Caso 19 Distribución Poisson
Dorian Elí Nájera Meraz
2023-04-29
Objetivo
Identificar los valores de la función de probabilidad bajo la fórmula de distribución de Poisson.
Descripción
Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad de Poisson a partir del valor medio dado en ejercicios.
Se generan las tablas de probabilidad conforme a distribución Poisson, se identifican los valores de probabilidad cuando la variable discreta \(x\) tenga algún exactamente algún valor, \(\leq\) a algún valor o \(\gt\) o \(\geq\), entre otros.
Fundamento teórico
Otra variable aleatoria discreta que tiene numerosas aplicaciones prácticas es la variable aleatoria de Poisson. Su distribución de probabilidad da un buen modelo para datos que representa el número de sucesos de un evento especificado en una unidad determinada de tiempo o espacio [@mendenhall_introduccion_2006].
Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X, el número de resultados que ocurren durante un intervalo dado o en una región específica, se llaman experimentos de Poisson.[@walpole_probabilidad_2012]
Esta distribución discreta, suele usarse para estimar el número de veces que sucede un hecho determinado (ocurrencias) en un intervalo de tiempo o de espacio. Por ejemplo,
La variable de interés va desde el número promedio de automóviles que llegan (llegadas) a un lavado de coches en una hora o
El número medio de reparaciones necesarias en 10 kms. de una autopista o,
El número promedio de fugas de agua en tubería en un lapso 3 meses.
El número de focos promedio que fallan en una cantidad de lote de 1000 focos.
El número medio de fugas en 100 kms.de tubería, entre otros [@anderson_estadistica_2008].
Fórmula
\[ f(x) = \frac{{e^{ - \mu }\cdot \mu ^x }}{{x!}} \] en donde:
\(f(x)\) es la función de probabilidad para valores de \(x=0,1,2,3..,n\).
\(\mu\) es el valor medio esperado en cierto lapso de tiempo. Algunas veces expresado como \(\lambda\) lambda.
\(x\) es la variable aleatoria. Es una variable aleatoria discreta \((x = 0, 1,. 2, . . . )\)
\(e\) valor constante, es la base de los logaritmos naturales \(2.71728\).
Propiedades de un evento Poisson:
La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualquiera de dos intervalos de la misma longitud.
La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.
El factor de proporcionalidad para la probabilidad de un hecho en un intervalo infinitésimo. Se le suele designar como parámetro de intensidad y corresponde con el número medio de hechos que cabe esperar que se produzcan en un intervalo unitario (media de la distribución);
El valor de la media también coincide con la varianza de la distribución.
Se trata de un modelo discreto y que el campo de variación de la variable será el conjunto de los número naturales, incluido el cero: \(x \in \text{{0, 1, 2, 3, 4 ......... ......}}\)
Probabilidad acumulada
\[ F(x) = \sum_{0}^{n}f.x_i \]
Esperanza, varianza y desviación estándard
Los valores de la esperanza (o media) y de la varianza para la distribución de Poisson son de la siguiente manera:
El valor medio o esperanza\[E(X) = \lambda \]
La varianza\[Var(X) = \sigma^{2} = \lambda\]
Es decir, tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales.
La desviación\[\sigma = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{\sigma^{2}}\]
El los siguiente ejercicios se hace uso de funciones de distribución para Poisson en R, al igual que otras de las distribuciones de probabilidad, R trae consigo funciones de paquete base que ya permiten calcular la probabilidad, la densidad y la generación de números aleatorios, entre otras.
De igual modo se tienen funciones previamente codificadas que generan los mismos resultados en la dirección: https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/funciones/funciones%20para%20disribuciones%20de%20probabilidad.R
Desarrollo
Cargar librerías
library(dplyr)
library(ggplot2)
library(mosaic) # Gráficos de distribuciones
library(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón
library(plotly)
options(scipen=999) # Notación normal
# options(scipen=1) # Notación científicaNotación normal
options(scipen=999) # Notación normal Cargar funciones
#source("../funciones/funciones.distribuciones.r")
# o
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/2023/funciones/funciones%20para%20disribuciones%20de%20probabilidad.R")##
## Attaching package: 'gtools'## The following object is masked from 'package:mosaic':
##
## logitEjercicios
Se describen ejercicios en donde se encuentra la función de distribución
Llegadas a cajero automático
Suponga que desea saber el número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero automático de un banco.[@anderson_estadistica_2008]
Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automóviles es la misma en cualesquiera de dos lapsos de la misma duración y si la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o no–llegada de un automóvil en cualquier otro lapso, se puede aplicar la función de probabilidad de Poisson.
