Caso 22. T Student y prueba de hipótesis
Kevin Fabian Jaimez Casas
2023-04-30
1 Objetivo
Utilizar funciones de una distribución T Student para calcular función de densidad, probabilidades e identificar valores de t e intervalo de confianza.
2 Descripción
En el sustento teórico, se da a conocer un panorama de la importancia de la distribución T Student comparando la campana de gauss de una distribución normal estándar y distribuciones t; se identifica la fórmula de densidad t y se mencionan las funciones de paquete base de R: dt(), pt(), qt y rt() y la función xpt() y visualize.t de la librería mosaic y visualize() para graficar T Student y para el tratamiento de este tipo de distribuciones. . [@t_distribution_t_nodate]
De igual forma el caso ofrece visualización de T Student mediante gráficos programados usando funciones de la librería ggplot2().
En el desarrollo, se resuelven e interpretan algunos ejercicios con datos bajo la distribución T Student,, se identifican intervalos de confianza con de una distribución T Student.
3 Fundamento teórico
3.1 Cargar librerías
Se cargan librerías usadas a lo largo del caso.
library(dplyr)
library(mosaic)
library(ggplot2) # Para gráficos
library(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón
library(visualize)
options(scipen=999) # Notación normal3.2 Cargar funciones
source ("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/funciones/funciones%20para%20disribuciones%20de%20probabilidad.R")3.3 Fórmula para encontrar el valor de T Student
Existe la fórmula para calcular el valor de t en la distribuciones T Student.. Se usa la siguiente fórmula para transformar distribuciones normales a t.
\[ t = \frac{(\bar{x}-\mu)}{s / \sqrt{n}} = \frac{\text{diferencia a probar}}{\text{ee =error estándar}} \]
\[ \bar{x} = \text{media muestral} \\ \mu = \text{media poblacional} \\ s = \text{desviación estándar de la muestra} \\ n = \text{número de elementos de la muestra} \]
Para muestras aleatorias de tamaño \(n\) desde una población normal[@mendenhall2010].
El numerador representa la diferencia a probar y el denominador la desviación estándar de la diferencia llamado también Error Estándar.
En esta fórmula \(t\) representa al valor estadístico que se estará buscando \(\bar{x}\) es el promedio de la variable analizada de la muestra, y \(\mu\)es el promedio poblacional de la variable a estudiar.
En el denominador se tiene a \(s\) como representativo de la desviación estándar de la muestra y \(n\) el tamaño de ésta.
La distribución t es más útil para tamaños muestrales pequeños, cuando la desviación estándar de la población no se conoce o ambos en comparación con la distribución normal estándar.
3.4 Características de T Student
La T Student tiene estas características:
Tiene forma de montículo o campana de gauss y es simétrica alrededor de \(t = 0\), igual que \(z\) la normal estándar.
Es más variable que \(z\), con “colas más pesadas”; esto es, la curva \(t\) no aproxima al eje horizontal con la misma rapidez que \(z\). Esto es porque el estadístico \(t\) abarca dos cantidades aleatorias, \(\bar{x}\) y \(s\), en tanto que el estadístico \(z\) tiene sólo la media muestral, \(\bar{x}\). Ver curvas de T Student y Normal Estándar \(z\).
La forma de la distribución \(t\) depende del tamaño muestral \(n\). A medida que \(n\) aumenta, la variabilidad de \(t\) disminuye porque la estimación \(s\) de \(\sigma\) está basada en más y más información.
Cuando \(n\) sea infinitamente grande, las distribuciones \(t\) y \(z\) son idénticas. [@mendenhall2010].
3.5 Funciones en R para T Student
Al igual que otras distribuciones como la binomial, Poisson uniforme, normal, entre otras, se disponen de las funciones dt(), pt(), qt() y rt() para el tratamiento de distribuciones T Student.
3.6 Grados de libertad
El número de grados de libertad es igual al tamaño de la muestra \(n\) (número de observaciones independientes) menos 1 . [@estadística2016]
\[ gl = df = (n – 1) \\ \therefore \\ df = \text{grados de libertad} \\ n = \text{total de elementos de la muestra de t} \]
El divisor \((n-1)\) en la fórmula para la varianza muestral \(s^2 = \sum(\frac{x_i-\bar{x}}{n-1})\) se denomina número de grados de libertad (df) asociado con \(s^2\) determina la forma de la distribución \(t\). El origen del término grados de libertad es teórico y se refiere al número de desviaciones independientes elevadas al cuadrado en \(s^2\) existentes para estimar \(\sigma^2\).
Estos grados de libertad pueden cambiar para diferentes aplicaciones y como especifican la distribución t correcta a usar, es necesario recordar que hay que calcular los grados de libertad correctos para cada aplicación. [@mendenhall2010].
