A tabulação dos dados é dada por:
## gen amb bloco v1 v2 v3 v4
## 1 1 1 1 27.14 31.0 78.6 697
## 2 1 1 2 27.10 32.7 80.2 482
## 3 1 1 3 26.93 29.5 77.6 102
## 4 1 1 4 26.68 36.1 85.6 281
## 5 2 1 1 26.84 33.4 81.1 407
## 6 2 1 2 26.92 26.9 76.9 219Para o ambiente 1 temos os seguintes resultados para cada uma das variáveis da análise de variância individual:
\[\begin{eqnarray*} GL_{Total}&=&80-1=79 \\ GL_{Trat}&=&20-1=19 \\ GL_{Bloco}&=&4-1=3 \\ GL_{Resíduo}&=&79-19-3=57 \\ SQ_{Total}&=&27,14^2+27,10^2+...+27,51^2-\dfrac{2155,65^2}{80}=58118,25-58085,34=32,9113 \\ SQ_{Trat}&=&\dfrac{107,85^2+107,21^2+\dots+110,41^2}{4}-\dfrac{2155,65^2}{80}=58113,2-58085,34=27,8630 \\ SQ_{Bloco}&=&\dfrac{537,78^2+540,01^2+541,15^2+536,71^2}{20}-\dfrac{2155,65^2}{80}= 58085,95-58085,34=0,61 \\ SQ_{Resíduo}&=&32,9113-27,8630-0,61=4,4383 \\ QM_{Trat} &=& \dfrac{27,8630}{19}=1,4664\\ QM_{Res} &=& \dfrac{4,4383}{57}=0,0778 \\ QM_{Bloco} &=& \dfrac{0,61}{3}=0,2033 \\ F_{cal}&=& \dfrac{1,4664}{0,0778}=18,8483 \\ F_{tab}&=& F_{0,05;19;57}=1,7719 \end{eqnarray*}\] Como \(F_{cal}\) pertence a região crítica, então devemos rejeitar \(H_0\) e concluir que pelo menos duas variâncias genotípicas são diferentes entre si. Os parâmetros genéticos são dados por: \[\begin{eqnarray*} \hat{\sigma}_g&=&\dfrac{QM_{Trat}-QM_{Resíduo}}{r}=\dfrac{1,4664-0,0778}{4}=0,3471 \\ \hat{\sigma}_e&=&\dfrac{QM_{Resíduo}}{r}=\dfrac{0,0778}{4}=0,0194 \\ \hat{\sigma}_f&=&\dfrac{QM_{Trat}}{r}=\dfrac{1,4664}{4}=0,3666 \\ CV_e(\%)&=&\dfrac{\sqrt{QM_{Resíduo}}}{\bar{X}}\cdot 100=\dfrac{0,2789}{26,9456}\cdot 100 =1,0350 \% \\ h^2&=&\dfrac{0,3471}{0,3666}=0,9468 \\ \end{eqnarray*}\] Através do software R:
## Warning: package 'dplyr' was built under R version 4.1.3##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, union## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 27.8630 1.46648 18.8642 < 2e-16 ***
## bloco 3 0.6172 0.20574 2.6466 0.05763 .
## Residuals 57 4.4311 0.07774
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 223.42 11.7588 1.4230 0.1530
## bloco 3 8.98 2.9920 0.3621 0.7806
## Residuals 57 471.00 8.2632
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 214.37 11.2828 1.2173 0.2769
## bloco 3 2.22 0.7395 0.0798 0.9707
## Residuals 57 528.32 9.2687
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 739271 38909 0.6497 0.8502
## bloco 3 154392 51464 0.8593 0.4675
## Residuals 57 3413571 59887## QM Resíduo QM Tratamento p-valor pra Tratamento Variância Genotípica
## 1 0.0777 1.4665 0.0000 0.347200
## 2 8.2632 11.7588 0.1530 0.873900
## 3 9.2687 11.2828 0.2769 0.503525
## 4 59887.2044 38909.0237 0.8502 -5244.545175
## Variância Residual Variância Fenotípica CV(%) Herdabilidade
## 1 0.019425 0.366625 1.034480 94.70167
## 2 2.065800 2.939700 9.095327 29.72752
## 3 2.317175 2.820700 3.808543 17.85107
## 4 14971.801100 9727.255925 56.092745 -53.91598Para o ambiente 2 temos os seguintes resultados para cada uma das variáveis da análise de variância individual:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb2[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 16.9339 0.89126 7.9454 4.956e-10 ***
## bloco 3 0.0393 0.01310 0.1168 0.9499
## Residuals 57 6.3939 0.11217
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb2[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 140.25 7.3815 0.7339 0.7689
## bloco 3 52.74 17.5793 1.7479 0.1675
## Residuals 57 573.27 10.0574
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb2[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 167.62 8.8223 0.8673 0.6217
## bloco 3 48.61 16.2032 1.5928 0.2011
## Residuals 57 579.85 10.1727
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb2[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 1098226 57801 1.4672 0.1337
