Nieklasyczne metody statystyki

Regularyzacja

To laboratorium na temat Regresji grzbietowej (Ridge Regression - RR) i Lasso w R pochodzi ze stron 251-255 książki “Introduction to Statistical Learning with Applications in R” autorstwa Garetha Jamesa, Danieli Witten, Trevora Hastie i Roberta Tibshirani. Zostało ono ponownie zaimplementowane jesienią 2016 roku w formacie tidyverse przez Amelię McNamarę i R. Jordana Crousera w Smith College.

W tym tygodniu omówimy dwie alternatywne formy regresji liniowej zwane regresją grzbietową i regresją LASSO. Te dwie metody są przykładami metod regularyzacji lub zmniejszania, w których zachęca się do tego, aby parametry modelu były małe.

Regresja Grzbietowa i Lasso

Wykorzystamy pakiet glmnet w celu przeprowadzenia regresji ridge i lasso. Główną funkcją w tym pakiecie jest glmnet(), która może być użyta do dopasowania modeli regresji grzbietowej, modeli lasso i innych.

Funkcja ta ma nieco inną składnię niż inne funkcje dopasowujące modele, z którymi zetknęliśmy się do tej pory. W szczególności, musimy przekazać macierz \(x\) jak również wektor \(y\) i nie używamy składni \(y \sim x\).

Zanim przejdziemy dalej, upewnijmy się najpierw, że brakujące wartości zostały zostały usunięte z danych, jak opisano w poprzednim laboratorium.

Hitters = na.omit(Hitters)

W raporcie tym przeprowadzimy regresję grzbietową i lasso, aby przewidzieć Salary na danych Hitters.

Skonfigurujmy nasze dane:

x = model.matrix(Salary~., Hitters)[,-1] # przycinam pierwszą kolumnę
                                         # zostawiam predyktory
y = Hitters %>%
  select(Salary) %>%
  unlist() %>%
  as.numeric()

Funkcja model.matrix() jest szczególnie przydatna do tworzenia \(x\); nie tylko nie tylko tworzy macierz odpowiadającą 19 predyktorom, ale również automatycznie przekształca wszelkie zmienne jakościowe w zmienne dummy.

Ta ostatnia właściwość jest ważna, ponieważ glmnet() może przyjmować tylko numeryczne, ilościowe dane wejściowe.

Bias vs Variance

Wybór modelu w problemach uczenia nadzorowanego wiąże się z realizacją dwóch sprzecznych celów:

1.) Model powienien być dobrze dopasowany do danych uczących, aby uchwycić zależność pomiędzy danymi.

2.) Model powinien dobrze przybliżać nieznane dane (zapewniać mały błąd generalizacji).

Modele złożone dobdrze dopasowują się do danych wyjściowych, ale charakteryzują się dużą zmiennością wartości wyjściowych. Ryzykiem jest nadmierne dopasowanie = overfitting!

Modele prostsze są obciążone dużym błędem systematyczny (bias) i ich zastosowanie niesie ryzyko niewystarczającego dopasowania (underfitting)!

Składnikiem błędów generalizacji jest nieredukowalny błąd związany ze zmiennością danych.

Regularyzacja

Duża liczna zmiennych objaśniających (predyktorów): Metoda OLS nie daje jednoznacznego rozwiązania, gdy macierz XTX nie jest odwracalna (tzn. gdy zmienne objaśniające są liniowo zależne).

Taka sytuacja może mieć miejsce gdy zmiennych objaśniających jest tyle samo lub więcej niż obserwacji.

Duża wartość θi oznacza dużą wrażliwość funkcji regresji na drobne fluktuacje cechy!

Lepszym rozwiązaniem jest gorsze dopasowanie do danych uczących przy równoczesnym ograniczeniu parametrów świadczących o potencjalnie dużym błędzie generalizacji.

Regresja Grzbietowa

Wprowadzenie

Regresja grzbietowa (ang. Ridge regression) to technika regresji liniowej, która wprowadza regularyzację \(L_2\) do estymacji współczynników modelu. Regularyzacja \(L_2\) polega na dodaniu do funkcji celu kary proporcjonalnej do kwadratu wartości współczynników regresji.

Podstawową ideą regresji grzbietowej jest minimalizacja funkcji celu, która składa się z dwóch składników: błędu dopasowania (sumy kwadratów różnic pomiędzy rzeczywistymi wartościami odpowiedzi a przewidywanymi wartościami modelu) i kary regularyzacyjnej \(L_2\).

Wzór funkcji celu dla regresji grzbietowej można przedstawić jako: Minimize: RSS + \(\lambda \|\beta\|_2^2\), gdzie:

• RSS to suma kwadratów różnic pomiędzy rzeczywistymi wartościami odpowiedzi a przewidywanymi wartościami modelu (błąd dopasowania),

• \(\lambda\) (lambda) to parametr regularyzacji, który kontroluje siłę regularyzacji,

• \(\|\beta\|_2^2\) to norma \(L_2\) współczynników regresji podniesiona do kwadratu.

Dodanie kary regularyzacyjnej \(L_2\) powoduje, że współczynniki regresji są skupione wokół zera, ale nie dokładnie równe zeru (chyba że \(\lambda\)=0).

Regresja grzbietowa zmniejsza wartości współczynników, ale nie powoduje, że stają się one równe zero. Im większa wartość \(\lambda\), tym bardziej są “sciskane” współczynniki regresji.