Si la muestra tiene un valor de \(t\) en el rango del nivel de confianza entonces se acepta la hipótesis de lo contrario de rechaza.
3.6.1 Ejemplo
Calcular el valor de t.
Se aplica una prueba de autoestima a 25 personas quienes obtienen una calificación promedio de 62.1 con una desviación estándar de 5.83. Se sabe que el valor correcto de la prueba debe ser mayor a 60. Calcular el valor de t.
\[ n=25; \bar{x}=62.1; s=5.83; \mu=60 \]
n <- 25; media.m <- 62.1; desv.m <- 5.83; media.p <- 60
t <- f.devolver.t(media.muestra = media.m, media.pob = media.p, desv.muestra = desv.m, n = n)
t## [1] 1.801029Se tiene 1.8010 como valor de t pero ¿qué significa ese valor?.
En la gráfica siguiente significa el punto que hace la diferencia entre el color morado y amarillo y se interpreta para comparar con un punto crítico y evaluar intervalos e hipótesis.
xpt <- xpt(q = t , df = n-1, xlab = "t's")
xpt## [1] 0.957861El valor de xpt= 0.957861 es el área bajo la curva a un valor de t de 1.8010 o sea 95.78%
3.7 Usando pt() para área bajo la curva
Representa el área bajo la curva desde su parte izquierda hasta el punto 1.8010.
pt(q = 1.8010 , df = 24)## [1] 0.95785863.8 Obtener el valor de t.critico con 95% de confianza
Se obtiene mediante función qt() de R el valor del punto crítico al 95% de confianza. Puede ser para cualquier nivel de confianza 0.90, 0.95, 0.99 o cualquier otro.
Al igual que en distribución normal de z se obtiene \(\alpha = 1 - 0.95\) y el valor critico sería \(\alpha/2\).
t.critico <- abs(qt(p = (1 - 0.95) / 2, df = n-1))
t.critico## [1] 2.063899Si el valor de t \(t = \frac{(\bar{x}-\mu)}{s / \sqrt{n}} = \frac{\text{diferencia a probar}}{\text{ee =error estándar}}\) está dentro mayor y menor que el valor de t.critico o que está dentro de la región de aceptación, entonces se interpreta que está dentro de un intervalo de confianza o región de aceptación en relación a la curva y se acepta una tentativa hipótesis de lo contrario cae en región de no aceptación y se rechaza. Se verán las pruebas de hipótesis en casos más adelante.
3.9 Gráfica con visualize
Se utiliza función visualize() de librería previamente instalada
visualize.t(stat = c(-t.critico, t.critico), df = 24, section = "tails") +
abline(v = t, col = "red", lwd = 3, lty = 2) +
text(0, 0.2, expression(0.95), col = "black")
## integer(0)3.10 Gráfica de campana normal Stándar y T Student
Se presenta una muestra pequeña de 28 valores, se generan valores de una secuencia alrededor de cero, esto se hace porque la distribución T Student, los valores de la variable aleatoria \(x\) se centran con media igual a cero \(0\) y por supuesto desviación igual a \(1\).
Se construyen gráficas:
g1 es una distribución normal estándar,
g2 distribución t student con 27 grados de libertad,
g3 t student con 5 grados de libertad y
Se visualizan las tres gráficas con una forma de campana o gauss, simétricas, solo que la distribución \(t\) se achata en relación a la distribución normal estándar \(z\) y se observa diferencia de dispersión con los grados de libertad en las gráficas \(t\).