Dichas condiciones se satisfacen y en un análisis de datos pasados encuentra que el número promedio de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos es igual a 10;
Aquí la variable aleatoria es \(x\) número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos.
Probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos
Si la administración desea saber la probabilidad de que lleguen exactamente 5 automóviles en 15 minutos, \(x=5\),y se obtiene:
Inicializando variables y valores, estos valores son los parámetros que requiere la función de Poisson. \(x\) como variable aleatoria, \(\mu\) (miu) o \(\lambda\) (lambda) es el valor medio de la distribución y \(n\) como un valor final de los valores de la variable discreta \(x\), desde \(0\) hasta \(n\);.
Este último valor de \(n\) puede modificarse y observar los valores de densidad (probabilidad) de la variable discreta van reduciendo poco a poco.
media <- 10 # Media o lambda en la función de densidad
x <- 5 # Valores de la variable disreta
n = 25 # Estimado final de la variable aleatoria x , pero puede variarUtilizando la función creada conforme a la fórmula
prob <- round(f.prob.poisson(media = media, x = x),4)
paste("La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob)## [1] "La probabilidad de que sean exactamente 5 automóviles es de : 0.0378"Utilizando la función dpois()
prob2 <- round(dpois(x = x, lambda = media),4)
paste("La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de : ", prob2)## [1] "La probabilida de que sean exactamente 5 automóviles es de : 0.0378"Para este caso al igual que las entregas de Caso de binomial e hipergeométrica, también se hace uso de la función previamente f.poisson.all(…) construída para este fín y que se encuentra en el script previamente cargado con la función source().
Esta función f.poisson.all(…), devuelve entre otras cosas, la tabla de distribución, el valor esperado, la varianza, la desviación estándar así como las visualizaciones gráficas de la densidad, histograma y acumulado de la variable discreta Poisson.
Tabla de probabilidad y gráfica de la probabilidad de Poisson.
Se crea una tabla de distribución codificada manualmente
tabla1 <- data.frame(x=0:25, f.x = round(dpois(x = 0:25, lambda = media),8), F.x = round(ppois(q=0:25, lambda = media), 8))
tabla1## x f.x F.x
## 1 0 0.00004540 0.00004540
## 2 1 0.00045400 0.00049940
## 3 2 0.00227000 0.00276940
## 4 3 0.00756665 0.01033605
## 5 4 0.01891664 0.02925269
## 6 5 0.03783327 0.06708596
## 7 6 0.06305546 0.13014142
## 8 7 0.09007923 0.22022065
## 9 8 0.11259903 0.33281968
## 10 9 0.12511004 0.45792971
## 11 10 0.12511004 0.58303975
## 12 11 0.11373640 0.69677615
## 13 12 0.09478033 0.79155648
## 14 13 0.07290795 0.86446442
## 15 14 0.05207710 0.91654153
## 16 15 0.03471807 0.95125960
## 17 16 0.02169879 0.97295839
## 18 17 0.01276400 0.98572239
## 19 18 0.00709111 0.99281350
## 20 19 0.00373216 0.99654566
## 21 20 0.00186608 0.99841174
## 22 21 0.00088861 0.99930035
## 23 22 0.00040391 0.99970426
## 24 23 0.00017561 0.99987988
## 25 24 0.00007317 0.99995305
## 26 25 0.00002927 0.99998232Se hace la misma tabla de distribución usando la variable resultado que provienen de haber ejecutado la función previamente.
