Introdução

Neste capítulo iremos aprofundar nossos conhecimentos sobre a matemática financeira, bem como aprender a cuidar melhor de nosso dinheiro!

Nosso estudo estará dividido em:

Estudando Matemática Financeira

Porcentagem

Acréscimos e descontos sucessivos

Juro

Juro e funções

Sistema de amortização

Estudando Matemática Financeira

Antes de começarmos a nossa aula sobre matemática financeira, quero nesta página mostrar a vocês que coisas fantásticas podem acontecer as pessoas que administram com sabedoria o pouco que ganham.

O conhecimento financeiro não tornará você uma pessoa rica, se fosse assim, todos seriam, pois todos estudam essa assunto na escola. A diferença é feita com atitude e sabedoria, e para que isso seja possível, vou convidá-los a assistir dois pequenos vídeos de resenhas de grandes livros, que admiro e leio sempre.

  • 1 O primeiro é ‘O homem mais rico da Babilônia’, uma verdadeira aula de simplicidade e capacidade de transformar pequenas porções em grandes fortunas. Veja o vídeo no link: https://youtu.be/JM2GD1UJwIA do canal fonte: Canal: Seja uma pessoa melhor. Maravilhosos ensinamentos não é mesmo?

Agora vamos ver outro vídeo fantástico, que irá complementar nossos ensinamentos e aprendizagens sobre o uso correto do dinheiro.

  • 2 Pai Rico e Pai Pobre é um livro fantástico de R. kiyosaki, que você deve ver na sequência do anterior, ele maximiza a aprendizagem ensinada e mostra caminhos fantásticos. Veja o no link ao lado: https://youtu.be/Mx6EEpsIE5w, Fonte: Canal: Seja uma pessoa melhor.

  • 3 Para finalizarmos agora vamos estudar a vida de Warren Buffett, o maior investidor de todos os tempos. Veja o link ao lado: https://youtu.be/5z_qeDD00i8, Fonte: Canal: Impactante

Agora que já conheceu um pouco sobre este universo financeiro que acaba sendo um estilo de vida, você poderá buscar mais conhecimento, me procure para indicações de leituras e orientações se julgar necessário. Lembre-se sempre de procurar aprender, pois o conhecimento é seu e ninguém pode roubar de você.

Porcentagem

A porcentagem corresponde à parte considerada de um total de 100 partes. Para indicá-la utilizamos o símbolo %. Toda a razão \(\frac{x}{100}\) é denominada taxa percentual.

Se quiser, poderá ver um vídeo produzido por mim explicando este assunto. Confira em https://youtu.be/MaZHb4srG6U

Exemplo 1:

A mensalidade de um curso de inglês no mês de setembro era de R$ 360,00. No mês seguinte, o valor sofreu um acréscimo de 9%. Qual o valor da mensalidade após o acréscimo?

Exercícos Aplicados

    1. Uma televisão estava sendo vendida por R$ 1.500,00 e teve seu preço aumentado em 20%. Qual é o novo preço da televisão?

  1. R$ 1.200,00

  2. R$ 1.800,00

  3. R$ 1.600,00

  4. R$ 1.300,00

  5. R$ 2.000,00

    1. Um carro novo foi comprado por R$ 45.000,00 e sofreu uma depreciação de 15% após 2 anos. Qual é o valor atual do carro?

  1. R$ 38.250,00

  2. R$ 38.700,00

  3. R$ 38.250,50

  4. R$ 38.550,00

  5. R$ 38.850,00

    1. Em uma loja, uma televisão estava sendo vendida com desconto de 25% sobre o preço original de R$ 2.500,00. Qual é o valor do desconto e qual é o preço final da televisão?

  1. R$ 625,00 de desconto e preço final de R$ 1.875,00

  2. R$ 500,00 de desconto e preço final de R$ 2.000,00

  3. R$ 750,00 de desconto e preço final de R$ 1.750,00

  4. R$ 625,00 de desconto e preço final de R$ 1.250,00

  5. R$ 500,00 de desconto e preço final de R$ 2.250,00

Acrescimos e descontos sucessívos.

Vamos agora ver dois problemas que podem apresentar um desafio ao cálculo percentual, porém são muito comuns e reais no dia a dia.

Este link te mostrará um vídeo que fiz para explicar este conteúdo https://youtu.be/PyjqtWwOwrI.

Exemplo 02

Em um supermercado, 1 litro de leite custava R$ 3,80. Em razão da baixa produtividade na estressafra, o produto teve, durante três semanas, acréscimos sucessívos de 5%, 2% e 3%, respecitvamente. Qual o valor do produto no final das três semanas?

