Intervalos de Confianza para 1 Población Bajo Normalidad

1 Introducción

Se asume que \(X_1,\ldots,X_n\) es una muestra aleatoria tal que \(X_i\stackrel{\text{IID}}{\sim} \textsf{N}(\mu, \sigma^2)\), para \(i=1,\ldots,n\).

Antes de implementar los intervalos, es indispensable verificar que la distribución de la variable aleatoria objeto de estudio tenga distribución Normal, de lo contrario, se deben utilizar otras técnicas de inferencia (e.g., Bootstrap).

2 Para la Media Poblacional \(\mu\) con \(\sigma^2\) conocida

La variable aleatoria pivote es:

\[ Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim \textsf{N}(0,1) \]

curve(expr = dnorm(x), from = -4, to = 4, lwd = 2, xlab = "z", ylab = "Densidad", main = "Z")
abline(v = 0, col = 16, lty = 1)
abline(v = qnorm(p = c(0.050,0.950)), col = 2, lty = 2)
abline(v = qnorm(p = c(0.025,0.975)), col = 3, lty = 3)
abline(v = qnorm(p = c(0.005,0.995)), col = 4, lty = 4)

Entonces: \[ \textsf{Pr}\left(\bar{X}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq \bar{X}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha \] donde \(z_{1-\alpha/2}\) es el percentil \(1-\alpha/2\) de una distribución Normal estándar.

En virtud del Teorema del Límite Central, este intervalo de confianza aplica incluso si la población no tiene distribución Normal, siempre que el tamaño de la muestra \(n\) sea grande.

3 Para la Media Poblacional \(\mu\) con \(\sigma^2\) desconocida

La variable aleatoria pivote es:

\[ T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim \textsf{t}_{n-1} \] donde \(S\) es la desviación estándar muestral y \(\textsf{t}_{\nu}\) denota la distribución \(\textsf{t}\) con \(\nu\) grados de libertad (William Sealy Gosset).

Si \(X\sim \textsf{t}_{\nu}\), entonces la función de densidad de \(X\) es: \[ f_X(x) = \frac{\Gamma\left( \frac{\nu+1}{2} \right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left( \frac{\nu}{2} \right)}\,\left(1 + \frac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}\,,\qquad-\infty<x<\infty\,, \qquad \nu \in\{1,2,\ldots\}\,. \]

curve(expr = dnorm(x), from = -4, to = 4, col = "lightgray", lwd = 2, xlab = "t", ylab = "Densidad", main = "t")
abline(v = 0, col = 16, lty = 1)
curve(expr = dt(x, df = 1), col = 1, add = TRUE)
curve(expr = dt(x, df = 2), col = 2, add = TRUE)
curve(expr = dt(x, df = 3), col = 3, add = TRUE)
curve(expr = dt(x, df = 4), col = 4, add = TRUE)
curve(expr = dt(x, df = 5), col = 5, add = TRUE)
legend("topright", legend = c(expression(nu == 1),expression(nu == 2),expression(nu == 3),expression(nu == 4),expression(nu == 5),"Z"), col = c(1,2,3,4,5,"lightgray"), lwd = 2, bty = "n")

La distribución \(\textsf{t}\) tiene colas más pesadas que la distribución \(Z\).

curve(expr = dnorm(x), from = -4, to = 4, col = "lightgray", lwd = 2, xlab = "t", ylab = "Densidad", main = "t")
abline(v = 0, col = 16, lty = 1)
curve(expr = dt(x, df = 30), col = 2, add = TRUE)
legend("topright", legend = c(expression(nu == 30),"Z"), col = c(2,"lightgray"), lwd = 2, bty = "n")

\(\textsf{t}_{\nu}\approx Z\), cuando \(n\) es grande.

Entonces: \[ \textsf{Pr}\left(\bar{X}-\textsf{t}_{n-1,1-\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq \bar{X}+\textsf{t}_{n-1,1-\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha \] donde \(\textsf{t}_{n-1,1-\alpha/2}\) es el percentil \(1-\alpha/2\) de una distribución \(\textsf{t}\) con \(n-1\) grados de libertad.

Los percentiles de la distribución \(\textsf{t}\) se calculan en R con la función qt.

4 Ejemplo

En el archivo geriatra.txt se presentan los datos de un estudio con individuos de por lo menos 65 años de edad en buenas condiciones físicas. Las variables del estudio son:

• Caídas (número de caídas en el período).
• Intervención (0 = educación solamente, 1 = educación y ejercicios físicos).
• Sexo (0 = femenino, 1 = masculino).
• Balance (puntuación).
• Fuerza (puntuación).