# Grafica Normal Z con media igual a 0 y desv igual a 1
n <- 25
x <- seq(from = -3, to = 3, length.out = n)
media <- 0 #, round(mean(x),2)
desv <- 1 #round(sd(x), 2)
dens.z <- dnorm(x = x, mean = media, sd = desv)
tabla <- data.frame(x = x, y = dens.z)
#tabla.normal
g1 <- ggplot(data = tabla, aes(x = x, y = dens.z)) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = 'blue') +
ggtitle("Normal Estándar(Z)", subtitle = paste("media = ", media, "sd=", desv)) +
labs(x = "Z's", y= "Densidad")
# Distribución T Aproximada a Distribución t con 24 grados de libertad
denst.24 <- dt(x = x, df = n - 1)
# Se vuelve a generar la tabla
tabla <- data.frame(x = x, y = denst.24)
g2 <- ggplot(data = tabla, aes(x = x, y = denst.24)) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = 'green') +
ggtitle("T Student", subtitle = paste(n-1, " grados de libertad")) +
labs(x = "t's", y= "Densidad")
# Distribución T Aproximada a Distribución t con 5 grados de libertad
denst.5 <- dt(x = x, df = 5)
# Se vuelve a generar la tabla nuevamente
tabla <- data.frame(x = x, y = denst.5)
g3 <- ggplot(data = tabla, aes(x = x, y = denst.5)) +
geom_point(colour = "red") +
geom_line(colour = 'yellow') +
ggtitle("T Student", subtitle = paste(5, " grados de libertad")) +
labs(x = "t's", y= "Densidad")
plot_grid(g1, g2, g3, nrow = 1, ncol = 3)
Construyendo una tabla con las tres distribuciones incluyendo los valores de \(z's; t's\) y de las densidades juntas
# Gráficas juntas con una misma tabla
tabla <- data.frame(x, dens.z, denst.24, denst.5)
g4 <- ggplot(data = tabla)
g4 <- g4 + geom_line(aes(x= x, y = dens.z), colour = "blue")
g4 <- g4 + geom_line(aes(x= x, y = denst.24), colour = "green")
g4 <- g4 + geom_line(aes(x= x, y = denst.5), colour = "yellow")
g4 <- g4 + ggtitle("Normal Stándar(Z) y T Student", subtitle = paste("media = 0, sd = 1; ", (n-1)," y 5", " grados de libertad") )
g4 <- g4 + labs(x = "Z's y t's", y= "Densidad")
g4
3.11 Intervalo de confianza t student
3.11.1 Fórmula
\[ IC = \bar{x} \pm t \cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \]
Determinar el intervalo de confianza con el valor real de t (t critico). El valor al 95% de los datos al rededor de la media, el resto 5% se reparte a ambos lados de la curva.
El valor de t.critico se calcula con la función qt() de la distribución t student()
\[ \alpha = (1 - 95\%) / 2 \\ \alpha = (0.05) / 2 = 0.025 \]
paste("n=", n)## [1] "n= 25"confianza <- 0.95
t.a <- qt(p = (1 - confianza) / 2, df = n-1) # dos colas
t.a## [1] -2.063899t.b <- qt(p = (1 - confianza) / 2, df = n-1, lower.tail = FALSE)
t.b## [1] 2.063899# Tomar cualquiera de las dos t t.a o t.b en su valor absoluto
t <- abs(t.b)visualize.t(stat = c(-t, t), df = n-1, section = "tails") +
text(0, 0.2, expression("95%"), col = "red") 
## integer(0)paste("Media muestra = ", media.m)## [1] "Media muestra = 62.1"paste("Desv. muestra", desv.m)## [1] "Desv. muestra 5.83"print("Intervalo de confianza al 95%")## [1] "Intervalo de confianza al 95%"paste("t.critico",t.critico)## [1] "t.critico 2.06389856162803"li <- media.m - t * (desv.m /sqrt(n) )
ls <- media.m + t * (desv.m /sqrt(n) )
print("intervalo")## [1] "intervalo"intervalo <- c(li, ls)
intervalo## [1] 59.69349 64.50651El intervalo de confianza 59.6934943, 64.5065057 sirve para evaluar si la media de la población está en dicho intervalo de tal forma que se acepta o se rechaza una tentativa hipótesis en relación a la región o área de aceptación o si está en el intervalo de confianza.
4 Desarrollo
Se presentan varios ejercicios relacionados con al distribución T Student.
4.1 Mall y clientes
Un Gerente de mall desea estimar la cantidad media que gastan los clientes que visitan el centro comercial. Una muestra de 20 clientes revela las siguientes cantidades: \(48.16, 42.22, 46.82, 51.45, 23.78, 41.86, 54.86, 37.92, 52.64, 48.59, 50.82, 46.94, 61.83, 61.69, 49.17, 61.46, 51.35, 52.68, 58.84, 43.88\)
¿Cuál es la mejor estimación de la media poblacional ?. Determine un intervalo de confianza de 95%.
4.1.1 Los datos
cantidades <- c(48.16, 42.22, 46.82, 51.45, 23.78, 41.86, 54.86, 37.92, 52.64, 48.59, 50.82, 46.94, 61.83, 61.69, 49.17, 61.46, 51.35, 52.68, 58.84, 43.88)
media.m <- round(mean(cantidades),4)
desv.m <- round(sd(cantidades),)
n <- length(cantidades)
confianza <- 0.954.1.2 Construir una tabla de datos
tabla <- data.frame(variables = c("n", "Grados libertad", "Media muestra", "Desv.Std muestra", "Media Pob.", "Confianza"), datos = c(n, (n-1), media.m, desv.m, NA, confianza))
tabla## variables datos
## 1 n 20.000
## 2 Grados libertad 19.000
## 3 Media muestra 49.348
## 4 Desv.Std muestra 9.000
## 5 Media Pob. NA
## 6 Confianza 0.9504.1.3 Valor de t real (crítico)
t <- qt(p = (1 - confianza) / 2, df = n-1) # dos colas
t <- abs(t)
t## [1] 2.0930244.1.4 Intervalo de confianza
li <- media.m - t * (desv.m /sqrt(n) )
ls <- media.m + t * (desv.m /sqrt(n) )
print("intervalo")## [1] "intervalo"intervalo <- c(li, ls)
intervalo## [1] 45.13587 53.560134.1.5 Evaluar el intervalo
La mejor estimación de una media poblacional es que tenga un valor entre 45.1358703 y 53.5601297 con un 95% de confianza.