Quando os acréscimos são sucessívos, podemos realizar os cálculos da seguinte maneira:

Chamamos de \(P_0\) o valor inicial de \(i_1, i_2, i_3, \cdots i_n\) as taxas de acrescimos sucessívos em decimal. Os valores obtidos após cada acréscimo, denominados \(P_1, P_2, P_3, \cdots , P_n\) respectivamente podem ser calculadas por:

\[P = P_0 \cdot (1+i_1)\cdot (1+i_2)\cdot (1+i_3) \cdots (1+i_n)\]

Exemplo 3:

Uma loja de eletrodomésticos está realizando uma liquidação. Um televisor de LED, por exemplo, que inicialmente custava R$ 2 500,00 sofreu um desconto de 20%; se o cliente pagar à vista, há mais 10% de desconto sobre o valor de liquidação do produto. Qual o preço deste televisor pago à vista nesta liquidação?

Quando os descontos são sucessívos, podemos realizar os cálculos da seguinte maneira:

Chamamos de \(P_0\) o valor inicial de \(i_1, i_2, i_3, \cdots i_n\) as taxas de descontos sucessívos em decimal. Os valores obtidos após cada desconto, denominados \(P_1, P_2, P_3, \cdots , P_n\) respectivamente podem ser calculadas por:

\[P = P_0 \cdot (1-i_1)\cdot (1-i_2)\cdot (1-i_3) \cdots (1-i_n)\]

Claro que podemos misturar acréscimos e descontos sucessívos no mesmo cálculo. Veja o exemplo abaixo:

Exemplo 04

Certo produto que custa R$ 4,50 teve as seguintes alterações de preços durante o ano de 2022: - Aumento de 5% em março, aumento de 3% em junho, desconto de 6% em Setembro e por fim está previsto outro aumento de 2% para novembro. Qual será o preço final deste produto após novembro?

Exemplo 05 (Custo de Capítal)

Um investidor comprou um terreno por R$ 260 000,00. Supondo que tivesse investido esse capital em um banco, com juros de 1,5% ao mês, durante 4 meses e, em seguida, realizasse a compra do mesmo terreno, que após esse tempo valorizou-se 6% o investidor teria lucro ou prejuízo? De quantos reais?

Exercícios Aplicados

    1. Uma loja oferece um desconto de 20% em uma blusa, e depois um desconto adicional de 10% sobre o preço com o desconto anterior. Se o preço original da blusa era de R$ 150,00, qual é o preço final com os descontos sucessivos?

  1. R$ 102,00

  2. R$ 108,00

  3. R$ 117,00

  4. R$ 120,00

  5. R$ 125,00

    1. Um produto foi vendido com um desconto de 15%, e depois um desconto adicional de 5% sobre o preço com o desconto anterior. Se o preço original do produto era de R$ 800,00, qual é o preço final com os descontos sucessivos?

  1. R$ 632,50

  2. R$ 646,00

  3. R$ 680,00

  4. R$ 702,00

  5. R$ 722,50

    1. Um carro foi vendido com um desconto de 10%, e depois um desconto adicional de 8% sobre o preço com o desconto anterior. Se o preço original do carro era de R$ 35.000,00, qual é o preço final com os descontos sucessivos?

  1. R$ 28.980,00

  2. R$ 29.484,00

  3. R$ 30.240,00

  4. R$ 30.940,00

  5. R$ 31.640,00

    1. Uma empresa aumentou os salários de seus funcionários em 5% em janeiro, e depois em mais 3% em fevereiro. Se um funcionário tinha um salário de R$ 2.500,00, qual é o salário dele após os acréscimos sucessivos?

  1. R$ 2.557,50

  2. R$ 2.580,00

  3. R$ 2.592,50

  4. R$ 2.605,00

  5. R$ 2.703,75

    1. Um investidor aplicou R$ 10.000,00 em um fundo de investimento que rende 6% ao mês. Após 3 meses, ele realizou um novo aporte de R$ 5.000,00 no mesmo fundo. Qual é o valor total do investimento após os acréscimos sucessivos?

  1. R$ 16.300,00

  2. R$ 16.435,00

  3. R$ 16.500,00

  4. R$ 16.605,00

  5. R$ 16.910,16

    1. Uma loja de eletrônicos aumentou o preço de um produto em 10% em janeiro, e depois em mais 8% em fevereiro. Se o preço original do produto era de R$ 1.500,00, qual é o preço atual após os acréscimos sucessivos?

  1. R$ 1.698,00

  2. R$ 1.716,00

  3. R$ 1.735,20

  4. R$ 1.753,60

  5. R$ 1.782,00

    1. Uma loja de roupas está oferecendo uma promoção de 20% de desconto em todas as peças de roupas. Uma camiseta custa R$ 48,00. Se um cliente comprar essa camiseta e receber o desconto da promoção, mas ter um acréscimo de 10% no valor final por não pagar à vista, qual será o valor total da camiseta?

