Grupo 24
Tres sucesos cumplen:
[$P(A) = P(B) = P(C) = 1/4, P(A∩B) = P(A∩C) = P(B∩C) = 1/7 , P(A∩B∩C) = 1/17$]{style="color: blue"}P (A ∪ B ∪ C)
\(P (A ∪ B ∪ C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A ∩ B)−P (A ∩ C)−P (B ∩ C)+ P (A ∩ B ∩ C) = 181/476\)
P (A ∪ C)
\(P (A ∪ C) = 5/14\)
No se cumple ni A ni
\(P(A' ∩ C') = P(A ∪ C)' = 1 -- 5/14 = 9/14\)
Se cumple B pero no se cumple ni A ni C
\(P (A ∪ B ∪ C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A ∩ B)−P (A ∩ C)−P (B ∩ C)+ P (A ∩ B ∩ C) = 181/476\)
La compañía Oracle dispone de 5 algoritmos en sus redes para realizar cualquier transacción de datos. Debido al gran tráfico que poseen sus redes no podemos asegurar cuántos algoritmos participan en 1 transacción concreta. Sabemos que para cualquier transacción aleatoria hay un 50% de probabilidades que solo 1 algoritmo intervenga, 25% que intervenga 2, 12.5% que intervenga 3, 6.25% para 4 y otro 6.25% que intervengan todos.
\(µX = (1*0.5) + (2*0.25) + (3*0.125) + (4*0.0625) + (5*0.0625) = 1.9375\)
2.Calcula la desviación típica(σX).
\((σX)^2=(1^2*0.5) + (2^2*0.25) + (3^2*0.125) + (4^2*0.0625) + (5^2*0.0625) - 1.9375^2 = 367/256 = 1.43359375\) \(σX = (367/256)^(1/2) = 1.19737754\)
3.Calcula la probabilidad de que intervengan solo 4 algoritmos.
\(P(X=4) = 1/16 = 0.0625\)
4.Calcula la probabilidad de que intervengan 3 o menos algoritmos.
\(P(X\leq 3) = P(X= 1) + P(X= 2) + P(X= 3) = 0.5 + 0.25 + 0.125 = 0.875\)
En un pueblo de Castilla la Mancha se ha observado que en un periodo de 15 años han habido 240 días en los que la lluvia ha sido más intensa que L. Usando Poisson, calcula la probabilidad de superar el valor L:
X = veces que llueve con más intensidad que L. λ = veces que llueve con más intensidad por año. λ = 240/15 = 16.
20 veces en el año 1998.
\(P(X = 20) = dpois(20,16) = 0.0559\)
Más de 15 veces en el próximo año.
\(P(X > 15) = 1 - P(X<=15) = ppois(15, 16, FALSE) = 0.5332\)
Más de 70 veces en 4 años.
\(P(X > 70) = 1 - P(X<=70) = ppois(70, 64, FALSE) = 0.2061, donde λ = 16*4(numero de años) = 64\)
Menos de 35 veces en 3 años.
\(P(X < 35) = ppois(35,48) = 0.0309, donde λ = 16*3(numero de años) = 48\)
El número de respuestas erroneas que puede generar ChatGPT en 1 segundo sigue una districución de Poisson con una media de 1.54 errores.
x<-c(0.4, 1.5, 1.2, 1.49, 1.53, 1.01, 1.833, 1.7, 2.11, 1.1, 1.63, 1.5, 3.134, 2.11, 0.998, 1.8, 2, 0.569, 1.9, 1.2, 1.61) representa una muestra de cantidad de errores producidos en un intervalo de segundos aleatorios. Realiza un Histograma con sus datos y verifica si la media de esta muestra sigue la distribución de Poisson.
\(hist(x,breaks="FD")\)
\(mean(x)=1.544\)
¿Cuál es la probabilidad de realizar 2 respuestas errores en un margen de 1 segundo?
\(P(x=2) = dpois(2,1.54) = 0.2542131\)
Si seleccionamos 3600 segundos aleatorios y anotamos los errores realizados.¿Cuál es la probabilidad de que la media de errores por segundo sea de 2?
\(P(x<1.50) = pnorm(1.50,1.54,sqrt(1.54)/60)\)
¿Cuál es la probabilidad de que se hayan producido 0.5 errores si suponemos que en 1 segundo determinado se produjeron 1,5 errores?
\(P(x = 0.5)/P(x = 1.5) = ppois(0.5, 1.54)/ppois(1.5, 1.54) = 0.3937008\)
Si tomamos aleatoriamente 1800 segundos y observamos los errores producidos, ¿cuál es la probabilidad de que la media de errores esté entre 1.55 y 1.65?
