Eş Zamanlı Denklem Modelleri
EŞ ZAMANLI DENKLEM MODELLERİNİN DOĞASI
Eşzamanlı denklem modellerini tahmin etmenin önde gelen yöntemi, araçsal değişkenler yöntemidir. Bu nedenle, eşzamanlılık probleminin çözümü, esasen ihmal edilen değişkenler ve ölçüm hatası problemlerinin IV çözümleri ile aynıdır.
Bu bölümde eşzamanlı denklem modellerinin doğasını ve kapsamını tartışacağız.
Toplam zaman serilerini modellemek için eşzamanlı denklem modelleri kullanılır.
Örneğimizde, bazı mallar veya üretim girdileri (emek gibi) için arz ve talep denkleminde hs: tarımda çalışan işçiler tarafından ilçe düzeyinde ölçülen yıllık çalışma saatini, w: ise bu tür işçilere sunulan ortalama saatlik ücreti göstersin.
Basit bir emek arzı fonksiyonu
\[h_s= \alpha_1 w + \beta_1 z_1 + u_1\]
\(z_1\), emek arzını etkileyen gözlemlenen bir değişkendir.
\(u_1\), işgücü arzını etkileyen diğer faktörleri içerir.
\(\alpha_1\) ücret değiştiğinde işgücü arzının nasıl değiştiğini ölçer;
hs ve w logaritmik formda ise, \(\alpha_1\) emek arzı esnekliğidir.
İşgücü arzı esneklikleri, ücret gelirleri üzerindeki vergi oranları değiştiğinde işçilerin çalışmak istedikleri saat sayısını nasıl değiştireceklerini belirlemek için önemlidir. Eğer \(z_1\) imalatçı ücreti ise, \(\beta_1 ≤ 0\) olmasını bekleriz: eğer imalat ücreti artarsa, tarıma olduğundan daha fazla işçi imalata gidecektir.
Tarım ve imalat ücretlerinin seviyesini bir ilçe örneğinde değiştirdiğimiz ve işgücü arzını hs elde etmek için işçilerle anket yaptığımız bir deney yürütebilseydik, o zaman denklemi OLS ile tahmin edebilirdik. Ne yazık ki, bu yönetilebilir bir deney değil. Bunun yerine, bu iki sektördeki ortalama ücretlerin yanı sıra tarımsal üretimde kaç kişi-saat harcandığına dair veri toplamamız gerekiyor. Bu verilerin nasıl analiz edileceğine karar verirken, bunların en iyi şekilde işgücü arzı ve talebinin etkileşimi tarafından tanımlandığını anlamalıyız. İşgücü piyasalarının dengelendiği varsayımı altında aslında ücret ve çalışılan saatlerin denge değerlerini gözlemliyoruz.
Denge ücretlerinin ve çalışma saatlerinin nasıl belirlendiğini açıklamak için emek talebi denklemi
\[h_d = \alpha_2 w + \beta_2 z_2 + u_2\]
hd:talep edilen saattir. Arz fonksiyonunda olduğu gibi, \(z_2\) ve \(u_2\)’yi sabit tutarak, ücret w’nin bir fonksiyonu olarak talep edilen saatleri gösterir. \(z_2\) değişkeni (tarımsal arazi alanı) gözlemlenebilir bir talep değiştirici iken, \(u_2\) gözlemlenemez bir talep değiştiricidir.
Emek talep denklemi de yapısal bir denklemdir: Eğer \(h_d\) ve w logaritmik formda ise, \(\alpha_2\) emek talep esnekliğidir. Ekonomi teorisi bize \(\alpha_2\)<0 olduğunu söyler. Üretimde emek ve toprak birbirinin tamamlayıcısı olduğu için \(\beta_2\) >0 olmasını bekleriz.
İşgücü arzı, işçiler için davranışsal bir denklemdir ve işgücü talebi, çiftçiler için davranışsal bir ilişkidir.
