Caso 13. Variables aleatorias discretas
Victor Abrego Rosas
17-05-2023
Objetivo
Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad,funciones acumuladas, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas; visualización gráfica relacionada con variables discretas.
Descripción
Desarrollar ejercicios relacionados con variables discretas para identificar variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada, su visualización gráfica para su correcta implementación.
Se incluye en el caso, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas.
Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias discretas. Se deben elaborar tres ejercicios en este caso 13 encontrados en la literatura que se encuentran en el caso 14.
Marco de referencia
Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento [@anderson2008c].
Las variables aleatorias deben tomar valores numéricos. En efecto, una variable aleatoria asocia un valor numérico a cada uno de los resultados experimentales.
El valor numérico de la variable aleatoria depende del resultado del experimento. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua, depende del tipo de valores numéricos que asuma.[@anderson_estadistica_2008].
Para este documento se tratan únicamente variables del tipo discreta.
En cualquier experimento aleatorio, los resultados se presentan al azar; así, a este se le denomina variable aleatoria. Por ejemplo, lanzar un dado constituye un experimento: puede ocurrir cualquiera de los seis resultados posibles. Cada valor de la variable aleatoria se relaciona con una probabilidad que indica la posibilidad de un resultado determinado [@lind_estadistica_2015].
En su libro [@walpole_probabilidad_2012] define que una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.
Una función de probabilidad, una función de masa de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado x posible.
Toda función de probabilidad debe ser mayor o igual que \(0\). \[f(x) \geq 0\]
La suma de las probabilidad de todas las variables \(x\) debe ser igual a \(1\) o la suma de los valores de cada función de probabilidad con respecto a \(x\) debe ser \(1\) \[\sum _xf(x) = 1\]
La probabilidad de cada variable \(x\) es igual a la función de probabilidad con respeto a \(x\) \[P(X=x) = f(x)\] [@walpole_probabilidad_2012].
Por otra parte, la función de la distribución acumulativa F(x) ó probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta \(X\) con distribución de probabilidad \(f(x)\) está dada por la suma de sus probabilidades de \(t\) siendo \(t\) menor o igual a \(x\). Es decir, la probabilidad acumulada suma los valores de las funciones de probabilidad a partir del valor inicial de \(x\). El valor final con respecto a valor final de \(x\) debe ser igual a 1. \[F(x)=P(X \le x) = \sum_{t \le x}f(t)\] [@walpole_probabilidad_2012].
La media de una distribución discreta es también recibe el nombre de valor esperado. Se trata de un promedio ponderado de los posibles valores de una variable aleatoria se ponderan con sus correspondientes probabilidades de ocurrencia [@lind_estadistica_2015]
La fórmula para el valor esperado es: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]
La varianza de una distribución discreta constituye un valor típico para resumir una distribución de probabilidad discreta, describe el grado de dispersión (variación) en una distribución [@lind_estadistica_2015].
Su fórmula es: \[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2\cdot P(x)\]
La fórmula anterior significa:
La media se resta de cada valor de la variable aleatoria y la diferencia se eleva al cuadrado.
Cada diferencia al cuadrado se multiplica por su probabilidad.
Se suman los productos resultantes para obtener la varianza.
La desviación estándar, \(\alpha\), se determina al extraer la raíz cuadrada positiva de \(\alpha^2\); es decir, \(\alpha = \sqrt{\alpha^2}\) [@lind_estadistica_2015].
Desarrollo
Cargar librerías
- Posiblemente se utilicen algunas de ellas
library(ggplot2)
library(stringr) # String
library(stringi) # String
library(gtools)
library(dplyr)
library(knitr)
library(kableExtra) # Para tablas amigables
options(scipen = 999) # Notación normalEjercicios
- Para cada ejercicio algunos vistos en el caso anterior y otros nuevos para este caso, se describe y define su contexto.
- Se construye su tabla de probabilidad que contenga los valores de la variable aleatoria, la función de probabilidad y su función acumulada, la gráfica de barra de los valores de las variables aleatoria y la gráfica lineal de la función acumulada.
- Con la tabla de probabilidades en algunos ejercicios se determinan y calculan probabilidades.
- Se determina el valor esperado de cada ejercicio
- Se determina la varianza y la desviación estándar de la distribución de las variables discretas.
Billetes para rifa
Se venden 5000 billetes para una rifa a 1 euro cada uno. Existe un único premio de cierta cantidad, calcular los valores de las variables aleatorias y sus probabilidades para 0 para no gana y 1 para si gana cuando un comprador adquiere cincuenta billetes. [@course_hero_variables_nodate].
Tabla de probabilidad
discretas <- c(0,1) # 0 Que no gane, 1 que gane
n <- 5000 # sum(casos)
casos <- c(4950,50)
probabilidades <- casos / n
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 4950 | 0.99 | 0.99 | 0.00 |
| 1 | 50 | 0.01 | 1.00 | 0.01 |
Valor esperado
Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum xP(x)\]
- VE es el valor esperado
# VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE <- sum(tabla$x.f.prob.x)
VE## [1] 0.01El valor esperado significa la media ponderada de las probabilidades o lo que es lo mismo es lo que se puede esperar.
Significa muy muy muy …. remoto la probabilidad de ganar en el sorteo de 5000 boletos 0.01
Varianza
- Agregando columna para obtención de la varianza a partir de los datos de la tabla previamente generada.
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
#tabla
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 4950 | 0.99 | 0.99 | 0.00 | 0.01 | 0.000099 |
| 1 | 50 | 0.01 | 1.00 | 0.01 | 0.01 | 0.009801 |
\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2P(x)\]
- varianza = varianza de la distribución
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza## [1] 0.0099Desviación estándard de una distribución discreta
La raiz cuadrada de la varianza \[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]
desv.std = desviación estándard
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std## [1] 0.09949874La tabla con las sumatorias
tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 4950 | 0.99 | 0.99 | 0.00 | 0.01 | 0.000099 |
| 1 | 50 | 0.01 | 1 | 0.01 | 0.01 | 0.009801 |
| **** | 5000 | 1.00 | **** | 0.01 | **** | 0.009900 |
Gráfica de barra
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity") 
Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
Automóviles de Pelican Ford
Un vendedor llamado John Rasgdale vende la mayor cantidad de automóviles el sábado, así que desarrolló la siguiente distribución de probabilidades, en la cual se muestra la cantidad de automóviles que espera vender un sábado determinado.
La variable discreta venta de automóviles: \(0,1,2,3,4\) el sábado. Los valores de la probabilidad son : \(0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1\), previamente definidos.
Ya se dan las probabilidades de tal forma que la cantidad de casos no se dispone en este ejercicio.
¿De qué tipo de distribución se trata?, variables discretas
¿Cuántos automóviles espera vender John un sábado normal?
¿Cuál es la varianza de la distribución? [@lind_estadistica_2015].
Tabla de probabilidad
discretas <- 0:4
casos <- rep(0, 5)
probabilidades <- c(0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1)
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado (sin número de casos)")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0.1 | 0.1 | 0.0 |
| 1 | 0 | 0.2 | 0.3 | 0.2 |
| 2 | 0 | 0.3 | 0.6 | 0.6 |
| 3 | 0 | 0.3 | 0.9 | 0.9 |
| 4 | 0 | 0.1 | 1.0 | 0.4 |
Cálculo de probabilidades
¿Cuál es la probabilidad de que se vendan DOS automóviles, es decir \(f(x=2)\) ó \(P(x=2)\)?, 30%
filter(tabla, x == 2 ) %>%
select(x, f.prob.x)## x f.prob.x
## 1 2 0.3¿Cuál es la probabilidad de que se vendan MENOS DE DOS automóviles, es decir \(f(x< 2)\) ó \(P(x<2)\) ? 30%
\[ \sum P(x=0) + P(x=1) \]
filter(tabla, x < 2 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 0 0.1 0.1
## 2 1 0.2 0.3¿Cuál es la probabilidad de que se vendan MAS DE DOS automóviles, es decir \(f(x> 2)\) ó \(P(x>2)\) ? 40%
\[ \sum P(x=3) + P(x=4) \text{ ó } \]
\[ 1 - \sum P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) \]
filter(tabla, x > 2 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 3 0.3 0.9
## 2 4 0.1 1.0Valor esperado
Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]
- VE es el valor esperado
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE## [1] 2.1El valor esperado significa la media ponderada de las probabilidades o lo que es lo mismo es lo que se puede esperar.
Varianza
- Agregando columna para obtención de la varianza a partir de los datos de la tabla previamente generada.
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza (sin número de casos)")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0.1 | 0.1 | 0.0 | 2.1 | 0.441 |
| 1 | 0 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 2.1 | 0.242 |
| 2 | 0 | 0.3 | 0.6 | 0.6 | 2.1 | 0.003 |
| 3 | 0 | 0.3 | 0.9 | 0.9 | 2.1 | 0.243 |
| 4 | 0 | 0.1 | 1.0 | 0.4 | 2.1 | 0.361 |
\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2\cdot P(x)\]
- varianza = varianza de la distribución
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza## [1] 1.29Desviación estándar de una distribución discreta
La raiz cuadrada de la varianza \[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]
desv.std = desviación estándard
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std## [1] 1.135782La tabla con las sumatorias
tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,2,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias,(sin número de casos)")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0.1 | 0.1 | 0.0 | 2.1 | 0.441 |
| 1 | 0 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 2.1 | 0.242 |
| 2 | 0 | 0.3 | 0.6 | 0.6 | 2.1 | 0.003 |
| 3 | 0 | 0.3 | 0.9 | 0.9 | 2.1 | 0.243 |
| 4 | 0 | 0.1 | 1 | 0.4 | 2.1 | 0.361 |
| **** | **** | 1.0 | **** | 2.1 | **** | 1.290 |
Gráfica de barra
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity") 
Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
Solicitudes de puestos de hombres y mujeres
Una compañía tiene cinco solicitantes para dos puestos de trabajo: dos mujeres y tres hombres. Suponga que los cinco solicitantes son igualmente calificados y que no hay preferencia para elegir su género al igual que no importa el orden de género de hombres y mujeres (combinaciones).
Sea \(x\) la variable aleatoria discreta al número de mujeres elegidas para ocupar los dos puestos de trabajo. Encuentre las probabilidades para elegir 0 mujeres, 1 mujer o 2 mujeres. [@mendenhall_introduccion_2010].
