\(N\): Tamaño de la población.
\(n\): tamaño de la muestra a seleccionar.
\(Z_{\frac{\alpha}{2}}\): valor de Z en la distribución normal estándar que deja en el extremo derecho una probabilidad \(\frac{\alpha}{2}\).
\(e\): máximo error que se tendría en la estimación de la media con una confianza \(1-\alpha\). Los niveles de confianza más usuales son 0.9, 0.95 y 0.99, en tales vasos los valores de \(Z_{\frac{\alpha}{2}}\) son 1.64, 1.96 y 2.58, respectivamente.
\(\sigma\): Desviación estándar de la variable en la población. Debe conocerse o realizar alguna estimación previa.
El tamaño de muestra necesario para estimar la media, si la población es muy grande o infinita está dada por:
\[\begin{equation*} n=\dfrac{Z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}\sigma^{2}}{e^{2}} \end{equation*}\]
Si la población es pequeña o finita, el tamaño de la muestra está dada por:
\[\begin{equation*} n=\dfrac{N Z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}\sigma^{2}}{(N-1)e^{2}+Z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}\sigma^{2}} \end{equation*}\]
\(1-\alpha=0.95\): nivel de confianza, entonces \(Z\frac{\alpha}{2}=1.96\)
\(e=2500\): máximo error en la estimación de la media con confianza 0.95.
\(\sigma=28000\):
\[\begin{equation*} n= \dfrac{1.96^{2}\cdot28000^{2}}{2500^{2}}= 481.8903 \end{equation*}\]
sample.size.mean(e=2500,S=28000,N=Inf,level=0.95)##
## sample.size.mean object: Sample size for mean estimate
## Without finite population correction: N=Inf, precision e=2500 and standard deviation S=28000
##
## Sample size needed: 482\(N=1800\)
\(1-\alpha=0.95\)
\(e=2\)
\(\sigma=6.25\)
\[\begin{equation*} n=\dfrac{1800\cdot 1.96^{2}\cdot 6.25^{2}}{(1800-1)\cdot 2^{2}+1.96^{2}\cdot .25^{2}} = 36.7697 \end{equation*}\]
sample.size.mean(e=2,S=6.25,N=1800,level=0.95)##
## sample.size.mean object: Sample size for mean estimate
## With finite population correction: N=1800, precision e=2 and standard deviation S=6.25
##
## Sample size needed: 37\(N\): Tamaño de la población.
\(n\): tamaño de la muestra a seleccionar.
\(Z_{\frac{\alpha}{2}}\): valor de Z en la distribución normal estándar que deja en el extremo derecho una probabilidad \(\frac{\alpha}{2}\).
\(e\): máximo error que se tendría en la estimación de la proporción con una confianza \(1-\alpha\). Los niveles de confianza más usuales son 0.9, 0.95 y 0.99, en tales vasos los valores de \(Z_{\frac{\alpha}{2}}\) son 1.64, 1.96 y 2.58, respectivamente.
\(P\): proporción de éxitos en la población. Debe tenerse una estimación.
En el caso de una población grande o infinita, el tamaño de muestra está dado por.
\[\begin{equation*} n=\dfrac{Z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}PQ}{e^{2}} \end{equation*}\]
Si la población es pequeña o finita, el tamaño de la muestra está dada por:
\[\begin{equation*} n=\dfrac{N Z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}PQ}{(N-1)e^{2}+Z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}PQ} \end{equation*}\]
\(P=0.5\) entonces \(Q=1-P\)
\(E=0.03\)
\[\begin{equation*} n=\dfrac{1.96^{2}\cdot 0.5\cdot 0.5}{0.03^{2}}= 1067.111 \end{equation*}\]
sample.size.prop(e=0.03,P=0.5,N= Inf,level=0.95)##
## sample.size.prop object: Sample size for proportion estimate
## Without finite population correction: N=Inf, precision e=0.03 and expected proportion P=0.5
##
## Sample size needed: 1068\(N=1200\)
\(e=0.035\)
\(P=0.2\) entonces \(Q=0.8\)
\[\begin{equation*} n=\dfrac{1200\cdot 1.96^{2}\cdot 0.2\cdot 0.8}{(1200-1)\cdot 0.035^{2}+1.96^{2}\cdot0.2\cdot 0.8}= 354.0253 \end{equation*}\]
sample.size.prop(e=0.035,P=0.2,N=1200,level=0.95)##
## sample.size.prop object: Sample size for proportion estimate
## With finite population correction: N=1200, precision e=0.035 and expected proportion P=0.2
##
## Sample size needed: 354\[\begin{equation*} n=\dfrac{\sum N_{i}^{2}\sigma_{i}^{2}/W_{i}}{\frac{N^{2}e^{2}}{Z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}}+\sum N_{i}\sigma_{i}^{2}} \end{equation*}\]
\(N_{i}\): tamaño del estrato \(i\).