4.1.6 Visualizar gráfica Gauss
visualize.t(stat = c(-t, t), df = n-1, section = "tails") +
text(0, 0.2, expression("95%"), col = "red")
## integer(0)4.2 Fabricante de llantas
Un fabricante de llantas desea investigar la durabilidad de sus productos. Una muestra de \(10\) llantas para recorrer 50000 millas reveló una media muestral de \(0.32\) pulgadas de cuerda restante con una desviación estándar de \(0.09\) pulgadas. [@lind2015].
Construya un intervalo de confianza de \(95%\) para la media poblacional.
Sería razonable que el fabricante concluyera que después de 50000 millas la cantidad media poblacional de cuerda restante es de \(0.30\) pulgadas?
\[ n=10; \bar{x} = 0.32; S = 0.09; confianza = 95\%; \mu = 0.30 \]
4.2.1 Los datos
media.m <- 0.32
desv.m <- 0.09
n <- 10
media.p = 0.30
confianza = 0.954.2.2 Construir una tabla de datos
tabla <- data.frame(variables = c("n", "Grados libertad", "Media muestra", "Desv.Std muestra", "Media Pob.", "Confianza"), datos = c(n, (n-1), media.m, desv.m, media.p, confianza))
tabla## variables datos
## 1 n 10.00
## 2 Grados libertad 9.00
## 3 Media muestra 0.32
## 4 Desv.Std muestra 0.09
## 5 Media Pob. 0.30
## 6 Confianza 0.954.2.3 Valor de t real (crítico)
t <- qt(p = (1 - confianza) / 2, df = n-1) # dos colas
t <- abs(t)
t## [1] 2.2621574.2.4 Intervalo de confianza
li <- media.m - t * (desv.m /sqrt(n) )
ls <- media.m + t * (desv.m /sqrt(n) )
print("intervalo")## [1] "intervalo"intervalo <- c(li, ls)
intervalo## [1] 0.2556179 0.38438214.2.5 Evaluar el intervalo
El intervalo de confianza con valores entre 0.2556179 y 0.3843821 con un 95% de confianza se interpreta que el fabricante a un 95% de confianza puede estar seguro de que la profundidad media de las cuerdas oscila entre 0.2556179 y 0.3843821. Como el valor de la media es 0.3 es posible a un 95% que la media de la población de 0.3 esté dentro de la región de confianza.
4.2.6 Visualizar gráfica Gauss
visualize.t(stat = c(-t, t), df = n-1, section = "tails") +
text(0, 0.2, expression("95%"), col = "red") 
## integer(0)4.3 Vendedores
Se ha obtenido una muestra de \(15\) vendedores de una Editorial para estimar el valor medio de las ventas por trabajador en la Empresa. La media y la desviación de la muestra ( en miles de euros ) son \(5\) y \(1.464\), respectivamente.
Se pide deducir el intervalo de confianza al 90%
4.3.1 Los datos
media.m <- 5
desv.m <- 1.464
n <- 15
confianza <- 0.904.3.2 Construir una tabla de datos
tabla <- data.frame(variables = c("n", "Grados libertad", "Media muestra", "Desv.Std muestra", "Media Pob.", "Confianza"), datos = c(n, (n-1), media.m, desv.m, NA, confianza))
tabla## variables datos
## 1 n 15.000
## 2 Grados libertad 14.000
## 3 Media muestra 5.000
## 4 Desv.Std muestra 1.464
## 5 Media Pob. NA
## 6 Confianza 0.9004.3.3 Valor de t real (crítico)
t <- qt(p = (1 - confianza) / 2, df = n-1) # dos colas
t <- abs(t)
t## [1] 1.761314.3.4 Intervalo de confianza
li <- media.m - t * (desv.m /sqrt(n) )
ls <- media.m + t * (desv.m /sqrt(n) )
print("intervalo")## [1] "intervalo"intervalo <- c(li, ls)
intervalo## [1] 4.334219 5.665781El intervalo de confianza con valores entre 4.3342192 y 5.6657808 con un 90% de confianza se interpreta que la media de la población debe estar en ese intervalo.
4.3.5 Visualizar gráfica Gauss
visualize.t(stat = c(-t, t), df = n-1, section = "tails") +
text(0, 0.2, expression("90%"), col = "red") 
## integer(0)