\(P(1.5 \leq x \leq 1.65) = P(x \leq 1.65) - P(x \leq 1.50) =\)
\(pnorm(1.65, 1.54, sqrt(1.54/1800)) - pnorm(1.55, 1.54, sqrt(1.54/1800)) = 0.3661352\)
En un almacén tienen un 10% de cajas rosas y un 45% de cajas rosas, verdes y rosas-verdes. Se sabe que solo cajas verdes hay un 36%. Calcular:
\(P(R) = 0.1, P(V U R) = 0.45, P(V) = 0.36\) \(P(R∩V) = 0.01\) \(P(V U R) = P(V) + P(R) – P(R∩V)\)
\(0.45 0.1 0.36 X= 0.01\)
a)Si una caja es rosa, cual es la probabilidad de que sea también verde:
\(P(V/R) = ( P(V)∩P(R) ) / P(R) = 0.01 /0.36 = 0.0278\)
b)Cual es la probabilidad de que cogiendo 12 cajas, al menos 2 sean rosas:
[\(Bi(12,0.1)\)] {style=“color: blue”} \(P(Y>=2) = 1 – P(Y<=1) = 0.3410\)
c)Cual es la probabilidad de que cogiendo 4 cajas, mas de 3 sean rosas-verdes.
\(Bi(4,0.01)\)
\(P(y > 3) = 1 – P(y<=3) = casi 0\)
d)Si una caja es verde, cual es la probabilidad de que sea también rosa.
\(P(R/V) = ( P(R) ∩P(V) ) / P(V) = 0.01/0.1 = 0,1\)
Se ha recogido una muestra de 30 automóviles producidos por la empresa UCLM CARS S.A., donde el tiempo medio de vida de cada automóvil fue de 23 y la desviacion tipica de 9 años.
Halla un intervalo de confianza del 90 % para el tiempo de vida medio de los automóvies producidos por este metodo.
\(qnorm(0.95, 0, 1) -> (Calculamos Z(alfa/2))\)
\((23 + 1.645*(9/sqrt(30)) , 23 - 1.645*(9/sqrt(30))) = (20.29 , 25.70)\)
Halla un intervalo de confianza del 99 % para el tiempo de vida medio de los automóviles producidos por dicho metodo.
\(qnorm(0.995, 0, 1) -> (Calculamos Z(alfa/2))\)
\((23 + 2.574*(9/sqrt(30)) , 23 - 2.574*(9/sqrt(30))) = (18.77 , 27.23)\)
Según un estudio, el presidente de la empresa afirma que el tiempo de vida medio de cada automóvil está entre los 21 y 25 años. ¿Con que nivel de confianza se puede hacer esa afirmacion?
\(P(21 < X < 25) = P( (21-23)/(9/sqrt(30)) < Z < (25-23)/(9/sqrt(30)) )\)
\(= P(-1.22 < X < 1.22) = 0.8888 - 0.1112 = 0.7776 = 77.76%\)
\(1-pnorm(-1.22)\)
\(1-pnorm(1.22)\)
Aproximadamente, ¿cuantos automóviles se deben muestrear con el proposito de que un intervalo de confianza de 90 % especifique la media dentro de ±4 años?
\(qnorm(0.95, 0, 1)\)
\(e = (1.645*(9/(sqrt(n))) -> sqrt(n) = (1.645*(9/4) -> n = (1.645*(9/4))^2 = 13.699 = 14\)
Supongamos que trabajamos en una fabrica de productos alimentarios y la compañía nos asegura de que un determinado producto pesa exactamente 500g, sin embarco la media del peso calculado de 50 probados es de 502g.
H0: “cada producto pesa aproximadamente 500g” H1: “cada producto no pesa 500g”
Sabiendo que la desviación estandar muestral(s) es del 10g, calcula el estadístico con los datos aportados.
\(Zs=(502-500)/(10/sqrt(50)) ≈ 1.1414)\)
¿Cuál es el valor de la región crítica si el nivel de significancia es del 0.05?
\(Zα/2 = qt(1-0.05,50-1)= 1.67\)
¿Se rechaza o no la hipótesis nula conociendo ya la región crítica y el estadístico?
\(Zs < Zα/2 => H0\)
Comprueba la hipótesis nula mediante la compracación del p-valor de Zs y Zα/2.
\(pvalor(Zs)=2*(1-pt(1.1414,49))=0.26\)
\(pvalor(Zα/2)=2*(1-pt(1.67,49))=0.10\)
\(pvalor(Zα/2)<pvalor(Zs)=>H0\)
La concentración de plomo de un tipo determinado de gasolina se ve afectada por el tipo de refinadora utilizada en el proceso. Sabemos que la desviación estandar es de 2.5 gramos de plomo por litro y que siguen distribuciones normales. Se han realizado 10 observaciones:
Refinadora 1: 55.2, 57.8, 54.5, 55.6, 59.1, 60.2, 52.4, 49.9, 52.5, 51.7 Refinadora 2: 59.3, 60.2, 57.3, 54.6, 58.2, 63.1, 58.8, 57.6, 60.3, 61.4
Hallar un intervalo de confianza del 97 % para la diferencia entre las medias de la concentracion de plomo para las refinadoras.