## bloco 3 34377 11459 0.2909 0.8318
## Residuals 57 2245570 39396## QM Resíduo QM Tratamento p-valor pra Tratamento Variância Genotípica
## 1 0.1122 0.8913 0.0000 0.194775
## 2 10.0574 7.3815 0.7689 -0.668975
## 3 10.1727 8.8223 0.6217 -0.337600
## 4 39395.9614 57801.3842 0.1337 4601.355700
## Variância Residual Variância Fenotípica CV(%) Herdabilidade
## 1 0.028050 0.222825 1.236373 87.41165
## 2 2.514350 1.845375 9.958676 -36.25144
## 3 2.543175 2.205575 3.973052 -15.30667
## 4 9848.990350 14450.346050 50.530590 31.84253Para o ambiente 3 temos os seguintes resultados para cada uma das variáveis da análise de variância individual:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb2[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 19.9744 1.05128 13.3133 1.472e-14 ***
## bloco 3 0.2119 0.07063 0.8944 0.4497
## Residuals 57 4.5010 0.07896
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb2[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 173.39 9.1259 1.0403 0.4334
## bloco 3 15.26 5.0881 0.5800 0.6305
## Residuals 57 500.03 8.7725
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb2[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 177.72 9.3538 1.1197 0.3576
## bloco 3 10.91 3.6377 0.4354 0.7285
## Residuals 57 476.19 8.3542
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb2[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 640424 33707 0.8793 0.6081
## bloco 3 203733 67911 1.7715 0.1629
## Residuals 57 2185065 38334## QM Resíduo QM Tratamento p-valor pra Tratamento Variância Genotípica
## 1 0.0790 1.0513 0.0000 0.243075
## 2 8.7725 9.1259 0.4334 0.088350
## 3 8.3542 9.3538 0.3576 0.249900
## 4 38334.4737 33706.5526 0.6081 -1156.980275
## Variância Residual Variância Fenotípica CV(%) Herdabilidade
## 1 0.019750 0.262825 1.049133 92.485494
## 2 2.193125 2.281475 9.309207 3.872495
## 3 2.088550 2.338450 3.604618 10.686566
## 4 9583.618425 8426.638150 46.423690 -13.730034Para o ambiente 4 temos os seguintes resultados para cada uma das variáveis da análise de variância individual:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb2[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 14.8434 0.78123 7.8144 6.732e-10 ***
## bloco 3 0.6230 0.20768 2.0773 0.1133
## Residuals 57 5.6985 0.09997
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb2[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 125.71 6.6162 0.6401 0.8586
## bloco 3 60.20 20.0678 1.9415 0.1331
## Residuals 57 589.17 10.3363
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb2[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 132.52 6.9747 0.6163 0.8782
## bloco 3 66.93 22.3095 1.9714 0.1285
## Residuals 57 645.03 11.3163
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb2[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 562292 29594 0.4700 0.9645
## bloco 3 35818 11939 0.1896 0.9031
## Residuals 57 3589203 62968## QM Resíduo QM Tratamento p-valor pra Tratamento Variância Genotípica
## 1 0.1000 0.7812 0.0000 0.170300
## 2 10.3363 6.6162 0.8586 -0.930025
## 3 11.3163 6.9747 0.8782 -1.085400
## 4 62968.4816 29594.3184 0.9645 -8343.540800
## Variância Residual Variância Fenotípica CV(%) Herdabilidade
## 1 0.025000 0.195300 1.166892 87.19918
## 2 2.584075 1.654050 10.113678 -56.22714
## 3 2.829075 1.743675 4.190689 -62.24784
## 4 15742.120400 7398.579600 55.679861 -112.77220Para realizar a análise de variância conjunta é necessário verificar se a razão entre o maior e o menor quadrado médio do resíduo é menor que 7. Assim, para a variável 1 tem-se que \(\frac{>QM_{Res}}{<QM_{Res}}=\frac{0,1122}{0,0777}=1,4440\). Para a variável 2 tem-se que \(\frac{>QM_{Res}}{<QM_{Res}}=\frac{10,3363}{8,2632}=1,2508\) . Para a variável 3 tem-se que \(\frac{>QM_{Res}}{<QM_{Res}}=\frac{11,3163}{8,3542}=1,3545\). Para a variável 4 tem-se que \(\frac{>QM_{Res}}{<QM_{Res}}=\frac{62968,4816}{38334,4737}=1,6426\). Como todas as razões calculadas são menores que 7, então pode-se calcular as análises de variâncias conjuntas para cada variável.
O componente de variância genética é calculada por \(\sigma^2_{g}=\frac{QM_G-QM_{GA}}{ra}\) dado o modelo aleatório e por \(\sigma^2_{g}=\frac{QM_G-QM_{Res}}{ra}\) dado o modelo misto com ambiente fixo. O componente de variância da interação genótipos x ambientes é dada por \(\sigma^2_{GA}=\frac{QM_{GA}-QM_{Res}}{r}\) dado o modelo aleatório e por \(\sigma^2_{GA}=\frac{QM_{GA}-QM_{Res}}{rl}\).