Gözlemlenen ücret ve saatler arz ve talebin kesişimi tarafından belirlenir. Başka bir deyişle, her i ilçesi için gözlemlenen saat \(h_i\) ve gözlemlenen ücret \(w_i\) denge koşulu
\[h_{is} = h_{id}\]
Her i ilçesi için sadece denge saatlerini gözlemlediğimiz için, gözlemlenen saatleri \(h_i\) ile gösteririz. Denge koşulunu işgücü arz ve talep denklemleriyle birleştirdiğimizde, şunu elde ederiz:
\[h_i = \alpha_1 w_i + \alpha_1 z_{i1} + u_{i1}\]
\[h_i = \alpha_2 w_i + \alpha_2 z_{i2} + u_{i2}\]
Yukarıda yazdığımız 2 denklem eş zamanlı denklem modelini oluşturur.
\(h_i\) ve \(u_i\) içsel değişkenler, \(z_{i1}\) ve \(z_{i2}\) ise dışsal değişkenlerdir.
z1; imalat ücretini temsil ettiğinde, ekonomik akıl yürütme bize bunun tarımsal işgücü arzında bir faktör olduğunu çünkü tarımda çalışmanın fırsat maliyetinin bir ölçüsü olduğunu söyler;
z2; tarımsal arazi alanını temsil ettiğinde, üretim teorisi bunun emek talep fonksiyonunda göründüğünü ima eder.
Örnek:
Şehirler genellikle ek kolluk kuvvetlerinin cinayet oranlarını ne kadar azaltacağını belirlemek ister.
\[murdpc = \alpha_1 polpc + \beta_{1 0} + \beta_{1 1} incpc + u_1,\]
murdpc;kişi başına cinayet, polpc; kişi başına düşen polis memuru sayısı incpc; kişi başına düşen gelirdir.
Kişi başına düşen geliri dışsal olarak alıyoruz. Uygulamada, yaş ve cinsiyet dağılımları, eğitim seviyeleri, belki coğrafi değişkenler ve cezanın şiddetini ölçen değişkenler gibi diğer faktörleri dahil edeceğiz.
SORU: Bir şehir dışsal olarak polis gücünü artırırsa, bu artış ortalama olarak cinayet oranını düşürür mü?
Rastgele bir şehir örneği için polis gücü boyutlarını dışsal olarak seçebilseydik, OLS ile tahmin edebilirdik. Kesinlikle böyle bir deney yapamayız. Ama yine de polis gücünün boyutunun dışsal olarak belirlendiğini düşünebilir miyiz? Muhtemelen değil. Bir şehrin kolluk kuvvetlerine yaptığı harcama, en azından kısmen, beklenen cinayet oranı tarafından belirlenir. Bunu yansıtmak için ikinci bir ilişki varsayıyoruz:
\[polpc = \alpha_2 murdpc + \beta_{2 0} + other factors\]
\(\alpha_2 > 0\): diğer faktörler eşit olduğunda, daha yüksek (beklenen) cinayet oranlarına sahip şehirlerde kişi başına daha fazla polis memuru olmasını bekliyoruz.
##YAPISAL BİR DENKLEMİN TANIMLANMASI İÇİN SIRALAMA KOŞULU
İki denklemli eşzamanlı denklemler modelindeki ilk denklem, ancak ve ancak ikinci denklemin birinci denklemden hariç tutulan en az bir dışsal değişken (sıfır olmayan bir katsayı ile) içermesi durumunda tanımlanır.
İlk denklemi tanımlamanın sıra koşulu, en az bir dışsal değişkenin bu denklemden çıkarıldığını belirtir. Her iki denklem de belirtildikten sonra sipariş koşulunun kontrol edilmesi önemsizdir. Derece koşulu daha fazlasını gerektirir: birinci denklemden hariç tutulan dışsal değişkenlerden en az birinin ikinci denklemde sıfır olmayan bir nüfus katsayısına sahip olması gerekir.