Ejecutando la función f.poisson.all(…)
resultado <- f.poisson.all(media = media)## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.tabla <- resultado$tabla
tabla## x f.x F.x
## 1 0 0.00004540 0.00004540
## 2 1 0.00045400 0.00049940
## 3 2 0.00227000 0.00276940
## 4 3 0.00756665 0.01033605
## 5 4 0.01891664 0.02925269
## 6 5 0.03783327 0.06708596
## 7 6 0.06305546 0.13014142
## 8 7 0.09007923 0.22022065
## 9 8 0.11259903 0.33281968
## 10 9 0.12511004 0.45792971
## 11 10 0.12511004 0.58303975
## 12 11 0.11373640 0.69677615
## 13 12 0.09478033 0.79155648
## 14 13 0.07290795 0.86446442
## 15 14 0.05207710 0.91654153
## 16 15 0.03471807 0.95125960
## 17 16 0.02169879 0.97295839
## 18 17 0.01276400 0.98572239
## 19 18 0.00709111 0.99281350
## 20 19 0.00373216 0.99654566
## 21 20 0.00186608 0.99841174El resultado de ambas tablas debe ser similar.
Visualizando probabilidad de Poisson
Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.
plot_grid(resultado$g.dens, resultado$g_all$dens)
Histograma y acumulado
plot_grid(resultado$g_barra, resultado$g_all$acum)
Usando plotly para visualizaciones dinámicas
resultado$g.hist.plotlyresultado$g.acum.plotly¿Cual es la probabilidad de que X sea menor o igual a diez?
\[f(x \leq10) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + ... + P(x=10)\]
i <- 10
tabla$F.x[i + 1]## [1] 0.5830397paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: ", tabla$F.x[i + 1])## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: 0.58303975"Usando ppois()
ppois() determina la probabilidad acumulada de una distribución Poisson.
prob <- round(ppois(q = 10, lambda = media), 4)
paste("La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: ", prob)## [1] "La probabilidad de que el valor de x sea menor o igua a 10 es: 0.583"Media diferente
En el ejemplo anterior se usó un lapso de 15 minutos, pero también se usan otros lapsos. Suponga que desea calcular la probabilidad de una llegada en un lapso de 3 minutos.
Regla de tres:
\[ 10 = 15\] \[ ? = 3\]
Entonces, la probabilidad de \(x=4\) llegadas en un lapso de 3 minutos con \(μ = 2\) está dada por la siguiente nueva función de probabilidad de Poisson.
\[ \mu = 2 \]
\[ f(x) = \frac{{e^{ - \mu }\cdot \mu ^x }}{{x!}} \]
Entonces ….
media <- 2
x <- 4prob <- round(dpois(x = 4, lambda = media),4)
paste("La probabilidad cuando x = 4 y media igual a 2 es del:", prob * 100, "%")## [1] "La probabilidad cuando x = 4 y media igual a 2 es del: 9.02 %"El valor de la esperanza media
Regresando a la media \(\mu = 10 \text{ o }\lambda = 10\) , entonces la esperanza media es igual a: \(10\)
La varianza
La varianza es igual a \(10\)
La desviación estándar
La raiz cuadrada de \(\sqrt{10}\)
sqrt(media)## [1] 1.414214Interpretación
Se utiliza la distribución de Poisson para modelar la probabilidad de ocurrencia de un evento en un intervalo de tiempo específico, como el número de llegadas en un lapso de tiempo. Primero se calcula la probabilidad acumulada de que el número de llegadas sea menor o igual a 10, utilizando la función de distribución de probabilidad de Poisson. Luego, se ilustra cómo cambiar el intervalo de tiempo afecta la probabilidad y se calcula la probabilidad de que haya exactamente 4 llegadas en un lapso de 3 minutos. También se calcula la esperanza media, la varianza y la desviación estándar para la distribución de Poisson, lo que proporciona información sobre la distribución de probabilidad y cómo se espera que los datos se distribuyan en torno a la media. En general, la distribución de Poisson es útil para modelar situaciones en las que se desea conocer la probabilidad de ocurrencia de un evento en un intervalo de tiempo específico.
Instalaciones industriales
En ciertas instalaciones industriales los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es \(0.005\) y los accidentes son independientes entre sí [@walpole_probabilidad_2012].
¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días
habrá un accidente en un día?
Se multiplica la cantidad la de días por su probabilidad para encontrar
la media. Esta media será el parámetro para la distribución
Poisson.
n <- 400
prob <- 0.005
media <- n * prob
media## [1] 2La variable aleatoria son los días desde \(x=0\)…hasta \(x=n\)
La tabla de distribución de probabilidad de Poisson
resultado <- f.poisson.all(media = media)tabla <- resultado$tabla
tabla## x f.x F.x
## 1 0 0.13533528 0.1353353
## 2 1 0.27067057 0.4060059
## 3 2 0.27067057 0.6766764
## 4 3 0.18044704 0.8571235
## 5 4 0.09022352 0.9473470Visualización de Poisson
Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.
plot_grid(resultado$g.dens, resultado$g_all$dens)
Histograma/Barra y acumulado
plot_grid(resultado$g_barra, resultado$g_all$acum)
Usando plotly para visualizaciones dinámicas
resultado$g.hist.plotlyresultado$g.acum.plotly¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días habrá un accidente en un día?
\(f(x=1)\)
Recordar que el índice de la tabla empieza en el valor cero de tal forma que se necesita el siguiente valor \(x+1\) en la tabla:
i <- 1
prob <- tabla$f.x[i+1]
paste("La probabilidad del valor de x=1 es: ", prob)## [1] "La probabilidad del valor de x=1 es: 0.27067057"paste("La probabilidad del valor de x=1 es: ", round(dpois(x = 1, lambda = media), 4))## [1] "La probabilidad del valor de x=1 es: 0.2707"¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente?
- El indice en la tabla comienza en cero \[ f(x=0) + f(x=1) + f(x=2) + f(x=3) \\ 0.13533528 + 0.27067057 + 0.27067057 + 0.18044704 = 0.8571235 \]
i <- 3
prob <- round(tabla$F.x[i+1],4)
paste("La probabilidad del valor de x<=3 es: ", prob)## [1] "La probabilidad del valor de x<=3 es: 0.8571"paste("La probabilidad acumlada del valor de x<=3 es: ", round(ppois(q = 3, lambda = media, lower.tail = TRUE), 4))## [1] "La probabilidad acumlada del valor de x<=3 es: 0.8571"Interpretación
En este problema se está utilizando la distribución de Poisson para modelar la ocurrencia de accidentes en un periodo de 400 días. La media de la distribución de Poisson se ha calculado previamente y se ha determinado que es igual a 10 accidentes por periodo.
La primera pregunta busca calcular la probabilidad de que en un día cualquiera ocurra un accidente. Se utiliza la función de probabilidad de Poisson para calcular esta probabilidad, y se obtiene que la probabilidad de que ocurra un accidente en un día es de aproximadamente 0.2707.
La segunda pregunta busca calcular la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente en el periodo de 400 días. Se utiliza la función de probabilidad acumulada de Poisson para calcular esta probabilidad, sumando las probabilidades individuales de que haya 0, 1, 2 o 3 accidentes en el periodo. Se obtiene que la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente es de aproximadamente 0.8571.
Fabricante de automóviles
Un fabricante de automóviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo específico. La falla puede causar en raras ocasiones una catástrofe a alta velocidad. Suponga que la distribución del número de automóviles por año que experimentará la falla es una variable aleatoria de Poisson con \(\lambda = 5\) [@walpole_probabilidad_2012].
Inicializando valores
media <- 5La tabla de distribución cuando media igual a 5
resultado <- f.poisson.all(media = media)tabla <- resultado$tabla
tabla## x f.x F.x
## 1 0 0.00673795 0.00673795
## 2 1 0.03368973 0.04042768
## 3 2 0.08422434 0.12465202
## 4 3 0.14037390 0.26502592
## 5 4 0.17546737 0.44049329
## 6 5 0.17546737 0.61596065
## 7 6 0.14622281 0.76218346
## 8 7 0.10444486 0.86662833
## 9 8 0.06527804 0.93190637
## 10 9 0.03626558 0.96817194
## 11 10 0.01813279 0.98630473Visualización de Poisson
Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.