A análise de variância conjunta da variável 1 é dada por:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: dados[, 4]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 65.924 3.4697 37.6268 < 2.2e-16 ***
## bloco 3 0.585 0.1949 2.1132 0.09933 .
## amb 3 5.124 1.7081 18.5236 8.652e-11 ***
## gen:amb 57 13.691 0.2402 2.6048 2.763e-07 ***
## bloco:amb 9 0.907 0.1008 1.0927 0.36901
## Residuals 228 21.024 0.0922
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1## Modelo Variancia_Genotipica Variancia_GA
## 1 Modelo aleatorio 0.2018 0.0370
## 2 Modelo misto 0.2111 0.0277A análise de variância conjunta da variável 2 é dada por:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: dados[, 5]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 210.89 11.0993 1.1862 0.2705
## bloco 3 24.74 8.2463 0.8813 0.4515
## amb 3 2.81 0.9383 0.1003 0.9598
## gen:amb 57 451.88 7.9277 0.8472 0.7688
## bloco:amb 9 112.44 12.4936 1.3352 0.2196
## Residuals 228 2133.48 9.3574## Modelo Variancia_Genotipica Variancia_GA
## 1 Modelo aleatorio 0.1982 -0.3574
## 2 Modelo misto 0.1089 -0.2681A análise de variância conjunta da variável 3 é dada por:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: dados[, 6]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 212.18 11.1674 1.1421 0.3104
## bloco 3 24.84 8.2805 0.8468 0.4695
## amb 3 6.11 2.0355 0.2082 0.8907
## gen:amb 57 480.06 8.4221 0.8613 0.7449
## bloco:amb 9 103.83 11.5365 1.1798 0.3088
## Residuals 228 2229.38 9.7780## Modelo Variancia_Genotipica Variancia_GA
## 1 Modelo aleatorio 0.1716 -0.3390
## 2 Modelo misto 0.0868 -0.2542A análise de variância conjunta da variável 4 é dada por:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: dados[, 7]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 582622 30664 0.6115 0.8960
## bloco 3 104966 34989 0.6977 0.5543
## amb 3 146654 48885 0.9748 0.4054
## gen:amb 57 2457592 43116 0.8598 0.7476
## bloco:amb 9 323354 35928 0.7165 0.6936
## Residuals 228 11433409 50147## Modelo Variancia_Genotipica Variancia_GA
## 1 Modelo aleatorio -778.2065 -1757.721
## 2 Modelo misto -1217.6368 -1318.291Considerando a variável 1 obtém-se que: \[ \hat{\sigma}^2_g+\hat{\sigma}^2_{ga}=\frac{1}{a}\sum_j{\hat{\sigma}^2_{g(j)}} \ 0,2018+0,0370=\dfrac{1}{4}(0,3472+0,1947+0,2430+0,1703) \\ 0,2388=0,2388 \] E, \[ \hat{\sigma}=\dfrac{1}{a}\sum_j \sigma^2_{(j)} \\ 0,02305=\dfrac{1}{4}(0,0922) \\ 0,02305=0,02305 \]
d1) Correlação genotípica, por meio de:
A tabulação dos dados é dada por:
## amb gen bloco v1 v2 v3 v4
## 1 1 1 1 27,90000 30,60000 78,60000 101,00000
## 2 1 1 2 27,90000 36,30000 85,00000 329,00000
## 3 1 1 3 27,88000 36,10000 84,70000 337,00000
## 4 1 1 4 27,50000 29,70000 78,00000 121,00000
## 5 1 2 1 27,99000 29,90000 78,30000 145,00000
## 6 1 2 2 27,98000 32,40000 80,00000 619,00000Para o ambiente 1 temos os seguintes resultados para cada uma das variáveis da análise de variância individual:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 17.2603 0.90844 26.0055 <2e-16 ***
## bloco 3 0.0622 0.02073 0.5935 0.6218
## Residuals 57 1.9912 0.03493
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 134.37 7.0722 0.7966 0.7013
## bloco 3 28.01 9.3361 1.0516 0.3769
## Residuals 57 506.07 8.8784
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 145.63 7.6646 0.8402 0.6524
## bloco 3 30.90 10.3005 1.1291 0.3450
## Residuals 57 519.98 9.1225
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 1708343 89913 2.1954 0.01171 *
## bloco 3 369573 123191 3.0080 0.03759 *
## Residuals 57 2334439 40955
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1## QM Resíduo QM Tratamento p-valor pra Tratamento Variância Genotípica