Örnek:(Evli, Çalışan Kadınların İşgücü Arzı)
Kimlik sorununu açıklamak için, zaten iş gücünde olan evli kadınlar için işgücü arzını düşünün. Talep fonksiyonunun yerine, ücret teklifini saatlerin ve olağan üretkenlik değişkenlerinin bir fonksiyonu olarak yazıyoruz. Uygulanan denge koşuluyla, iki yapısal denklem
\[hours = \alpha_1log(wage) + \beta_{10} + \beta_{11} educ + \beta_{12} age + \beta_{13} kidslt6 + \beta_{14} nwifeinc + u_1\]
\[log(wage) = \beta_2 hours + \beta_{20} + \beta_{21} educ + \beta_{22} exper + \beta_{23} exper^2 + u2\]
Değişken yaş: kadının yaşıdır, kidslt6: altı yaşından küçük çocukların sayısıdır, nwifeinc: kadının ücretsiz olmayan geliridir (kocanın kazancı dahil) eğitim ve deneyim sırasıyla eğitim yılı ve önceki deneyimdir. Saat ve log(ücret) dışındaki tüm değişkenlerin dışsal olduğu varsayılmıştır. (Eğitim, her iki denklemde de atlanan yetenekle ilişkili olabileceğinden, bu zayıf bir varsayımdır. Ancak örnekleme amacıyla, ihmal edilen yetenek problemini göz ardı ediyoruz.) Bu sistemdeki işlevsel biçim—saatlerin seviye biçiminde göründüğü ancak ücretin logaritmik olduğu biçim—çalışma ekonomisinde popülerdir.
\[log(wage) = \pi_{20} + \pi_{21} educ + \pi_{22} age + \pi_{23} kidslt6 + \pi_{24} nwifeinc + \pi_{25} exper + \pi_{26} exper^2 + v_2\]
Denklemin sağ tarafıyla aynı biçime sahip olan saatler için indirgenmiş biçimin yaş, çocuklar/çocuklar/eşler/eşlerden en az birine bağlı olduğunu varsaymakla aynıdır. Ücret teklifi denklemini belirlerken, saat, eğitim ve deneyim hesaba katıldığında, yaş, çocuk yaşı ve eşin teklif edilen ücret üzerinde hiçbir etkisinin olmadığını varsayıyoruz. Bu değişkenlerin bir şekilde üretkenlik üzerinde doğrudan etkileri varsa veya kadınlar yaşlarına veya küçük çocuk sayılarına göre ayrımcılığa uğruyorsa, bunlar zayıf varsayımlar olacaktır.
İlgili popülasyonu iş gücünde olan evli kadınlar olarak alıyoruz (böylece denge saatleri pozitiftir). Bu, ev dışında çalışmamayı tercih eden evli kadın grubunu hariç tutar. Bu tür kadınları modele dahil etmek bazı zor sorunları gündeme getiriyor. Mesela bir kadın çalışmıyorsa ücret teklifini gözlemleyemeyiz.
Örnek:
Romer (1993), daha “açık” ülkelerin daha düşük enflasyon oranlarına sahip olması gerektiğini ima eden teorik enflasyon modelleri önermektedir. Ampirik analizi, ortalama yıllık enflasyon oranlarını (1973’ten beri), 1973’ten beri ithalatın gayri safi yurt içi (veya ulusal) hasıla içindeki ortalama payı cinsinden açıklıyor - ki bu onun açıklık ölçüsüdür. Temel denklemi OLS ile tahmin etmenin yanı sıra araçsal değişkenler kullanır. Romer, eşzamanlı bir sistemde her iki denklemi de belirtmezken, aklında iki denklemli bir sistem vardır:
\[inf= \beta{10} + \alpha_1 open + \beta_{11}log( pcinc) + u1 \]
\[open = \beta_{20} + \alpha_2 inf + \beta_{21} log( pcinc) + \beta_{22} log(land) + u2 \]
pcinc: ABD doları cinsinden 1980 kişi başına düşen gelirdir (dışsal olduğu varsayılır), land: ülkenin mil kare cinsinden arazi alanıdır (ayrıca dışsal olduğu varsayılır)
1.denklem \(\alpha_1 < 0\) hipoteziyle ilgi çekici olanıdır. (Daha fazla açık ekonomi daha düşük enflasyon oranlarına sahiptir.)
2.denklem, açıklık derecesinin ortalama enflasyon oranına bağlı olabileceği gerçeğini yansıtır. log(pcinc) değişkeni her iki denklemde de görünür, ancak log(land)’ın yalnızca ikinci denklemde göründüğü varsayılır. Fikir şu ki, ceteris paribus, daha küçük bir ülke muhtemelen daha açık olacaktır (\(\beta_{22} < 0\)). Daha önce belirtilen tanımlama kuralı kullanılarak, \(\beta_{22} ≠ 0\) şartıyla denklem 1.denklem tanımlanır. 2.denklem her iki dışsal değişkeni de içerdiği için tanımlanmaz.
