Documento Educativo

1 Paquetes R.

Code

library(kableExtra)
library(tidyverse)
library(ggplot2)
library(MASS)
library(DiagrammeR)
library(igraph)
library(knitr)
library(ggplot2)
library(flextable)

2 Probabilidad.

Note

“Probabilidad es el lenguaje matemático para cuantificar incertidumbre.” -Wasserman¹

La probabilidad es una medida de la incertidumbre de que ocurra un evento. Su valor es un número entre 0 y 1.

Tip

donde un evento imposible corresponde a “0” y uno seguro corresponde a “1”.

3 Definicion matematica de probabilidad.

Desde un punto de vista puramente matemático, la probabilidad se define como una función de eventos. Los eventos se representan como conjuntos, y suponemos que la función de probabilidad satisface las reglas básicas de proporción. Antes de definir estas reglas consideremos la representación de los eventos como subconjuntos de un espacio de resultados Ω.

4 Variable aleatoria

Es una funcion que asocia a cada resultado del espacio muestral un numero real.

Important

NOTACION:

1. X = Variable aleatoria (v.a)

2. x = Valor de la v.a

4.1 Ejemplo 1:

Se estudia el proceso de reserva de una mesa en un restaurante.

• Suceso positivo = La reserva de la mesa se cumple

• Suceso negativo = La reserva de la mesa se anula.

1. Defino mi variable aleatoria como X:

• \(x(positivo) = 1\)

• \(x(negativo) = 0\)

Podemos afirmar que los valores se pueden dar arbitrariamente, segun el caso a estudiar.

\(P\left( x=0 \right)\text{ }->\text{ }''probabilidad\text{ }de\text{ }que\text{ }la\text{ }reserva\text{ }se\text{ }cumpla''.\)

\(P\left( x=0 \right)\text{ }->\text{ }''probabilidad\text{ }de\text{ }que\text{ }la\text{ }reserva\text{ }se\text{ }anule''.\)

4.2 Ejemplo 2:

Sea “X” la variable aleatoria de la suma de dos dados y sea “x” los siguientes valores.

\(x= 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.\)

Sea “Y” la variable aleatoria número de valores pares de los dos dados.

• y= 0,1

• E: Lanzar 2 dados.

\(Ω: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\)

5 Tipología de la variable aleatoria.

Code

grViz("
digraph {
  node [shape = rectangle]
  Variable; Discreta; Continua;
  Variable -> Discreta;
  Variable -> Continua;
}")

5.1 Variable aleatoria discreta

una variable aleatoria discreta es una variable que toma valores discretos y finitos o infinitos numerables. Es decir, estos valores no pueden ser continuos y deben ser contables.

La probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor específico se puede calcular a través de una función de probabilidad discreta.

Note

• Ejemplo: X= “número de personas que vallan en un bus”

  \(x= 0,1,2,3,4,5…45.\)

5.2 Variable aleatoria continua.

una variable aleatoria continua es una variable que puede tomar cualquier valor dentro de un rango continuo de valores. A diferencia de las variables aleatorias discretas, los valores posibles de una variable aleatoria continua no son contables y pueden tomar una infinidad de valores en un intervalo determinado.

La probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor específico se puede calcular utilizando una función de densidad de probabilidad continua.

Note

• Ejemplo: X= “peso de una persona”.

  \(x= 60Kg, 60,1kg, 60,2kg…, 120kg\)

6 Ejercicios.

Antes del lanzamiento de un nuevo yogurt, una empresa ha llevado a cabo el sabor a pruebas con 4 nuevos sabores: Limos, Fresa, Melocoton y cereza.

Obtuvo la siguiente probabilidad de un lanzamiento exitoso:

\(P(Limon)= 2/10\)

\(P(Fresa)= 3/10\)

\(P(Melocoton)= 4/10\)

\(P(Cereza)= 5/10\)

Note

Sea la variable X: “n�mero de sabores exitosos lanzados”.

6.1 Solucion.

Podemos hacer esto usando la distribuci�n binomial, ya que estamos interesados en el n�mero de �xitos en un n�mero fijo de ensayos independientes, donde cada ensayo tiene la misma probabilidad de �xito.

\(P(X=0)=(8/10*7/10*6/10*5/10)=0.168\)

Tip

Por lo tanto la probabilidad de que 0 sabores sean exitosos es del 16,8%.

\(P(X=1)=( 2/10*7/10*6/10*5/10)+(8/10*3/10*6/10*5/10)+(8/10*7/10*4/10*5/10)+(8/10*7/10*6/10*5/10)=0.394\)

Tip

Por lo tanto la probabilidad de que 1 sabores sean exitosos es del 39,4%.

