulo:
- 1 O valor do gasto médio dos clientes de uma loja de conveniência é de R$ 45,50. Assumindo que o desvio padrão dos gastos é igual a R$ 15,00, qual deve ser o tamanho da amostra para estimarmos a média populacional, com um nível de significância de 10%? Considere que o erro máximo aceitável seja de 10%.
Solução:
z <- qnorm(0.5+(0.90/2))
sigma <- 15
e <- 45.5*0.1
n <- (z * (sigma /e))**2
round(n)## [1] 29- 2 Uma amostra com 40 cupons fiscais, coletados aleatoriamente em um shopping center, apresentou um desvio padrão do total pago igual a R$ 42,00. A associação de lojistas precisa estimar a média populacional das vendas, com um erro máximo igual a R$ 6,00 e empregando um nível de confiança igual a 90%. Qual o tamanho da amostra a analisar?
Solução:
z <- qnorm(0.5+(0.90/2))
sigma <- 42
e <- 6
n <- (z * (sigma /e))**2
round(n)## [1] 133Problema
Em um lote de 10.000 latas de refrigerante foi realizada uma amostra aleatória simples de 100 latas e foi obtido o desvio padrão amostral do conteúdo das latas igual a 12 ml. O fabricante estipula um erro máximo sobre a média populacional de apenas 5 ml. Para garantir um nível de confiança de 95% qual o tamanho de amostra deve ser selecionado para este estudo?
5.2 Variáveis quantitativas e população finita
Com desvio padrão conhecido
\[n = \frac{z^2 \sigma^2 N}{z^2 \sigma^2 + e^2(N-1)}\]
Com desvio padrão desconhecido
\[n = \frac{z^2 s^2 N}{z^2 s^2 + e^2(N-1)}\]
Onde:
\(N\) = tamanho da população
\(z\) = variável normal padronizada
\(\sigma\) = desvio padrão populacional
\(s\) = desvio padrão amostral
\(e\) = erro inferencial
Exemplo: Indústria de refrigerantes
Em um lote de 10.000 latas de refrigerante foi realizada uma amostra aleatória simples de 100 latas e foi obtido o desvio padrão amostral do conteúdo das latas igual a 12 ml. O fabricante estipula um erro máximo sobre a média populacional de apenas 5 ml. Para garantir um nível de confiança de 95% qual o tamanho de amostra deve ser selecionado para este estudo?
Obtendo \(N\)
N <- 10000
N## [1] 10000Obtendo \(z\)
z <- qnorm((0.5 + (0.95 / 2)))
z## [1] 1.959964Obtendo \(s\)
s <- 12
s## [1] 12Obtendo \(e\)
e <- 5
e## [1] 5Obtendo \(n\)
\[n = \frac{z^2 s^2 N}{z^2 s^2 + e^2(N-1)}\]
n <- ((z ** 2) * (s ** 2) * (N)) / (((z ** 2) * (s ** 2)) + ((e ** 2) * (N - 1)))
round(n)## [1] 22Veja que interessante, apenas 22 latas de refrigerante podem garantir a confiança na análise amostral das 10000 latas. Isso representa uma economia significativa nos custos de controle de qualidade da empresa.
Exercícios do Capítulo:
- 1 Um fabricante de farinha verificou em uma amostra aleatória formada por 200 sacos de 25 kg de um lote formado por 2.000 sacos apresentou um desvio padrão amostral do peso igual a 480 g. Considerando um erro máximo associado à média populacional igual a 0,3 kg e um nível de confiança igual a 95%, qual o tamanho de amostra deveria ser selecionado para obtermos uma estimativa confiável do parâmetro populacional?
Solução:
N <- 2000
s <- 480
e <- 300
z <- qnorm(0.5+(0.95/2))
n <- ((z ** 2) * (s ** 2) * (N)) / (((z ** 2) * (s ** 2)) + ((e ** 2) * (N - 1)))
round(n)## [1] 10Neste caso, temos que 10 sacos são suficientes.