Haciendo las combinaciones en donde \(M = Mujer \text{ y }H = Hombre\)
personas <- c("H1", "H2", "H3", "M1", "M2")
S.espacio.muestral <- combinations(n = 5, r = 2, v=personas)
S.espacio.muestral ## [,1] [,2]
## [1,] "H1" "H2"
## [2,] "H1" "H3"
## [3,] "H1" "M1"
## [4,] "H1" "M2"
## [5,] "H2" "H3"
## [6,] "H2" "M1"
## [7,] "H2" "M2"
## [8,] "H3" "M1"
## [9,] "H3" "M2"
## [10,] "M1" "M2"De acuerdo al espacio muestral \(n\) con diez elementos, ¿en cúantas ocasiones hay cero mujeres?, ¿en cuántas ocasiones hay una mujer? y en cuántas ocasiones hay dos mujeres?
discretas <- c(0, 1, 2)
casos <- c(3, 6, 1 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / nTabla de probabilidades
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 0.3 | 0.3 | 0.0 |
| 1 | 6 | 0.6 | 0.9 | 0.6 |
| 2 | 1 | 0.1 | 1.0 | 0.2 |
Cálculo de probabilidades
¿Cuál es la probabilidad de que haya UNA MUJER?, es decir \(P(X=1)\) ó \(f(x=1)\) ? 60%
filter(tabla, x == 1 ) %>%
select(x, f.prob.x)## x f.prob.x
## 1 1 0.6¿Cuál es la probabilidad de que haya MENOS DE DOS MUJERES?, es decir \(P(x=0) + P(x=1)\) ó \(f(x<2)\) ? 90%
filter(tabla, x < 2 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 0 0.3 0.3
## 2 1 0.6 0.9¿Cuál es la probabilidad de que haya MAS DE 1 MUJER O SEA DOS?, es decir \(P(x=2)\) ó \(f(x>1)\) ? 10%
filter(tabla, x > 1 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 2 0.1 1Valor esperado
Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]
- VE es el valor esperado
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE## [1] 0.8Varianza
\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2 \cdot P(x)\]
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 0.3 | 0.3 | 0.0 | 0.8 | 0.192 |
| 1 | 6 | 0.6 | 0.9 | 0.6 | 0.8 | 0.024 |
| 2 | 1 | 0.1 | 1.0 | 0.2 | 0.8 | 0.144 |
Calculando la varianza
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza## [1] 0.36Desviación estándar
\[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]
Con la raiz cuadrada de la varianza se determina la desviación estándard de la distribución de variables aleatorias.
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std## [1] 0.6Tabla con sumatorias
tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 0.3 | 0.3 | 0.0 | 0.8 | 0.192 |
| 1 | 6 | 0.6 | 0.9 | 0.6 | 0.8 | 0.024 |
| 2 | 1 | 0.1 | 1 | 0.2 | 0.8 | 0.144 |
| **** | 10 | 1.0 | **** | 0.8 | **** | 0.360 |
Gráfica de barra
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity") 
Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
Número de hijos de parejas
En la siguiente tabla se presenta la distribución del número de hijos de un grupo de 100 parejas (humanos): Ejercicio extraído de: [@web_descartes_estadistica_2018].
variable aleatoria x No hijos |
cantidad de parejas |
|---|---|
| 0 | 15 |
| 1 | 40 |
| 2 | 23 |
| 3 | 10 |
| 4 | 7 |
| 5 | 4 |
| 6 | 1 |
| Total parejas encuestadas | 100 |
discretas <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)
casos <- c(15, 40, 23, 10, 7, 4, 1 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / nTabla de probabilidades
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 15 | 0.15 | 0.15 | 0.00 |
| 1 | 40 | 0.40 | 0.55 | 0.40 |
| 2 | 23 | 0.23 | 0.78 | 0.46 |
| 3 | 10 | 0.10 | 0.88 | 0.30 |
| 4 | 7 | 0.07 | 0.95 | 0.28 |
| 5 | 4 | 0.04 | 0.99 | 0.20 |
| 6 | 1 | 0.01 | 1.00 | 0.06 |
Cálculo de probabilidades
¿Cuál es la probabilidad de encontrar aletoriamente parejas con TRES HIJOS, es decir, \(f(x=3)\) ó \(P(x=3)\) 10%
filter(tabla, x == 3 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 3 0.1 0.88¿Cuál es la probabilidad de encontrar aleatoriamente parejas con MENOS DE TRES HIJOS, es decir, \(f(x<3)\) ó \(\sum f(x={0,1,2})\) ó \(\sum P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)\) ó \(F \text{ acumulada }(x)\)
78%
filter(tabla, x < 3 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 0 0.15 0.15
## 2 1 0.40 0.55
## 3 2 0.23 0.78¿Cuál es la probabilidad de encontrar aleatoriamente parejas con MAS DE TRES HIJOS, es decir, \(f(x>3)\) ó \(\sum f(x={4,5,6})\) ó \(\sum P(x=4) + P(x=5) + P(x=6)\) ó \(1 - F(x = 3)\); 12%
filter(tabla, x > 3 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 4 0.07 0.95
## 2 5 0.04 0.99
## 3 6 0.01 1.00Valor esperado
Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]
- VE es el valor esperado
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE## [1] 1.7Varianza
\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2 \cdot P(x)\]
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 15 | 0.15 | 0.15 | 0.00 | 1.7 | 0.4335 |
| 1 | 40 | 0.40 | 0.55 | 0.40 | 1.7 | 0.1960 |
| 2 | 23 | 0.23 | 0.78 | 0.46 | 1.7 | 0.0207 |
| 3 | 10 | 0.10 | 0.88 | 0.30 | 1.7 | 0.1690 |
| 4 | 7 | 0.07 | 0.95 | 0.28 | 1.7 | 0.3703 |
| 5 | 4 | 0.04 | 0.99 | 0.20 | 1.7 | 0.4356 |
| 6 | 1 | 0.01 | 1.00 | 0.06 | 1.7 | 0.1849 |
Calculando la varianza
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza## [1] 1.81Desviación estándar
\[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]
Con la raiz cuadrada de la varianza se determina la desviación estándard de la distribución de variables aleatorias.