1. Construir un intervalo de confianza para el promedio poblacional del balance al 95% de confianza.

# datos
datos <- read.table("geriatra.txt")
names(datos) <- c("caidas", "intervencion", "sexo", "balance", "fuerza")
# inspeccion de los datos
class(datos)

## [1] "data.frame"

dim(datos)

## [1] 100   5

head(datos)

##   caidas intervencion sexo balance fuerza
## 1      1            1    0      45     70
## 2      1            1    0      62     66
## 3      2            1    1      43     64
## 4      0            1    1      76     48
## 5      2            1    0      51     72
## 6      1            1    1      73     39

# balance
y <- datos$balance

# descripcion
summary(y)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   13.00   39.00   51.50   52.83   66.25   98.00

# grafico
par(mfrow = c(1,2))
# histograma
hist(x = y, freq = F, col = "white", xlim = c(0,100), ylim = c(0,0.02), xlab = "Balance", ylab = "Densidad", main = "")
curve(expr = dnorm(x, mean = mean(y), sd = sd(y)), col = 2, add = TRUE)
# grfico cuantil-cuantil
qqnorm(y, xlab = "Cuantiles normales", ylab = "Cuantiles observados", main = "")
qqline(y, col = 2)

# tamaño de la muestra
n <- length(y)
n

## [1] 100

# promedio muestral
xb <- mean(y)
xb

## [1] 52.83

# desviacion estandar
s <- sd(y)
s

## [1] 19.25588

# percentil t
t975 <- qt(p = 0.975, df = n-1)
t975

## [1] 1.984217

# percentil z
z975 <- qnorm(p = 0.975)
z975

## [1] 1.959964

# margen de error t
met <- t975*s/sqrt(n)
met

## [1] 3.820785

# margen de error z
mez <- z975*s/sqrt(n)
mez

## [1] 3.774084

# IC t
xb + c(-1,1)*met

## [1] 49.00922 56.65078

# IC z
xb + c(-1,1)*mez

## [1] 49.05592 56.60408

t.test(x = y, mu = 46, conf.level = 0.95)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  y
## t = 3.547, df = 99, p-value = 0.0005973
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 46
## 95 percent confidence interval:
##  49.00922 56.65078
## sample estimates:
## mean of x 
##     52.83

2. De acuerdo con la Escala de Berg, un puntaje menor a 46 puntos indica la aparición de caídas múltiples con frecuencia. ¿La diferencia entre 46 puntos y la estimación del promedio poblacional del balance presenta diferencias prácticas? ¿El intervalo de confianza indica que el promedio poblacional del balance presenta diferencias significativas respecto a 46?

• Diferencia práctica: diferencia entre dos cantidades lo suficientemente grande para que sea declarada como relevante en términos de la aplicación de interés.
• Diferencia significativa: diferencia entre un estadístico y una cantidad dada lo suficientemente grande para que sea declarada como relevante a nivel poblacional y no consecuencia del error muestral.

Como el intervalo de confianza correspondiente no contiene a 46, entonces existe suficiente evidencia empírica para declarar diferencias significativas entre el promedio poblacional del balance y el valor de referencia 46.

5 Ejercicio

En un estudio de National Retail Foundation se encontró que las familias estaban dispuestas a gastar en promedio $649 durante las vacaciones decembrinas (The Wall Street Journal, 2 de diciembre de 2002). En el estudio participaron 600 familias y que la desviación estándar muestral fue $175.

1. ¿Con 95% de confianza cuál es el margen de error?
2. ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para estimar la media poblacional?
3. El año anterior, la media poblacional de gastos por familia fue $632. Analice la variación en el gasto en las vacaciones decembrinas en este periodo de un año.

6 Ejercicio

Los salarios anuales iniciales de estudiantes que acaban de terminar una carrera específica se espera que estén entre $ 30000 y $ 45000. Suponga que quiere dar un intervalo de confianza de 95% para estimar la media poblacional de los salarios iniciales. El valor planeado de la desviación estándar poblacional es $ 3500. ¿Cuán grande deberá ser la muestra si quiere que el margen de error sea:

1. $ 500?
2. $ 200?
3. $ 100?
4. ¿Recomendaría usted tratar de tener $100 como margen de error?

7 Para la varianza \(\sigma^2\) con \(\mu\) desconocida

La variable aleatoria pivote es:

\[ \chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1} \]

donde \(S\) es la desviación estándar muestral y \(\chi^2_{\nu}\) denota la distribución \(\chi^2\) con \(\nu\) grados de libertad.

Si \(X\sim \chi^2_{\nu}\), entonces la función de densidad de \(X\) es: \[ f_X(x) = \frac{1}{2^{\nu/2}\,\Gamma(\nu/2)}\,x^{\nu/2-1}\,e^{-x/2} \,,\qquad x > 0\,, \qquad \nu \in\{1,2,\ldots\}\,. \]

curve(expr = dchisq(x, df = 3), from = 0, to = 20, col = 3, xlab = expression(chi^2), ylab = "Densidad", main = expression(chi^2))
curve(expr = dchisq(x, df = 4), col = 4, add = TRUE)
curve(expr = dchisq(x, df = 5), col = 5, add = TRUE)
curve(expr = dchisq(x, df = 6), col = 6, add = TRUE)
curve(expr = dchisq(x, df = 7), col = 7, add = TRUE)
legend("topright", legend = c(expression(nu == 3),expression(nu == 4),expression(nu == 5),expression(nu == 6),expression(nu == 7)), col = c(3,4,5,6,7), lwd = 2, bty = "n")

Entonces: \[ \textsf{Pr}\left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}} \leq\sigma^2\leq \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,\alpha/2}} \right)=1-\alpha \] donde \(\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}\) es el percentil \(1-\alpha/2\) de una distribución \(\chi^2\) con \(n-1\) grados de libertad.

Los percentiles de la distribución \(\chi^2\) se calculan en R con la función qchisq.

8 Ejemplo

Simular 100K de muestras aleatorias de tamaño \(n=10\) de una población Normal con media \(\mu=10\) y desviación estándar \(\sigma=1\), y para cada muestra aleatoria, calcular la estimación y el intervalo de confianza para \(\sigma^2\) al 95% de confianza correspondiente. ¿Cuál es la distribución muestral de la variable pivote? ¿Qué proporción de intervalos contiene el valor de \(\sigma^2\)?

# parametros de la poblacion (modelo)
mu <- 10
sigma <- 1
# tamaño de la muestra
n <- 10
# percentiles
chi025 <- qchisq(p = 0.025, df = n-1)
chi025

## [1] 2.700389

chi975 <- qchisq(p = 0.975, df = n-1)
chi975

## [1] 19.02277

# numero de simulaciones
M <- 100000
# objeto para almacenar los promedios
S2 <- matrix(data = NA, nrow = M, ncol = 1)
IC <- matrix(data = NA, nrow = M, ncol = 2)
# simulacion
set.seed(1)
for (i in 1:M) {
  x <- rnorm(n = n, mean = mu, sd = sigma)
  S2[i,1] <- var(x)
  IC[i,1] <- (n-1)*var(x)/chi975
  IC[i,2] <- (n-1)*var(x)/chi025
}

# inspeccion
dim(S2)

## [1] 100000      1

head(S2)

##           [,1]
## [1,] 0.6093144
## [2,] 1.1438620
## [3,] 0.9131859
## [4,] 0.6537768
## [5,] 0.3549372
## [6,] 1.0291688

mean(S2)

## [1] 1.000833

hist(x = (n-1)*S2/sigma^2, freq = F, col = "white", xlab = expression(chi^2), ylab = "Densidad", main = "")
curve(expr = dchisq(x, df = n-1), col = 2, add = TRUE)

# inspeccion
dim(IC)

## [1] 100000      2

head(IC)

##           [,1]     [,2]
## [1,] 0.2882772 2.030755
## [2,] 0.5411809 3.812323
## [3,] 0.4320440 3.043514
## [4,] 0.3093131 2.178942
## [5,] 0.1679269 1.182953
## [6,] 0.4869175 3.430068

# cobertura
tmp <- (IC[,1] < sigma^2) & (sigma^2 < IC[,2])
head(tmp)

## [1] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE

# proporcion
mean(tmp)

## [1] 0.95045

9 Ejemplo

Simular 100K de muestras aleatorias de tamaño \(n=10\) de una población Exponencial con media \(\lambda=2\), y para cada muestra aleatoria, calcular la estimación y el intervalo de confianza para \(\sigma^2\) al 95% de confianza correspondiente. ¿Cuál es la distribución muestral de la variable pivote? ¿Qué proporción de intervalos contiene el valor de \(\sigma^2=1/\lambda^2\)?

# parametros de la poblacion (modelo)
lambda <- 2
# tamaño de la muestra
n <- 10
# percentiles
chi025 <- qchisq(p = 0.025, df = n-1)
chi025

## [1] 2.700389

chi975 <- qchisq(p = 0.975, df = n-1)
chi975

## [1] 19.02277

# numero de simulaciones
M <- 100000
# objeto para almacenar los promedios
S2 <- matrix(data = NA, nrow = M, ncol = 1)
IC <- matrix(data = NA, nrow = M, ncol = 2)
# simulacion
set.seed(1)
for (i in 1:M) {
  x <- rexp(n = n, rate = lambda)
  S2[i,1] <- var(x)
  IC[i,1] <- (n-1)*var(x)/chi975
  IC[i,2] <- (n-1)*var(x)/chi025
}

# inspeccion
dim(S2)

## [1] 100000      1

head(S2)

##            [,1]
## [1,] 0.17272093
## [2,] 0.34332761
## [3,] 0.36857623
## [4,] 0.06093308
## [5,] 0.06029804
## [6,] 0.22648688

mean(S2)

## [1] 0.2503829

hist(x = (n-1)*S2/(1/lambda^2), freq = F, col = "white", nclass = 50, xlim = c(0,50), ylim = c(0,0.1), xlab = expression(chi^2), ylab = "Densidad", main = "")
curve(expr = dchisq(x, df = n-1), col = 2, add = TRUE)

# inspeccion
dim(IC)

## [1] 100000      2

head(IC)

##            [,1]      [,2]
## [1,] 0.08171725 0.5756534
## [2,] 0.16243422 1.1442603
## [3,] 0.17437978 1.2284102
## [4,] 0.02882849 0.2030810
## [5,] 0.02852804 0.2009645
## [6,] 0.10715486 0.7548474

# cobertura
tmp <- (IC[,1] < (1/lambda^2)) & ((1/lambda^2) < IC[,2])
head(tmp)

## [1]  TRUE  TRUE  TRUE FALSE FALSE  TRUE

# proporcion
mean(tmp)

## [1] 0.76969

10 Ejemplo

Para analizar el riesgo o la volatilidad al invertir en las acciones comunes de Chevron Corpotation se toma una muestra de rendimiento porcentual total mensual. A continuación se presentan los rendimientos de los 12 meses de 2005 (Compustat, 24 de febrero de 2006). El rendimiento total es el precio más cualquier dividendo pagado.

Mes	Rendimiento (%)	Mes	Rendimiento (%)
Enero	3.60	Julio	3.74
Febrero	14.86	Agosto	6.62
Marzo	-6.07	Septiembre	5.42
Abril	-10.82	Octubre	-11.83
Mayo	4.29	Noviembre	1.21
Junio	3.98	Diciembre	-0.94

1. Calcule la varianza muestral y la desviación estándar muestral como medidas de la volatilidad del rendimiento mensual total de Chevron.

# datos
x <- c(3.60, 3.74, 14.86, 6.62, -6.07, 5.42, -10.82, -11.83, 4.29, 1.21, 3.98, -0.94)
# varianza
s2 <- var(x)
s2

## [1] 57.72298

# desviacion estandar
s <- sd(x)
s

## [1] 7.597564

2. Calcule un intervalo de 95% de confianza para la desviación estándar poblacional.

# tamaño de la muestra
n <- length(x)
n

## [1] 12

# percentiles
chi025 <- qchisq(p = 0.025, df = n-1)
chi025

## [1] 3.815748

chi975 <- qchisq(p = 0.975, df = n-1)
chi975

## [1] 21.92005

# intervalo de confianza
c(sqrt((n-1)*var(x)/chi975), sqrt((n-1)*var(x)/chi025))

## [1]  5.382077 12.899737

3. Valide los supuestos del intervalo de confianza calculado.

# descripcion
summary(x)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
## -11.830  -2.223   3.670   1.172   4.572  14.860

# grafico
par(mfrow = c(1,2))
# histograma
hist(x = x, freq = F, col = "white", xlim = c(-15,15), ylim = c(0,0.1), xlab = "Balance", ylab = "Densidad", main = "")
curve(expr = dnorm(x, mean = mean(x), sd = sd(x)), col = 2, add = TRUE)
# grfico cuantil-cuantil
qqnorm(x, xlab = "Cuantiles normales", ylab = "Cuantiles observados", main = "")
qqline(x, col = 2)

11 Ejercicio

Una pieza debe fabricarse con medidas de tolerancia muy estrechas para que sea aceptada por el cliente. Las especificaciones de producción indican que la varianza máxima en la longitud de la pieza debe ser 0.0004. Suponga que en 30 piezas la varianza muestral encontrada es 0.0005. Use una confiabilidad del 95% para probar si se está violando la especificación de la varianza poblacional. ¿Qué es necesario suponer para que estas inferencias tengan validez?

12 Para la proporción poblacional \(\pi\)

Se tiene una muestra aleatoria \(X_1,\ldots,X_n\), con \(X_i \stackrel{\text{IID}}{\sim} \textsf{Bernoulli}(\pi)\), para \(i=1,\ldots,n\).

La variable aleatoria pivote es:

\[ Z = \frac{P-\pi}{\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}}}\sim \textsf{N}(0,1) \] donde \(P=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) es la proporción muestral, siempre que \(n\) sea grande (en virtud del Teorema del Límite Central y otro teorema de similar importancia). Además, empíricamente se ha visto que esta aproximación es aceptable siempre que \(n p \geq 5\) y \(n(1 - p) \geq 5\).

Entonces: \[ \textsf{Pr}\left(P-z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}}\leq\pi\leq P+z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{P(1-P)}{n}}\right)=1-\alpha \] donde \(z_{1-\alpha/2}\) es el percentil \(1-\alpha/2\) de una distribución Normal estándar.

13 Ejemplo

Simular 100K de muestras aleatorias de tamaño \(n=30\) de una población Bernoulli con media \(\pi=0.3\), y para cada muestra aleatoria, calcular la estimación y el intervalo de confianza para \(\pi\) al 95% de confianza correspondiente. ¿Cuál es la distribución muestral de la variable pivote? ¿Qué proporción de intervalos contiene el valor de \(\pi\)?

# parametros de la poblacion (modelo)
pii <- 0.3
# tamaño de la muestra
n <- 30
# percentiles
z975 <- qnorm(p = 0.975)
# numero de simulaciones
M <- 100000
# objeto para almacenar los promedios
PI <- matrix(data = NA, nrow = M, ncol = 1)
IC <- matrix(data = NA, nrow = M, ncol = 2)
# simulacion
set.seed(1)
for (i in 1:M) {
  x <- rbinom(n = n, size = 1, prob = pii)
  p <- mean(x)
  PI[i,1] <- p
  IC[i,1] <- p - z975*sqrt(p*(1-p)/n)
  IC[i,2] <- p + z975*sqrt(p*(1-p)/n)
}

# inspeccion
dim(PI)

## [1] 100000      1

head(PI)

##           [,1]
## [1,] 0.3000000
## [2,] 0.2666667
## [3,] 0.3666667
## [4,] 0.3000000
## [5,] 0.2333333
## [6,] 0.3000000

mean(PI)

## [1] 0.2997037

hist(x = (PI-pii)/sqrt(PI*(1-PI)/n), freq = F, col = "white", xlim = c(-4,4), xlab = "z", ylab = "Densidad", main = "")
curve(expr = dnorm(x), col = 2, add = TRUE)

# inspeccion
dim(IC)

## [1] 100000      2

head(IC)

##            [,1]      [,2]
## [1,] 0.13601765 0.4639824
## [2,] 0.10842438 0.4249090
## [3,] 0.19422614 0.5391072
## [4,] 0.13601765 0.4639824
## [5,] 0.08198448 0.3846822
## [6,] 0.13601765 0.4639824

# cobertura
tmp <- (IC[,1] < pii) & (pii < IC[,2])
head(tmp)

## [1] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE

# proporcion
mean(tmp)

## [1] 0.95339

14 Ejercicio

Considere el conjunto de datos birthwt de la libreria MASS de R. Este conjunto de datos incluye el peso al nacer (en gramos) de 189 recién nacidos junto con algunas características de sus madres (e.g., edad). Los datos se recopilaron en Baystate Medical Center, Springfield, MA, durante 1986.

Encontrar el intervalo de confianza al 95% para la proporción poblacional de madres que fuman durante su embarazo (birthwt$smoke).

15 Ejercicio

Las concentraciones de contaminantes atmosféricos, como monóxido de carbono (CO), se pueden medir con un espectrómetro. En una prueba de calibración, se hicieron 50 mediciones de una muestra de gas del laboratorio que se sabía tenía una concentración de CO de 70 partes por millón (ppm). Se considera que una medición es satisfactoria si está dentro de 5 ppm de la concentración verdadera. De las 50 mediciones, 37 fueron satisfactorias.

1. ¿Qué proporción de mediciones de la muestra fue satisfactoria?
2. Determine un intervalo de confianza de 95% para la proporción de mediciones hechas por este instrumento que serán satisfactorias.
3. Determine un intervalo de confianza de 99% para la proporción de mediciones hechas por este instrumento que serán satisfactorias.
4. ¿Cuántas mediciones se debe tomar para especificar la proporción de mediciones satisfactorias dentro de \(\pm\) 0.10 con una confianza de 95%?
5. ¿Cuántas mediciones se debe tomar para especificar la proporción de mediciones satisfactorias dentro de \(\pm\) 0.10 con una confianza de 99%?

16 Referencias