1.1 二次方程公式

给定二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，我们可以使用以下公式求解：

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

1.2 三次方程公式

三次方程的解析解公式比较复杂，具体可以参考卡尔丹公式。

1.3 克拉姆公式

给定线性方程组 \(AX = B\)，其中矩阵 \(A\) 是 \(n \times n\) 的，如果 \(|A| \neq 0\)，那么方程组有唯一解：

\[ x_i = \frac{|A_i|}{|A|} \]

其中，\(A_i\) 是用矩阵 \(B\) 的第 \(i\) 列替换矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 列后得到的新矩阵。

1.4 矩阵乘法

两个矩阵 \(A\) 和 \(B\) 的乘积定义为：

\[ C = AB = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \]

2.1 导数运算

函数 \(f(x)\) 的导数表示为 \(f'(x)\) 或 \(\frac{d}{dx}f(x)\)，表示函数在某一点的切线斜率。

2.2 常用导函数表

1. \((x^n)' = nx^{n-1}\)
2. \((e^x)' = e^x\)
3. \((\ln{x})' = \frac{1}{x}\)
4. \((\sin{x})' = \cos{x}\)
5. \((\cos{x})' = -\sin{x}\)
6. \((\tan{x})' = \sec^2{x}\)

2.3 区分数学术语:微分与导数

微分（differential）表示函数在某一点的局部线性近似，而导数（derivative）表示函数在某一点的切线斜率。

2.4 累计微分中常用公式

1. \(\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'\)
2. \(\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
3. \(\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)\)

2.5 不定积分中常用公式

1. \(\int k \,dx = kx + C\)
2. \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), 当 \(n \neq -1\)
3. \(\int e^x dx = e^x + C\)
4. \(\int \frac{1}{x} dx = \ln{|x|} + C\)
5. \(\int \sin{x} dx = -\cos{x} + C\)
6. \(\int \cos{x} dx = \sin{x} + C\)
7. \(\int \sec^2{x} dx = \tan{x} + C\)

2.6 定积分中常用公式

1. 定积分的基本性质：\(\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx\)
2. 定积分的可加性：\(\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx\)
3. 定积分的线性性质：\(\int_{a}^{b} [cf(x)] dx = c\int_{a}^{b} f(x) dx\)

2.7 常用三角函数与反三角函数

1. \(\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1\)
2. \(1 + \tan^2{x} = \sec^2{x}\)
3. \(1 + \cot^2{x} = \csc^2{x}\)
4. \(\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}\)
5. \(\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}\)
6. \(\sin{(\arcsin{x})} = x\)
7. \(\cos{(\arccos{x})} = x\)
8. \(\tan{(\arctan{x})} = x\)

2.8 常用指数函数与对数函数

1. \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\)
2. \(a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}\)
3. \((a^m)^n = a^{mn}\)
4. \(\log_a{(x\cdot y)} = \log_a{x} + \log_a{y}\)
5. \(\log_a{\frac{x}{y}} = \log_a{x} - \log_a{y}\)
6. \(\log_a{x^n} = n\log_a{x}\)
7. \(\log_a{b} \cdot \log_b{x} = \log_a{x}\)
8. \(a^{\log_a{x}} = x\)

3.1 一阶线性微分方程公式

一阶线性微分方程的一般形式为：\(y' + p(x)y = q(x)\)，其中\(p(x)\) 和 \(q(x)\) 是已知函数。解公式为：

\[ y(x) = e^{-\int p(x) dx} \left( \int q(x) e^{\int p(x) dx} dx + C \right) \]

3.2 二阶齐次线性微分方程公式

二阶齐次线性微分方程的一般形式为：\(y'' + p(x)y' + q(x)y = 0\)。解法依赖于特征方程的根的性质：

1. 如果特征方程有两个实根，则通解为：\(y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\)
2. 如果特征方程有一个重根，则通解为：\(y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{rx}\)
3. 如果特征方程有两个共轭复根，则通解为：\(y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos{\beta x} + C_2 \sin{\beta x})\)

3.3 二阶非齐次线性微分方程公式

二阶非齐次线性微分方程的一般形式为：\(y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)\)。通解为齐次方程的通解加上一个特解。特解的求解方法有不少，如：待定系数法、拉普拉斯变换法、变量分离法等。