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std## [1] 1.345362Tabla con sumatorias
tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 15 | 0.15 | 0.15 | 0.00 | 1.7 | 0.4335 |
| 1 | 40 | 0.40 | 0.55 | 0.40 | 1.7 | 0.1960 |
| 2 | 23 | 0.23 | 0.78 | 0.46 | 1.7 | 0.0207 |
| 3 | 10 | 0.10 | 0.88 | 0.30 | 1.7 | 0.1690 |
| 4 | 7 | 0.07 | 0.95 | 0.28 | 1.7 | 0.3703 |
| 5 | 4 | 0.04 | 0.99 | 0.20 | 1.7 | 0.4356 |
| 6 | 1 | 0.01 | 1 | 0.06 | 1.7 | 0.1849 |
| **** | 100 | 1.00 | **** | 1.70 | **** | 1.8100 |
Gráfica de barra
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity") 
Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
Lanzamiento de un dado
Se lanza un dado perfecto 240 veces, se anota el resultado obtenido en la cara superior obteniendo los siguientes resultados:
| Cara superior | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Número de veces | 40 | 39 | 42 | 38 | 42 | 39 |
Para este caso del lanzamiento de un dado al igual que del caso siguiente de la cantidad de vasos que toman los estudiantes del ITD, se utiliza una función f.discretas.ve.v.sd(casos = …) que fue previamente codificada y preparada para dar solución específica de estos casos en relación al tema de variables aleatorias discretas.
La función se encuentra en la dirección UR siguiente: https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/variables%20discretas.R
La función se carga usando la función source() que carga el programa que contiene la función.
Cargando la función
Al cargar el script, se puede disponer de la función y mandarla ejecutar con los argumentos y parámetros adecuados.
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/variables%20discretas.R", encoding = "UTF-8")Inicializando variables
discretas <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5)
casos <- c(40, 39, 42, 38, 42, 39 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / nAl ejecutar la función se obtiene una estructura de datos tipo lista (list[[]]) de 6 elementos:
El primero elemento la es un data.frame que contiene la tabla de distribución.
El segundo elemento son los valores de la variable aleatoria discreta denominada x.
El tercer elemento es el valor del total de casos.
El cuarto elemento es el valor esperado o esperanza matemática.
El quinto elemento es la varianza.
El sexto elemento de la lista es el valor de la desviación estándar de la tabla de distribución de la variable discreta.
resultado <- f.discretas.ve.v.sd(casos = casos)Tabla de probabilidad
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
kable_paper("hover")| \(x\) | \(casos\) | \(f(x)\) | \(F(x)\) | \(x\cdot f(x)\) | \(VE\) | \((VE-x)\) | \((VE-x)^{2}\) | \((VE-x)^{2} \cdot f(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 40 | 0.1666667 | 0.1666667 | 0.0000 | 2.5 | -2.5 | 6.25 | 1.0416667 |
| 1 | 39 | 0.1625000 | 0.3291667 | 0.1625 | 2.5 | -1.5 | 2.25 | 0.3656250 |
| 2 | 42 | 0.1750000 | 0.5041667 | 0.3500 | 2.5 | -0.5 | 0.25 | 0.0437500 |
| 3 | 38 | 0.1583333 | 0.6625000 | 0.4750 | 2.5 | 0.5 | 0.25 | 0.0395833 |
| 4 | 42 | 0.1750000 | 0.8375000 | 0.7000 | 2.5 | 1.5 | 2.25 | 0.3937500 |
| 5 | 39 | 0.1625000 | 1.0000000 | 0.8125 | 2.5 | 2.5 | 6.25 | 1.0156250 |
Cálculo de probabilidades
¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga un DOS, es decir \(f(x=2)\)?
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
column_spec(column = 3, color = "white", background = "blue") %>%
row_spec(3, bold = T, color = "white", background = "blue")| \(x\) | \(casos\) | \(f(x)\) | \(F(x)\) | \(x\cdot f(x)\) | \(VE\) | \((VE-x)\) | \((VE-x)^{2}\) | \((VE-x)^{2} \cdot f(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 40 | 0.1666667 | 0.1666667 | 0.0000 | 2.5 | -2.5 | 6.25 | 1.0416667 |
| 1 | 39 | 0.1625000 | 0.3291667 | 0.1625 | 2.5 | -1.5 | 2.25 | 0.3656250 |
| 2 | 42 | 0.1750000 | 0.5041667 | 0.3500 | 2.5 | -0.5 | 0.25 | 0.0437500 |
| 3 | 38 | 0.1583333 | 0.6625000 | 0.4750 | 2.5 | 0.5 | 0.25 | 0.0395833 |
| 4 | 42 | 0.1750000 | 0.8375000 | 0.7000 | 2.5 | 1.5 | 2.25 | 0.3937500 |
| 5 | 39 | 0.1625000 | 1.0000000 | 0.8125 | 2.5 | 2.5 | 6.25 | 1.0156250 |
¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga en CUATRO, es decir \(f(x=4)\)?