## 1 0.0349 0.9084 0.0000 0.218375
## 2 8.8784 7.0722 0.7013 -0.451550
## 3 9.1225 7.6646 0.6524 -0.364475
## 4 40955.0616 89912.7757 0.0117 12239.428525
## Variância Residual Variância Fenotípica CV(%) Herdabilidade
## 1 0.008725 0.22710 0.6864807 96.15808
## 2 2.219600 1.76805 9.3161822 -25.53944
## 3 2.280625 1.91615 3.7613881 -19.02121
## 4 10238.765400 22478.19392 49.4937041 54.45023Para o ambiente 2 temos os seguintes resultados para cada uma das variáveis da análise de variância individual:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 16.3498 0.86051 11.4253 3.842e-13 ***
## bloco 3 0.1096 0.03652 0.4849 0.6941
## Residuals 57 4.2930 0.07532
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 85.60 4.5052 0.5027 0.9506
## bloco 3 9.40 3.1325 0.3495 0.7896
## Residuals 57 510.87 8.9625
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 80.35 4.2288 0.4753 0.9625
## bloco 3 8.06 2.6875 0.3020 0.8238
## Residuals 57 507.16 8.8975
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 749011 39422 0.6725 0.8296
## bloco 3 85631 28544 0.4869 0.6927
## Residuals 57 3341539 58623## QM Resíduo QM Tratamento p-valor pra Tratamento Variância Genotípica
## 1 0.0753 0.8605 0.0000 0.196300
## 2 8.9625 4.5052 0.9506 -1.114325
## 3 8.8975 4.2288 0.9625 -1.167175
## 4 58623.4851 39421.6184 0.8296 -4800.466675
## Variância Residual Variância Fenotípica CV(%) Herdabilidade
## 1 0.018825 0.215125 1.004037 91.24927
## 2 2.240625 1.126300 9.479496 -98.93678
## 3 2.224375 1.057200 3.733310 -110.40248
## 4 14655.871275 9855.404600 58.430859 -48.70898Para o ambiente 3 temos os seguintes resultados para cada uma das variáveis da análise de variância individual:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 13.8759 0.73031 8.5680 1.205e-10 ***
## bloco 3 0.1833 0.06111 0.7169 0.546
## Residuals 57 4.8585 0.08524
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 266.37 14.020 2.1414 0.01413 *
## bloco 3 53.95 17.983 2.7467 0.05118 .
## Residuals 57 373.18 6.547
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 296.62 15.6116 2.0668 0.01831 *
## bloco 3 49.31 16.4370 2.1760 0.10077
## Residuals 57 430.56 7.5537
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: amb1[, i]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 1908431 100444 0.8099 0.6865
## bloco 3 393526 131175 1.0577 0.3743
## Residuals 57 7069137 124020## QM Resíduo QM Tratamento p-valor pra Tratamento Variância Genotípica
## 1 0.0852 0.7303 0.0000 0.161275
## 2 6.5470 14.0196 0.0141 1.868150
## 3 7.5537 15.6116 0.0183 2.014475
## 4 124019.9423 100443.7493 0.6865 -5894.048250
## Variância Residual Variância Fenotípica CV(%) Herdabilidade
## 1 0.021300 0.182575 1.066744 88.33356
## 2 1.636750 3.504900 7.888733 53.30109
## 3 1.888425 3.902900 3.402537 51.61482
## 4 31004.985575 25110.937325 78.588446 -23.47204Para realizar a análise de variância conjunta é necessário verificar se a razão entre o maior e o menor quadrado médio do resíduo é menor que 7. Assim, para a variável 1 tem-se que \(\frac{>QM_{Res}}{<QM_{Res}}=\frac{0,0852}{0,0349}=0,4096\). Para a variável 2 tem-se que \(\frac{>QM_{Res}}{<QM_{Res}}=\frac{8,9625}{6,5470}=1,3689\) . Para a variável 3 tem-se que \(\frac{>QM_{Res}}{<QM_{Res}}=\frac{9,1225}{7,5537 }=1,2076\). Para a variável 4 tem-se que \(\frac{>QM_{Res}}{<QM_{Res}}=\frac{124019,9423}{40955,0616}=3,0281\). Como todas as razões calculadas são menores que 7, então pode-se calcular as análises de variâncias conjuntas para cada variável.
