Caso 23. Distribución Exponencial
Emilio Salas Luján
2023-05-08
1 Objetivo
2 Fudamento Teórico
2.1 Concepto
Muchos de las situaciones de las ciencias en términos de probabilidad pueden resolverse con la distribución normal y estandarizada Z, sin embargo, exiten situaciones especiales en donde resulta necesario conocer y aplicar otras distribuciones como lo es la distribución exponencial. [@devore2016]
De cuerdo Anderson (2018) la distribución de probabilidad exponencial se aplica a variables como las llegadas de automóviles a un centro de lavado de autos, los tiempos requeridos para cargar un camión, las distancias entre dos averías en una carretera, entre otras situaciones[@anderson_estadistica_2008].
Otros contextos para tratar con distribución exponencial ptiene que ver con la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas de larga distancia comerciales y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un automóvil. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente. [@openstax] [@openstax]
Por otra parte la representación visual de la densidad de una distribución exponencial significa que hay valores de densidad altos a valores de \(x\) pequeños y viceversa, hay valores de densidad bajo a grandes valores de \(x\).
La distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua que se utiliza para modelar el tiempo o espacio entre eventos en un proceso y tiene relación directa con la distribución discreta de Poisson.
La distribución exponencial es la distribución de probabilidad del tiempo o espacio entre dos eventos en un proceso de Poisson, donde los eventos ocurren de manera continua e independiente a una tasa constante \(\lambda\) llamado lambda.
\(\lambda\) lambda representa una tasa constante (valor constante) sobre la ocurrencia de eventos de manera continua e independiente.
En R existen las funciones estadísticas para tratar con distribución expnencial que se obervarán en este caso:
dexp() para densidad,
pexp() para probabilidad acumulada
qexp para devolver valores de x de acuerdo a probabilidades acumuladas. Es la inversa de pexp()
rexp() para generación de valores aleatorios de x.
2.2 Función de Densidad
\[ f(x) = \lambda \cdot e^{-\lambda\cdot x} \]
La función de densidad en R se obtiene con dexp()
Se requiere el valor de lambda \(\lambda\) taza constante y continua y/o valor de media.
Se requiere el valor de $e =
2.718282$
Se requiere el valor de la variable aleatoria continua \(x\)
2.3 Función acumulada
\[ F(x) = P(X\le x) = 1 - e^{-\lambda\cdot x} \text{ si x } \ge 0 \]
La función acumulada de probabilidad en R se obtiene con pexp()
2.4 Valor esperado
\[ \frac{1}{\lambda} \]
2.5 Varianza y desviación estándar
\[ Varianza = \sigma^{2}= \frac{1}{\lambda^{2}} \]
\[ Desv.Std = \sigma = \sqrt{\sigma^{2}} \]
3 Descripcón
Se calculan probabilidades de acuerdo a la función de densidad y probabilidades acumuladas de varios ejercicios relacionados con distribución Exponencial.
Se muestran gráficos de densidad y probabilidad acumulada
Se interpreta los ejercicios y el caso final
4 Desarrollo
4.1 Cargar librerías
library(dplyr)
library(mosaic)
library(ggplot2) # Para gráficos
library(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón
library(visualize)
options(scipen=999) # Notación normal4.2 Establecer semilla para valores aleatorios
set.seed(2023)4.3 Visualización de densidad de una distribución Exponencial
4.3.1 Inicializar variables
Se crea una secuencia de valooes de x desde 0 hasta 10 de saltos 0.2 en .2 para generar 50 valores continuos.