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
column_spec(column = 3, color = "white", background = "blue") %>%
row_spec(5, bold = T, color = "white", background = "blue")| \(x\) | \(casos\) | \(f(x)\) | \(F(x)\) | \(x\cdot f(x)\) | \(VE\) | \((VE-x)\) | \((VE-x)^{2}\) | \((VE-x)^{2} \cdot f(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 40 | 0.1666667 | 0.1666667 | 0.0000 | 2.5 | -2.5 | 6.25 | 1.0416667 |
| 1 | 39 | 0.1625000 | 0.3291667 | 0.1625 | 2.5 | -1.5 | 2.25 | 0.3656250 |
| 2 | 42 | 0.1750000 | 0.5041667 | 0.3500 | 2.5 | -0.5 | 0.25 | 0.0437500 |
| 3 | 38 | 0.1583333 | 0.6625000 | 0.4750 | 2.5 | 0.5 | 0.25 | 0.0395833 |
| 4 | 42 | 0.1750000 | 0.8375000 | 0.7000 | 2.5 | 1.5 | 2.25 | 0.3937500 |
| 5 | 39 | 0.1625000 | 1.0000000 | 0.8125 | 2.5 | 2.5 | 6.25 | 1.0156250 |
¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga MENOR QUE CUATRO, es decir \(F(x < 4)\)?
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
column_spec(column = 4, color = "white", background = "blue") %>%
row_spec(4, bold = T, color = "white", background = "blue")| \(x\) | \(casos\) | \(f(x)\) | \(F(x)\) | \(x\cdot f(x)\) | \(VE\) | \((VE-x)\) | \((VE-x)^{2}\) | \((VE-x)^{2} \cdot f(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 40 | 0.1666667 | 0.1666667 | 0.0000 | 2.5 | -2.5 | 6.25 | 1.0416667 |
| 1 | 39 | 0.1625000 | 0.3291667 | 0.1625 | 2.5 | -1.5 | 2.25 | 0.3656250 |
| 2 | 42 | 0.1750000 | 0.5041667 | 0.3500 | 2.5 | -0.5 | 0.25 | 0.0437500 |
| 3 | 38 | 0.1583333 | 0.6625000 | 0.4750 | 2.5 | 0.5 | 0.25 | 0.0395833 |
| 4 | 42 | 0.1750000 | 0.8375000 | 0.7000 | 2.5 | 1.5 | 2.25 | 0.3937500 |
| 5 | 39 | 0.1625000 | 1.0000000 | 0.8125 | 2.5 | 2.5 | 6.25 | 1.0156250 |
¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga MAYOR QUE CUATRO, es decir \(F(x > 4) = 1 - F(x>4) = 1 - F(x=5)\)
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
column_spec(column = 3, color = "white", background = "blue") %>%
row_spec(6, bold = T, color = "white", background = "blue")| \(x\) | \(casos\) | \(f(x)\) | \(F(x)\) | \(x\cdot f(x)\) | \(VE\) | \((VE-x)\) | \((VE-x)^{2}\) | \((VE-x)^{2} \cdot f(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 40 | 0.1666667 | 0.1666667 | 0.0000 | 2.5 | -2.5 | 6.25 | 1.0416667 |
| 1 | 39 | 0.1625000 | 0.3291667 | 0.1625 | 2.5 | -1.5 | 2.25 | 0.3656250 |
| 2 | 42 | 0.1750000 | 0.5041667 | 0.3500 | 2.5 | -0.5 | 0.25 | 0.0437500 |
| 3 | 38 | 0.1583333 | 0.6625000 | 0.4750 | 2.5 | 0.5 | 0.25 | 0.0395833 |
| 4 | 42 | 0.1750000 | 0.8375000 | 0.7000 | 2.5 | 1.5 | 2.25 | 0.3937500 |
| 5 | 39 | 0.1625000 | 1.0000000 | 0.8125 | 2.5 | 2.5 | 6.25 | 1.0156250 |
Valor esperado
paste("El valor esperado es: ", round(resultado[[4]], 4))## [1] "El valor esperado es: 2.5"Varianza
paste("La varianza es: ", round(resultado[[5]], 4))## [1] "La varianza es: 2.9"Desviación estándar
paste("La desviación estándar es: ", round(resultado[[6]], 4))## [1] "La desviación estándar es: 1.7029"Tabla de sumatorias
tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 15 | 0.15 | 0.15 | 0.00 | 1.7 | 0.4335 |
| 1 | 40 | 0.40 | 0.55 | 0.40 | 1.7 | 0.1960 |
| 2 | 23 | 0.23 | 0.78 | 0.46 | 1.7 | 0.0207 |
| 3 | 10 | 0.10 | 0.88 | 0.30 | 1.7 | 0.1690 |
| 4 | 7 | 0.07 | 0.95 | 0.28 | 1.7 | 0.3703 |
| 5 | 4 | 0.04 | 0.99 | 0.20 | 1.7 | 0.4356 |
| 6 | 1 | 0.01 | 1 | 0.06 | 1.7 | 0.1849 |
| **** | 100 | 1.00 | **** | 1.70 | **** | 1.8100 |
Gráfica de barra
g = ggplot(data = tabla,aes(x = x,y = f.prob.x)) +
geom_bar(stat="identity")
g
Gráfica acumulada
g = ggplot(data = tabla,aes(x = x,y = F.acum.x)) +
geom_line()
g
Tomar vasos de agua ITD
Se tiene un estudio de que en época de calor los estudiantes del Tecnológico consumen cierta cantidad de vasos de agua durante el dia.