3.4 高阶微分方程 reduction of order 技巧

对于高阶微分方程，如果已知一个解 \(y_1(x)\)，可以通过 reduction of order 技巧求另一个线性无关的解。设另一个解为 \(y_2(x) = v(x)y_1(x)\)，代入原方程，化简并求解关于 \(v(x)\) 的方程。

4.1 随机变量的数字特征公式

1. 期望值：\(E(X) = \sum xP(X=x)\)（离散型）或 \(\int xf(x)dx\)（连续型）
2. 方差：\(Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2\)
3. 标准差：\(SD(X) = \sqrt{Var(X)}\)

4.2 两随机变量之间的相关性公式

1. 协方差：\(Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]\)
2. 相关系数：\(\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{SD(X) \cdot SD(Y)}\)

4.3 回归分析中常用公式

1. 简单线性回归：\(y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon\)
2. 斜率估计：\(\hat{\beta}_1 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}\)
3. 截距估计：\(\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x}\)

4.4 假设检验中常用公式

1. Z检验：\(z = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\)
2. t检验：\(t = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\)，其中 \(s\) 是样本标准差
3. 卡方检验：\(\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\)，其中 \(O_i\) 是观察频数，\(E_i\) 是期望频数

4.5 方差分析中常用公式

1. 总平方和：\(SST = \sum(y_i - \bar{y})^2\)
2. 回归平方和：\(SSR = \sum(\hat{y}_i - \bar{y})^2\)
3. 残差平方和：\(SSE = \sum(y_i - \hat{y}_i)^2\)
4. 总自由度：\(n-1\)
5. 回归自由度：\(p\)
6. 残差自由度：\(n-p-1\)
7. 回归均方：\(MSR = \frac{SSR}{p}\)
8. 残差均方：\(MSE = \frac{SSE}{n-p-1}\)
9. F统计量：\(F = \frac{MSR}{MSE}\)

5.1 矩阵的特征值与特征向量

对于矩阵 \(A\)，若存在非零向量 \(x\) 和标量 \(\lambda\)，使得 \(Ax = \lambda x\)，则称 \(\lambda\) 是矩阵 \(A\) 的特征值，\(x\) 是对应于特征值 \(\lambda\) 的特征向量。

5.2 矩阵的初等变换与行阶梯形式

通过以下三种初等行变换，可以将矩阵化为行阶梯形式：

1. 交换两行
2. 用一个非零常数乘以一行
3. 将一个常数倍的一行加到另一行

5.3 线性方程组的解法

解线性方程组的方法有很多，例如高斯消元法、克拉默法则、矩阵求逆法等。

5.4 数学归纳法证明

数学归纳法证明主要包括以下两个步骤：

1. 基本步骤：证明命题对于最小的整数成立。
2. 归纳步骤：假设命题对于任意整数 \(k\) 成立，然后证明命题对于 \(k+1\) 也成立。

5.5 线性空间的基与维数

1. 线性空间的基：一组线性无关的向量，能够生成整个线性空间。
2. 线性空间的维数：线性空间的基向量的数量。

6.1 复变函数asin,acos,arg公式

1. 反正弦函数：\(asin(z) = -i \ln(iz + \sqrt{1-z^2})\)
2. 反余弦函数：\(acos(z) = -i \ln(z + i \sqrt{1-z^2})\)
3. 辐角函数：\(arg(z) = \arctan(\frac{\Im(z)}{\Re(z)})\)

6.2 复变函数的极限与连续性

1. 极限：如果对于任意小的正数 \(\varepsilon\)，都存在正数 \(\delta\) 使得 \(|z - z_0| < \delta\) 时，有 \(|f(z) - f(z_0)| < \varepsilon\)，则称 \(\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)\)。
2. 连续性：如果对于任意小的正数 \(\varepsilon\)，都存在正数 \(\delta\) 使得 \(|z - z_0| < \delta\) 时，有 \(|f(z) - f(z_0)| < \varepsilon\)，则称函数 \(f(z)\) 在点 \(z_0\) 处连续。

6.3 复变函数的微分与整体

1. 复变函数微分：如果存在极限 \(\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = f'(z)\)，则称函数 \(f(z)\) 在点 \(z\) 处可导，并且有导数 \(f'(z)\)。
2. 整体：设 \(f(z)\) 是定义在复平面区域 \(D\) 上的复值函数，\(C\) 是 \(D\) 内的一条简单闭曲线，如果 \(f(z)\) 在 \(C\) 上连续，则 \(f(z)\) 在 \(C\) 上的积分记作：\(\int_C f(z)dz\)。

6.4 复变函数的测地线与积分

1. 测地线：在复平面上，连接两点的最短路径称为测地线。
2. 积分：复变函数的积分是对复数域上的函数在一定区间内的积分求和。

6.5 傅里叶级数与积分

1. 傅里叶级数：将周期函数表示为三角函数级数的形式。
2. 傅里叶积分：将非周期函数表示为三角函数积分的形式。

6.6 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种积分变换，将一个函数从时间域转换到频率域。拉普拉斯变换定义为：

\[ F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st}f(t) dt \]

6.7 其他常用积分变换:如石,离散傅里叶变换等

1. 石尔夫变换（Hankel transform）：\(H_\nu[f(r)](s) = \int_0^\infty f(r) J_\nu(sr) r \, dr\)
2. 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）：\(X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i\frac{2\pi}{N}kn}\)

7.1 函数的极限与连续性

1. 极限：当自变量趋向于某一点时，函数值以确定的常数为极限。
2. 连续性：若函数在某一点的极限等于该点的函数值，称该函数在该点连续。

7.2 函数的可导性与微分

1. 可导性：如果函数在某点的导数存在，则称函数在该点可导。
2. 微分：设函数 \(y = f(x)\) 在某区间内有定义，\(x\) 在该区间内变动，当 \(x\) 变动到 \(x + \Delta x\) 时，函数值由 \(y\) 变为 \(y + \Delta y\)，则称 \(\Delta y = f'(x) \Delta x\) 为函数在点 \(x\) 处的微分。

7.3 函数的单调性与最值

1. 单调性：如果函数在某区间内的导数恒大于零，则函数在该区间单调递增；如果恒小于零，则函数在该区间单调递减。
2. 最值：函数在某区间内的最大值和最小值。

7.4 函数的周期性与奇偶性

1. 周期性：设函数 \(y = f(x)\) 在区间内有定义，如果存在常数 \(T > 0\)，使得对区间内的任意 \(x\)，都有 \(f(x + T) = f(x)\)，则称函数具有周期性，\(T\) 称为函数的周期。
2. 奇偶性：若函数满足 \(f(-x) = f(x)\)，则称函数为偶函数；若满足 \(f(-x) = -f(x)\)，则称函数为奇函数。

7.5 函数的Lipschitz性与收敛性

1. Lipschitz性：设函数 \(y = f(x)\) 在某区间内有定义，如果存在常数 \(L > 0\)，使得对区间内的任意 \(x_1\) 和 \(x_2\)，都有 \(|f(x_1) - f(x_2)| \le L|x_1 - x_2|\)，则称函数具有 Lipschitz 性质，\(L\) 称为 Lipschitz 常数。

2. 收敛性：当自变量趋向于某一点或无穷远时，函数值以确定的常数为极限，我们称这个函数收敛。例如，数列、级数、函数等的收敛性。

8.1 不定积分与不定积分公式

不定积分表示原函数的全体集合。若 \(F'(x) = f(x)\)，则称 \(F(x)\) 为 \(f(x)\) 的一个原函数。不定积分表示为：\(\int f(x) dx\)。

8.2 定积分与基本定理

定积分表示在一个区间上函数值与\(x\)轴所围成的面积。定积分表示为：\(\int_a^b f(x) dx\)。

基本定理：若 \(F'(x) = f(x)\) 且 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，则 \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\)。

8.3 曲线与曲面积分

1. 曲线积分：积分路径为一条曲线的积分。
2. 曲面积分：积分路径为一个曲面的积分。

8.4 梯形法与Simpson法

1. 梯形法：用梯形近似表示曲线下方的面积，从而估计定积分。
2. Simpson法：用抛物线近似表示曲线下方的面积，从而估计定积分。

8.5 常用积分公式与技巧

1. 常用积分公式：\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)，其中 \(n \neq -1\)。
2. 积分技巧：换元法、分部积分法等。