Regresja grzbietowa jest szczególnie przydatna, gdy mamy do czynienia z modelem, w którym występuje nadmierna wielowymiarowość lub wysokie korelacje między zmiennymi niezależnymi.

Poprzez zmniejszanie wartości współczynników, regresja grzbietowa może pomóc w redukcji wpływu mało istotnych cech, poprawić stabilność modelu i zmniejszyć ryzyko przeuczenia (overfitting).

Jednym ze sposobów kontroli złożoności modelu jest penalizacja jego wielkości. Na przykład, w problemie regresji liniowej:

\[ \min_{\beta \in \mathbb{R}^p} \sum_{i=1}^n (y_i - x_i^\top \beta)^2, \]

możemy kontrolować wielkość współczynników \(\beta\). Oczywiście wielkość \(\beta\) można zdefiniować na różne sposoby, np. norma-2: \(\|\beta\|_2\), norma-1: \(\|\beta\|_1\) czy norma-nieskończoność: \(\|\beta\|_{\infty}\). Regresja grzbietowa wiąże się z karą dwóch norm:

\[ \min_{\beta \in \mathbb{R}^p} \sum_{i=1}^n (y_i - x_i^\top \beta)^2 + \lambda \|\beta\|_2^2 \]

gdzie \(\lambda\) jest parametrem kontrolującym poziom regularyzacji. Zauważ, że \(X\) to macierz \(n\) na \(p\) wymiarów z wierszami: \(x_i^\top\), oraz \(Y\) to \(n\) na 1 wektor \(y_i\). Załóżmy, że \(X^\top X + \lambda I\) jest odwracalna, mamy dokładne rozwiązanie problemu regresji grzbietowej:

\[ \hat \beta_{ridge} = (X^\top X + \lambda I)^{-1}X^\top Y. \]

Przypomnijmy, że rozwiązaniem zwykłej regresji najmniejszych kwadratów jest (zakładając odwracalność macierzy \(X^\top X\)):

\[ \hat \beta_{ols} = (X^\top X)^{-1}X^\top Y. \]

Dwa fakty: kiedy \(\lambda \to 0\), \(\hat \beta_{ridge} \to \hat \beta_{ols}\); kiedy \(\lambda \to \infty\), \(\hat \beta_{ridge} \to 0\).

W szczególnych przypadkach \(X\) jest ortogonalna (tzn. kolumny \(X\) są ortogonalne), mamy:

\[ \hat \beta_{ridge} = \frac{\hat \beta_{ols}}{1 + \lambda}. \]

Widzimy więc, że estymator grzbietowy ma dodatkowo \(1/(1 + \lambda)\) tzw. “shrinkage factor”. W związku z tym na estymatorze grzbietowym występuje obciążliwość (bias).

Przykład

Funkcja glmnet() posiada argument alfa, który określa, jaki typ modelu jest dopasowywany.

Jeśli alfa = 0 to dopasowywany jest model regresji grzbietowej, a jeśli alfa = 1 to dopasowywany jest model lasso.

Najpierw dopasowujemy model regresji grzbietowej:

grid = 10^seq(10, -2, length = 100)
ridge_mod = glmnet(x, y, alpha = 0, lambda = grid)

Domyślnie funkcja glmnet() wykonuje regresję grzbietową dla automatycznie wybranego wybranego zakresu wartości \(\lambda\). Jednakże, tutaj wybraliśmy implementację funkcję w zakresie wartości od \(\lambda = 10^{10}\) do \(\lambda = 10^{-2}\), zasadniczo pokrywając pełen zakres scenariuszy od modelu zerowego zawierającego tylko przechwyt, do dopasowania najmniejszego kwadratu.

Jak widać, możemy również obliczyć dopasowanie modelu dla konkretnej wartości \(\lambda\), która nie jest jedną z oryginalnych wartości siatki.

Zauważ, że domyślnie funkcja glmnet() standaryzuje zmienne tak, by były w tej samej skali. Aby wyłączyć to domyślne ustawienie, użyj argumentu standardize = FALSE.

Z każdą wartością \(\lambda\) związany jest wektor współczynników regresji grzbietowej, przechowywany w macierzy, do której można uzyskać dostęp przez coef(). W tym przypadku jest to macierz \(20 \times 100\), z 20 wierszami (po jednym dla każdego predyktora, plus intercept) i 100 kolumnami (po jednej dla każdej wartości \(\lambda\)).

dim(coef(ridge_mod))

## [1]  20 100

plot(ridge_mod)    # wykres współczynników

Spodziewamy się, że oszacowania współczynników będą znacznie mniejsze, w sensie normy \(l_2\), gdy używana jest duża wartość \(\lambda\), w porównaniu z małą wartością \(\lambda\).