Se estima que se toman al alrededor de 1 a 8 vasos diarios durante el día para aliviar la sed y hidratar el cuerpo.
La siguiente tabla establece la cantidad de vasos que toman los alumnos durante el día siendo x la variable aleatoria discreta los vasos que se toman.
De un estudio de 150 alumnos esas fueron las respuestas.
| x = vasos de agua | casos |
|---|---|
| 0 | 8 |
| 1 | 12 |
| 2 | 16 |
| 3 | 19 |
| 4 | 24 |
| 5 | 28 |
| 6 | 25 |
| 7 | 14 |
| 8 | 4 |
Inicializando variables
X <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)
casos <- c(8, 12, 16, 19, 24, 28, 25, 14, 4 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / nPara determinar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de esta distribución de los casos de agua, se utiliza una función previamente creada y codificada para dicho propósito.
Ejecutar la función
Al ejecutar la función se obtiene una estructura de datos tipo lista (list[[]]) de 6 elementos:
El primero elemento la es un data.frame que contiene la tabla de distribución
El segundo elemento son los valores de la variable aleatoria discreta denominada x
El tercer elemento es el valor del total de casos
El cuarto elemento es el valor esperado o esperanza matemátic
El quinto elemento es la varianza y
El sexto elemento de la lista es el valor de la desviación estándar de la tabla de distribución de la variable discreta.
resultado <- f.discretas.ve.v.sd(casos = casos)Tabla de probabilidad
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad del lanzamiento del dado", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
kable_paper("hover")| \(x\) | \(casos\) | \(f(x)\) | \(F(x)\) | \(x\cdot f(x)\) | \(VE\) | \((VE-x)\) | \((VE-x)^{2}\) | \((VE-x)^{2} \cdot f(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 8 | 0.0533333 | 0.0533333 | 0.0000000 | 4.113333 | -4.1133333 | 16.9195111 | 0.9023739 |
| 1 | 12 | 0.0800000 | 0.1333333 | 0.0800000 | 4.113333 | -3.1133333 | 9.6928444 | 0.7754276 |
| 2 | 16 | 0.1066667 | 0.2400000 | 0.2133333 | 4.113333 | -2.1133333 | 4.4661778 | 0.4763923 |
| 3 | 19 | 0.1266667 | 0.3666667 | 0.3800000 | 4.113333 | -1.1133333 | 1.2395111 | 0.1570047 |
| 4 | 24 | 0.1600000 | 0.5266667 | 0.6400000 | 4.113333 | -0.1133333 | 0.0128444 | 0.0020551 |
| 5 | 28 | 0.1866667 | 0.7133333 | 0.9333333 | 4.113333 | 0.8866667 | 0.7861778 | 0.1467532 |
| 6 | 25 | 0.1666667 | 0.8800000 | 1.0000000 | 4.113333 | 1.8866667 | 3.5595111 | 0.5932519 |
| 7 | 14 | 0.0933333 | 0.9733333 | 0.6533333 | 4.113333 | 2.8866667 | 8.3328444 | 0.7777321 |
| 8 | 4 | 0.0266667 | 1.0000000 | 0.2133333 | 4.113333 | 3.8866667 | 15.1061778 | 0.4028314 |
Cálculo de probabilidades
¿Cuál es la probabilidad de que se elija aleatoriamente un alumno y mencione que se toman CUATRO VASOS DE AGUA? \(f(x=4)\)
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad de toma de vasos de agua alumnos", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_paper("hover") %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
column_spec(column = 3, color = "white", background = "blue") %>%
row_spec(5, bold = T, color = "white", background = "blue")| \(x\) | \(casos\) | \(f(x)\) | \(F(x)\) | \(x\cdot f(x)\) | \(VE\) | \((VE-x)\) | \((VE-x)^{2}\) | \((VE-x)^{2} \cdot f(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 8 | 0.0533333 | 0.0533333 | 0.0000000 | 4.113333 | -4.1133333 | 16.9195111 | 0.9023739 |
| 1 | 12 | 0.0800000 | 0.1333333 | 0.0800000 | 4.113333 | -3.1133333 | 9.6928444 | 0.7754276 |
| 2 | 16 | 0.1066667 | 0.2400000 | 0.2133333 | 4.113333 | -2.1133333 | 4.4661778 | 0.4763923 |
| 3 | 19 | 0.1266667 | 0.3666667 | 0.3800000 | 4.113333 | -1.1133333 | 1.2395111 | 0.1570047 |
| 4 | 24 | 0.1600000 | 0.5266667 | 0.6400000 | 4.113333 | -0.1133333 | 0.0128444 | 0.0020551 |
| 5 | 28 | 0.1866667 | 0.7133333 | 0.9333333 | 4.113333 | 0.8866667 | 0.7861778 | 0.1467532 |
| 6 | 25 | 0.1666667 | 0.8800000 | 1.0000000 | 4.113333 | 1.8866667 | 3.5595111 | 0.5932519 |
| 7 | 14 | 0.0933333 | 0.9733333 | 0.6533333 | 4.113333 | 2.8866667 | 8.3328444 | 0.7777321 |
| 8 | 4 | 0.0266667 | 1.0000000 | 0.2133333 | 4.113333 | 3.8866667 | 15.1061778 | 0.4028314 |
¿Cuál es la probabilidad de que se elija aleatoriamente un alumno y mencione que se toma MENOS DE CUATRO VASOS DE AGUA \(F(x=3)\)?