#2SLS ile tahmin
Bir denklemin tanımlandığını belirledikten sonra, onu iki aşamalı en küçük kareler ile tahmin edebiliriz. Araç değişkenler, her iki denklemde de görünen dışsal değişkenlerden oluşur.
Örnek:
(Evli, Çalışan Kadınların İşgücü Arzı) 2SLS ile işgücü arzı denklemini tahmin etmek için MROZ.RAW’daki çalışan evli kadınlara ilişkin verileri kullanıyoruz. Eksiksiz araç seti educ, age, kidslt6, nwifeinc, exper ve \(exper^2\)’yi içerir. Tahmini işgücü arzı eğrisi
library (AER)## Zorunlu paket yükleniyor: car## Zorunlu paket yükleniyor: carData## Zorunlu paket yükleniyor: lmtest## Zorunlu paket yükleniyor: zoo##
## Attaching package: 'zoo'## The following objects are masked from 'package:base':
##
## as.Date, as.Date.numeric## Zorunlu paket yükleniyor: sandwich## Zorunlu paket yükleniyor: survivaldata (mroz, package='wooldridge')Veri setinin yapısını anlamak adına ve ilk 6 satrını göstermek adına head() fonksiyonu kullanılmıştır.
head(mroz)## inlf hours kidslt6 kidsge6 age educ wage repwage hushrs husage huseduc
## 1 1 1610 1 0 32 12 3.3540 2.65 2708 34 12
## 2 1 1656 0 2 30 12 1.3889 2.65 2310 30 9
## 3 1 1980 1 3 35 12 4.5455 4.04 3072 40 12
## 4 1 456 0 3 34 12 1.0965 3.25 1920 53 10
## 5 1 1568 1 2 31 14 4.5918 3.60 2000 32 12
## 6 1 2032 0 0 54 12 4.7421 4.70 1040 57 11
## huswage faminc mtr motheduc fatheduc unem city exper nwifeinc lwage
## 1 4.0288 16310 0.7215 12 7 5.0 0 14 10.910060 1.21015370
## 2 8.4416 21800 0.6615 7 7 11.0 1 5 19.499981 0.32851210
## 3 3.5807 21040 0.6915 12 7 5.0 0 15 12.039910 1.51413774
## 4 3.5417 7300 0.7815 7 7 5.0 0 6 6.799996 0.09212332
## 5 10.0000 27300 0.6215 12 14 9.5 1 7 20.100058 1.52427220
## 6 6.7106 19495 0.6915 14 7 7.5 1 33 9.859054 1.55648005
## expersq
## 1 196
## 2 25
## 3 225
## 4 36
## 5 49
## 6 1089tail(mroz)## inlf hours kidslt6 kidsge6 age educ wage repwage hushrs husage huseduc
## 748 0 0 0 2 36 12 NA 0 3120 39 12
## 749 0 0 0 2 40 13 NA 0 3020 43 16
## 750 0 0 2 3 31 12 NA 0 2056 33 12
## 751 0 0 0 0 43 12 NA 0 2383 43 12
## 752 0 0 0 0 60 12 NA 0 1705 55 8
## 753 0 0 0 3 39 9 NA 0 3120 48 12
## huswage faminc mtr motheduc fatheduc unem city exper nwifeinc lwage
## 748 1.3013 5330 0.7915 7 12 14.0 0 4 5.330 NA
## 749 9.2715 28200 0.6215 10 10 9.5 1 5 28.200 NA
## 750 4.8638 10000 0.7715 12 12 7.5 0 14 10.000 NA
## 751 1.0898 9952 0.7515 10 3 7.5 0 4 9.952 NA
## 752 12.4400 24984 0.6215 12 12 14.0 1 15 24.984 NA
## 753 6.0897 28363 0.6915 7 7 11.0 1 12 28.363 NA
## expersq
## 748 16
## 749 25
## 750 196
## 751 16
## 752 225
## 753 144oursample <- subset (mroz, !is.na (wage))2SLS regressions
summary(ivreg (hours~log (wage) + educ + age + kidslt6 + nwifeinc
|educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + I (exper^2), data=oursample))##
## Call:
## ivreg(formula = hours ~ log(wage) + educ + age + kidslt6 + nwifeinc |
## educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + I(exper^2), data = oursample)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -4570.13 -654.08 -36.94 569.86 8372.91
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 2225.662 574.564 3.874 0.000124 ***
## log(wage) 1639.556 470.576 3.484 0.000545 ***
## educ -183.751 59.100 -3.109 0.002003 **
## age -7.806 9.378 -0.832 0.405664
## kidslt6 -198.154 182.929 -1.083 0.279325
## nwifeinc -10.170 6.615 -1.537 0.124942
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1354 on 422 degrees of freedom
## Multiple R-Squared: -2.008, Adjusted R-squared: -2.043
## Wald test: 3.441 on 5 and 422 DF, p-value: 0.004648`
\[hours=2,225.66 + 1,639.56 log(wage) - 183.75 educ - 7.81 age - 198.15 kidslt6 - 10.17 nwifeinc, n=428\]
\[(574.56), (470.58), (9.38), (182.93), (6.61)\]
Bu da işgücü arz eğrisinin yukarı doğru eğimli olduğunu gösterir. Log(ücret) üzerindeki tahmini katsayı şu şekilde yorumlanır: diğer faktörleri sabit tutmak, \(\delta hours ≈ 16,4(% \delta wage)\) Bu son denklemin her iki tarafını da 100/saat ile çarparak işgücü arzı esnekliklerini hesaplayabiliriz:
\[100.(\delta hours/hours) ≈ (1,640/hours)((yüzde)\delta wage)\]
\[ (yüzde )\delta hours ≈ (1,640/hours)((yüzde)\delta wage)\]
bu, işgücü arzı esnekliğinin (ücrete göre) basitçe 1.640/saat olduğu anlamına gelir. Ortalama çalışılan saat olan 1.303’te, tahmini esneklik 1.640/1.303 ≈ 1,26’dır; ücrette %1’lik bir artış göz önüne alındığında, çalışılan saatteki %1’den fazla artış. Bu büyük bir tahmini esnekliktir. Daha yüksek saatlerde esneklik daha küçük olacaktır; 800 saatleri gibi daha düşük saatlerde esneklik ikinin üzerindedir.
summary(ivreg (log (wage) ~ hours + educ + exper + I(exper^2)
|educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + I (exper^2), data=oursample))##
## Call:
## ivreg(formula = log(wage) ~ hours + educ + exper + I(exper^2) |
## educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + I(exper^2), data = oursample)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -3.49800 -0.29307 0.03208 0.36486 2.45912
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.6557254 0.3377883 -1.941 0.0529 .
## hours 0.0001259 0.0002546 0.494 0.6212
## educ 0.1103300 0.0155244 7.107 5.08e-12 ***
## exper 0.0345824 0.0194916 1.774 0.0767 .
## I(exper^2) -0.0007058 0.0004541 -1.554 0.1209
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.6794 on 423 degrees of freedom
## Multiple R-Squared: 0.1257, Adjusted R-squared: 0.1174
## Wald test: 19.03 on 4 and 423 DF, p-value: 2.108e-14\[(log(wage) = - 0.656 + 0.00013 hours + 0.110 educ + 0.035 exper+ 0.00071)exper^2, n=428\]
\[(0.338) , (0.00025), (0.016) , (0.019) , (0.00045)\]
Saatlere ilişkin katsayı istatistiksel olarak önemsizdir, bu da ücret teklifinin çalışılan saatlerle arttığına dair bir kanıt olmadığı anlamına gelir. Diğer katsayılar, saatleri düşürerek ve denklemi OLS ile tahmin ederek elde ettiğimize benzer.
#Sistemin Ortak Tahmini
library (systemfit)## Zorunlu paket yükleniyor: Matrix##
## Please cite the 'systemfit' package as:
## Arne Henningsen and Jeff D. Hamann (2007). systemfit: A Package for Estimating Systems of Simultaneous Equations in R. Journal of Statistical Software 23(4), 1-40. http://www.jstatsoft.org/v23/i04/.