  1. R$ 51,36

  2. R$ 52,80

  3. R$ 42,24

  4. R$ 53,44

  5. R$ 54,08

    1. Um carro estava sendo vendido por R$ 45.000,00, mas um comprador conseguiu um desconto de 15% no valor do carro. Após o desconto, ele vendeu o carro com um acréscimo de 5% sobre o valor final para obter seu lucro. Qual foi o valor de venda do carro com o acréscimo?

  1. R$ 38.475,00

  2. R$ 39.075,00

  3. R$ 39.675,00

  4. R$ 40.162,50

  5. R$ 40.875,00

    1. Um produto estava sendo vendido por R$ 800,00, mas um cliente conseguiu um desconto de 10% no valor do produto. Após o desconto, ele ainda pagou um acréscimo de 12% do valor final como taxa de entrega. Qual foi o valor total que o cliente pagou pelo produto com o acréscimo?

  1. R$ 786,40

  2. R$ 788,80

  3. R$ 806,40

  4. R$ 893,60

  5. R$ 896,00

Juros

Quando uma pessoa realiza um emprestimo no banco, ela deve pagar, além da quantia emprestada, um valor a mais, correspondente ao juro, isto é, um tipo de “aluguel” pelo período em que o dinheiro ficou emprestado.

Juros Simples

Calculamos o juros simples por meio da fómula: \[j = cit \] Onde temos:

juro = \(j\)

capital = \(c\)

taxa de juros simples = \(i\)

período de tempo = \(t\)

O montante, que é o valor a ser pago após certo período é dado por: \[M = c(1+it)\]

Exemplo 06

Sérgio aplicou R$ 12 000,00 no sistema de juro simples com taxa mensal de 1,35%. Qual o valor do montante de Ségio após 10 meses.

Exerícios Aplicados

    1. Um investimento de R$10.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros simples de 8% ao ano durante 4 anos. Calcule o montante acumulado ao final do período.

  1. R$13.200,00

  2. R$12.800,00

  3. R$11.200,00

  4. R$10.800,00

  5. R$10.400,00

    1. Um empréstimo de R$15.000,00 foi feito a uma taxa de juros simples de 12% ao trimestre durante 2 anos. Calcule o valor dos juros pagos ao final do período.

  1. R$9.000,00

  2. R$14.400,00

  3. R$7.800,00

  4. R$7.200,00

  5. R$6.600,00

    1. Uma pessoa fez um investimento de R$20.000,00 a uma taxa de juros simples de 6% ao mês durante 1 ano e meio. Após esse período, o valor investido foi retirado e reinvestido a uma taxa de juros simples de 8% ao mês durante mais 1 ano. Calcule o montante acumulado ao final do segundo ano de investimento.

  1. R$37.680,00

  2. R$37.260,00

  3. R$36.840,00

  4. R$36.420,00

  5. R$81.536,00

Juros Compostos

Calculamos o montante obtido ao aplicar um capital a juro composto da seguinte forma: \[M = c(1+i)^t\]

Exemplo 07.

Refaça o exemplo 06 com a aplicação feita utilizando o regime de juros compostos.

Qual a aplicação é mais poderosa?

Segundo Albert Einstein, “os juros compostos são a força mais poderosa do universo e a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza”.

    1. Uma pessoa fez um empréstimo de R$10.000,00 a uma taxa de juros compostos de 12% ao ano. Qual será o valor total a ser pago ao final de 2 anos?

  1. R$12.544,00

  2. R$12.954,00

  3. R$13.068,00

  4. R$13.416,00

  5. R$13.728,00

    1. Um investimento de R$5.000,00 rende juros compostos de 15% ao ano. Se o investimento for mantido por 4 anos, qual será o valor total ao final desse período?

  1. R$8.745,03

  2. R$9.382,65

  3. R$9.836,78

  4. R$10.307,19

  5. R$10.794,60

    1. Um empréstimo de R$20.000,00 é feito com juros compostos de 10% ao ano. Qual será o valor total a ser pago após 5 anos, se os juros são compostos anualmente?

  1. R$32.210,20

  2. R$33.089,00

  3. R$34.157,90

  4. R$35.311,69

  5. R$36.553,63

Juros e Funções:

Para fins didáticos iremos comparar os juros a funções, então iremos apresentar a mesma situação em dois cenários.

A reta em verde representa a acumulação feita pelos juros simples, enquanto a curva laranja representa a acumulação dos juros compostos.