\(P(X=2)=( 2/10*3/10*6/10*5/10)+(2/10*7/10*4/10*5/10)+(2/10*7/10*6/10*5/10)+(8/10*3/10*4/10*5/10)+(8/10*3/10*6/10*5/10)+(8/10*7/10*4/10*5/10)=0.32\)

Tip

Por lo tanto la probabilidad de que 2 sabores sean exitosos es del 32%.

\(P(X=3)=( 2/10*3/10*4/10*5/10)+(2/10*3/10*6/10*5/10)+(2/10*7/10*4/10*5/10)+(8/10*3/10*4/10*5/10)=0.106\)

Tip

Por lo tanto la probabilidad de que 3 sabores sean exitosos es del 10,6%.

\(P(X=4)=(2/10*3/9*4/8*1/2)=0.012\)

Tip

Por lo tanto la probabilidad 1,2%.

6.2 Tabla de distribucion de probabilidad

Tabla Kablextra

Code

df <- data.frame(X = 0:4, P_X = c(0.168, 0.394, 0.32, 0.106, 0.012))

# Cambiar los nombres de las columnas
colnames(df) <- c("valores de X", "fx")

# Agregar una columna de probabilidades acumuladas
df$`FX` <- cumsum(df$fx)

kbl(df, caption = "Tabla de distribucion de probabilidades", align = "c") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = "striped", full_width = F) %>%
  column_spec(1, bold = T)

Tabla de distribucion de probabilidades

valores de X	fx	FX
0	0.168	0.168
1	0.394	0.562
2	0.320	0.882
3	0.106	0.988
4	0.012	1.000

Tabla Flextable

Code

# Instalar y cargar la paqueter�a flextable
library(flextable)

# Crear un data frame con los datos de ejemplo
df <- data.frame(X = 0:4, P_X = c(0.168, 0.394, 0.32, 0.106, 0.012))

# Cambiar los nombres de las columnas
colnames(df) <- c("valores de X", "fx")

# Agregar una columna de probabilidades acumuladas
df$`FX` <- cumsum(df$fx)

# Crear la tabla con flextable
ft <- flextable(df) %>%
  set_header_labels("valores de X" = "Valores de X", "fx" = "f(X)", "FX" = "F( x)") %>%
  bold(part = "header") %>%
  autofit()

# Imprimir la tabla
ft

Valores de X	f(X)	F( x)
0	0.168	0.168
1	0.394	0.562
2	0.320	0.882
3	0.106	0.988
4	0.012	1.000

6.3 Diagrama de bastones

Bastones ggplot 2

Code

df <- data.frame(X = 0:4, Frecuencia = c(0.168, 0.394, 0.32, 0.106, 0.012))

ggplot(df, aes(x = X, y = Frecuencia)) +
  geom_segment(aes(x = X, y = 0, xend = X, yend = Frecuencia), color = "blue", size = 1) +
  geom_text(aes(x = X, y = Frecuencia, label = Frecuencia), vjust = -0.5, color = "blue", size = 4) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, max(df$Frecuencia) * 1.2), expand = c(0, 0.1)) +
  labs(title = "Diagrama de Bastones", x = "Valores de X", y = "Frecuencia")

Bastones Rbase

Code

# Crear un data frame con los datos
df <- data.frame(X = 0:4, Frecuencia = c(0.168, 0.394, 0.32, 0.106, 0.012))

# Configurar la ventana gr�fica
par(mar = c(5, 4, 4, 2) + 0.1)
plot(df$X, df$Frecuencia, type = "h", lwd = 10, col = "blue", ylim = c(0, max(df$Frecuencia) * 1.2),
     xlab = "Valores de X", ylab = "Frecuencia", main = "Diagrama de Bastones")

# Agregar etiquetas de frecuencia
text(df$X, df$Frecuencia, labels = df$Frecuencia, pos = 3, col = "blue")

6.4 Diagrama Escalonado

escalonado ggplot

Code

# Cargar la paqueter�a ggplot2
library(ggplot2)

# Crear un data frame con los datos de ejemplo
df <- data.frame(X = 0:4, Frecuencia = c(0.168, 0.394, 0.32, 0.106, 0.012))

# Crear el diagrama escalonado con ggplot2
ggplot(df, aes(x = X, y = Frecuencia)) +
  geom_step(direction = "hv", color = "blue", size = 1.5) +
  scale_x_continuous(breaks = 0:4) +
  labs(title = "Diagrama Escalonado", x = "Valores de X", y = "Frecuencia")

escalonado Rbase

Code

# Crear un data frame con los datos de ejemplo
df <- data.frame(X = 0:4, Frecuencia = c(0.168, 0.394, 0.32, 0.106, 0.012))

# Crear el diagrama escalonado con la paqueter�a base de R
plot(df$X, df$Frecuencia, type = "s", col = "blue", lwd = 2, xlab = "Valores de X", ylab = "Frecuencia", main = "Diagrama Escalonado")

Footnotes

1. RPubs - Introducción a probabilidad