##
## If you have questions, suggestions, or comments regarding the 'systemfit' package, please use a forum or 'tracker' at systemfit's R-Forge site:
## https://r-forge.r-project.org/projects/systemfit/data (mroz, package='wooldridge')head(mroz)## inlf hours kidslt6 kidsge6 age educ wage repwage hushrs husage huseduc
## 1 1 1610 1 0 32 12 3.3540 2.65 2708 34 12
## 2 1 1656 0 2 30 12 1.3889 2.65 2310 30 9
## 3 1 1980 1 3 35 12 4.5455 4.04 3072 40 12
## 4 1 456 0 3 34 12 1.0965 3.25 1920 53 10
## 5 1 1568 1 2 31 14 4.5918 3.60 2000 32 12
## 6 1 2032 0 0 54 12 4.7421 4.70 1040 57 11
## huswage faminc mtr motheduc fatheduc unem city exper nwifeinc lwage
## 1 4.0288 16310 0.7215 12 7 5.0 0 14 10.910060 1.21015370
## 2 8.4416 21800 0.6615 7 7 11.0 1 5 19.499981 0.32851210
## 3 3.5807 21040 0.6915 12 7 5.0 0 15 12.039910 1.51413774
## 4 3.5417 7300 0.7815 7 7 5.0 0 6 6.799996 0.09212332
## 5 10.0000 27300 0.6215 12 14 9.5 1 7 20.100058 1.52427220
## 6 6.7106 19495 0.6915 14 7 7.5 1 33 9.859054 1.55648005
## expersq
## 1 196
## 2 25
## 3 225
## 4 36
## 5 49
## 6 1089tail(mroz)## inlf hours kidslt6 kidsge6 age educ wage repwage hushrs husage huseduc
## 748 0 0 0 2 36 12 NA 0 3120 39 12
## 749 0 0 0 2 40 13 NA 0 3020 43 16
## 750 0 0 2 3 31 12 NA 0 2056 33 12
## 751 0 0 0 0 43 12 NA 0 2383 43 12
## 752 0 0 0 0 60 12 NA 0 1705 55 8
## 753 0 0 0 3 39 9 NA 0 3120 48 12
## huswage faminc mtr motheduc fatheduc unem city exper nwifeinc lwage
## 748 1.3013 5330 0.7915 7 12 14.0 0 4 5.330 NA
## 749 9.2715 28200 0.6215 10 10 9.5 1 5 28.200 NA
## 750 4.8638 10000 0.7715 12 12 7.5 0 14 10.000 NA
## 751 1.0898 9952 0.7515 10 3 7.5 0 4 9.952 NA
## 752 12.4400 24984 0.6215 12 12 14.0 1 15 24.984 NA
## 753 6.0897 28363 0.6915 7 7 11.0 1 12 28.363 NA
## expersq
## 748 16
## 749 25
## 750 196
## 751 16
## 752 225
## 753 144Veri setinde eksik değerlerin olması nedeniyle aşağıdaki işlemi uygulaya biliriz.
oursample <- subset (mroz, !is.na (wage))eq.hrs <- hours ~ log(wage) + educ + age + kidslt6 + nwifeinceq.wage <- log (wage)~ hours +educ+exper+I (exper^2)eq.system<- list(eq.hrs, eq.wage)instrum <- ~ educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + I(exper^2)summary (systemfit (eq.system, inst=instrum, data=oursample, method="2SLS"))##
## systemfit results
## method: 2SLS
##
## N DF SSR detRCov OLS-R2 McElroy-R2
## system 856 845 773893309 155089 -2.00762 0.748802
##
## N DF SSR MSE RMSE R2 Adj R2
## eq1 428 422 7.73893e+08 1.83387e+06 1354.204541 -2.007617 -2.043253
## eq2 428 423 1.95266e+02 4.61621e-01 0.679427 0.125654 0.117385
##
## The covariance matrix of the residuals
## eq1 eq2
## eq1 1833869.938 -831.542690
## eq2 -831.543 0.461621
##
## The correlations of the residuals
## eq1 eq2
## eq1 1.000000 -0.903769
## eq2 -0.903769 1.000000
##
##
## 2SLS estimates for 'eq1' (equation 1)
## Model Formula: hours ~ log(wage) + educ + age + kidslt6 + nwifeinc
## Instruments: ~educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + I(exper^2)
##
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 2225.66182 574.56412 3.87365 0.00012424 ***
## log(wage) 1639.55561 470.57568 3.48415 0.00054535 ***
## educ -183.75128 59.09981 -3.10917 0.00200323 **
## age -7.80609 9.37801 -0.83238 0.40566404
## kidslt6 -198.15429 182.92914 -1.08323 0.27932497
## nwifeinc -10.16959 6.61474 -1.53741 0.12494167
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1354.204541 on 422 degrees of freedom
## Number of observations: 428 Degrees of Freedom: 422
## SSR: 773893113.843842 MSE: 1833869.938019 Root MSE: 1354.204541
## Multiple R-Squared: -2.007617 Adjusted R-Squared: -2.043253
##
##
## 2SLS estimates for 'eq2' (equation 2)
## Model Formula: log(wage) ~ hours + educ + exper + I(exper^2)
## Instruments: ~educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + I(exper^2)
##
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.655725440 0.337788292 -1.94123 0.052894 .