plot_grid(resultado$g.dens, resultado$g_all$dens)
Histograma/barra y lineal acumulado
plot_grid(resultado$g_barra, resultado$g_all$acum)
Usando plotly para visualizaciones dinámicas
resultado$g.hist.plotlyresultado$g.acum.plotly¿Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe?
\[f(X \leq 3)\]
\[f(X=0) + f(X=1) + f(X=2) + f(X=3)\]
i <- 3
prob <- tabla$F.x[i+1]
paste("La probabilidad del valor de x<=3 es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad del valor de x<=3 es: 26.5026 %"paste("La probabilidad del valor de x<=3 es: ", round(ppois(q = 3, lambda = media),4) * 100, "%")## [1] "La probabilidad del valor de x<=3 es: 26.5 %"¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe?
\[ 1 - F(X \leq 1) \] \[ 1 - (f(X=0) + f(x=1))\]
i <- 1
prob <- 1 - tabla$F.x[i+1]
paste("La probabilidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad del valor de x>1 es: 95.9572 %"prob <- ppois(q = 1, lambda = media, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad del valor de x>1 es: 95.9572 %"¿Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe?
\[f(X \leq 3)\]
\[f(X=0) + f(X=1) + f(X=2) + f(X=3)\]
i <- 3
prob <- tabla$F.x[i+1]
paste("La probabilidad del valor de x<=3 es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad del valor de x<=3 es: 26.5026 %"paste("La probabilidad del valor de x<=3 es: ", round(ppois(q = 3, lambda = media),4) * 100, "%")## [1] "La probabilidad del valor de x<=3 es: 26.5 %"¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe?
\[ 1 - F(X \leq 1) \] \[ 1 - (f(X=0) + f(x=1))\]
i <- 1
prob <- 1 - tabla$F.x[i+1]
paste("La probabilidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad del valor de x>1 es: 95.9572 %"prob <- ppois(q = 1, lambda = media, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad del valor de x>1 es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad del valor de x>1 es: 95.9572 %"Interpretación
Se utiliza la distribución de Poisson para responder tres preguntas específicas. Primero se pregunta por la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe. Se resuelve sumando las probabilidades individuales de que 0, 1, 2 o 3 automóviles sufran una catástrofe. La probabilidad resultante es del 26.5%.
Luego se pregunta por la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe. Se resuelve restando la probabilidad acumulada de que a lo más 1 automóvil sufra una catástrofe de 1. La probabilidad resultante es del 95.9572%.
Finalmente, se vuelve a preguntar por la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una catástrofe, utilizando otra vez la distribución de Poisson y obteniendo la misma respuesta. Además, se vuelve a preguntar por la probabilidad de que más de 1 automóvil por año experimente una catástrofe, esta vez utilizando la función de distribución acumulada de la Poisson y obteniendo la misma respuesta que en la pregunta anterior.
Declaración de impuestos
Suponga que, en promedio, \(1 \text {
persona en }1000\)
comete un error numérico al preparar su declaración de
impuestos. Si se seleccionan \(10,000\) formas al azar y se examinan,
encuentre la probabilidad de que \(6, 7 \text
{ u } 8\) de las formas contengan un error.[@walpole2007]. Ejercicio 5.65, Pág.
165.
\[ f(x=6:8) = f(x=6) + f(x=7) + f(x=8) \]
