Referencial Teórico
Apropriado para situações em que a série não apresenta tendência e nem sazonalidade. O objetivo é estimar o nível da série e usar este nível como previsões para próximas observações.
Pergunta: Como em um dado instante de tempo t, estimar o nível da série? Há duas possibilidades:
- Usar como estimativa do nível a média de todas as observações até o instante atual de tempo.
- Usar a última observação como estimativa do nível.
Problemas:
- Desconsidera o fato de que observações mais recentes provavelmente contêm mais informações sobre o nível atual da série.
- Desconsidera totalmente todas as informações não contidas na última observação.
Solução: O algoritmo de alisamento exponencial fornece uma solução intermediária entre os dois problemas listados anteriormente.
Ideia básica: O nível atual da série é estimado como uma média ponderada das observações passadas. Os pesos da ponderação decrescem exponencialmente à medida que regredimos no tempo. Mais especificamente, peso \alpha é atribuído a y_t , \alpha(1−\alpha) é atribuído a y_{t−1}, peso \alpha(1−\alpha)^2 é atribuído a y_{t−2}, etc. Aqui $ 0 < < 1$.
Pesos:
\alpha(1−\alpha)^0 +\alpha(1−\alpha)+\alpha(1−\alpha)^2 +...
Pergunta: Isso é uma média ponderada legitima, ou seja, os pesos somam 1?
Interpretação do algoritmo: A estimativa atual do nível da série é uma média ponderada entre a nova observação (observação atual, y_t ) e a estimativa anterior do nível. O peso atribuído a cada um destes dois instantes é controlado por \alpha, constante se suavização. Como escolher o valor de \alpha?
- Escolha subjetiva: Se a série evoluir de forma suave, atribua uma valor alto para \alpha. Se a série apresentar um comportamento errático, utiliza um valor pequeno para \alpha.
- Escolha objetiva: O algoritmo precisa ser inicializado. Uma solução comumente adotada é N_1 = Y_1. Agora precisamos obter N_2,N_3,.... A previsão de Y_t no tempo t−1 é N_{t−1},ou seja,
\widehat{Y}_{t-1}(1) = N_{t-1}, \quad t = 3,4,....,n Seja e_t o erro de previsão:
e_t = y_t − N_{t−1}, \quad t = 3,4,...,n.
Para obter o valor de α a ser usado podemos tentar vários valores diferentes (\alpha = 0.1,0.2,0.3,...) e para cada valor de \alpha calcular os erros de previsão. Escolhemos então o valor de \alpha que minimize:
S_{\alpha} = \sum_{t=3}^{n} e^2_{t}
Uma outra forma para obter \alpha é utilizar a forma de correção de erros. Conforme vimos anteriormente e_t = y_t − N_{t−1} \Rightarrow y_t = e_t + N_{t−1}. Ainda,
N_t = \alpha y_t + (1−\alpha)N_{t−1} = \alpha(e_t + N_{t−1})+(1−\alpha)N_{t−1} = \alpha e_t + N_{t−1}
A estimativa atual do nível é dada pela estimativa anterior mais um múltiplo do erro de previsão. Sobre a interpretação de \alpha: Este parâmetro controla a magnitude do ajuste após um erro de previsão. Vale notar que o valor de \alpha não depende da escala em que as observações foram medidas, mas sim das propriedades da série temporal. Valores pequenos produzem previsões que dependem de muitas observações passadas. Por outro lado, valores próximos de 1 levam a previsões que dependem das observações mais recentes e no caso extremo (\alpha = 1) a previsão é simplesmente a última observação.