Oto współczynniki, gdy \(\lambda = 11498\), wraz z ich normą \(l_2\):

ridge_mod$lambda[50] # Wyświetl 50-tą wartość lambdy

## [1] 11497.57

coef(ridge_mod)[,50] # Wyświetl współczynniki związane z 50-tą wartością lambdy

##   (Intercept)         AtBat          Hits         HmRun          Runs 
## 407.356050200   0.036957182   0.138180344   0.524629976   0.230701523 
##           RBI         Walks         Years        CAtBat         CHits 
##   0.239841459   0.289618741   1.107702929   0.003131815   0.011653637 
##        CHmRun         CRuns          CRBI        CWalks       LeagueN 
##   0.087545670   0.023379882   0.024138320   0.025015421   0.085028114 
##     DivisionW       PutOuts       Assists        Errors    NewLeagueN 
##  -6.215440973   0.016482577   0.002612988  -0.020502690   0.301433531

sqrt(sum(coef(ridge_mod)[-1,50]^2)) # Oblicz normę l2

## [1] 6.360612

Dla kontrastu, oto współczynniki, gdy \(\lambda = 705\), wraz z ich \(l_2\) normą. Zwróć uwagę na znacznie większą normę \(l_2\) współczynników związanych z tą mniejszą wartością \(\lambda\).

ridge_mod$lambda[60] # Wyświetl 60-tą wartość lambdy

## [1] 705.4802

coef(ridge_mod)[,60] # Wyświetl współczynniki powiązane z 60-tą wartość lambdy

##  (Intercept)        AtBat         Hits        HmRun         Runs          RBI 
##  54.32519950   0.11211115   0.65622409   1.17980910   0.93769713   0.84718546 
##        Walks        Years       CAtBat        CHits       CHmRun        CRuns 
##   1.31987948   2.59640425   0.01083413   0.04674557   0.33777318   0.09355528 
##         CRBI       CWalks      LeagueN    DivisionW      PutOuts      Assists 
##   0.09780402   0.07189612  13.68370191 -54.65877750   0.11852289   0.01606037 
##       Errors   NewLeagueN 
##  -0.70358655   8.61181213

sqrt(sum(coef(ridge_mod)[-1,60]^2)) # Oblicz normę l2

## [1] 57.11001

Funkcję predict() możemy wykorzystać do wielu celów. Na przykład, możemy uzyskać współczynniki regresji grzbietowej dla nowej wartości \(\lambda\), powiedzmy 50:

predict(ridge_mod, s = 50, type = "coefficients")[1:20,]

##   (Intercept)         AtBat          Hits         HmRun          Runs 
##  4.876610e+01 -3.580999e-01  1.969359e+00 -1.278248e+00  1.145892e+00 
##           RBI         Walks         Years        CAtBat         CHits 
##  8.038292e-01  2.716186e+00 -6.218319e+00  5.447837e-03  1.064895e-01 
##        CHmRun         CRuns          CRBI        CWalks       LeagueN 
##  6.244860e-01  2.214985e-01  2.186914e-01 -1.500245e-01  4.592589e+01 
##     DivisionW       PutOuts       Assists        Errors    NewLeagueN 
## -1.182011e+02  2.502322e-01  1.215665e-01 -3.278600e+00 -9.496680e+00

Podzielimy teraz próbki na zbiór treningowy i testowy w celu oszacować błąd testu regresji grzbietowej i lasso.

set.seed(1)

train = Hitters %>%
  sample_frac(0.5)

test = Hitters %>%
  setdiff(train)

x_train = model.matrix(Salary~., train)[,-1]
x_test = model.matrix(Salary~., test)[,-1]

y_train = train %>%
  select(Salary) %>%
  unlist() %>%
  as.numeric()

y_test = test %>%
  select(Salary) %>%
  unlist() %>%
  as.numeric()

Następnie dopasowujemy model regresji grzbietowej na zbiorze treningowym i oceniamy jego MSE na zbiorze testowym, używając \(\lambda = 4\). Zwróć uwagę na użycie funkcji predict(). Ponownie: tym razem otrzymujemy przewidywania dla zbioru testowego, zastępując type="coefficients" argumentem newx.

ridge_mod = glmnet(x_train, y_train, alpha=0, lambda = grid, thresh = 1e-12)
ridge_pred = predict(ridge_mod, s = 4, newx = x_test)
mean((ridge_pred - y_test)^2)

## [1] 139858.6

Testowe MSE wynosi 139858. Zauważ, że gdybyśmy zamiast tego dopasowali po prostu model tylko z wyrazem wolnym, przewidywalibyśmy każdą obserwację testową używając średniej z obserwacji zbioru treningowego. W takim przypadku moglibyśmy obliczyć MSE zestawu testowego w ten sposób:

mean((mean(y_train) - y_test)^2)

## [1] 224692.1

Moglibyśmy również uzyskać ten sam wynik, dopasowując model regresji grzbietowej z bardzo dużą wartością \(\lambda\). Zauważ, że 1e10 oznacza \(10^{10}\).

ridge_pred = predict(ridge_mod, s = 1e10, newx = x_test)
mean((ridge_pred - y_test)^2)

## [1] 224692.1

Tak więc dopasowanie modelu regresji grzbietowej z \(\lambda = 4\) prowadzi do znacznie niższego testu MSE niż dopasowanie modelu z samym przechwytem.

Sprawdzimy teraz, czy jest jakaś korzyść z wykonania regresji grzbietowej z \(\lambda = 4\) zamiast po prostu wykonać regresję najmniejszych kwadratów.

Przypomnijmy, że najmniejsza kwadratura to po prostu regresja grzbietowa z \(\lambda = 0\).

