1 Objetivo

2 Fudamento Teórico

2.1 Concepto

Muchos de las situaciones de las ciencias en términos de probabilidad pueden resolverse con la distribución normal y estandarizada Z, sin embargo, exiten situaciones especiales en donde resulta necesario conocer y aplicar otras distribuciones como lo es la distribución exponencial. (Devore 2016)

De cuerdo Anderson (2018) la distribución de probabilidad exponencial se aplica a variables como las llegadas de automóviles a un centro de lavado de autos, los tiempos requeridos para cargar un camión, las distancias entre dos averías en una carretera, entre otras situaciones(Anderson, Sweeney, and Williams 2008).

Otros contextos para tratar con distribución exponencial ptiene que ver con la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas de larga distancia comerciales y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un automóvil. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente. (openstax?) (openstax?)

Por otra parte la representación visual de la densidad de una distribución exponencial significa que hay valores de densidad altos a valores de \(x\) pequeños y viceversa, hay valores de densidad bajo a grandes valores de \(x\).

La distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua que se utiliza para modelar el tiempo o espacio entre eventos en un proceso y tiene relación directa con la distribución discreta de Poisson.

La distribución exponencial es la distribución de probabilidad del tiempo o espacio entre dos eventos en un proceso de Poisson, donde los eventos ocurren de manera continua e independiente a una tasa constante \(\lambda\) llamado lambda.

\(\lambda\) lambda representa una tasa constante (valor constante) sobre la ocurrencia de eventos de manera continua e independiente.

En R existen las funciones estadísticas para tratar con distribución expnencial que se obervarán en este caso:

  • dexp() para densidad,

  • pexp() para probabilidad acumulada

  • qexp para devolver valores de x de acuerdo a probabilidades acumuladas. Es la inversa de pexp()

  • rexp() para generación de valores aleatorios de x.

2.2 Función de Densidad

\[ f(x) = \lambda \cdot e^{-\lambda\cdot x} \]

  • La función de densidad en R se obtiene con dexp()

  • Se requiere el valor de lambda \(\lambda\) taza constante y continua y/o valor de media.

  • Se requiere el valor de $e =

    2.718282$

  • Se requiere el valor de la variable aleatoria continua \(x\)

2.3 Función acumulada

\[ F(x) = P(X\le x) = 1 - e^{-\lambda\cdot x} \text{ si x } \ge 0 \]

La función acumulada de probabilidad en R se obtiene con pexp()

2.4 Valor esperado

\[ \frac{1}{\lambda} \]

2.5 Varianza y desviación estándar

\[ Varianza = \sigma^{2}= \frac{1}{\lambda^{2}} \]

\[ Desv.Std = \sigma = \sqrt{\sigma^{2}} \]

3 Descripción

  • Se calculan probabilidades de acuerdo a la función de densidad y probabilidades acumuladas de varios ejercicios relacionados con distribución Exponencial.

  • Se muestran gráficos de densidad y probabilidad acumulada

  • Se interpreta los ejercicios y el caso final

4 Desarrollo

4.1 Cargar librerías

library(dplyr)
library(mosaic)
library(ggplot2)  # Para gráficos
library(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón
library(visualize)
options(scipen=999) # Notación normal

4.2 Cargar funciones precodificadas

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/funciones/funciones%20para%20disribuciones%20de%20probabilidad.R")
## 
## Attaching package: 'gtools'
## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     logit
## 
## Attaching package: 'plotly'
## The following object is masked from 'package:mosaic':
## 
##     do
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     last_plot
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     filter
## The following object is masked from 'package:graphics':
## 
##     layout

4.3 Establecer semilla para valores aleatorios

set.seed(2023)

4.4 Visualización de densidad de una distribución Exponencial

4.4.1 Inicializar variables

Se crea una secuencia de valooes de x desde 0 hasta 10 de saltos 0.2 en .2 para generar 50 valores continuos.

constante_lambda = 1
x = seq(from = 0, to= 10, by=0.2)
# Densidad
print("Densidad")
## [1] "Densidad"
densidad <- round(dexp(x = x, rate = constante_lambda), 6)
densidad
##  [1] 1.000000 0.818731 0.670320 0.548812 0.449329 0.367879 0.301194 0.246597
##  [9] 0.201897 0.165299 0.135335 0.110803 0.090718 0.074274 0.060810 0.049787
## [17] 0.040762 0.033373 0.027324 0.022371 0.018316 0.014996 0.012277 0.010052
## [25] 0.008230 0.006738 0.005517 0.004517 0.003698 0.003028 0.002479 0.002029
## [33] 0.001662 0.001360 0.001114 0.000912 0.000747 0.000611 0.000500 0.000410
## [41] 0.000335 0.000275 0.000225 0.000184 0.000151 0.000123 0.000101 0.000083
## [49] 0.000068 0.000055 0.000045
# Acumulada
print("Probabildia Acumulada")
## [1] "Probabildia Acumulada"
acumulada <- round(pexp(q = x, rate =  constante_lambda), 6)
acumulada
##  [1] 0.000000 0.181269 0.329680 0.451188 0.550671 0.632121 0.698806 0.753403
##  [9] 0.798103 0.834701 0.864665 0.889197 0.909282 0.925726 0.939190 0.950213
## [17] 0.959238 0.966627 0.972676 0.977629 0.981684 0.985004 0.987723 0.989948
## [25] 0.991770 0.993262 0.994483 0.995483 0.996302 0.996972 0.997521 0.997971
## [33] 0.998338 0.998640 0.998886 0.999088 0.999253 0.999389 0.999500 0.999590
## [41] 0.999665 0.999725 0.999775 0.999816 0.999849 0.999877 0.999899 0.999917
## [49] 0.999932 0.999945 0.999955