8.6 换元积分法

1. 代换：设 \(x = g(u)\)，则 \(dx = g'(u) du\)。
2. 换元积分：\(\int f(x) dx = \int f(g(u))g'(u) du\)。

8.7 分部积分法

分部积分法的公式为：\(\int u dv = uv - \int v du\)。

8.8 第一可微分方程

第一可微分方程是形如 \(M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0\) 的微分方程。

9.1 一阶线性微分方程

一阶线性微分方程形如：\(\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)\)。

9.2 二阶齐次线性微分方程

二阶齐次线性微分方程形如：\(y'' + p(x)y' + q(x)y = 0\)。

9.3 二阶非齐次线性微分方程

二阶非齐次线性微分方程形如：\(y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)\)。

9.4 常系数齐次线性微分方程

常系数齐次线性微分方程形如：\(y'' + ay' + by = 0\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 为常数。

9.5 高阶线性微分方程

高阶线性微分方程形如：\(y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_{n-1}(x)y' + p_n(x)y = 0\)。

9.6 常微分方程的特解与通解

1. 特解：满足微分方程的某个特定解。
2. 通解：包含任意常数的特解的集合。

9.7 非线性微分方程

非线性微分方程是指那些包含未知函数及其导数的非线性项的微分方程。例如，伯努利方程和里卡提方程等。

10.1 多元函数与偏导数

多元函数是指具有多个自变量的函数。偏导数表示某个自变量的变化对函数值的影响，记作 \(\frac{\partial f}{\partial x_i}\)。

10.2 可微性与连续性

多元函数的可微性与连续性是指在自变量的某一区域内，函数值是否具有连续性和可导性。

10.3 全微分与梯度

1. 全微分：表示所有自变量的微小变化对函数值的影响。
2. 梯度：表示函数在某一点的方向导数最大值的方向，记作 \(\nabla f\)。

10.4 多元函数的极值与最优化

1. 多元函数的极值：函数在某一点取得局部最大值或最小值的点。
2. 最优化：寻找满足某些约束条件下函数取得最大值或最小值的过程。

10.5 重积分与变分法

1. 重积分：多元函数的积分，如二重积分和三重积分。
2. 变分法：研究泛函取极值的方法，用于求解一类特殊的微分方程。

10.6 多元积分与应用

多元积分在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用，如求解质心、转动惯量、概率密度函数等。

11.1 向量的基本概念与运算

向量是具有大小和方向的量，可用有序数组表示。向量运算包括加法、减法、数乘、点积和叉积等。

11.2 向量的线性相关与线性无关

1. 线性相关：若存在非全零系数使得向量的线性组合等于零，则称向量线性相关。
2. 线性无关：若仅有全零系数使得向量的线性组合等于零，则称向量线性无关。

11.3 矩阵的概念与运算

矩阵是一个按照矩形排列的数表。矩阵运算包括加法、减法、数乘、矩阵乘法和矩阵的转置等。

11.4 矩阵的秩与逆矩阵

1. 矩阵的秩：矩阵中非零行列式的最高阶数。
2. 逆矩阵：设有矩阵 \(A\)，若存在一个矩阵 \(B\) 使得 \(AB = BA = I\)，则称 \(B\) 为 \(A\) 的逆矩阵，记作 \(A^{-1}\)。

11.5 矩阵的相似对角化与特征值

1. 相似对角化：若存在一个可逆矩阵 \(P\)，使得 \(P^{-1}AP\) 为对角矩阵，则称矩阵 \(A\) 可以相似对角化。
2. 特征值：若存在一个非零向量 \(x\) 和一个数 \(\lambda\)，使得 \(Ax = \lambda x\)，则称 \(\lambda\) 为矩阵 \(A\) 的特征值。

11.6 线性方程组的解法

线性方程组的解法包括高斯消元法、克拉默法则、矩阵求逆法等。其中，高斯消元法是将线性方程组化为行阶梯形式，从而求解未知数；克拉默法则适用于方程组系数矩阵可逆的情况；矩阵求逆法适用于求解形如 \(Ax = b\) 的线性方程组。