6 APLICAÇÃO NO DATASET
Exemplo: Rendimento médio
Estamos estudando o rendimento mensal dos chefes de domicílios com renda até R\(\$\) 5.000,00 no Brasil. Nosso supervisor determinou que o erro máximo em relação a média seja de R\(\$\) 10,00. Sabemos que o desvio padrão populacional deste grupo de trabalhadores é de R\(\$\) 1.082,79 e que a média populacional é de R\(\$\) 1.426,54. Para um nível de confiança de 95%, qual deve ser o tamanho da amostra de nosso estudo? Qual o intervalo de confiança para a média considerando o tamanho de amostra obtido?
Construindo o dataset conforme especificado pelo problema
renda_5000 <- dados[dados$Renda <= 5000, ]Calculando o desvio padrão:
sigma <- sd(renda_5000$Renda)
sigma## [1] 1082.795Calculando a média:
media <- mean(renda_5000$Renda)
media## [1] 1426.537Calculando o tamanho da amostra
z <- qnorm(0.975)
e <- 10
n <- (z * (sigma / e)) ** 2
round(n)## [1] 45039Calculando o intervalo de confiança para a média
limite_inferior <- mean(renda_5000$Renda) - (z * (sd(renda_5000$Renda) / sqrt(n)))
limite_superior <- mean(renda_5000$Renda) + (z * (sd(renda_5000$Renda) / sqrt(n)))Verificando os limites:
sprintf("Limite Inferior = %s, Média = %s e Limite Superior - %s", round(limite_inferior,2), round(media,2), round(limite_superior,2))## [1] "Limite Inferior = 1416.54, Média = 1426.54 e Limite Superior - 1436.54"Realizando uma prova gráfica
library(ggplot2)
tamanho_simulacao = 1000
medias <- c()
for(i in 1:tamanho_simulacao){
medias <- c(medias, mean(sample_n(renda_5000, n)$Renda))
}
medias <- data.frame(medias)
ggplot(data = medias, aes(x = c(1:tamanho_simulacao), y = medias)) +
geom_point(size = 1.5, stroke = 0) +
geom_hline(yintercept = media, color = 'green') +
geom_hline(yintercept = limite_inferior, color = 'red') +
geom_hline(yintercept = limite_superior, color = 'red')
Neste gráfico a linha verde é a média, e as duas vermelhas estabelecem o intervalo de confiança.Veja que dentro das amostras estabelecidas, podemos com toda a certeza confiar que 95% dos dados selecionados estão dentro do intervalo de confiança estabelecido no entorno da média.
Referencias:
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BRUCE, P.; BRUCE, A. Estatística para Cientista de Dados: 50 conceitos iniciais. 1ª Edição. Rio de Janeiro - RJ: Alta Books, 2019.
DIAS, Rodrigo fernando. Estaística com R. Alura. 2022. disponível em: https://cursos.alura.com.br/course/estatistica-r-frequencias-medidas
GOLDSCHMIDT, R.; PASSOS, E.; BEZERRA, E. Data Mining: Conceitos, técnicas, orientações e aplicações. 2ª Edição. Rio de Janeiro - RJ: ELSEVIER, 2015.
HADLEY, W.; GARRETT, G. R para Data Science: Importe, arrume, transforme, visualize e modele dados. 1ª Edição. Rio de Janeiro - RJ: Alta Books, 2019.
MUELLER, J. P.; MASSARON, L. Aprendizado de Máquina para leigos. 1ª Edição. Rio de Janeiro - RJ: Alta Books, 2019.
OLIVEIRA, Francisco Estevam Martins de. Estatistica e Probabilidade - Exercicios Resolvidos e Propostos, 3ª edição. [Digite o Local da Editora]: Grupo GEN, 2017. E-book. ISBN 9788521633846. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521633846/. Acesso em: 06 abr. 2023.
ROSS, Sheldon. Probabilidade. [Digite o Local da Editora]: Grupo A, 2010. E-book. ISBN 9788577806881. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577806881/. Acesso em: 06 abr. 2023.
UCS - Universidade Caxias do Sul. Big Data: o que é, para que serve, como aplicar e exemplos. Disponível em: https://ead.ucs.br/blog/big-data Acesso em: 12, setembro de 2022.
TAULLI, T. Introdução à Inteligência Artificial: Uma abordagem não técnica. 1ª Edição. São Paulo - SP: Novatec, 2020.