4.4.2 Presentar los datos

datos <- data.frame(x = x, f.x = densidad, F.x = acumulada)
datos
##       x      f.x      F.x
## 1   0.0 1.000000 0.000000
## 2   0.2 0.818731 0.181269
## 3   0.4 0.670320 0.329680
## 4   0.6 0.548812 0.451188
## 5   0.8 0.449329 0.550671
## 6   1.0 0.367879 0.632121
## 7   1.2 0.301194 0.698806
## 8   1.4 0.246597 0.753403
## 9   1.6 0.201897 0.798103
## 10  1.8 0.165299 0.834701
## 11  2.0 0.135335 0.864665
## 12  2.2 0.110803 0.889197
## 13  2.4 0.090718 0.909282
## 14  2.6 0.074274 0.925726
## 15  2.8 0.060810 0.939190
## 16  3.0 0.049787 0.950213
## 17  3.2 0.040762 0.959238
## 18  3.4 0.033373 0.966627
## 19  3.6 0.027324 0.972676
## 20  3.8 0.022371 0.977629
## 21  4.0 0.018316 0.981684
## 22  4.2 0.014996 0.985004
## 23  4.4 0.012277 0.987723
## 24  4.6 0.010052 0.989948
## 25  4.8 0.008230 0.991770
## 26  5.0 0.006738 0.993262
## 27  5.2 0.005517 0.994483
## 28  5.4 0.004517 0.995483
## 29  5.6 0.003698 0.996302
## 30  5.8 0.003028 0.996972
## 31  6.0 0.002479 0.997521
## 32  6.2 0.002029 0.997971
## 33  6.4 0.001662 0.998338
## 34  6.6 0.001360 0.998640
## 35  6.8 0.001114 0.998886
## 36  7.0 0.000912 0.999088
## 37  7.2 0.000747 0.999253
## 38  7.4 0.000611 0.999389
## 39  7.6 0.000500 0.999500
## 40  7.8 0.000410 0.999590
## 41  8.0 0.000335 0.999665
## 42  8.2 0.000275 0.999725
## 43  8.4 0.000225 0.999775
## 44  8.6 0.000184 0.999816
## 45  8.8 0.000151 0.999849
## 46  9.0 0.000123 0.999877
## 47  9.2 0.000101 0.999899
## 48  9.4 0.000083 0.999917
## 49  9.6 0.000068 0.999932
## 50  9.8 0.000055 0.999945
## 51 10.0 0.000045 0.999955

4.4.3 Visualizar los datos

ggplot(data = datos, aes(x = x, y = f.x)) + 
  geom_point(color = 'blue') + 
  geom_line(color = 'red')

Aquí otra forma de representar curvas de densidad de una distribución exponencial (rubio?)

curve(dexp(x, rate = 1.0), from=0, to=10, col='blue')
curve(dexp(x, rate = 1.5), from=0, to=10, col='red', add=TRUE)
curve(dexp(x, rate = 2.0), from=0, to=10, col='purple', add=TRUE)
legend("topright", 
       legend=c("rate=1.0", "rate=1.5", "rate=2.0"),
       col = c("blue", "red", "purple"), 
       lty=1, cex=1.2)

4.5 Cálculo de probabilidades

Siguiendo con el ejercicio inicial de lambda = 1 con valores desde 0 hasta 10 de 0.2 en 0.2.

4.5.1 ¿cuál es la probabilidad a la izquierda cuando x sea 0.5 o menor?

\(f(x\le0.5)\)

Entonces :

prob = round(pexp(q = 0.5, rate = constante_lambda), 6)
paste("La probabilida área bajo la curva es ...", prob, " aproximadamente " , prob * 100, "%")
## [1] "La probabilida área bajo la curva es ... 0.393469  aproximadamente  39.3469 %"

4.5.2 Visualización de área bajo la curva

Usando la función visualize.exp() de la librería visualize

visualize.exp(stat = 0.5, theta = constante_lambda, section = "lower")

4.5.3 ¿cuál es la probabilidad del intervalo entre 0.5 y 2?

