Caso23_DistribucionExponencial
Miguel Angel Ramos Soto
2023-05-09
1 Objetivo
2 Fudamento Teórico
2.1 Concepto
Muchos de las situaciones de las ciencias en términos de probabilidad pueden resolverse con la distribución normal y estandarizada Z, sin embargo, exiten situaciones especiales en donde resulta necesario conocer y aplicar otras distribuciones como lo es la distribución exponencial. [@devore2016]
De cuerdo Anderson (2018) la distribución de probabilidad exponencial se aplica a variables como las llegadas de automóviles a un centro de lavado de autos, los tiempos requeridos para cargar un camión, las distancias entre dos averías en una carretera, entre otras situaciones[@anderson_estadistica_2008].
Otros contextos para tratar con distribución exponencial ptiene que ver con la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas de larga distancia comerciales y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un automóvil. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente. [@openstax] [@openstax]
Por otra parte la representación visual de la densidad de una distribución exponencial significa que hay valores de densidad altos a valores de \(x\) pequeños y viceversa, hay valores de densidad bajo a grandes valores de \(x\).
La distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua que se utiliza para modelar el tiempo o espacio entre eventos en un proceso y tiene relación directa con la distribución discreta de Poisson.
La distribución exponencial es la distribución de probabilidad del tiempo o espacio entre dos eventos en un proceso de Poisson, donde los eventos ocurren de manera continua e independiente a una tasa constante \(\lambda\) llamado lambda.
\(\lambda\) lambda representa una tasa constante (valor constante) sobre la ocurrencia de eventos de manera continua e independiente.
En R existen las funciones estadísticas para tratar con distribución expnencial que se obervarán en este caso:
dexp() para densidad,
pexp() para probabilidad acumulada
qexp para devolver valores de x de acuerdo a probabilidades acumuladas. Es la inversa de pexp()
rexp() para generación de valores aleatorios de x.
2.2 Función de Densidad
\[ f(x) = \lambda \cdot e^{-\lambda\cdot x} \]
La función de densidad en R se obtiene con dexp()
Se requiere el valor de lambda \(\lambda\) taza constante y continua y/o valor de media.
Se requiere el valor de $e =
2.718282$
Se requiere el valor de la variable aleatoria continua \(x\)
2.3 Función acumulada
\[ F(x) = P(X\le x) = 1 - e^{-\lambda\cdot x} \text{ si x } \ge 0 \]
La función acumulada de probabilidad en R se obtiene con pexp()
2.4 Valor esperado
\[ \frac{1}{\lambda} \]
2.5 Varianza y desviación estándar
\[ Varianza = \sigma^{2}= \frac{1}{\lambda^{2}} \]
\[ Desv.Std = \sigma = \sqrt{\sigma^{2}} \]
3 Descripcón
Se calculan probabilidades de acuerdo a la función de densidad y probabilidades acumuladas de varios ejercicios relacionados con distribución Exponencial.
Se muestran gráficos de densidad y probabilidad acumulada
Se interpreta los ejercicios y el caso final
4 Desarrollo
4.1 Cargar librerías
library(dplyr)
library(mosaic)
library(ggplot2) # Para gráficos
library(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón
library(visualize)
options(scipen=999) # Notación normal4.2 Cargar funciones precodificadas
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/funciones/funciones%20para%20disribuciones%20de%20probabilidad.R")##
## Attaching package: 'gtools'## The following object is masked from 'package:mosaic':
##
## logit## Warning: package 'plotly' was built under R version 4.2.3##
## Attaching package: 'plotly'## The following object is masked from 'package:mosaic':
##
## do## The following object is masked from 'package:ggplot2':
##
## last_plot## The following object is masked from 'package:stats':
##
## filter## The following object is masked from 'package:graphics':
##
## layout4.3 Establecer semilla para valores aleatorios
set.seed(2023)4.4 Visualización de densidad de una distribución Exponencial
4.4.1 Inicializar variables
Se crea una secuencia de valooes de x desde 0 hasta 10 de saltos 0.2 en .2 para generar 50 valores continuos.