A análise de variância conjunta da variável 1 é dada por:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: dados[, 4]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 42.640 2.24423 34.4408 < 2.2e-16 ***
## bloco 3 0.124 0.04147 0.6364 0.5925330
## amb 2 0.987 0.49340 7.5718 0.0007066 ***
## gen:amb 38 4.846 0.12752 1.9569 0.0020164 **
## bloco:amb 6 0.231 0.03845 0.5900 0.7379989
## Residuals 171 11.143 0.06516
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1A análise de variância conjunta da variável 2 é dada por:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: dados[, 5]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 157.79 8.3047 1.0216 0.4389
## bloco 3 38.00 12.6681 1.5583 0.2014
## amb 2 29.19 14.5936 1.7952 0.1692
## gen:amb 38 328.55 8.6461 1.0636 0.3830
## bloco:amb 6 53.35 8.8917 1.0938 0.3681
## Residuals 171 1390.12 8.1293A análise de variância conjunta da variável 3 é dada por:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: dados[, 6]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 154.53 8.1332 0.9541 0.5177
## bloco 3 36.02 12.0072 1.4085 0.2420
## amb 2 30.79 15.3950 1.8060 0.1674
## gen:amb 38 368.06 9.6859 1.1362 0.2868
## bloco:amb 6 52.25 8.7089 1.0216 0.4129
## Residuals 171 1457.70 8.5246A análise de variância conjunta da variável 4 é dada por:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: dados[, 7]
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 19 1670116 87901 1.1794 0.2802
## bloco 3 211709 70570 0.9468 0.4193
## amb 2 72185 36092 0.4842 0.6170
## gen:amb 38 2695669 70939 0.9518 0.5554
## bloco:amb 6 637021 106170 1.4245 0.2078
## Residuals 171 12745114 74533Selecionando as 6 maiores médias no ambiente 1 para a variável 1 obtém \(\bar{X}s=27,33\), logo o diferencial de seleção é dado por \(DS=\bar{X}s-\bar{X}o=27,7333-27,2135=0,5198\). A variância genotípica e fenotípica são dadas por: \[\begin{eqnarray*} \hat{\sigma}^2_g=\dfrac{0,9084-0,0349}{4}=0,2183 \\ \hat{\sigma}^2_f=\dfrac{0,9084}{4}=0,2271 \\ \end{eqnarray*}\] Logo, \[\begin{eqnarray*} GS=DS \cdot h^2=0,5198 \cdot \dfrac{0,2183}{0,2271}=0,4996 \end{eqnarray*}\] Para as demais variáveis no ambiente 1, obtém:
## MO MS DS Herdabilidade GS
## 1 27.2135 27.7333 0.5198 96.15808 0.4998297
## 2 31.9838 33.4542 1.4704 -25.53944 -0.3755319
## 3 80.2988 81.8417 1.5429 -19.02121 -0.2934783
## 4 408.8875 592.5417 183.6542 54.45023 100.0001362No ambiente 2, obtém:
## MO MS DS Herdabilidade GS
## 1 27.3305 27.8042 0.4737 91.24927 0.4322478
## 2 31.5813 32.8083 1.2270 -98.93678 -1.2139543
## 3 79.8987 81.0708 1.1721 -110.40248 -1.2940274
## 4 414.3750 522.7083 108.3333 -48.70898 -52.7680412No ambiente 3, obtém:
## MO MS DS Herdabilidade GS
## 1 27.3627 27.8508 0.4881 88.33356 0.4311561
## 2 32.4350 34.3417 1.9067 53.30109 1.0162919
## 3 80.7750 82.9625 2.1875 51.61482 1.1290743
## 4 448.1125 610.7083 162.5958 -23.47204 -38.1645447\(\mu\) é a média geral;
\(G_i\) é o efeito fixo de genótipos. Logo, \(E(G_i)=G_i\) e \(E(G_i^2)=G_i^2\).
\(A_j\) é o efeito aleatório de ambientes. Logo, \(E(A_j)=0\) e \(E(A_j^2)=\sigma^2_a\).
\(GA_{ij}\) é o efeito aleatório da interação genótipos x ambientes.
\(\varepsilon_{ijk}\) é o efeito aleatório do erro experimental. Logo, \(E(\varepsilon_{ij})=0\) e \(E(\varepsilon_{ij}^2)=\sigma^2\).
Dado que \(i=1,2,\dots g\), \(j=1,2,\dots a\), e \(k=1,2,\dots r\).
Sejam as restrições:
Caso 1: \(\sum_i GA_{ij}=0\) e \(E(GA_{ij}^2)=\sigma^2_{ga}\).
Caso 2: \(\sum_i GA_{ij}=0\) e \(E(GA_{ij}^2)=\dfrac{g-1}{g}\sigma^2_{ga}\).
Caso 3: \(\sum_i GA_{ij}\neq 0\) e \(E(GA_{ij}^2)=\sigma^2_{ga}\).