* Uwaga: Aby glmnet() dawał dokładne (exact) współczynniki najmniejszego kwadratu, gdy \(\lambda = 0\), używamy argumentu exact=T przy wywołaniu funkcji predict(). W przeciwnym razie, funkcja predict() będzie interpolować nad siatką wartości \(\lambda\) użytą w dopasowaniu modelu glmnet(), dając przybliżone wyniki. Nawet gdy użyjemy exact = T, pozostaje niewielka rozbieżność na trzecim miejscu po przecinku między wynikami glmnet(), gdy \(\lambda = 0\) i wyjściem z lm(); jest to spowodowane numerycznym przybliżeniem ze strony glmnet().

ridge_pred = predict(ridge_mod, s = 0, newx = x_test)
mean((ridge_pred - y_test)^2)

## [1] 174060

lm(Salary~., data = train)

## 
## Call:
## lm(formula = Salary ~ ., data = train)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)        AtBat         Hits        HmRun         Runs          RBI  
##   2.398e+02   -1.639e-03   -2.179e+00    6.337e+00    7.139e-01    8.735e-01  
##       Walks        Years       CAtBat        CHits       CHmRun        CRuns  
##   3.594e+00   -1.309e+01   -7.136e-01    3.316e+00    3.407e+00   -5.671e-01  
##        CRBI       CWalks      LeagueN    DivisionW      PutOuts      Assists  
##  -7.525e-01    2.347e-01    1.322e+02   -1.346e+02    2.099e-01    6.229e-01  
##      Errors   NewLeagueN  
##  -4.616e+00   -8.330e+01

predict(ridge_mod, s = 0, type="coefficients")[1:20,]

##   (Intercept)         AtBat          Hits         HmRun          Runs 
##  239.89368111   -0.01946204   -2.07305757    6.44254692    0.64610179 
##           RBI         Walks         Years        CAtBat         CHits 
##    0.82179888    3.62448842  -13.28142313   -0.70314292    3.26064805 
##        CHmRun         CRuns          CRBI        CWalks       LeagueN 
##    3.33170237   -0.54000590   -0.72015101    0.22582579  131.41324242 
##     DivisionW       PutOuts       Assists        Errors    NewLeagueN 
## -134.76073238    0.20949301    0.61942855   -4.58545824  -82.35090554

Wygląda na to, że rzeczywiście poprawiamy się w stosunku do zwykłego najmniejszego kwadratu!

Uwaga: ogólnie, jeśli chcemy dopasować (niespenalizowany) model najmniejszych kwadratów, to powinniśmy użyć funkcji lm(), ponieważ ta funkcja dostarcza bardziej użytecznych wyjścia, takie jak błędy standardowe i wartości \(p\) dla współczynników.

Zamiast arbitralnie wybierać \(\lambda = 4\), lepiej byłoby użyć walidacji krzyżowej do wyboru parametru dostrojenia \(\lambda\). Możemy to zrobić używając wbudowanej funkcji walidacji krzyżowej, cv.glmnet(). Domyślnie funkcja ta wykonuje 10-krotną walidację krzyżową, choć można to zmienić używając argumentu argumentu folds. Zauważ, że najpierw ustawiamy losowe ziarno, aby nasze wyniki były powtarzalne, ponieważ wybór krotności walidacji krzyżowej jest losowy.

set.seed(1)
cv.out = cv.glmnet(x_train, y_train, alpha = 0) # Dopasuj model regresji grzbietowej na danych treningowych
bestlam = cv.out$lambda.min  # Wybierz lamdę, która minimalizuje treningowy MSE 
bestlam

## [1] 326.1406

Widzimy zatem, że wartość \(\lambda\), która powoduje najmniejszy błąd walidacji krzyżowej to 326. Możemy również wykreślić MSE jako funkcję \(\lambda\):

plot(cv.out) # Narysuj wykres treningowego MSE jako funkcję lambda

Jaki jest testowy MSE związany z tą wartością \(\lambda\)?

ridge_pred = predict(ridge_mod, s = bestlam, newx = x_test) # Użyj najlepszej lambdy do przewidywania danych testowych
mean((ridge_pred - y_test)^2) # Oblicz testowe MSE

## [1] 140056.2

Stanowi to dalszą poprawę w stosunku do testowego MSE, które uzyskaliśmy używając \(\lambda = 4\). Ostatecznie, ponownie wyznaczamy nasz model regresji grzbietowej na pełnym zestawie danych, używając wartości \(\lambda\) wybranej w walidacji krzyżowej, i sprawdzamy oszacowania współczynników.

out = glmnet(x, y, alpha = 0) # Dopasuj model regresji grzbietowej do pełnego zbioru danych
predict(out, type = "coefficients", s = bestlam)[1:20,] # Wyświetlanie współczynników przy użyciu lambda wybranego przez CV

##  (Intercept)        AtBat         Hits        HmRun         Runs          RBI 
##  15.44834992   0.07716945   0.85906253   0.60120338   1.06366687   0.87936073 
##        Walks        Years       CAtBat        CHits       CHmRun        CRuns 
##   1.62437580   1.35296285   0.01134998   0.05746377   0.40678422   0.11455696 
##         CRBI       CWalks      LeagueN    DivisionW      PutOuts      Assists 
##   0.12115916   0.05299953  22.08942756 -79.03490992   0.16618830   0.02941513 
##       Errors   NewLeagueN 
##  -1.36075645   9.12528397

Zgodnie z oczekiwaniami, żaden ze współczynników nie jest dokładnie zerowy - regresja grzbietowa nie dokonuje selekcji zmiennych!