Valores iniciales
prob <- 1 / 1000
media <- prob * 10000Tabla de distribución
resultado <- f.poisson.all(media = media)tabla <- resultado$tabla
tabla## x f.x F.x
## 1 0 0.00004540 0.00004540
## 2 1 0.00045400 0.00049940
## 3 2 0.00227000 0.00276940
## 4 3 0.00756665 0.01033605
## 5 4 0.01891664 0.02925269
## 6 5 0.03783327 0.06708596
## 7 6 0.06305546 0.13014142
## 8 7 0.09007923 0.22022065
## 9 8 0.11259903 0.33281968
## 10 9 0.12511004 0.45792971
## 11 10 0.12511004 0.58303975
## 12 11 0.11373640 0.69677615
## 13 12 0.09478033 0.79155648
## 14 13 0.07290795 0.86446442
## 15 14 0.05207710 0.91654153
## 16 15 0.03471807 0.95125960
## 17 16 0.02169879 0.97295839
## 18 17 0.01276400 0.98572239
## 19 18 0.00709111 0.99281350
## 20 19 0.00373216 0.99654566
## 21 20 0.00186608 0.99841174¿Cuál es la probabilidad de que haya entre 6 y 8 declaraciones con errores?
\[ f(x \text { de 6 a }8) = f(x=6) + f(x=7) + f(x=8) \]
Se suman las probabilidades
Usando dpois()
paste(round(dpois(x = 6, lambda = media),4), "+", round(dpois(x = 7, lambda = media),4), "+"
, round(dpois(x = 8, lambda = media),4))## [1] "0.0631 + 0.0901 + 0.1126"prob <- sum(dpois(x = 6:8, lambda = media))
paste("La probabilidad del valor de x de 6 a 8 es: ", round((prob * 100),4), "%")## [1] "La probabilidad del valor de x de 6 a 8 es: 26.5734 %"Con ppois(), restando el valor acumulado de \(F(x=8)\) - el valor cumulado en \(F(x=5)\)
prob <- ppois(q = 8, lambda = media) - ppois(q = 5, lambda = media)
prob## [1] 0.2657337Visualización de Poisson
Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.
plot_grid(resultado$g.dens, resultado$g_all$dens)
Histograma/barra y lineal acumulado
plot_grid(resultado$g_barra, resultado$g_all$acum)
Usando plotly para visualizaciones dinámicas
resultado$g.hist.plotlyresultado$g.acum.plotlyInterpretación
se busca encontrar la probabilidad de que en un conjunto de 10,000 declaraciones de impuestos seleccionadas al azar, haya entre 6 y 8 declaraciones que contengan un error numérico al prepararlas, dado que en promedio una de cada 1,000 personas comete este tipo de error.
Se utilizó la distribución de Poisson, que es adecuada para modelar eventos raros e independientes. Primero se calculó la media, que corresponde al número esperado de errores en una declaración de impuestos. Luego, se utilizó la función dpois() para calcular la probabilidad de cada valor individual de x (6, 7 y 8), y se sumaron estas probabilidades para obtener la probabilidad total de que haya entre 6 y 8 errores. El resultado obtenido fue de aproximadamente 26.5734%.
También se utilizó la función ppois() para calcular la probabilidad acumulada de que haya menos de 6 errores (que es la probabilidad acumulada de \(F(x=5)\)) y menos de 9 errores (que es la probabilidad acumulada de \(F(x=8)\)). Al restar estas probabilidades acumuladas, se obtiene la misma probabilidad total de 26.5734%.
Se visualizó la distribución de Poisson con un histograma y una gráfica de densidad. La gráfica muestra que la distribución es sesgada hacia la derecha, lo que indica que es más probable que haya menos de 6 errores en una declaración de impuestos que 6 o más.
Interpretación del caso
La distribución de Poisson es una herramienta importante en la estadística para modelar eventos raros que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio específico. Esta distribución se puede utilizar para estimar el número de veces que ocurre un evento específico en un intervalo de tiempo o espacio, como el número promedio de coches que llegan a un lavado de coches en una hora o el número promedio de fugas de agua en una tubería durante un período de tres meses. La fórmula de la distribución de Poisson es f(x) = (e^-mu * mu^x) / x!, donde f(x) es la función de probabilidad para valores de x = 0,1,2,3,…,n, mu es el valor medio esperado en un intervalo de tiempo o espacio, x es la variable aleatoria y e es la base de los logaritmos naturales.
La distribución de Poisson tiene varias propiedades importantes. La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualquier intervalo de la misma longitud, la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo, el factor de proporcionalidad para la probabilidad de un evento es el número medio de eventos que se espera que ocurran en un intervalo unitario y el valor de la media coincide con la varianza de la distribución. La distribución de Poisson es un modelo discreto, y el campo de variación de la variable será el conjunto de números naturales, incluido el cero.