\(P(0.5 \le X \le 2)\)

prob = round(pexp(q = 2, rate = constante_lambda) - pexp(q = 0.5, rate = constante_lambda), 6)
paste("La probabilida área bajo la curva es ...", prob, " aproximadamente " , prob * 100, "%")
## [1] "La probabilida área bajo la curva es ... 0.471195  aproximadamente  47.1195 %"

4.5.4 Visualización de área bajo la curva

Nuevamente usando la función visualize.exp() de la librería visualize

visualize.exp(stat = c(0.5, 2), theta = constante_lambda, section = "bounded")

4.5.5 ¿cuál es la probabilidad del a partir de 2 hacia la derecha?

\(P(X \ge 2)\)

prob = round(pexp(q = 2, rate = constante_lambda, lower.tail = FALSE), 6)
paste("La probabilida área bajo la curva es ...", prob, " aproximadamente " , prob * 100, "%")
## [1] "La probabilida área bajo la curva es ... 0.135335  aproximadamente  13.5335 %"

4.5.6 Visualización de área bajo la curva

Nuevamente usando la función visualize.exp() de la librería visualize

visualize.exp(stat = 2, theta = constante_lambda, section = "upper")

4.6 Valor esperado

De acuerdo a la fórmula arriba presentada:

VE = 1 / constante_lambda
paste ("El valor esperado es ...", VE)
## [1] "El valor esperado es ... 1"

4.7 Varianza y desviación

De acuerdo a la fórmula arriba presentada:

varianza = round(1 / constante_lambda^2, 6)
desv.std = round(sqrt(varianza), 6)
paste("Varianza = ", varianza, "Desv.Std = ", desv.std)
## [1] "Varianza =  1 Desv.Std =  1"

Valor de x a partir de q

qexp(p = 0.393469, rate = constante_lambda)
## [1] 0.4999994
print("Muy cercano al valor de x = 0.5")
## [1] "Muy cercano al valor de x = 0.5"

4.8 Valores aleatorios

aleatorios = rexp(n = 20, rate = constante_lambda)
aleatorios
##  [1] 0.80600371 1.27762725 3.54952691 0.74598022 0.79634198 1.82973500
##  [7] 0.09887679 0.41803167 0.25630344 0.92874515 0.42590882 0.26170375
## [13] 0.49289887 2.14772908 0.51505897 0.32718421 0.44872219 1.16060466
## [19] 0.63014444 0.38236298

5 Ejercicios

Se presentan varios ejercicios extraídos de la literatura

5.1 El tiempo de revisión del motor

El tiempo de revisión del motor de un avión sigue una distribución exponencial con media 22 minutos. Encontrar y resolver algunas probabilidades:

5.1.1 Probabilidad de \(F(x≤10)\)

Encontrar la probabilidad de que el tiempo de revisión sea menor o igual a 10 minutos. \(F(x≤10)\)

media <- 22
lambda <- 1/media
x <- 10
prob = round(pexp(q = x, rate = lambda), 6)
paste("La probabilidad es: ", prob, " aproximadamente " , prob * 100, "%", sep = '')
## [1] "La probabilidad es: 0.365264 aproximadamente 36.5264%"

5.1.2 Visualizar probabilidad

Se presenta la gráfica con la función visualize()

visualize.exp(stat = x, theta = lambda, section = "lower")

Se visualiza con la función plotDist() de librería mosaic.

plotDist(dist = "exp", media = lambda, type="h",xlab ="Valores de la variable continua X", ylab = "Densidad" , groups = x<=10, xlim = c(0:22), ylim=c(0,1), main=paste("F(x<=10):", prob),  sub= paste('Lambda =:', lambda))

Se presenta la gráfica ahora con la función visualize

visualize.exp(stat = 10, theta = lambda, section = "lower")

Ahora se presenta la misma gráfica pero usando la función f_exponencial_all(), cola a la izquierda.

resultado <- f_exponencial_all(media = media, intervalo = c(0, 10), tipo = 1)
resultado$g_curva

6 Interpretación

Esta distribución está conectada hasta cierto punto con la distribución de Poisson, pues su utilidad radica en que es capaz de calcular un tiempo de espera para la ocurrencia entre eventos.

De forma peculiar, esta distribución solo toma un parámetro, este siendo lambda, que es la tasa de llegada de eventos.

Uno de sus usos más comunes es para predecir tiempos de espera en servicios, o para predecir las fechas de caducidad en productos.

Se denota por la fórmula:

\[ f(x)=\lambda\ e^{-\lambda x} \]

En donde \(x\) representa el tiempo de espera dado por la tasa de llegada de eventos descrita por lambda.

Bibliografía

Anderson, David R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. 2008. Estadística Para Administración y Economía. 10th ed. Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur: Cengage Learning,.
Devore, Jay L. 2016. Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Primera Edición. CENGAGE.