constante_lambda = 1
x = seq(from = 0, to= 10, by=0.2)
# Densidad
print("Densidad")## [1] "Densidad"densidad <- round(dexp(x = x, rate = constante_lambda), 6)
densidad## [1] 1.000000 0.818731 0.670320 0.548812 0.449329 0.367879 0.301194 0.246597
## [9] 0.201897 0.165299 0.135335 0.110803 0.090718 0.074274 0.060810 0.049787
## [17] 0.040762 0.033373 0.027324 0.022371 0.018316 0.014996 0.012277 0.010052
## [25] 0.008230 0.006738 0.005517 0.004517 0.003698 0.003028 0.002479 0.002029
## [33] 0.001662 0.001360 0.001114 0.000912 0.000747 0.000611 0.000500 0.000410
## [41] 0.000335 0.000275 0.000225 0.000184 0.000151 0.000123 0.000101 0.000083
## [49] 0.000068 0.000055 0.000045# Acumulada
print("Probabildia Acumulada")## [1] "Probabildia Acumulada"acumulada <- round(pexp(q = x, rate = constante_lambda), 6)
acumulada## [1] 0.000000 0.181269 0.329680 0.451188 0.550671 0.632121 0.698806 0.753403
## [9] 0.798103 0.834701 0.864665 0.889197 0.909282 0.925726 0.939190 0.950213
## [17] 0.959238 0.966627 0.972676 0.977629 0.981684 0.985004 0.987723 0.989948
## [25] 0.991770 0.993262 0.994483 0.995483 0.996302 0.996972 0.997521 0.997971
## [33] 0.998338 0.998640 0.998886 0.999088 0.999253 0.999389 0.999500 0.999590
## [41] 0.999665 0.999725 0.999775 0.999816 0.999849 0.999877 0.999899 0.999917
## [49] 0.999932 0.999945 0.9999554.3.2 Presentar los datos
datos <- data.frame(x = x, f.x = densidad, F.x = acumulada)
datos## x f.x F.x
## 1 0.0 1.000000 0.000000
## 2 0.2 0.818731 0.181269
## 3 0.4 0.670320 0.329680
## 4 0.6 0.548812 0.451188
## 5 0.8 0.449329 0.550671
## 6 1.0 0.367879 0.632121
## 7 1.2 0.301194 0.698806
## 8 1.4 0.246597 0.753403
## 9 1.6 0.201897 0.798103
## 10 1.8 0.165299 0.834701
## 11 2.0 0.135335 0.864665
## 12 2.2 0.110803 0.889197
## 13 2.4 0.090718 0.909282
## 14 2.6 0.074274 0.925726
## 15 2.8 0.060810 0.939190
## 16 3.0 0.049787 0.950213
## 17 3.2 0.040762 0.959238
## 18 3.4 0.033373 0.966627
## 19 3.6 0.027324 0.972676
## 20 3.8 0.022371 0.977629
## 21 4.0 0.018316 0.981684
## 22 4.2 0.014996 0.985004
## 23 4.4 0.012277 0.987723
## 24 4.6 0.010052 0.989948
## 25 4.8 0.008230 0.991770
## 26 5.0 0.006738 0.993262
## 27 5.2 0.005517 0.994483
## 28 5.4 0.004517 0.995483
## 29 5.6 0.003698 0.996302
## 30 5.8 0.003028 0.996972
## 31 6.0 0.002479 0.997521
## 32 6.2 0.002029 0.997971
## 33 6.4 0.001662 0.998338
## 34 6.6 0.001360 0.998640
## 35 6.8 0.001114 0.998886
## 36 7.0 0.000912 0.999088
## 37 7.2 0.000747 0.999253
## 38 7.4 0.000611 0.999389
## 39 7.6 0.000500 0.999500
## 40 7.8 0.000410 0.999590
## 41 8.0 0.000335 0.999665
## 42 8.2 0.000275 0.999725
## 43 8.4 0.000225 0.999775
## 44 8.6 0.000184 0.999816
## 45 8.8 0.000151 0.999849
## 46 9.0 0.000123 0.999877
## 47 9.2 0.000101 0.999899
## 48 9.4 0.000083 0.999917
## 49 9.6 0.000068 0.999932
## 50 9.8 0.000055 0.999945
## 51 10.0 0.000045 0.9999554.3.3 Visualizar los datos
ggplot(data = datos, aes(x = x, y = f.x)) +
geom_point(color = 'blue') +
geom_line(color = 'red')
Aquí otra forma de representar curvas de densidad de una distribución exponencial [@rubio]
curve(dexp(x, rate = 1.0), from=0, to=10, col='blue')
curve(dexp(x, rate = 1.5), from=0, to=10, col='red', add=TRUE)
curve(dexp(x, rate = 2.0), from=0, to=10, col='purple', add=TRUE)
legend("topright",
legend=c("rate=1.0", "rate=1.5", "rate=2.0"),
col = c("blue", "red", "purple"),
lty=1, cex=1.2)
4.4 Cálculo de probabilidades
Siguiendo con el ejercicio inicial de lambda = 1 con valores desde 0 hasta 10 de 0.2 en 0.2.
4.4.1 ¿cuál es la probabilidad a la izquierda cuando x sea 0.5 o menor?