constante_lambda = 1
x = seq(from = 0, to= 10, by=0.2)
# Densidad
print("Densidad")## [1] "Densidad"densidad <- round(dexp(x = x, rate = constante_lambda), 6)
densidad## [1] 1.000000 0.818731 0.670320 0.548812 0.449329 0.367879 0.301194 0.246597
## [9] 0.201897 0.165299 0.135335 0.110803 0.090718 0.074274 0.060810 0.049787
## [17] 0.040762 0.033373 0.027324 0.022371 0.018316 0.014996 0.012277 0.010052
## [25] 0.008230 0.006738 0.005517 0.004517 0.003698 0.003028 0.002479 0.002029
## [33] 0.001662 0.001360 0.001114 0.000912 0.000747 0.000611 0.000500 0.000410
## [41] 0.000335 0.000275 0.000225 0.000184 0.000151 0.000123 0.000101 0.000083
## [49] 0.000068 0.000055 0.000045# Acumulada
print("Probabildia Acumulada")## [1] "Probabildia Acumulada"acumulada <- round(pexp(q = x, rate = constante_lambda), 6)
acumulada## [1] 0.000000 0.181269 0.329680 0.451188 0.550671 0.632121 0.698806 0.753403
## [9] 0.798103 0.834701 0.864665 0.889197 0.909282 0.925726 0.939190 0.950213
## [17] 0.959238 0.966627 0.972676 0.977629 0.981684 0.985004 0.987723 0.989948
## [25] 0.991770 0.993262 0.994483 0.995483 0.996302 0.996972 0.997521 0.997971
## [33] 0.998338 0.998640 0.998886 0.999088 0.999253 0.999389 0.999500 0.999590
## [41] 0.999665 0.999725 0.999775 0.999816 0.999849 0.999877 0.999899 0.999917
## [49] 0.999932 0.999945 0.9999554.4.2 Presentar los datos
datos <- data.frame(x = x, f.x = densidad, F.x = acumulada)
datos## x f.x F.x
## 1 0.0 1.000000 0.000000
## 2 0.2 0.818731 0.181269
## 3 0.4 0.670320 0.329680
## 4 0.6 0.548812 0.451188
## 5 0.8 0.449329 0.550671
## 6 1.0 0.367879 0.632121
## 7 1.2 0.301194 0.698806
## 8 1.4 0.246597 0.753403
## 9 1.6 0.201897 0.798103
## 10 1.8 0.165299 0.834701
## 11 2.0 0.135335 0.864665
## 12 2.2 0.110803 0.889197
## 13 2.4 0.090718 0.909282
## 14 2.6 0.074274 0.925726
## 15 2.8 0.060810 0.939190
## 16 3.0 0.049787 0.950213
## 17 3.2 0.040762 0.959238
## 18 3.4 0.033373 0.966627
## 19 3.6 0.027324 0.972676
## 20 3.8 0.022371 0.977629
## 21 4.0 0.018316 0.981684
## 22 4.2 0.014996 0.985004
## 23 4.4 0.012277 0.987723
## 24 4.6 0.010052 0.989948
## 25 4.8 0.008230 0.991770
## 26 5.0 0.006738 0.993262
## 27 5.2 0.005517 0.994483
## 28 5.4 0.004517 0.995483
## 29 5.6 0.003698 0.996302
## 30 5.8 0.003028 0.996972
## 31 6.0 0.002479 0.997521
## 32 6.2 0.002029 0.997971
## 33 6.4 0.001662 0.998338
## 34 6.6 0.001360 0.998640
## 35 6.8 0.001114 0.998886
## 36 7.0 0.000912 0.999088
## 37 7.2 0.000747 0.999253
## 38 7.4 0.000611 0.999389
## 39 7.6 0.000500 0.999500
## 40 7.8 0.000410 0.999590
## 41 8.0 0.000335 0.999665
## 42 8.2 0.000275 0.999725
## 43 8.4 0.000225 0.999775
## 44 8.6 0.000184 0.999816
## 45 8.8 0.000151 0.999849
## 46 9.0 0.000123 0.999877
## 47 9.2 0.000101 0.999899
## 48 9.4 0.000083 0.999917
## 49 9.6 0.000068 0.999932
## 50 9.8 0.000055 0.999945
## 51 10.0 0.000045 0.9999554.4.3 Visualizar los datos
ggplot(data = datos, aes(x = x, y = f.x)) +
geom_point(color = 'blue') +
geom_line(color = 'red')
Aquí otra forma de representar curvas de densidad de una distribución exponencial [@rubio]
curve(dexp(x, rate = 1.0), from=0, to=10, col='blue')
curve(dexp(x, rate = 1.5), from=0, to=10, col='red', add=TRUE)
curve(dexp(x, rate = 2.0), from=0, to=10, col='purple', add=TRUE)
legend("topright",
legend=c("rate=1.0", "rate=1.5", "rate=2.0"),
col = c("blue", "red", "purple"),
lty=1, cex=1.2)
4.5 Cálculo de probabilidades
Siguiendo con el ejercicio inicial de lambda = 1 con valores desde 0 hasta 10 de 0.2 en 0.2.
4.5.1 ¿cuál es la probabilidad a la izquierda cuando x sea 0.5 o menor?
\(f(x\le0.5)\)
Entonces :
prob = round(pexp(q = 0.5, rate = constante_lambda), 6)
paste("La probabilida área bajo la curva es ...", prob, " aproximadamente " , prob * 100, "%")## [1] "La probabilida área bajo la curva es ... 0.393469 aproximadamente 39.3469 %"4.5.2 Visualización de área bajo la curva
Usando la función visualize.exp() de la librería visualize
visualize.exp(stat = 0.5, theta = constante_lambda, section = "lower")
Visualizando con plotDist() de la librería mosaic
El área de color rosa representa aproximadamente el 39% del total del área bajo la curva.
Usando la función pre codificada f_exponencial_all() previamente cargada. La función recibe tres argumento en los tres parámetros que deben recibir: El valor de la media, el intervalo que puede ser empezar en 0 y terminar en un valor mayor que 0 y el tipo qe puede ser 1 cola a la izquierda, 2 cola a la derecha y 3 intervalo intermedio con valores a y b.
Esta primera opción es cola a la izquierda con valor tipo == 1
4.5.3 ¿cuál es la probabilidad del intervalo entre 0.5 y 2?
\(P(0.5 \le X \le 2)\)
prob = round(pexp(q = 2, rate = constante_lambda) - pexp(q = 0.5, rate = constante_lambda), 6)
paste("La probabilida área bajo la curva es ...", prob, " aproximadamente " , prob * 100, "%")## [1] "La probabilida área bajo la curva es ... 0.471195 aproximadamente 47.1195 %"Nuevamente usando la función distPlot() de la librería mosaic
Esta segunda opción es un intervalo con valor tipo == 3
4.5.4 ¿cuál es la probabilidad a partir de 2 hacia la derecha?
P(X≥2)
4.5.5 Visualización de área bajo la curva
Nuevamente usando la función visualize.exp() de la librería visualize
visualize.exp(stat = c(0.5, 2), theta = constante_lambda, section = "bounded")
Ahora usando plotDist()
Esta tercera opción usando la función f_exponencial_all() es cola a la derecha, es decir, tipo == 2
4.5.6 ¿cuál es la probabilidad del a partir de 2 hacia la derecha?