Regresja Lasso

Wprowadzenie

Zamiast regularyzacji \(L_2\), LASSO używa penalizacji \(L_1\), to znaczy:

\[ \min_{\beta \in \mathbb{R}^p} \sum_{i=1}^n (y_i - x_i^\top \beta)^2 + \lambda \|\beta\|_1. \]

Ze względu na charakter normy \(L_1\), LASSO ma tendencję do dawania bardziej rzadkich rozwiązań niż regresja grzbietowa. Jest to typowo użyteczne w ustawieniach wielowymiarowych, gdy prawdziwy model jest w rzeczywistości niskowymiarowym osadzeniem.

Model regresji lasso został pierwotnie opracowany w 1989 roku. Jest to alternatywa dla klasycznego oszacowania metodą najmniejszych kwadratów, która unika wielu problemów z nadmiernym dopasowaniem (overfittingiem), gdy mamy dużą liczbę niezależnych zmiennych.

Regresja Lasso (Least Absolute Shrinkage and Selection Operator) to technika regresji liniowej stosowana do oszacowania współczynników modelu, która wprowadza regularyzację \(L_1\). Regularyzacja L1 polega na dodaniu do funkcji celu kary proporcjonalnej do wartości bezwzględnej współczynników regresji.

Regresja Lasso ma zdolność do jednoczesnego wykonania selekcji cech i regularyzacji, co oznacza, że może pomóc w identyfikacji najbardziej istotnych cech modelu, a także zmniejszyć wpływ mniej istotnych cech.

Podstawowym celem regresji Lasso jest minimalizacja funkcji celu, która składa się z dwóch składników: błędu dopasowania (sumy kwadratów różnic pomiędzy rzeczywistymi wartościami odpowiedzi a przewidywanymi wartościami modelu) i kary regularyzacyjnej \(L_1\).

Wzór funkcji celu dla regresji Lasso może być przedstawiony jako: Minimize: RSS + \(\lambda \|\beta\|_1\), gdzie:

• RSS to suma kwadratów różnic pomiędzy rzeczywistymi wartościami odpowiedzi a przewidywanymi wartościami modelu (błąd dopasowania),

• \(\lambda\) (lambda) to parametr regularyzacji, który kontroluje siłę regularyzacji, a \(\|\beta\|_1\) to norma \(L_1\) współczynników regresji.

Dodanie kary regularyzacyjnej \(L_1\) powoduje, że niektóre współczynniki regresji stają się równe zero, co prowadzi do selekcji cech. Im większa wartość \(\lambda\), tym większa jest tendencja do redukcji współczynników do zera, prowadząc do bardziej rzadkiego modelu z mniejszą liczbą cech.

Regresja Lasso jest przydatna w przypadkach, gdy mamy do czynienia z wieloma cechami, z których niektóre mogą być nieistotne. Może pomóc w identyfikacji istotnych cech, redukcji nadmiaru danych i zwiększeniu interpretowalności modelu.

Przykład

Zobaczyliśmy, że regresja grzbietowa z mądrym wyborem \(\lambda\) może przewyższać metodę najmniejszych kwadratów, jak również model zerowy na zbiorze danych Hitters.

Teraz zobaczmy, czy lasso może dać albo dokładniejszy, albo bardziej interpretowalny model niż regresja grzbietowa.

W celu dopasowania modelu lasso, po raz kolejny używamy funkcji glmnet(), jednak tym razem używamy argumentu alpha=1. Poza tą zmianą postępujemy tak samo jak w przypadku dopasowywania modelu regresji grzbietowej:

lasso_mod = glmnet(x_train, 
                   y_train, 
                   alpha = 1, 
                   lambda = grid) # Dopasuj model lasso do danych treningowych

plot(lasso_mod)    # Wykreśl współczynniki

Zauważmy, że na wykresie współczynników, w zależności od wyboru dostrojenia parametru, niektóre ze współczynników są dokładnie równe zeru. Teraz przeprowadzimy walidację krzyżową i obliczymy związany z nią błąd testu:

set.seed(1)
cv.out = cv.glmnet(x_train, y_train, alpha = 1) # Dopasuj model lasso do danych treningowych
plot(cv.out) # Narysuj wykres MSE dla próby uczącej jako funkcję lambda

bestlam = cv.out$lambda.min # Wybierz lamdę, która minimalizuje MSE w próbie uczącej
lasso_pred = predict(lasso_mod, s = bestlam, newx = x_test) # Użyj najlepszej lambdy do przewidywania danych testowych
mean((lasso_pred - y_test)^2) # Oblicz MSE w próbie testowej

## [1] 143273

Jest to znacznie niższe MSE zbioru testowego niż modelu zerowego i modelu najmniejszych kwadratów, i bardzo podobny do MSE testu regresji grzbietowej z \(\lambda\) wybranej przez walidację krzyżową.