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad de toma de vasos de agua alumnos", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_paper("hover") %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
column_spec(column = 4, color = "white", background = "blue") %>%
row_spec(4, bold = T, color = "white", background = "blue")| \(x\) | \(casos\) | \(f(x)\) | \(F(x)\) | \(x\cdot f(x)\) | \(VE\) | \((VE-x)\) | \((VE-x)^{2}\) | \((VE-x)^{2} \cdot f(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 8 | 0.0533333 | 0.0533333 | 0.0000000 | 4.113333 | -4.1133333 | 16.9195111 | 0.9023739 |
| 1 | 12 | 0.0800000 | 0.1333333 | 0.0800000 | 4.113333 | -3.1133333 | 9.6928444 | 0.7754276 |
| 2 | 16 | 0.1066667 | 0.2400000 | 0.2133333 | 4.113333 | -2.1133333 | 4.4661778 | 0.4763923 |
| 3 | 19 | 0.1266667 | 0.3666667 | 0.3800000 | 4.113333 | -1.1133333 | 1.2395111 | 0.1570047 |
| 4 | 24 | 0.1600000 | 0.5266667 | 0.6400000 | 4.113333 | -0.1133333 | 0.0128444 | 0.0020551 |
| 5 | 28 | 0.1866667 | 0.7133333 | 0.9333333 | 4.113333 | 0.8866667 | 0.7861778 | 0.1467532 |
| 6 | 25 | 0.1666667 | 0.8800000 | 1.0000000 | 4.113333 | 1.8866667 | 3.5595111 | 0.5932519 |
| 7 | 14 | 0.0933333 | 0.9733333 | 0.6533333 | 4.113333 | 2.8866667 | 8.3328444 | 0.7777321 |
| 8 | 4 | 0.0266667 | 1.0000000 | 0.2133333 | 4.113333 | 3.8866667 | 15.1061778 | 0.4028314 |
¿Cuál es la probabilidad de que se elija aleatoriamente un alumno y mencione que se toma MAS DE CUATRO VASOS DE AGUA \(F(x>4) = 1 - F(x>4) = 1 - F(x=5)\)?
resultado[[1]] %>%
kbl(caption = "Tabla de distribución de probabilidad de toma de vasos de agua alumnos", col.names = c("$x$", "$casos$", "$f(x)$", "$F(x)$", "$x\\cdot f(x)$", "$VE$", "$(VE-x)$", "$(VE-x)^{2}$", "$(VE-x)^{2} \\cdot f(x)$")) %>%
kable_paper("hover") %>%
kable_styling(full_width = F, bootstrap_options = c("striped", "bordered", "condensed")) %>%
column_spec(column = 4, color = "white", background = "blue") %>%
row_spec(6, bold = T, color = "white", background = "blue")| \(x\) | \(casos\) | \(f(x)\) | \(F(x)\) | \(x\cdot f(x)\) | \(VE\) | \((VE-x)\) | \((VE-x)^{2}\) | \((VE-x)^{2} \cdot f(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 8 | 0.0533333 | 0.0533333 | 0.0000000 | 4.113333 | -4.1133333 | 16.9195111 | 0.9023739 |
| 1 | 12 | 0.0800000 | 0.1333333 | 0.0800000 | 4.113333 | -3.1133333 | 9.6928444 | 0.7754276 |
| 2 | 16 | 0.1066667 | 0.2400000 | 0.2133333 | 4.113333 | -2.1133333 | 4.4661778 | 0.4763923 |
| 3 | 19 | 0.1266667 | 0.3666667 | 0.3800000 | 4.113333 | -1.1133333 | 1.2395111 | 0.1570047 |
| 4 | 24 | 0.1600000 | 0.5266667 | 0.6400000 | 4.113333 | -0.1133333 | 0.0128444 | 0.0020551 |
| 5 | 28 | 0.1866667 | 0.7133333 | 0.9333333 | 4.113333 | 0.8866667 | 0.7861778 | 0.1467532 |
| 6 | 25 | 0.1666667 | 0.8800000 | 1.0000000 | 4.113333 | 1.8866667 | 3.5595111 | 0.5932519 |
| 7 | 14 | 0.0933333 | 0.9733333 | 0.6533333 | 4.113333 | 2.8866667 | 8.3328444 | 0.7777321 |
| 8 | 4 | 0.0266667 | 1.0000000 | 0.2133333 | 4.113333 | 3.8866667 | 15.1061778 | 0.4028314 |
Valor esperado
paste("El valor esperado es: ", round(resultado[[4]], 4))## [1] "El valor esperado es: 4.1133"o puede acceder al valor mediante el nombre del elemento de la lista $VE:
paste("El valor esperado es: ", round(resultado$VE, 4))## [1] "El valor esperado es: 4.1133"Varianza
paste("La varianza es: ", round(resultado[[5]], 4))## [1] "La varianza es: 4.2338"o puede acceder al valor mediante el nombre del elemento de la lista $varianza:
paste("La varianza es: ", round(resultado$varianza, 4))## [1] "La varianza es: 4.2338"Desviación estándar
paste("La desviacion estándar es: ", round(resultado[[6]], 4))## [1] "La desviacion estándar es: 2.0576"o puede acceder al valor mediante el nombre del elemento de la lista $desv,std:
paste("La varianza es: ", round(resultado$desv.std, 4))## [1] "La varianza es: 2.0576"Tabla de sumatorias
tabla.sumatorias<-rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)]<-"****"
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 15 | 0.15 | 0.15 | 0.00 | 1.7 | 0.4335 |
| 1 | 40 | 0.40 | 0.55 | 0.40 | 1.7 | 0.1960 |