## hours 0.000125900 0.000254611 0.49448 0.621223
## educ 0.110330004 0.015524358 7.10690 5.0768e-12 ***
## exper 0.034582356 0.019491555 1.77422 0.076746 .
## I(exper^2) -0.000705769 0.000454080 -1.55428 0.120865
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.679427 on 423 degrees of freedom
## Number of observations: 428 Degrees of Freedom: 423
## SSR: 195.26556 MSE: 0.461621 Root MSE: 0.679427
## Multiple R-Squared: 0.125654 Adjusted R-Squared: 0.117385#3SLS ile Tahmin
summary (systemfit (eq.system, inst=instrum, data=oursample, method="3SLS"))##
## systemfit results
## method: 3SLS
##
## N DF SSR detRCov OLS-R2 McElroy-R2
## system 856 845 873749822 102713 -2.39569 0.8498
##
## N DF SSR MSE RMSE R2 Adj R2
## eq1 428 422 8.73750e+08 2.07050e+06 1438.922072 -2.395695 -2.43593
## eq2 428 423 2.02143e+02 4.77879e-01 0.691288 0.094859 0.08630
##
## The covariance matrix of the residuals used for estimation
## eq1 eq2
## eq1 1833869.938 -831.542690
## eq2 -831.543 0.461621
##
## The covariance matrix of the residuals
## eq1 eq2
## eq1 2070496.730 -941.665438
## eq2 -941.665 0.477879
##
## The correlations of the residuals
## eq1 eq2
## eq1 1.000000 -0.946674
## eq2 -0.946674 1.000000
##
##
## 3SLS estimates for 'eq1' (equation 1)
## Model Formula: hours ~ log(wage) + educ + age + kidslt6 + nwifeinc
## Instruments: ~educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + I(exper^2)
##
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 2305.857474 511.540685 4.50767 8.5013e-06 ***
## log(wage) 1781.933409 439.884241 4.05091 6.0726e-05 ***
## educ -212.819501 53.727044 -3.96112 8.7558e-05 ***
## age -9.514997 7.960948 -1.19521 0.23268
## kidslt6 -192.359058 150.917507 -1.27460 0.20315
## nwifeinc -0.176983 3.583623 -0.04939 0.96063
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1438.922072 on 422 degrees of freedom
## Number of observations: 428 Degrees of Freedom: 422
## SSR: 873749619.999905 MSE: 2070496.729858 Root MSE: 1438.922072
## Multiple R-Squared: -2.395695 Adjusted R-Squared: -2.435928
##
##
## 3SLS estimates for 'eq2' (equation 2)
## Model Formula: log(wage) ~ hours + educ + exper + I(exper^2)
## Instruments: ~educ + age + kidslt6 + nwifeinc + exper + I(exper^2)
##
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.693920346 0.335995510 -2.06527 0.039506 *
## hours 0.000190868 0.000247652 0.77071 0.441308
## educ 0.112738573 0.015368872 7.33551 1.1364e-12 ***
## exper 0.021428533 0.015383608 1.39295 0.164368
## I(exper^2) -0.000302959 0.000268028 -1.13033 0.258978
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.691288 on 423 degrees of freedom
## Number of observations: 428 Degrees of Freedom: 423
## SSR: 202.142836 MSE: 0.477879 Root MSE: 0.691288
## Multiple R-Squared: 0.094859 Adjusted R-Squared: 0.0863