Jednakże lasso ma istotną przewagę nad regresją grzbietową w tym, że wynikowe oszacowania współczynników są rzadkie. Tutaj widzimy, że 12 z 19 oszacowań współczynników jest dokładnie zerowych:

out = glmnet(x, y, alpha = 1, lambda = grid) # Dopasuj model lasso do pełnego zbioru danych
lasso_coef = predict(out, type = "coefficients", s = bestlam)[1:20,] # Wyświetlanie współczynników przy użyciu lambda wybranego przez CV
lasso_coef

##   (Intercept)         AtBat          Hits         HmRun          Runs 
##    1.27429897   -0.05490834    2.18012455    0.00000000    0.00000000 
##           RBI         Walks         Years        CAtBat         CHits 
##    0.00000000    2.29189433   -0.33767315    0.00000000    0.00000000 
##        CHmRun         CRuns          CRBI        CWalks       LeagueN 
##    0.02822467    0.21627609    0.41713051    0.00000000   20.28190194 
##     DivisionW       PutOuts       Assists        Errors    NewLeagueN 
## -116.16524424    0.23751978    0.00000000   -0.85604181    0.00000000

Wybierając tylko predyktory o niezerowych współczynnikach widzimy, że model lasso z \(\lambda\) wybranym przez walidację krzyżową zawiera tylko siedem zmiennych:

lasso_coef[lasso_coef != 0] # Wyświetlanie tylko niezerowych współczynników

##   (Intercept)         AtBat          Hits         Walks         Years 
##    1.27429897   -0.05490834    2.18012455    2.29189433   -0.33767315 
##        CHmRun         CRuns          CRBI       LeagueN     DivisionW 
##    0.02822467    0.21627609    0.41713051   20.28190194 -116.16524424 
##       PutOuts        Errors 
##    0.23751978   -0.85604181

Twoja kolej!

Teraz nadszedł czas na przetestowanie tych metod (regresja grzbietowa i lasso) oraz metod oceny (zestaw walidacyjny, walidacja krzyżowa) na innych zbiorach danych. Możesz pracować z zespołem nad tą częścią laboratorium.

Możesz użyć dowolnego zbioru danych zawartego w ISLR lub wybrać jeden z pakietów danych na Kaggle/Data World itp. (zmienna zależna musi być ciągła).

Pobierz zbiór danych i spróbuj określić optymalny zestaw parametrów, które należy użyć do jego modelowania!

Do analizy zostały wybrane dotyczące kredytów.

# Wasz kod tutaj
Credit = na.omit(Credit)

Najpierw konfigurujemy dane.

x = model.matrix(Balance~., Credit)[,-1] # przycinam pierwszą kolumnę
                                         # zostawiam predyktory
y = Credit %>%
  select(Balance) %>%
  unlist() %>%
  as.numeric()

modellm <- lm( y~x)
summary(modellm)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -166.48  -77.62  -14.37   56.21  316.52 
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)         -487.07424   36.73407 -13.259  < 2e-16 ***
## xID                    0.04105    0.04343   0.945   0.3452    
## xIncome               -7.80740    0.23431 -33.321  < 2e-16 ***
## xLimit                 0.19052    0.03279   5.811  1.3e-08 ***
## xRating                1.14249    0.49100   2.327   0.0205 *  
## xCards                17.83639    4.34324   4.107  4.9e-05 ***
## xAge                  -0.62955    0.29449  -2.138   0.0332 *  
## xEducation            -1.09831    1.59817  -0.687   0.4924    
## xGenderFemale         -9.54615    9.98431  -0.956   0.3396    
## xStudentYes          426.16715   16.73077  25.472  < 2e-16 ***
## xMarriedYes           -8.78055   10.36758  -0.847   0.3976    
## xEthnicityAsian       16.85752   14.12112   1.194   0.2333    
## xEthnicityCaucasian    9.29289   12.24194   0.759   0.4483    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 98.8 on 387 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9552, Adjusted R-squared:  0.9538 
## F-statistic: 687.7 on 12 and 387 DF,  p-value: < 2.2e-16

Dostosowanie modelu regresji grzbietowej:

grid = 10^seq(10, -2, length = 100)
ridge_mod = glmnet(x, y, alpha = 0, lambda = grid)

Z każdą wartością λ związany jest wektor współczynników regresji grzbietowej, przechowywany w macierzy, do której można uzyskać dostęp przez coef(). W tym przypadku jest to macierz 13×100, z 13 wierszami (po jednym dla każdego predyktora, plus intercept) i 100 kolumnami (po jednej dla każdej wartości λ).

dim(coef(ridge_mod))

## [1]  13 100

plot(ridge_mod)    # wykres współczynników

ridge_mod$lambda[50] # Wyświetl 50-tą wartość lambdy

## [1] 11497.57

coef(ridge_mod)[,50] # Wyświetl współczynniki związane z 50-tą wartością lambdy

##        (Intercept)                 ID             Income              Limit 
##       4.437406e+02       7.098518e-04       2.072944e-01       6.255481e-03 
##             Rating              Cards                Age          Education 
##       9.352902e-02       1.094867e+00      -7.433736e-03      -3.648999e-02 
##       GenderFemale         StudentYes         MarriedYes     EthnicityAsian 
##       7.279655e-01       1.522470e+01      -2.740740e-01      -3.232180e-01 
## EthnicityCaucasian 
##      -8.954612e-02

sqrt(sum(coef(ridge_mod)[-1,50]^2)) # Oblicz normę l2

## [1] 15.28924

Dla kontrastu wyświetlamy 60-ta wartość lambdy.