| 2 | 23 | 0.23 | 0.78 | 0.46 | 1.7 | 0.0207 |
| 3 | 10 | 0.10 | 0.88 | 0.30 | 1.7 | 0.1690 |
| 4 | 7 | 0.07 | 0.95 | 0.28 | 1.7 | 0.3703 |
| 5 | 4 | 0.04 | 0.99 | 0.20 | 1.7 | 0.4356 |
| 6 | 1 | 0.01 | 1 | 0.06 | 1.7 | 0.1849 |
| **** | 100 | 1.00 | **** | 1.70 | **** | 1.8100 |
Gráfica de barra
g = ggplot(data = tabla, aes(x=x, y=f.prob.x))+
geom_bar(stat="Identity")
g
Gráfica acumulada
g = ggplot(data = tabla, aes(x=x, y=F.acum.x))+
geom_line()
g
Interpretación de los ejercicios del caso
Se presentaron varios ejercicios de variables aleatorias discretas en donde se determinaron las funciones de probabilidad y la función acumulada, la media o valor esperado, la varianza y su desviación estándard.
Se generaron gráficas de barras de los valores de las variables y la gráfica lineal de las tendencias.
El valor esperado en el ejercicio 1 del sorteo con valor de 1%, significa que es es muy muy muy …. remoto la probabilidad de ganar en el sorteo de 5000 boletos.
En el ejercicio de vena de automóviles de John, se trata de una distribución de probabilidad discreta de la variable aleatoria “número de automóviles vendidos”.
El valor esperado es del 2.1 que significa que puede vender 2 autos como esperanza.
El valor esperado se utiliza para predecir la media aritmética de la cantidad de automóviles vendidos a largo plazo. Por ejemplo, si John trabaja \(50\) sábados en un año, puede esperar vender \((50)(2.1)\) o \(105\) automóviles solo durante los sábados. Por consiguiente, a veces la media recibe el nombre de valor esperado[@lind2015].
El valor de la varianza es de 1.29 que significa lo que puede variar con respecto al valor esperado. La desviación estándard es de \(1.135782\).
¿Cómo se interpreta la variación?
Por ejemplo, Si la vendedora Rita Kirsch también vendió un promedio de 2.1 automóviles los sábados pero tien tal vez una desviacón de 1.9 en comparación del 1.135782 de John, entonces de puede decir que hay mayor variabilidad en la vendedora Rita dado que \((1.91 \geq 1.35)\) [@lind2015].
En el caso de las vacantes de puestos para hombres y mujeres el resultado del valor esperado es de \(0.8\) que significa la probabilidad de contratar mujeres en promedio, su desviación estándar es de \(0.6\) que significa nivel de dispersión (alejamiento) de la probabilidad de cada variable aleatoria con respecto al valor esperado.
Del ejercicio de parejas contestar las preguntas:
¿Cuál es la probabilidad de una pareja elegida al azar tenga menos de dos hijos? \(P(x<2)\)
¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de tres hijos? \(P(x>3)\)
Si se elige un hijo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga hermanos? \(P(x=0)\)
Determina el número de hijos esperado al seleccionar una familia al azar. ¿Cuál es el valor esperado y qué significa?
Calcula la varianza y la desviación de la distribución e interpretar su significado.
Interpretar el ejercicio del dado Los datos pueden emplearse para examinar la probabilidad de distribución del dado y determinar su equidad, se pueden realizar cálculos de medidas de tendencia central, como la media y la mediana, para obtener una noción del resultado más probable al lanzar el dado, la interpretación variará según el objetivo particular del análisis que se desee llevar a cabo.
Interpretar el ejercicio de los vasos de agua El ejercicio presenta una representación gráfica de la cantidad de vasos de agua que consumen los estudiantes del Tecnológico a lo largo del día. La variable aleatoria discreta X se utiliza para indicar el número de vasos de agua que un estudiante toma diariamente. Se nos proporciona una tabla de frecuencias que muestra cuántos estudiantes informaron tomar una determinada cantidad de vasos de agua al día,la distribución de la cantidad de vasos de agua que consumen los estudiantes está sesgada hacia la derecha. Esto se debe a que la mayoría de ellos (28 en total) informaron consumir 5 vasos de agua al día, mientras que el número de estudiantes que consumen menos de 5 vasos es relativamente menor, cuanto mayor sea la desviación estándar, mayor será la variabilidad de los datos con respecto al valor esperado.