Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

Prof. Letícia Raposo

UNIRIO

🗓 Nas aulas anteriores

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral.
Para descrever esse experimento, é conveniente associar valores numéricos aos elementos do espaço amostral.

🗓 Hoje

A variável aleatória
- é uma característica numérica associada aos resultados de um experimento.
- é uma variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios.

Exemplos de variáveis aleatórias

🧫 Número de bactérias em uma placa de Petri;
🦎 Número de presas capturadas em um determinado dia;
🐠 Comprimento de um peixe adulto selecionado aleatoriamente;
🏥 Número de pacientes que chegam a um hospital, num certo período de tempo;
💧 Volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento;
💊 Tempo de resposta de um fármaco.

Variáveis aleatórias

A variável aleatória é uma função que associa resultados do espaço amostral S ao conjunto de números reais.

Variáveis aleatórias

Experimento: 🪙🪙 Lançamento de duas moedas

Espaço amostral: \(S={(cara,cara),\ (cara,coroa),\ (coroa,cara),\ (coroa,coroa)}\)

Evento: A = ocorrer uma cara e uma coroa \(A={(cara,coroa),\ (coroa,cara)}\)

Variável aleatória: número de coroas no lançamento simultâneo de duas moedas \(X={0,1,2}\)

Variáveis aleatórias

Discretas: Assume valores em um conjunto enumerável, não podendo assumir valores decimais ou não inteiros.
- Número de bactérias em…
Contínuas: Pode assumir diversos valores em um intervalo de números reais.
- Tempo de resposta de um medicamento…

Distribuições discretas

Ensaios de Bernoulli

Ocorrem em situações onde observamos apenas um elemento e verificamos se este tem (ou não) um certo atributo.

O espaço amostral pode ser \(S={sim,não}\).

Ensaios de Bernoulli

🪙 Lançar uma moeda e observar se ocorreu cara.
📖 Selecionar, aleatoriamente, um livro que está saindo de uma linha de produção e verificar se ele possui páginas faltantes.

Ensaios de Bernoulli

Quando não temos informações o sufiente para especificar completamente o modelo probabilístico, podemos apenas apresentar o “jeitão” do modelo

Resultado	Probabilidade
Sim	\(\pi\) (Sucesso)
Não	\(1-\pi\) (Fracasso)

em que \(\pi\), parâmetro, é um valor (deconhecido) entre 0 e 1.

Parâmetro: quantidade desconhecida do modelo, que se tornaria conhecida se tivéssemos informações adicionais sobre a população de onde está sendo tirada a amostra.

Ensaios de Bernoulli

Podemos caracterizar um ensaio de Bernoulli por uma variável aleatória \(X\), definida da seguinte forma:

\[X = 0, se\ não\] \[X = 1, se\ sim\]

e o modelo de probabilidade:

x	1	0
p(x)	\(\pi\)	\(1-\pi\)

Modelo binomial

Na maior parte das vezes, são realizados n ensaios de Bernoulli. O interesse está no número X de ocorrências de sucesso, como nos exemplos a seguir:

Lançar uma moeda cinco vezes e observar o número de caras;
Verificar, num dado instante, o número de células vivas no experimento.

Modelo binomial

Um experimento é dito binomial quando:

Consiste de n ensaios;
Cada ensaio tem apenas dois resultados de interesse: sim ou não; e
Os ensaios são independentes, com probabilidade constante 𝜋 de ocorrer sim (0<𝜋<1).

Experimento binomial

O número Y de caras, em três lançamentos imparciais de uma moeda perfeitamente equilibrada. Parâmetros: \(𝑛 = 3, 𝜋=0,5\)
Dentre uma grande população de pessoas, em que 70% são favoráveis a um projeto municipal, o número X de favoráveis, numa amostra aleatória de 10 pessoas. Parâmetros: \(𝑛 =10, 𝜋=0,7\)

Exemplo

Seja a população de pessoas de um município em que 70% são favoráveis a um certo projeto municipal. Qual é a probabilidade de que, numa amostra aleatória simples de 10 pessoas dessa população, a maioria seja favorável ao projeto?

Vejamos a distribuição!

Exemplo

\(n=10; \pi=0,7\) \(P(X>5)= 𝑝(6)+ 𝑝(7)+ 𝑝(8)+ 𝑝(9)+ 𝑝(10)\) \(= 0,2001 + 0,2668 + 0,2335 + 0,1211 + 0,0282\) \(= 0,8497\)

Distribuições contínuas e modelo normal

Distribuições contínuas

Em variáveis aleatórias contínuas, não existe interesse em atribuir probabilidade a cada valor particular, mas sim, para eventos formados por intervalos de valores.

❌ \(𝑃(𝑋 = 1,682333…) = ?\)

👍🏽 \(𝑃(1,60 < 𝑋 < 1,80) = ?\)

👍🏽 \(P(𝑋 > 1,90) = ?\)

Distribuições contínuas

Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X o valor da sua altura em centímetros.

Temos uma variável aleatória contínua, entretanto, não podemos afirmar que os intervalos possuem probabilidades iguais, pois é muito mais comum encontrar um estudante na faixa de 165 e 175 cm do que 190 e 200 cm.

Distribuição normal

A distribuição normal é caracterizada por uma função, cujo gráfico descreve uma curva em forma de sino. Essa distribuição depende de dois parâmetros:
- \(\mu\) (média ou valor esperado): especifica a posição central da distribuição de probabilidades;
- \(\sigma\) (desvio-padrão): especifica a variabilidade da distribuição de probabilidades.

Distribuição normal

Distribuição normal padrão

Objetivo: facilitar a obtenção de determinadas áreas sob a curva normal - transformação na variável – média 0 e desvio padrão 1.

Distribuição normal padrão

Suponha que numa certa universidade, a altura dos estudantes do sexo masculino tenha distribuição normal com média \(\mu=170\ cm\) e desvio-padrão \(\sigma=10\ cm\).

Vejamos a distribuição!

Distribuição normal padrão

📚 Referências bibliográficas

BARBETTA, Pedro Alberto. Estatística aplicada às ciências sociais. Ed. UFSC, 2008.
DANCEY, Christine P.; REIDY, John G.; ROWE, Richard. Estatística Sem Matemática para as Ciências da Saúde. Penso Editora, 2017.
HAIR, J. F. et al. Multivariate data analysis. Cengage. Hampshire, United Kingdom, 2019.