\(N = N_{1}+ N_{2}+ \ldots N_{k}\): tamaño de la población.
\(\sigma_{i}^{2}\): Estimación de la varianza en el estrato \(i\).
\(W_{i}=\dfrac{N_{i}}{N}\)
\(n\): tamaño de la muestra.
\(n_{i}\): tamaño de la muestra en el estrato \(i\).
\(e\): máximo error que se tendría en la estimación de la media con una confianza \(1-\alpha\). Los niveles de confianza más usuales son 0.9, 0.95 y 0.99, en tales vasos los valores de \(Z_{\frac{\alpha}{2}}\) son 1.64, 1.96 y 2.58, respectivamente.
y el tamaño de muestra en cada estrato:
\(n_{i}=n\cdot W_{i}\)
\(N1=155;N2=62;N3=93\)
\(N=N1+N2+N3\)
\(N=310\)
\(W1=N1/N= 0.5\)
\(W2=N2/N= 0.2\)
\(W3=N3/N =0.3\)
\(S1=5;S2=15;S3=10\)
\(e=2\)
\[\begin{equation*} n= \dfrac{155^{2}\cdot 5^2 / (0.5) +62^{2}\cdot 15^{2}/(0.2)+93^{2}\cdot 10^{2}/(0.3) }{310^{2}\cdot 2^{2}/1.96^{2}+310\cdot 5^{2}+62^{2}\cdot 15^{2}+93^{2}\cdot 10^{2}} \end{equation*}\]
n= 66.11304
N1=155;N2=62;N3=93
N=N1+N2+N3
W1=N1/N;W2=N2/N;W3=N3/N
S1=5;S2=15;S3=10
e=2
stratasize(e=2,Nh=c(N1,N2,N3),Sh=c(S1,S2,S3),level=0.95,type="prop")##
## stratamean object: Stratified sample size determination
##
## type of sample: prop
##
## total sample size determinated: 67stratasamp(n=67, Nh=c(N1,N2,N3))##
## Stratum 1 2 3
## Size 34 13 20\(N_{i}\): tamaño del estrato \(i\).
\(N = N_{1}+ N_{2}+ \ldots N_{k}\): tamaño de la población.
\(P_{i}\): Estimación de la proporción en el estrato \(i\).
\(Q_{i}=1-P_{i}\)
\(W_{i}=\dfrac{N_{i}}{N}\)
\(n\): tamaño de la muestra.
\(n_{i}\): tamaño de la muestra en el estrato \(i\).
\(e\): máximo error que se tendría en la estimación de la proporción con una confianza \(1-\alpha\). Los niveles de confianza más usuales son 0.9, 0.95 y 0.99, en tales vasos los valores de \(Z_{\frac{\alpha}{2}}\) son 1.64, 1.96 y 2.58, respectivamente.
y el tamaño de muestra en cada estrato:
\(n_{i}=n\cdot W_{i}\)
\[\begin{equation*} n=\dfrac{\sum N_{i}^{2}P_{i}Q_{i}/W_{i}}{\frac{N^{2}e^{2}}{Z_{\frac{\alpha}{2}}^{2}}+\sum N_{i}P_{i}Q_{i}} \end{equation*}\]
\(N_{1}=1800\)
\(N_{2}=3200\)
\(N=5000\)
\(z=1.96\)
\(W_{1}= \dfrac{1800}{5000}= 0.36\)
\(W_{2}= \dfrac{3200}{5000}=0.64\)
\(P_{1}= 0.4\)
\(P_{2}=0.625\)
\(Q_{1}=0.6\)
\(Q_{2}= 0.375\)
\(e=0.04\)
\[\begin{equation*} n=\dfrac{1800^{2}\cdot 0.4\cdot 0.6/0.36 +3200^{2}\cdot0.625\cdot 0.375/0.64}{\dfrac{5000^{2}\cdot 0.03^{2}}{1.96^{2}}+1800\cdot0.4\cdot 0.6+3200\cdot0.625\cdot 0.375 } = 509.732 \end{equation*}\]
N1=1800
N2=3200
P1=0.4
P2=0.625
v1=sqrt(P1*(1-P1))
v2=sqrt(P2*(1-P2))
stratasize(e=0.04,Nh=c(N1,N2),Sh=c(v1,v2),level=0.95,type="prop")##
## stratamean object: Stratified sample size determination
##
## type of sample: prop
##
## total sample size determinated: 510stratasamp(n=510, Nh=c(N1,N2))##
## Stratum 1 2
## Size 184 326|—|—|—|
Paquete utilizado: samplingbook.