\(P(X \ge 2)\)
prob = round(pexp(q = 2, rate = constante_lambda, lower.tail = FALSE), 6)
paste("La probabilida área bajo la curva es ...", prob, " aproximadamente " , prob * 100, "%")## [1] "La probabilida área bajo la curva es ... 0.135335 aproximadamente 13.5335 %"4.5.7 Visualización de área bajo la curva
Nuevamente usando la función visualize.exp() de la librería visualize
visualize.exp(stat = 2, theta = constante_lambda, section = "upper")
4.6 Valor esperado
De acuerdo a la fórmula arriba presentada:
VE = 1 / constante_lambda
paste ("El valor esperado es ...", VE)## [1] "El valor esperado es ... 1"4.7 Varianza y desviación
De acuerdo a la fórmula arriba presentada:
varianza = round(1 / constante_lambda^2, 6)
desv.std = round(sqrt(varianza), 6)
paste("Varianza = ", varianza, "Desv.Std = ", desv.std)## [1] "Varianza = 1 Desv.Std = 1"Valor de x a partir de q
qexp(p = 0.393469, rate = constante_lambda)## [1] 0.4999994print("Muy cercano al valor de x = 0.5")## [1] "Muy cercano al valor de x = 0.5"4.8 Valores aleatorios
aleatorios = rexp(n = 20, rate = constante_lambda)
aleatorios## [1] 0.80600371 1.27762725 3.54952691 0.74598022 0.79634198 1.82973500
## [7] 0.09887679 0.41803167 0.25630344 0.92874515 0.42590882 0.26170375
## [13] 0.49289887 2.14772908 0.51505897 0.32718421 0.44872219 1.16060466
## [19] 0.63014444 0.382362985 Desarrollo
Se presentan varios ejercicios extraídos de la literatura
5.1 El tiempo de revisión del motor
Ejercicio extraído de: (ProbaFácil, n.d.). El tiempo de revisión del motor de un avión sigue una distribución exponencial con media 22 minutos. Encontrar y resolver algunas probabilidades:
5.1.1 Probabilidad de F(x≤10)
Encontrar la probabilidad de que el tiempo de revisión sea menor o igual a 10 minutos. F(x≤10)
media <- 22
lambda <- 1/media
x <- 10
prob = round(pexp(q = x, rate = lambda), 6)
paste("La probabilidad es ...", prob, " aproximadamente " , prob * 100, "%")## [1] "La probabilidad es ... 0.365264 aproximadamente 36.5264 %"5.1.2 Visualizar probabilidad
Se presenta la gráfica con la función visualize()
visualize.exp(stat = x, theta = lambda, section = "lower")
Se visualiza con la función plotDist() de librería mosaic.
plotDist(dist = "exp", media = lambda, type="h",xlab ="Valores de la variable continua X", ylab = "Densidad" , groups = x<=10, xlim = c(0:22), ylim=c(0,1), main=paste("F(x<=10):", prob), sub= paste('Lambda =:', lambda))
Se presenta la gráfica ahora con la función visualize
visualize.exp(stat = 10, theta = lambda, section = "lower")
Ahora se presenta la misma gráfica pero usando la función f_exponencial_all(), cola a la izquierda.
resultado <- f_exponencial_all(media = media, intervalo = c(0, 10), tipo = 1)
resultado$g_curva
5.1.3 Valor de x al 10%
¿Cuál es el tiempo de revisión de un motor superado por el 10% de los tiempos de revisión?
5.1.4 Valor esperado VE y desviación estándar
El costo de revisión es de 200 unidades monetarias fijas al que se le suma 10 unidades monetarias por el tiempo que dure la revisión. Encontrar la media y la varianza del costo.
F(x <=10)
6 Interpretación
La distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua que se utiliza comúnmente para modelar el tiempo entre eventos sucesivos e independientes que ocurren a una tasa constante.
La distribución exponencial se utiliza comúnmente en estadística, ingeniería, ciencias de la computación y otros campos para modelar procesos estocásticos y estimar la probabilidad de que un evento ocurra en un momento determinado.
Para generar datos de una distribución exponencial, se utiliza la función “rexp()” en R.
Para graficar la función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial, se puede utilizar la función “dexp()” en R.
Para calcular la función de distribución acumulada de la distribución exponencial, se puede utilizar la función “pexp()” en R.
7 Bibliografía
Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.
Devore, Jay L. 2016. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE. OpenStax. n.d. “Estadísitica Empresarial Distribución Exponencial.” https://openstax.org/books/introducci%C3%B3n-estad%C3%ADstica-empresarial/pages/5-3-la-distribucion-exponencial.
ProbaFácil. n.d. “Ejercicios de Distribución Exponencial.” https://probafacil.com/distribucion-exponencial-ejercicios-resueltos/.
Rubio, Linky. n.d. “Análisis Estadístico: Visualización de Datos Con r.” https://rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/793067_3283046ce0f646e68a2f055977d756a4.html.