Entende agora porque aplicar bem o pouco que poupa poderá transformar sua vida no futuro?

Sistemas de Amorizações

Neste capítulo iremos abordar e entender os sistemas de amortização de capital. Veremos com eles determinam os valores das parcelas para que no final, ao terminar de paga-las possa ter pago os juros do período e o capital tomado.

Você conhecerá o Richard Price e sua fórmula para determinar o valor de parcelas

Para calcular o valor de cada prestação de um empréstimo no sistema Price, utilizamos a fórmula.

\[P = \dfrac{c \cdot i}{1 - (1+i)^{-n}}\]

Exemplo 8:

Paula fez um empréstimo de R$ 3 000,00 que deve ser pago em 5 prestações mensais à taxa de 2,5% a.m. no sitema Price. Utilizando a fórmula apresentada acima, calcule o valor de cada prestação.

Exercícios Aplicados

    1. João realizou uma compra no valor de R$ 5.000,00 e decidiu parcelar em 10 vezes com a tabela Price. Considerando uma taxa de juros de 2% ao mês, qual será o valor de cada parcela?

  1. R$ 556,63

  2. R$ 500,00

  3. R$ 523,53

  4. R$ 550,00

  5. R$ 525,00

    1. Maria realizou uma compra no valor de R$ 10.000,00 e decidiu parcelar em 20 vezes com a tabela Price. Considerando uma taxa de juros de 1,5% ao mês, qual será o valor total pago por Maria?

  1. R$ 11.649,15

  2. R$ 11.500,00

  3. R$ 12.345,00

  4. R$ 13.240,00

  5. R$ 12.500,00

Amortizando o capital

Veja como este resultado se constroem na amortização dos valores

n Pagamento Juro Amortização Saldo devedor
0 — — — \(3 000\)
1 \(645,74\) \(\underbrace{75,00}_{3000 \cdot0,025}\) \(\underbrace{570,74}_{645,74 - 75,00}\) \(\underbrace{2 429,26}_{3000 - 570,74}\)
2 \(645,74\) \(\underbrace{60,63}_{2429,26 \cdot0,025}\) \(\underbrace{585,01}_{645,74 - 60,63}\) \(\underbrace{1884,25}_{2429,26 - 585,01}\)
3 \(645,74\) \(46,11\) \(599,63\) \(1244,62\)
4 \(645,74\) \(31,11\) \(614,63\) \(629,99\)
5 \(645,74\) \(15,75\) \(629,99\) \(0\)

Antecipação de parcelas

Também podemos ter um financiamento onde a pessoa não quer amortizar o capital, mas sim antecipar o pagamento de uma parcela. Neste caso ela vai trazer a valor presente um valor projetado no futuro. Para tal, vamos ver duas situações.

Antecipando uma parcela específica

Neste caso vamos antecipar apenas uma única parcela, então utilizamos a fórmula:

\[V_A = \frac{V_N}{(1+i)^n}\]

Onde:

Valor Atual = \(V_A\)

Valor Nominal = \(V_N\)

Exemplo 09

José comprou sua TV em 5 parcelas fixas de R$500,00 nas quais estão embutido juros mensais de 1,35%. Ele quer antecipar a ultima parcela no primeiro pagamento, quanto ele deve pargar por ela?

Antecipando todas as parcelas

Neste caso vamos antecipar todas as parcelas restantes de um dívida, então utilizamos a fórmula:

\[V_A = R \left[ \dfrac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n} \right]\]

Onde:

Valor Atual = \(V_A\)

Valor da prestação = \(R\)

Exemplo 10

Você comprou o televisor em cinco parcelas de R$ 300,00 sem entrada. Soube, porém, que a taxa de desconto para pagamento à vista seria de 2% ao mês. A primeira parcela vencerá em um mês, enquanto, a última vencerá em cinco meses. Mas, se quiséssemos pagar toda a dívida hoje mesmo, qual seria o valor a ser pago?

Exercícios Aplicados

    1. João realizou uma compra de um item parcelado em 15 parcelas de R$ 400,00. Se João decidir antecipar todas as parcelas, qual deve ser o valor pago por João?

  1. R$ 481,53

  2. R$ 21891,49

  3. R$ 4775,17

  4. R$ 123665,40

  5. R$ 12470,33

    1. Maria realizou uma compra parcelada em 20 vezes no valor R$ 400,00 com a tabela Price. Considerando uma taxa de juros de 1,5% ao mês, qual será o valor total pago por Maria se ela antecipar estes valores?

  1. R$ 455,64

  2. R$ 46465,88

  3. R$ 6867,46

  4. R$ 382124,78

  5. R$ 25353,04