¿En qué se diferencian las permutaciones y combinaciones?
La diferencia entre estos dos radica en que en las permutaciones el orden es importante en los resultados, en cambio para las combinaciones no es importante el orden, tomando como un mismo resultado si sale un elemento primero o ultimo.
Las fórmulas que caracterizan a ambas son:
\[nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}\]
\[nC_r = \frac{n!}{(n-r)!r!}\]
¿Qué hacen las funciones combinations y permutations?
combinations(3, 2, v = 1:3)## [,1] [,2]
## [1,] 1 2
## [2,] 1 3
## [3,] 2 3donde 3 es el largo del vector de entrada, 2 es el largo del vector de salida y v es es el vector de entrada, además tiene configuraciones como set que indica si los duplicados se eliminan del vector de entrada, y repeats.allowed que indica si los resultados son con repetición o no.
permutations(3, 2, v = 1:3)## [,1] [,2]
## [1,] 1 2
## [2,] 1 3
## [3,] 2 1
## [4,] 2 3
## [5,] 3 1
## [6,] 3 2las entradas son las mismas que en combinations.
Calcule:
permutaciones = permutations(11, 3, v = 1:11, repeats.allowed = TRUE)
nrow(permutaciones)## [1] 1331permutaciones = permutations(11, 3, v = 1:11)
nrow(permutaciones)## [1] 990combinaciones_r = combinations(5, 3, v = c('a', 'b', 'c', 'd', 'e'), repeats.allowed = TRUE)
nrow(combinaciones_r)## [1] 35combinaciones = combinations(5, 3, v = c('a', 'b', 'c', 'd', 'e'))
nrow(combinaciones)## [1] 10El uso de las funciones permutations y combinations, no logra calcular la cantidad, por lo que se utilizan las formulas
permutacion = factorial(39)/(factorial(39-25))
permutacion## [1] 2.339789e+35combinacion = factorial(39)/(factorial(39-25)*factorial(25))
combinacion## [1] 15084504396Considere un problema de una vendedora viajera que debe recorrer 50 ciudades y volver al origen sin pasar dos veces por la misma ciudad. Considerando que solo existe una ruta óptima, si se selecciona una ruta al azar
la formula de que la ruta sea optima esta representada por: \[Probabilidad = \frac{1}{n° casos}\] \[n° casos = permutaciones\] como la cantidad de posibilidades es demasiado grande para la función permutations se usa la formula
permutacion = factorial(50)/factorial(50-50)
probabilidad = 1/permutacion
probabilidad## [1] 3.287949e-65La probabilidad viene dada por \[\frac{1}{permutaciones - 1}\] por lo que seria
probabilidad = 1/(permutacion-1)
probabilidad## [1] 3.287949e-65Para este problema las funciones combinations y permutations no funcionan dada la magnitud de los vectores a trabajar, dado que se generan matrices el tamaño de estas es demasiado grande para calcular.
Una bencinera tiene 5 funcionarios que deben limpiar el parabrisas de cada cliente que es atendido. Janet da servicio al 10 % de los clientes y no limpia 1 de cada 20 parabrisas; Tomás da servicio al 60 % de los clientes y no limpia 1 de cada 10 parabrisas; Georgina da servicio al 15 % de los clientes y no limpia 1 de cada 10 parabrisas; Pedro da servicio al 5 % de los clientes y no limpia 1 de cada 20 parabrisas; Marcela da servicio al 10 % de los clientes y no limpia 3 de cada 5 parabrisas. Si un cliente envía una nota de agradecimiento porque su parabrisas quedó como nuevo.
La ecuación con la que se puede resolver el problema es el teorema de Bayes: \[P(A_n|B) = \frac{P(B|A_n)P(A_n)}{\sum^k_{i=1} P(B|A_i)P(A_i)}\]
Para saber la probabilidad de que un cliente haya sido atendido por Pedro, se debe condicionar con que el parabrisas este limpio y se representa por \[P(Pedro|L) = \frac{P(L|Pe)P(Pe)}{P(L)}\] Se necesita obtener P(L) para calcularlo y P(L) se obtiene de \[P(L) = P(Pe)P(L|Pe)+P(Ja)P(L|Ja)+P(To)P(L|To)+P(Geo)P(L|Geo)+P(Ma)P(L|Ma)\]
p_l = (0.6*0.9)+(0.15*0.9)+(0.05*0.95)+(0.1*0.4)+(0.1*0.95)
p_l## [1] 0.8575entonces la probabilidad de que un cliente sea atendido por Pedro es: \[P(Pe|L) = \frac{0.95*0.05}{0.8575}\]
p_pe = (0.05*0.95)/p_l
p_pe## [1] 0.05539359Esta probabilidad se obtiene de \[P(Geo \cup Ja |L) = \frac{P(Geo)P(L|Geo)}{P(L)}+\frac{P(Ja)P(L|Ja)}{P(L)}\] lo que da como resultado
p_geo = (0.15*0.90)/p_l
p_ja = (0.1*0.95)/p_l
p_geoUja = p_geo + p_ja
p_geoUja## [1] 0.2682216La probabilidad de que haya sido atendido por cualquiera de los trabajadores es \[P(Geo \cup Ja \cup Pe \cup Ma \cup To |L) = \frac{P(Geo)P(L|Geo)}{P(L)}+\frac{P(Ja)P(L|Ja)}{P(L)}+\frac{P(Pe)P(L|Pe)}{P(L)}+\frac{P(Ma)P(L|Ma)}{P(L)}+\frac{P(To)P(L|To)}{P(L)}\] que queda
p_ma = (0.1*0.4)/p_l
p_to = (0.6*0.9)/p_l
p_todos = p_ma + p_to + p_geo + p_pe + p_ja
p_todos## [1] 1se observa que da como resultado 1, lo que quiere decir que siempre será uno de estos cinco quien haya limpiado un parabrisa, ya que conforman el total de trabajadores.
De un grupo de 40 personas se quiere saber la opinión de 3 personas (seleccionadas al azar) acerca del apruebo o rechazo de la nueva constitución. Si se sabe que 22 personas aprueban y 18 rechazan ¿cuál es la probabilidad de que las tres personas seleccionadas rechacen?
p_3r = (18/40)*(17/39)*(16/38)
p_3r## [1] 0.08259109