ridge_mod$lambda[60] # Wyświetl 60-tą wartość lambdy

## [1] 705.4802

coef(ridge_mod)[,60] # Wyświetl współczynniki powiązane z 60-tą wartość lambdy

##        (Intercept)                 ID             Income              Limit 
##        10.95570094         0.00132288         0.47042764         0.04709662 
##             Rating              Cards                Age          Education 
##         0.70327881        10.00914897        -0.54080663         0.01398148 
##       GenderFemale         StudentYes         MarriedYes     EthnicityAsian 
##         4.63069943       156.69520888        -6.12532307         0.62575951 
## EthnicityCaucasian 
##         1.42887731

sqrt(sum(coef(ridge_mod)[-1,60]^2)) # Oblicz normę l2

## [1] 157.2132

predict(ridge_mod, s = 50, type = "coefficients")[1:13,]

##        (Intercept)                 ID             Income              Limit 
##      -387.01506763         0.02788993        -4.71033241         0.11026631 
##             Rating              Cards                Age          Education 
##         1.60846689        16.10495492        -1.00880354        -0.40547730 
##       GenderFemale         StudentYes         MarriedYes     EthnicityAsian 
##        -3.16706653       372.95067139       -12.41062933        12.27125777 
## EthnicityCaucasian 
##         8.33126332

Podział próbki na zbiór treningowy i testowy w celu oszacowania błędu testu regresji grzbietowej i lasso.

set.seed(1)

train = Credit %>%
  sample_frac(0.5)

test =Credit %>%
  setdiff(train)

x_train = model.matrix(Balance~., train)[,-1]
x_test = model.matrix(Balance~., test)[,-1]

y_train = train %>%
  select(Balance) %>%
  unlist() %>%
  as.numeric()

y_test = test %>%
  select(Balance) %>%
  unlist() %>%
  as.numeric()

Następnie dopasowano model regresji grzbietowej na zbiorze treningowym i oceniono jego MSE na zbiorze testowym, używając λ=4.

ridge_mod = glmnet(x_train, y_train, alpha=0, lambda = grid, thresh = 1e-12)
ridge_pred = predict(ridge_mod, s = 4, newx = x_test)
mean((ridge_pred - y_test)^2)

## [1] 10293.67

Testowe MSE wynosi 194031 W przypadku dopasowania modelu tylko z wyrazem wolnym, przewidywanoby każdą obserwację testową używając średniej z obserwacji zbioru treningowego. Zatem można obliczyć MSE zestawu testowego w sposób:

mean((mean(y_train) - y_test)^2)

## [1] 194031

Można również uzyskać ten sam wynik, dopasowując model regresji grzbietowej z bardzo dużą wartością λ.

ridge_pred = predict(ridge_mod, s = 1e10, newx = x_test)
mean((ridge_pred - y_test)^2)

## [1] 194030.9

Analizując powyższe wyniki można stwierdzić, że dopasowanie modelu regresji grzbietowej z λ=4 prowadzi do znacznie niższego testu MSE niż dopasowanie modelu z samym przechwytem. Kolejno sprawdzono, czy jest jakaś korzyść z wykonania regresji grzbietowej z λ=4, zamiast samego wykonania regresji najmniejszych kwadratów.

ridge_pred = predict(ridge_mod, s = 0, newx = x_test)
mean((ridge_pred - y_test)^2)

## [1] 10660.7

lm(Balance~., data = train)

## 
## Call:
## lm(formula = Balance ~ ., data = train)
## 
## Coefficients:
##        (Intercept)                  ID              Income               Limit  
##         -447.73761             0.03469            -7.63537             0.26099  
##             Rating               Cards                 Age           Education  
##            0.12822            20.72986            -1.20547            -0.19274  
##       GenderFemale          StudentYes          MarriedYes      EthnicityAsian  
##           -9.67537           426.87567            -9.03727            -2.57974  
## EthnicityCaucasian  
##           -4.96461

predict(ridge_mod, s = 0, type="coefficients")[1:13,]

##        (Intercept)                 ID             Income              Limit 
##      -448.35769065         0.03473994        -7.63462556         0.25942543 
##             Rating              Cards                Age          Education 
##         0.15135329        20.61220706        -1.20500551        -0.18713731 
##       GenderFemale         StudentYes         MarriedYes     EthnicityAsian 
##        -9.67593197       426.76437300        -9.07531391        -2.47591048 
## EthnicityCaucasian 
##        -4.91874578

Zamiast arbitralnie wybierać λ=4, lepiej byłoby użyć walidacji krzyżowej do wyboru parametru dostrojenia λ. Można to zrobić używając wbudowanej funkcji walidacji krzyżowej, cv.glmnet(). Domyślnie funkcja ta wykonuje 10-krotną walidację krzyżową, choć można to zmienić używając argumentu argumentu folds. Najpierw ustawiono losowe ziarno, aby wyniki były powtarzalne, ponieważ wybór krotności walidacji krzyżowej jest losowy.

set.seed(1)
cv.out = cv.glmnet(x_train, y_train, alpha = 0) # Dopasuj model regresji grzbietowej na danych treningowych
bestlam = cv.out$lambda.min  # Wybierz lamdę, która minimalizuje treningowy MSE 
bestlam

## [1] 41.60385

Zatem wartość λ, która powoduje najmniejszy błąd walidacji krzyżowej to 41.60385. Można również wykreślić MSE jako funkcję λ:

plot(cv.out) # Narysuj wykres treningowego MSE jako funkcję lambda

Testowy MSE związany z tą wartością λ:

ridge_pred = predict(ridge_mod, s = bestlam, newx = x_test) # Użyj najlepszej lambdy do przewidywania danych testowych
mean((ridge_pred - y_test)^2) # Oblicz testowe MSE