\(f(x\le0.5)\)
Entonces :
prob = round(pexp(q = 0.5, rate = constante_lambda), 6)
paste("La probabilida área bajo la curva es ...", prob, " aproximadamente " , prob * 100, "%")## [1] "La probabilida área bajo la curva es ... 0.393469 aproximadamente 39.3469 %"4.4.2 Visualización de área bajo la curva
Usando la función visualize.exp() de la librería visualize
visualize.exp(stat = 0.5, theta = constante_lambda, section = "lower")
4.4.3 ¿cuál es la probabilidad del intervalo entre 0.5 y 2?
\(P(0.5 \le X \le 2)\)
prob = round(pexp(q = 2, rate = constante_lambda) - pexp(q = 0.5, rate = constante_lambda), 6)
paste("La probabilida área bajo la curva es ...", prob, " aproximadamente " , prob * 100, "%")## [1] "La probabilida área bajo la curva es ... 0.471195 aproximadamente 47.1195 %"4.4.4 Visualización de área bajo la curva
Nuevamente usando la función visualize.exp() de la librería visualize
visualize.exp(stat = c(0.5, 2), theta = constante_lambda, section = "bounded")
4.4.5 ¿cuál es la probabilidad del a partir de 2 hacia la derecha?
\(P(X \ge 2)\)
prob = round(pexp(q = 2, rate = constante_lambda, lower.tail = FALSE), 6)
paste("La probabilida área bajo la curva es ...", prob, " aproximadamente " , prob * 100, "%")## [1] "La probabilida área bajo la curva es ... 0.135335 aproximadamente 13.5335 %"4.4.6 Visualización de área bajo la curva
Nuevamente usando la función visualize.exp() de la librería visualize
visualize.exp(stat = 2, theta = constante_lambda, section = "upper")
4.5 Valor esperado
De acuerdo a la fórmula arriba presentada:
VE = 1 / constante_lambda
paste ("El valor esperado es ...", VE)## [1] "El valor esperado es ... 1"4.6 Varianza y desviación
De acuerdo a la fórmula arriba presentada:
varianza = round(1 / constante_lambda^2, 6)
desv.std = round(sqrt(varianza), 6)
paste("Varianza = ", varianza, "Desv.Std = ", desv.std)## [1] "Varianza = 1 Desv.Std = 1"Valor de x a partir de q
qexp(p = 0.393469, rate = constante_lambda)## [1] 0.4999994print("Muy cercano al valor de x = 0.5")## [1] "Muy cercano al valor de x = 0.5"4.7 Valores aleatorios
aleatorios = rexp(n = 20, rate = constante_lambda)
aleatorios## [1] 0.80600371 1.27762725 3.54952691 0.74598022 0.79634198 1.82973500
## [7] 0.09887679 0.41803167 0.25630344 0.92874515 0.42590882 0.26170375
## [13] 0.49289887 2.14772908 0.51505897 0.32718421 0.44872219 1.16060466
## [19] 0.63014444 0.382362985 Desarrollo
Se presentan varios ejercicios extraídos de la literatura
6 Interpretación
La distribución en cuestión está relacionada con la distribución de Poisson, ya que su utilidad reside en el cálculo del tiempo de espera entre eventos. Curiosamente, esta distribución solo tiene un parámetro, llamado lambda, que representa la tasa de llegada de eventos. Es comúnmente utilizada para predecir tiempos de espera en servicios y fechas de caducidad en productos. Se representa mediante la fórmula f(x) = λe^-λx, donde x representa el tiempo de espera basado en la tasa de llegada de eventos determinada por lambda.
Lo que se describe en el texto es la distribución exponencial, una distribución de probabilidad continua que modela el tiempo de espera entre eventos de un proceso de Poisson, es decir, un proceso en el cual los eventos ocurren de manera aleatoria e independiente a una tasa constante lambda.
La distribución exponencial es importante en el análisis de sistemas en los que la duración del tiempo entre eventos es relevante, como en la predicción de tiempos de espera en una cola de clientes, o en la determinación del tiempo de vida útil de un producto.
La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial es f(x) = lambdae^(-lambdax), donde lambda es el parámetro de tasa de llegada de eventos y x es el tiempo de espera entre eventos. La distribución exponencial es una distribución de cola larga, lo que significa que hay una baja probabilidad de que ocurran eventos con tiempos de espera extremadamente largos.
7 Bibliografía
Distribution, T. n.d. “The t Distribution and t Tests.” https://rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/592214_9fa26a362abe49cca103e5f13ae0c60f.html. Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill. Mendenhall, William, Robert J. Beaver, and Barbara M. Beaver. 2010. Introducción a La Probabilidad y Estadística. 13th ed. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,.