Dada as colunas de fonte de variação e grau de liberdade dadas por:
| FV | GL |
|---|---|
| Genótipo | \(g-1\) |
| Ambiente | \(a-1\) |
| GxA | \((g-1)(a-1)\) |
| Resíduo | \(agr-1-g+1-a+1-(g-1)(a-1)=agr-ag=ag(r-1)\) |
| Total | \(agr-1\) |
Dado que:
\[\begin{eqnarray*} SQ_{Total}&=&\sum_{ijk} Y^2_{ijk}-C \\ SQ_{Genótipo}&=&\dfrac{\sum_i Y^2_{i..}}{ar}-C \\ SQ_{Ambiente}&=& \dfrac{\sum_j Y^2_{.j.}}{gr}-C \\ SQ_{GxA}&=& \dfrac{\sum_{ij} Y^2_{ij.}}{r}-\dfrac{\sum_i Y^2_{i..}}{ar}-\dfrac{\sum_{j} Y^2_{.j.}}{gr}+C \\ SQ_{Resíduo}&=& \sum_{ijk} Y^2_{ijk}-\dfrac{\sum_{ij} Y^2_{ij.}}{r} \end{eqnarray*}\]
Dada a informação que os duplos produtos com efeito aleatório é igual a zero, então: \[\begin{eqnarray*} \sum_{i,j,k} E(Y^2_{ijk})&=&\sum_{i,j,k} E[(\mu+G_i+A_j+GA_{ij}+\varepsilon_{ijk})^2]=\sum_{i,j,k} (\mu ^2+G_i^2+\sigma^2_a+\dfrac{\sigma^2}{ga}+\sigma^2+0)\\ &=&agr\mu ^2+ ar\sum_{i} G_i^2+agr \sigma^2_a + agr\sigma^2_{ga}+agr \sigma^2 \\ C=E\left(\dfrac{Y^2_{...}}{agr}\right)&=&\dfrac{1}{agr} E\{[(\sum_{i,j,k} \mu+G_i+A_j+GA_{ij}+\varepsilon_{ijk})]^2\}\\ &=& \dfrac{1}{agr}E[(agr \mu +ar\sum_i G_i+gr \sum_j A_j+r\sum_{i,j} GA_{ij}+\sum_{i,j,k} \varepsilon_{ijk})^2] \\ &=& \dfrac{1}{agr}[a^2g^2r^2 \mu ^2+0+g^2r^2 a\sigma^2_a+0+agr \sigma^2 ] =agr\mu^2+gr\sigma^2_a +\sigma^2 \\ E\left(\dfrac{\sum_{j,k} Y_{i..}^2}{ar} \right)&=&\dfrac{1}{ar}\sum_iE[(ar \mu +arG_i+r\sum_j A_j+r\sum_j GA_{ij}+\sum_{jk} \varepsilon_{ijk})^2] \\ &=& \dfrac{1}{ar}\sum_i E[a^2r^2 \mu^2+a^2r^2G_i^2+r^2(\sum_jA_j)^2+r^2(\sum_j GA_{ij})^2+(\sum_{jk}\varepsilon_{ijk})^2 +2a^2r^2\mu G_i] \\ &=&agr \mu^2 +ar\sum_i G_i^2 +gr\sigma^2_a+gr\sigma^2_{ga}+g\sigma^2 \\ E\left(\dfrac{\sum_{ik} Y_{.j.}^2}{gr} \right)&=&\dfrac{1}{gr}\sum_{ik} E(Y_{.j.}^2)=\dfrac{1}{gr}\sum_j E[(gr \mu +r\sum_i G_i+gr A_j+r\sum_{i}GA_{i}+\sum_{ik}\varepsilon_{ijk})^2] \\ &=&\dfrac{1}{gr}(ag^2r^2\mu^2+0+ag^2r^2\sigma^2_a+0+agr\sigma^2) \\ &=&agr \mu^2+agr\sigma^2_a+a\sigma^2 \\ E\left[\dfrac{\sum_{ij}Y^2_{ij.}}{r}\right]&=&\dfrac{1}{r}E(\sum_{ij.}Y^2_{ij})=\dfrac{1}{r}\sum_{ij}E[(r\mu+rG_i+rA_j+rGA_{ij}+\sum_{k}e_{ijk})^2]\\ &=& \dfrac{1}{r}\sum_{ij}E[r^2\mu^2+r^2G_i^2+r^2A^2_j+r^2GA^2_{ij}+(\sum_{k}e_{ijk})^2+2r^2\mu G_i]\\ &=&agr\mu^2 +ar\sum_i G_i^2 +agr\sigma^2_a+agr \sigma^2_{ga}+ag\sigma^2 \end{eqnarray*}\]
Logo,
\[\begin{eqnarray*} E(SQ_{Genótipo})&=&E\left(\dfrac{\sum_i Y^2_{i..}}{ar}\right)-E(C)=ar\sum_{i}G_i^2+gr\sigma^2_{ga}+(g-1)\sigma^2 \\ E(SQ_{Ambiente})&=& E\left(\dfrac{\sum_j Y^2_{.j.}}{gr}\right)-E(C)= gr(a-1)\sigma^2_a+(a-1)\sigma^2 \\ E(SQ_{Resíduo})&=& E(\sum_{ijk} Y^2_{ijk})-E\left(\dfrac{\sum_{ij}Y^2_{ij.}}{r}\right)=ag(r-1)\sigma^2 \\ E(SQ_{GxA})&=& E\left(\dfrac{\sum_{ij} Y^2_{ij.}}{r}\right)-E\left(\dfrac{\sum_i Y^2_{i..}}{ar}\right)-E\left(\dfrac{\sum_{j} Y^2_{.j.}}{gr}\right)+E(C)=gr(a-1)\sigma^2_{ga}+(g-1)(a-1)\sigma^2 \\ \end{eqnarray*}\] Logo,
| FV | GL | E(SQ) | E(QM) |
|---|---|---|---|
| Genótipo | \(g-1\) | \(ar\sum_{i}G_i^2+gr\sigma^2_{ga}+(g-1)\sigma^2\) | \(\sigma^2+\dfrac{ar}{g-1}\sum_{i}G_i^2+\dfrac{gr}{g-1}\sigma^2_{ga}\) |
| Ambiente | \(a-1\) | \(\sigma^2+gr(a-1)\sigma^2_a+(a-1)\sigma^2\) | \(gr\sigma^2_a\) |
| GxA | \((g-1)(a-1)\) | \(gr(a-1)\sigma^2_{ga}+(g-1)(a-1)\sigma^2\) | \(\sigma^2+\dfrac{gr}{g-1}\sigma^2_{ga}\) |
| Resíduo | \(ag(r-1)\) | \(ag(r-1)\sigma^2\) | \(\sigma^2\) |
| FV | GL | E(QM) - caso 2 | E(QM) - caso 3 |
|---|---|---|---|