σ1 = σ2 = 2.5 media 1 = 54.89, media 2 = 59.08
\(qnorm(0.985, 0, 1) = z(alfa/2) = 2.17\)
\(((54.89 - 59.08) - 2.17*sqrt((2.5^2/10)+(2.5^2/10)) = -6.62\) \(((54.89 - 59.08) + 2.17*sqrt((2.5^2/10)+(2.5^2/10)) = -1.76\)
\((-6.62, -1,76)\)
2)Contrastar la hipotesis H0: µ1 = µ2 frente a H1: µ1 != µ2. ¿Para que valor de α rechazarıamos la hipotesis nula?. Usando el estadístico contraste.
Estadístico contraste: \((54.89 - 59.08)/(sqrt(2.5^2/10 + 2.5^2/10) = -3.748\)
Estadístico contraste = \(-3.748 < z(alfa/2)\) , debemos rechazar la hipótesis nula
3)Contrata la hipotesis del apartado anterior pero utilizando el p-valor.
\(t.test(ref1, ref2, paried = FALSE, conf.level = 0.97)\)
\(p-valor = 0.0053 < alfa\), rechazamos la hipótesis nula
Hallar un intervalo de confianza del 97 %, suponiendo que σ2 = 4.
\(((54.89 - 59.08) - 2.17*sqrt((2.5^2/10)+(4^2/10)) = -7.43\)
\(((54.89 - 59.08) + 2.17*sqrt((2.5^2/10)+(4^2/10)) = -0.95\)
\((-7.43, -0.95)\)
Se desea determinar si existen diferencias significativas entre las medias de tres tratamientos (A, B y C) en cuanto a la cantidad de sales disueltas en el agua. Se realizan mediciones en 12 muestras aleatorias de cada tratamiento y se obtienen los siguientes resultados:
Tratamiento A: 4.2, 5.0, 4.9, 5.1, 4.7, 5.2, 4.8, 5.0, 4.9, 4.8, 4.6, 5.2 Tratamiento B: 4.8, 5.1, 5.0, 5.2, 4.9, 5.3, 5.1, 5.0, 4.9, 5.2, 5.3, 5.1 Tratamiento C: 5.1, 5.3, 5.2, 5.4, 5.0, 5.1, 5.3, 5.2, 5.1, 5.0, 5.5, 5.2
Realiza un análisis de varianza (ANOVA) para determinar si existen diferencias significativas entre las medias de los tres tratamientos.
En primer lugar, calculamos la media y la desviación estándar de cada tratamiento:
Media del tratamiento A: \(4.9167\); desviación estándar: \(0.2517\)
Media del tratamiento B: \(5.0667\); desviación estándar: \(0.1813\)
Media del tratamiento C: \(5.2167\); desviación estándar: \(0.1732\)
A continuación, se calculan las sumas de cuadrados y los grados de libertad:
Suma de cuadrados entre tratamientos (SSentre): \(0.6036\)
Grados de libertad entre tratamientos (DFentre):\(2\)
Suma de cuadrados dentro de los tratamientos (SSdentro): \(0.1947\)
Grados de libertad dentro de los tratamientos (DFdentro): \(33\)
Suma de cuadrados total (SStotal): \(0.7983\)
Grados de libertad total (DFtotal): \(35\)
Calculamos el estadístico F y su valor p correspondiente:
Estadístico F: \(3.0986\)
Valor p: \(0.0584\)
Interpretamos los resultados. Como el valor p (0.0584) es mayor que el nivel de significación usual de 0.05, no podemos rechazar la hipótesis nula de que no hay diferencias significativas entre las medias de los tres tratamientos. Por lo tanto, concluimos que no hay evidencia suficiente para afirmar que los tratamientos A, B y C tienen diferentes medias en cuanto a la cantidad de sales disueltas en el agua.
a<-c(18.31, 19.00, 18.98, 18.68, 19.43, 20.18, 22.41, 21.58, 22.54, 22.74, 23.80, 21.32, 21.21, 20.80, 21.83);
c<-c(10.37, 9.91, 9.31, 9.29, 10.23, 10.16, 10.92, 12.28, 12.90, 13.87, 13.23, 12.78, 10.66, 10.45, 10.87);
t.test(a, c, paried = FALSE, conf.level = 0.95)