## [1] 16116.16

Stanowi to dalszą poprawę w stosunku do testowego MSE, które uzyskano używając λ=4. Ostatecznie, ponownie wyznaczono model regresji grzbietowej na pełnym zestawie danych, używając wartości λ wybranej w walidacji krzyżowej, i sprawdzono oszacowania współczynników.

out = glmnet(x, y, alpha = 0) # Dopasuj model regresji grzbietowej do pełnego zbioru danych
predict(out, type = "coefficients", s = bestlam)[1:13,] # Wyświetlanie współczynników przy użyciu lambda wybranego przez CV

##        (Intercept)                 ID             Income              Limit 
##      -402.69174822         0.02968823        -5.08362998         0.11363315 
##             Rating              Cards                Age          Education 
##         1.65055380        15.94593669        -0.97611320        -0.46045505 
##       GenderFemale         StudentYes         MarriedYes     EthnicityAsian 
##        -3.91626143       380.23436720       -12.29347706        13.01622062 
## EthnicityCaucasian 
##         8.53524735

Zgodnie z oczekiwaniami, żaden ze współczynników nie jest dokładnie zerowy - regresja grzbietowa nie dokonuje selekcji zmiennych.

LASSO

W celu dopasowania modelu lasso, po raz kolejny użyto funkcji glmnet(), jednak tym razem użyto argumentu alpha=1. Poza tą zmianą zrobiono tak samo jak w przypadku dopasowywania modelu regresji grzbietowej:

lasso_mod = glmnet(x_train, 
                   y_train, 
                   alpha = 1, 
                   lambda = grid) # Dopasuj model lasso do danych treningowych

plot(lasso_mod)    # Wykreśl współczynniki

## Warning in regularize.values(x, y, ties, missing(ties), na.rm = na.rm):
## zwijanie do unikalnych wartości 'x'

set.seed(1)
cv.out = cv.glmnet(x_train, y_train, alpha = 1) # Dopasuj model lasso do danych treningowych
plot(cv.out) # Narysuj wykres MSE dla próby uczącej jako funkcję lambda

bestlam = cv.out$lambda.min # Wybierz lamdę, która minimalizuje MSE w próbie uczącej
lasso_pred = predict(lasso_mod, s = bestlam, newx = x_test) # Użyj najlepszej lambdy do przewidywania danych testowych
mean((lasso_pred - y_test)^2) # Oblicz MSE w próbie testowej

## [1] 10506.25

out = glmnet(x, y, alpha = 1, lambda = grid) # Dopasuj model lasso do pełnego zbioru danych
lasso_coef = predict(out, type = "coefficients", s = bestlam)[1:13,] # Wyświetlanie współczynników przy użyciu lambda wybranego przez CV
lasso_coef

##        (Intercept)                 ID             Income              Limit 
##      -490.32404851         0.03266285        -7.67489924         0.17202850 
##             Rating              Cards                Age          Education 
##         1.38723835        16.02401187        -0.59472497        -0.72481881 
##       GenderFemale         StudentYes         MarriedYes     EthnicityAsian 
##        -7.47592875       421.49160417        -7.03306237        11.52382785 
## EthnicityCaucasian 
##         4.72253992

lasso_coef[lasso_coef != 0] # Wyświetlanie tylko niezerowych współczynników

##        (Intercept)                 ID             Income              Limit 
##      -490.32404851         0.03266285        -7.67489924         0.17202850 
##             Rating              Cards                Age          Education 
##         1.38723835        16.02401187        -0.59472497        -0.72481881 
##       GenderFemale         StudentYes         MarriedYes     EthnicityAsian 
##        -7.47592875       421.49160417        -7.03306237        11.52382785 
## EthnicityCaucasian 
##         4.72253992

Aby zaliczyć to laboratorium, zamieść odpowiedzi na następujące pytania:

• Który zbiór danych wybrałeś?

Wybrałam zbiór Credit, który opisywał 10 tys kredytobiorców wraz z danymi ich dotyczącymi..

• Jaka była Twoja zmienna zależna (tzn. co próbowałeś modelować)?

Zmienną objaśnianą była zmienna Credit, czyli średnie saldo karty kredytowej.

• Czy oczekiwałeś, że regresja grzbietowa będzie lepsza od lasso, czy odwrotnie? Jak wypada w stosunku do OLS? Pokaż odpowiednie raporty, miary dopasowania i krótko je omów (porównaj).

Zakładałam, że lasso okaże się lepsze i moje przypuszczenia potwierdziły się. W modelu OLS R^2 wyniosło 0,955 ( R-squared: 0.9552), co oznacza, że bardzo dobre dopasowanie modelu. MSE dla regresji grzbietowej wyniosi 194031, a dla LASSO 10506. Porównując regresję grzbietową i Lasso, można zauważyć, że w przypadku OLS żaden ze współczynników nie jest dokładnie zerowy. Natomiast w przypadku Lasso można zaobserwować współczynniki, które wynoszą dokłądnie 0. Na podstawie tych wyników za optymalny model został wybrany model lasso ze względu na niższą wartość MSE.