| Genótipo | \(g-1\) | \(\sigma^2+r\sigma^2_{ga}+ar\phi_g\) | \(\sigma^2+r\sigma^2_{ga}+ar\phi_g\) |
| Ambiente | \(a-1\) | \(\sigma^2+gr\sigma^2_a\) | \(\sigma^2+r\sigma^2_{ga}+gr\sigma^2_a\) |
| G x A | (g-1)(a-1) | \(\sigma^2+r\sigma^2_{ga}\) | \(\sigma^2+r\sigma^2_{ga}\) |
| Resíduo | \((r-1)ga\) | \(\sigma^2\) | \(\sigma^2\) |
Baseado no apresentado discuta os resultados. Sugestão: leia o livro do Searle (páginas 400-403).
As restrições impostas em cada caso pode alterar as \(E(QM)\)’s. No caso 1 temos o modelo misto comunente utilizado para experimentos com interação GA. Destaca-se a necessidade multiplicar por 1 o efeito da interação quando está é formada por pelo menos um efeito aleatório. Uma outra opção para cálculo das \(E(QM)\)’s é a restrição 2. As restrições impostas no caso 3 irão proporcionar \(E(QM)\)’s parecidos com o do modelo aleatório, salvo a \(E(QMG)\) que terá o componente \(\Phi_G\) invés de \(\sigma^2_g\).
Dado que anos, locais e genótipos são aleatórios, então as colunas de FV e GL da anova são:
| FV | GL |
|---|---|
| Genótipo | \(g-1\) |
| Local | \(l-1\) |
| Ano | \(a-1\) |
| GxL | \((g-1)(l-1)\) |
| GxA | \((g-1)(a-1)\) |
| LxA | \((l-1)(a-1)\) |
| GxLxA | \((g-1)(l-1)(a-1)\) |
| Bloco/Local.Ano | \((r-1)la\) |
| Resíduo | \(la(g-1)(r-1)\) |
| Total | \(aglr-1\) |
Utilizando o método prático de pra obtenção das \(E(QM)\)’s:
| FV | Indexadores | \(\sigma^2\) | \(agr \sigma^2_l\) | \(glr\sigma^2_a\) | \(alr\sigma^2_{g}\) | \(ar\sigma^2_{gl}\) | \(lr\sigma^2_{ga}\) | \(gr\sigma^2_{la}\) | \(r\sigma^2_{gla}\) | \(g\sigma^2_{b/la}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Genótipo | \(g\) | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| Local | \(l\) | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| Ano | \(a\) | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| GxL | \(gl\) | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| GxA | \(ga\) | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| LxA | \(la\) | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| GxLxA | \(gla\) | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| Bloco/Local.Ano | \(bla\) | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| Resíduo | - | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Logo,
| FV | GL | \(E(QM)\) |
|---|---|---|
| Genótipo | \(g-1\) | \(\sigma^2+alr\sigma^2_g+ar\sigma^2_{gl}+lr\sigma^2_{ga}+r\sigma^2_{gla}\) |
| Local | \(l-1\) | \(\sigma^2+agr\sigma^2_l+ar\sigma^2_{gl}+r\sigma^2_{gla}+g\sigma^2_{b/la}\) |
| Ano | \(a-1\) | \(\sigma^2+glr\sigma^2_a+lr\sigma^2_{ga}+r\sigma^2_{gla}+g\sigma^2_{b/la}\) |
| GxL | \((g-1)(l-1)\) | \(\sigma^2+ar\sigma^2_{gl}+r\sigma^2_{gla}\) |
| GxA | \((g-1)(a-1)\) | \(\sigma^2+\sigma^2+lr\sigma^2_{ga}+r\sigma^2_{gla}\) |
| LxA | \((l-1)(a-1)\) | \(\sigma^2+gr\sigma^2_{la}+r\sigma^2_{gla}+g\sigma^2_{b/la}\) |
| Bloco/Local.Ano | \((r-1)la\) | \(\sigma^2+g \sigma^2_{b/la}\) |
| GxLxA | \((g-1)(l-1)(a-1)\) | \(\sigma^2+r\sigma^2_{gla}\) |
| Resíduo | \(la(g-1)(r-1)\) | \(\sigma^2\) |
As análises individuais da primeira variável são dadas por:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: v1
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 7 1669540 238506 133.7258 < 2.2e-16 ***
## rep 5 33624 6725 3.7704 0.007774 **
## Residuals 35 62424 1784
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: v1
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 7 1816516 259502 114.9823 <2e-16 ***
