Primer punto:

Una familia de distribuciones Pθ con θ ∈ Θ pertenece a la familia exponencial de distribucciones si su fmp/fdp puede escribirse como: p(x|η) = h(x)exp(η(θ)t(x) − a(θ))

Para funciones reales h(x), a(θ) y t(x). Muestre que tanto la distribución bernoulli (utilizada para la regresión logística), la distribución normal (utilizada en la regresión lineal) y la distribución Poisson (utilizada en la regresión Poisson sobre conteos) pertenecen a esta familia de distribuciones.

Respuesta

En cuanto a las distribuciones que pertenecen a la familia exponencial se denomina familia exponencial de un parámetro si se tiene o existen funciones de la forma

\[ p = \{ p_{\theta}: \theta \in \Theta \} \]

será denominado de la familia exponencial si existe un parámetro

\[ c(\theta), d(\theta), \theta \in \Theta \]

De tal forma que la función de densidad o de probabilidad \( p(\tilde{x},\theta) \) puede ser discreta de la siguiente forma

\[ p(\tilde{x},\theta) = \exp\left\{ c(\theta)T(\tilde{x})+d(\theta)+s(\tilde{x}) \right\} \cdot I_G(\tilde{x}) \]

Donde \( I_G(\tilde{x}) \) es una función indicadora de G:

\[ I_G(\tilde{x}) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \leq 0 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \]

En la familia exponencial, \( T(\tilde{x}) \) es un estadístico suficiente y completo. La suficiencia de \( T(\tilde{x}) \) con recorrido en \( I = R_T \) para \( \theta \) se da solo si existe una función \( g(t,\tilde{\theta}) \), \( t \in I \), \( \theta \in \Theta \), y una función \( h(\tilde{x}) \), \( x \in \mathbb{R}^n \), tales que se toman como, (A, R. H., M, A. M., & C, D. M. (2012)) :

\[ p(\tilde{x},\tilde{\theta}) = g(T(\tilde{x}),\tilde{\theta}) \cdot h(\tilde{x}) \]

Para la función Poisson, si una variable aleatoria se distribuye denotada como \( Y \sim \text{Pois}(\lambda) \), su función de probabilidad es:

se dice por tanto que

tambien a su vez concluyendo que esta distribucion pertenece a la famila exponencial

Para la distribución normal, tenemos que si una variable aleatoria se distribuye como una normal \( Y \sim N(\mu,\sigma^2) \), sea \( \theta = (\mu,\sigma) \), su función de densidad es:

de ahi se tiene que

tambien a su vez concluyendo que esta distribucion normal pertenece a la famila exponencial

Respecto a Bernoulli Una variable aleatoria de Bernoulli \( X \) asigna una medida de probabilidad \( \pi \) al punto \( x = 1 \) y medida de probabilidad \( 1 - \pi \) al punto \( x = 0 \). Más formalmente, se define como la medida de conteo en \{0, 1\}, y se define la siguiente función de densidad con respecto a la medida \( v \) Jordan(2009):

para revelar o encontrar su forma canonica como parte de la familia exponencial tomamos es tomar la exponencial del logaritmo de la forma “usual” de la densidad, por tanto

de donde tenemos que para n

que no es más que la función logística

Bibliografia: