Inequações

As inequações são ferramentas matemáticas utilizadas para expressar desigualdades entre valores numéricos. Ao contrário das equações, que estabelecem uma igualdade entre duas expressões, as inequações representam uma relação de ordem entre duas quantidades.

Uma inequação é composta por uma expressão matemática que envolve variáveis, constantes e operadores relacionais, como maior que (>), menor que (<), maior ou igual a (≥), menor ou igual a (≤) e diferente de (≠). Esses operadores indicam as relações de desigualdade entre as quantidades envolvidas.

O principal objetivo ao resolver uma inequação é determinar o conjunto de valores para os quais a desigualdade é verdadeira. Esse conjunto de valores é chamado de solução da inequação.

As inequações podem ser representadas de diversas formas, dependendo do contexto e da preferência do problema em questão. Algumas formas comuns de representação incluem a notação simbólica utilizando os operadores relacionais, a representação gráfica em um plano cartesiano ou a representação em uma reta numérica.

Ao resolver uma inequação, é importante considerar as propriedades matemáticas válidas para as operações envolvidas. Por exemplo, ao multiplicar ou dividir ambos os lados da inequação por um número negativo, é necessário inverter o sinal da desigualdade.

As inequações têm diversas aplicações em diferentes áreas do conhecimento, como economia, ciências, engenharia e estatística. Elas permitem analisar e expressar relações de ordem em situações cotidianas, como restrições de idade, limites de tempo, faixas de temperatura, entre outros.

O estudo das inequações é fundamental para o desenvolvimento de habilidades de raciocínio lógico e análise quantitativa. Por meio das inequações, podemos tomar decisões informadas, estabelecer limites e compreender as relações entre diferentes grandezas.

Interpretação gráfica

A interpretação gráfica de uma inequação é uma forma visual e intuitiva de analisar as soluções da desigualdade representada. Ao plotar o gráfico de uma inequação em um plano cartesiano, podemos visualizar as regiões do plano em que a desigualdade é verdadeira.

Para começar, é importante identificar a variável da inequação e a expressão que a envolve. Por exemplo, consideremos a inequação simples: \(y > 2x - 1\). Nesse caso, temos a variável \(y\) e a expressão \(2x - 1\) que determina a relação entre \(x\) e \(y\).

A partir disso, podemos construir o gráfico da inequação seguindo os seguintes passos:

  1. Plotar a reta correspondente à igualdade: Para a inequação \(y > 2x - 1\), começamos plotando a reta \(y = 2x - 1\), que representa a igualdade. Isso é feito traçando uma linha reta no plano cartesiano, conectando dois pontos quaisquer que satisfaçam a equação.

  1. Determinar a região sombreada: Após traçar a reta, devemos determinar em qual região do plano a desigualdade é verdadeira. Para isso, escolhemos um ponto de teste \((x, y)\) que não pertença à reta e verificamos se a inequação é satisfeita.

    • Se a inequação for verdadeira, a região acima da reta é sombreada, indicando que os pontos nessa região são soluções da desigualdade.

    • Se a inequação for falsa, a região abaixo da reta é sombreada, indicando que os pontos nessa região não são soluções da desigualdade.

  2. Traçar as bordas da região sombreada: Para delimitar a região sombreada, traçamos linhas pontilhadas ou tracejadas que definem as fronteiras da região. Essas linhas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas, dependendo da forma da inequação.

  1. Indicar a solução da inequação: Ao finalizar o gráfico, podemos destacar a solução da inequação indicando a região sombreada ou destacando os pontos específicos que satisfazem a desigualdade.

A interpretação gráfica de uma inequação facilita a compreensão visual das soluções possíveis. O gráfico nos permite identificar a região em que a desigualdade é verdadeira e visualizar as interseções com outros gráficos ou regiões do plano. Além disso, a interpretação gráfica é especialmente útil para visualizar e comparar várias inequações simultaneamente.

É importante ressaltar que a interpretação gráfica é uma das abordagens para analisar inequações, e ela complementa outros métodos, como a resolução algébrica. Juntas, essas abordagens fornecem um entendimento abrangente das soluções de uma inequação e permitem explorar as relações entre as variáveis envolvidas.

Inequações de primeiro grau

As inequações de primeiro grau são muito comuns na matemática e têm muitas aplicações na vida cotidiana, como na análise de dados econômicos, no cálculo de intervalos de temperatura ou tempo, na resolução de problemas envolvendo desigualdades sociais, entre outros. Elas são semelhantes às equações de primeiro grau, porém, em vez de igualdades, possuem desigualdades, indicando que uma expressão é maior ou menor que outra. A resolução de inequações de primeiro grau é importante para a compreensão das relações entre as grandezas envolvidas e para a tomada de decisões baseadas em informações quantitativas. Nesta aula, veremos os conceitos básicos de inequações de primeiro grau, como interpretar sua representação gráfica e como resolver problemas que envolvem esse tipo de desigualdade.

Definição e formato

A fórmula geral de uma inequação de primeiro grau é dada por:

\(ax + b < 0\)

ou

\(ax + b > 0\)

onde “a” e “b” são constantes e “x” é a variável. Essa fórmula representa uma desigualdade em que a expressão linear ax + b é comparada a zero.

Na inequação \(ax + b < 0\), a solução consiste nos valores de “x” que tornam a expressão \(ax + b\) menor que zero. Já na inequação \(ax + b > 0\), a solução consiste nos valores de “x” que tornam a expressão \(ax + b\) maior que zero.

Essa fórmula geral nos permite representar e analisar diversas situações em que há desigualdades lineares. Através dela, podemos determinar intervalos de valores para a variável “x” que satisfazem a inequação, e assim compreender as relações de ordem e magnitude presentes nos problemas matemáticos e aplicados.

Um exemplo de inequação de primeiro grau utilizado na química é a seguinte:

\(2x - 5 > 0\)

Nesse caso, suponha que “x” represente a concentração de uma substância em uma solução química. A inequação acima indica que a concentração da substância deve ser maior que zero para que ela esteja presente em quantidade significativa na solução.

Essa inequação pode ser interpretada da seguinte forma: “A concentração da substância na solução deve ser maior que zero para que haja uma quantidade suficiente para que ocorra uma reação química desejada.”

Resolver essa inequação nos permitirá determinar os valores de “x” que satisfazem a condição de concentração maior que zero, o que é fundamental para o planejamento e controle de experimentos químicos, garantindo a presença adequada dos reagentes e a ocorrência dos processos químicos desejados.

Para resolvê-la iremos proceder da seguinte forma:

\[\begin{eqnarray} 2x - 5 &>& 0\\ 2x &>& 5\\ x &>& \frac{5}{2}\\ x &>& 2,5\\ S &=& \{x > 2,5\} \end{eqnarray}\]

Assim, a partir da concentração de 2,5 gramas da substância x teremos a reação desejada.

Casos especiais

As inequações podem apresentar casos especiais que fogem um pouco da forma geral de uma inequação de primeiro grau. Alguns desses casos envolvem inequações com valores absolutos e inequações compostas.

No caso das inequações com valores absolutos, temos a presença do símbolo de valor absoluto (| |) em uma ou ambas as partes da inequação. Isso ocorre quando precisamos levar em consideração tanto os valores positivos quanto os valores negativos da expressão envolvida. Por exemplo, considere a inequação \(|x - 3| > 2\). Nesse caso, temos que considerar tanto os valores de “x” que fazem com que \(x - 3\) seja maior que 2, quanto os valores de “x” que fazem com que \(x - 3\) seja menor que -2. A solução dessa inequação será um intervalo de valores de “x” que satisfazem essa condição.

Já as inequações compostas envolvem mais de uma desigualdade combinadas através dos conectivos lógicos “e” (and) ou “ou” (or). Por exemplo, considere a inequação \((2x - 1 > 0)\) ou \((x + 3 < 5)\). Nesse caso, temos duas desigualdades separadas pelos conectivos “ou”. A solução dessa inequação será a união das soluções de cada desigualdade individual. Ou seja, devemos encontrar os valores de “x” que satisfazem uma ou outra desigualdade.

Esses casos especiais das inequações adicionam uma camada de complexidade e requerem uma análise cuidadosa para determinar a solução correta. O estudo dessas situações é importante para compreender as diferentes nuances das desigualdades e aplicá-las de forma adequada em diversos contextos, incluindo aplicações na química, em que a variação de valores pode levar a diferentes resultados ou condições de reações químicas.

Na disciplina de Fundamentos de Matemática 2, voltaremos a estes casos e iremos resolvê-los, neste momento iremos apenas nos dedicar aos casos comuns.

Exemplos de aplicação

  1. Uma empresa de produção de sucos precisa embalar as garrafas em pacotes com no máximo 12 unidades. Se eles têm 200 garrafas para embalar, quantos pacotes no máximo eles poderão formar?

Solução:

Para encontrar a resposta, vamos dividir o número total de garrafas pelo tamanho máximo do pacote:

200 garrafas ÷ 12 garrafas por pacote = 16,67 pacotes

No entanto, como não podemos ter uma quantidade decimal de pacotes, arredondaremos o resultado para o número inteiro mais próximo. Neste caso, arredondaremos para baixo, pois não podemos ter mais pacotes do que o número inteiro máximo.

Portanto, a empresa poderá formar no máximo 16 pacotes de garrafas.

Essa solução leva em consideração a restrição do número máximo de garrafas por pacote e nos fornece o número máximo de pacotes que podem ser formados com as 200 garrafas disponíveis.

  1. Uma academia oferece um plano de mensalidade com valor fixo mais uma taxa de adesão. O valor fixo é de R$ 150,00 e a taxa de adesão é de até R$ 50,00. Qual é o valor máximo que uma pessoa deve pagar para aderir a esse plano?

Solução

Nesse caso, o valor máximo que a pessoa deve pagar é a soma do valor fixo e da taxa de adesão. Portanto, o valor máximo é:

Valor máximo = Valor fixo + Taxa de adesão

Valor máximo = R$ 150,00 + R$ 50,00

Valor máximo = R$ 200,00

Assim, o valor máximo que uma pessoa deve pagar para aderir a esse plano é de R$ 200,00. Esse valor é obtido ao somar o valor fixo de R$ 150,00 com a taxa de adesão de até R$ 50,00.

  1. Um estudante precisa obter uma média final de no mínimo 7,0 para ser aprovado em uma disciplina. Se ele já obteve notas 6,5 e 7,8 em duas avaliações, qual a nota mínima que ele precisa obter na próxima avaliação para atingir a média necessária?

Solução

A média final é calculada somando todas as notas obtidas e dividindo pelo número total de avaliações. Nesse caso, temos três avaliações no total.

Para encontrar a nota mínima necessária na próxima avaliação, vamos utilizar a seguinte fórmula:

Média final = (Nota1 + Nota2 + Nota3) / Número de avaliações

Substituindo os valores conhecidos, temos:

7,0 = (6,5 + 7,8 + Nota3) / 3

Multiplicando ambos os lados da equação por 3, temos:

21 = 6,5 + 7,8 + Nota3

Somando as notas e rearranjando a equação, temos:

Nota3 = 21 - 6,5 - 7,8

Nota3 = 6,7

Portanto, o estudante precisa obter uma nota mínima de 6,7 na próxima avaliação para atingir a média necessária de 7,0 e ser aprovado na disciplina.

Exercícios

  1. Resolva a inequação: \(3x - 2 > 5\)
  2. Determine a solução da inequação: \(4x + 7 ≤ 3x - 2\)
  3. Encontre o conjunto solução da inequação: \(2x + 5 < 3x + 1\)
  4. Resolva a inequação: \(5 - 2x ≥ 3x + 4\)
  5. Determine a solução da inequação: \(2(x - 3) > 4x + 5\)
  6. Encontre o conjunto solução da inequação: \(-3x + 6 ≤ 4x - 2\)
  7. Resolva a inequação: \(2(3x - 1) > 4x + 5\)
  8. Determine a solução da inequação: \(2x - 3 ≤ 5 - x\)
  9. Encontre o conjunto solução da inequação: \(4 - 3x < 2x + 7\)
  10. Resolva a inequação: \(3x + 2 > 4 - 2x\)
  11. Um salário mínimo é de R$ 1.350,00. Quantos dias, no máximo, uma pessoa pode trabalhar por mês ganhando até R$ 100,00 por dia para ganhar um salário mínimo?
  12. Um supermercado oferece um desconto de 20% em determinado produto. Se o preço original é de R$ 80,00, qual é o valor máximo que uma pessoa pode pagar para obter o desconto?
  13. Uma empresa de telefonia cobra R$ 0,20 por minuto de ligação. Qual é o tempo máximo que uma pessoa pode falar, sabendo que o valor total da ligação não pode ultrapassar R$ 10,00?
  14. Uma piscina demora no máximo 4 horas para encher completamente. Se a vazão da água é de 500 litros por hora, qual é a capacidade máxima da piscina em litros?
  15. Um carro faz, no máximo, 15 km com 1 litro de combustível. Se uma viagem tem 200 km de distância, qual é a quantidade mínima de combustível necessária para completar a viagem?
  16. Uma loja de roupas oferece um desconto de 30% em todas as peças. Se uma calça custa R$ 120,00, qual é o preço máximo que uma pessoa pode pagar com o desconto?
  17. Um avião decola a uma velocidade de no máximo 300 km/h. Se a distância entre as cidades é de 900 km, qual é o tempo mínimo de voo entre elas?
  18. Um aluno precisa de uma média final de no mínimo 6,0 para passar de ano. Se ele já tem notas 6,5 e 7,8 nas duas primeiras avaliações, qual é a nota mínima que ele precisa na próxima avaliação para ser aprovado?
  19. Uma empresa tem um limite de gastos de R$ 500,00 por dia com materiais de escritório. Se já foram gastos R$ 300,00 hoje, qual é o valor máximo que ainda pode ser gasto?
  20. Um agricultor possui um terreno de no máximo 500 m² para plantar milho. Se ele já utilizou 300 m² do terreno, qual é a área máxima que ainda pode ser utilizada para o plantio?

Bibliografia

ARAUJO, Luís Cláudio Lopes de. Aprendendo matemática com o GeoGebra. São Paulo: Editora Exato, 2010.

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Demana, Franklin e outros. Pré-cálculo - 2ª Ed. Pearson, 2013.

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WICKHAM, Hadley. R para Data Science: Importe, Arrume, Transforme, Visualize e Module. Rio de Janeiro: Alta Books, 2019.