## rep 5 23806 4761 2.1096 0.0874 .
## Residuals 35 78991 2257
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: v1
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 7 3619686 517098 104.8499 <2e-16 ***
## rep 5 49103 9821 1.9913 0.1042
## Residuals 35 172613 4932
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: v1
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 7 2377102 339586 96.4089 < 2e-16 ***
## rep 5 42848 8570 2.4329 0.05403 .
## Residuals 35 123282 3522
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: v1
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 7 1536709 219530 48.3919 3.884e-16 ***
## rep 5 123248 24650 5.4336 0.0008409 ***
## Residuals 35 158778 4537
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: v1
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 7 407059 58151 12.3344 7.84e-08 ***
## rep 5 23335 4667 0.9899 0.4379
## Residuals 35 165010 4715
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Já para a segunda variável obtém-se as seguintes análises individuais:
## Analysis of Variance Table
##
## Response: v2
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 7 166.470 23.7814 133.6572 < 2e-16 ***
## rep 5 3.429 0.6858 3.8545 0.00691 **
## Residuals 35 6.228 0.1779
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: v2
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 7 303.567 43.367 97.1984 <2e-16 ***
## rep 5 2.304 0.461 1.0329 0.4137
## Residuals 35 15.616 0.446
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: v2
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 7 361.59 51.656 106.8340 < 2e-16 ***
## rep 5 5.12 1.024 2.1172 0.08642 .
## Residuals 35 16.92 0.484
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: v2
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 7 237.566 33.938 96.2018 < 2e-16 ***
## rep 5 4.361 0.872 2.4724 0.05096 .
## Residuals 35 12.347 0.353
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: v2
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 7 22.4965 3.2138 27.6723 1.79e-12 ***
## rep 5 0.2669 0.0534 0.4596 0.8035
## Residuals 35 4.0648 0.1161
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## Analysis of Variance Table
##
## Response: v2
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## gen 7 38.433 5.4904 95.8133 <2e-16 ***
## rep 5 0.429 0.0859 1.4986 0.2154
## Residuals 35 2.006 0.0573
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Uma vez que \(\dfrac{>QM_{Resíduo}}{<QM_{Resíduo}}=\dfrac{172613}{62424}=2,7651<7\), então pode-se progredir para a análise de variância conjunta da variável 1.
## Analysis of Variance Table
##
## Response: v1
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## ano 1 50113 50113 13.8269 0.0002572 ***
## amb 2 280388 140194 38.6820 4.985e-15 ***
## gen 7 4427263 632466 174.5084 < 2.2e-16 ***
## rep 5 63993 12799 3.5314 0.0043623 **
## ano:amb 2 1459698 729849 201.3780 < 2.2e-16 ***
## ano:gen 7 416857 59551 16.4312 < 2.2e-16 ***
## amb:gen 14 4522637 323046 89.1339 < 2.2e-16 ***
## ano:rep 5 64528 12906 3.5609 0.0041172 **
## amb:rep 10 74442 7444 2.0540 0.0295846 *
## ano:amb:gen 14 2059854 147132 40.5964 < 2.2e-16 ***
## ano:amb:rep 10 93002 9300 2.5661 0.0060189 **
## Residuals 210 761097 3624
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Uma vez que \(\dfrac{>QM_{Resíduo}}{<QM_{Resíduo}}=\dfrac{0,484}{0,0573}=8,446>7\), então existe heterogeneidade entre as variâncias residuais dos experimentos e não deve-se progredir para a análise de variância conjunta.
Interação temporal - É representada pelo comportamento diferencial dos genótipos frente as variações temporais. A interação temporal não é interessante para o agricultor, uma vez que cultivares estáveis ao longo tempo são mais preferidos do que cultivares instáveis. Já para o melhorista trata-se de um desafio, pois a interação temporal decorre de variações ambientais como temperatura, pluviosidade, umidade, ocorrência de pragas e doenças.
Interação regional - É representada pelo comportamento diferencial dos genótipos frente as variações ambientais. A interação pode ser do tipo simples quando não há alteração no ranquamento dos genótipos com base na mesma variável em diferentes ambientes. Já a interação do tipo complexa representa uma complicação ao melhorista por ocasionar alteração no ranqueamento dos genótipos com base na mesma variável em diferentes ambientes. A interação complexa possibilita o desenvolvimento e recomendação de cultivares para ambientes específicos.