1: Librería gtools

library(gtools)

2: Explique brevemente la diferencia entre permutación y combinación y exprese las ecuaciones para calcular permutaciones y combinaciones.

La permutación y la combinación presentan una diferencia importante al momento de calcular todas las agrupaciones posibles para un conjunto de elementos.

En el caso de la permutación, el orden que presentan los objetos es crucial para reconocer si una agrupación es diferente de otra, a pesar de presentar los mismos elementos el que estos se encuentren en diferentes posiciones los hace ser una alternativa diferente de agrupación. Por el contrario, para la combinación el orden de los elementos no es importante, considerando que dos agrupaciones que presentan los mismos elementos, pero con posiciones diferentes son el mismo conjunto.

Ecuación de la permutación: $ nPr = n!/ (n - r)!$

Ecuación de la combinación: $ nCr = n!/ (n - r)!r!$

3: Busque en la ayuda de R las funciones combinations y permutations y explique brevemente cómo funcionan.

Ambas funciones utilizan los valores de n (numero total de objetos disponibles en el conjunto) y r (cantidad de elementos que presenta cada suceso) para generar los calculos, también es posible entregar un vector con los elementos del conjunto. Por otro lado, se puede agregar la indicación de repetición de valores o no en la creación de subconjuntos. En el caso de solicitar una combinatoria o permutación con repetición de elementos se agrega la indicación repeats.allowed = TRUE a la función, y para quitar las repeticiones repeats.allowed = FALSE.

4: Calcule:

A. La cantidad de permutaciones posibles con n = 11 y r = 3 con y sin repetición.

#Permutación sin repetición
permuta_sin= permutations(11, 3,repeats.allowed = FALSE)
contador_permuta_sin= nrow(permuta_sin)
print(contador_permuta_sin)
## [1] 990

La cantidad de permutaciones posibles sin repetición es de 990.

#Permutación con repetición
permuta_con = permutations(11, 3,repeats.allowed = TRUE)
contador_permuta_con=nrow(permuta_con)
print(contador_permuta_con)
## [1] 1331

La cantidad de permutaciones posibles con repeticion es de 1331.

B. Las combinaciones de largo tres con las letras a, b, c, d y e con y sin repetición.

#Combinación sin repetición
combinacion_sin = combinations(5,3,repeats.allowed = FALSE)
contador_combinacion_sin=nrow(combinacion_sin)
print(contador_combinacion_sin)
## [1] 10

La cantidad de combinaciones posibles sin repeticion es de 10.

#Combinación con repetición
combinacion_con = combinations(5,3,repeats.allowed = TRUE)
contador_combinacion_con= nrow(combinacion_con)
print(combinacion_con)
##       [,1] [,2] [,3]
##  [1,]    1    1    1
##  [2,]    1    1    2
##  [3,]    1    1    3
##  [4,]    1    1    4
##  [5,]    1    1    5
##  [6,]    1    2    2
##  [7,]    1    2    3
##  [8,]    1    2    4
##  [9,]    1    2    5
## [10,]    1    3    3
## [11,]    1    3    4
## [12,]    1    3    5
## [13,]    1    4    4
## [14,]    1    4    5
## [15,]    1    5    5
## [16,]    2    2    2
## [17,]    2    2    3
## [18,]    2    2    4
## [19,]    2    2    5
## [20,]    2    3    3
## [21,]    2    3    4
## [22,]    2    3    5
## [23,]    2    4    4
## [24,]    2    4    5
## [25,]    2    5    5
## [26,]    3    3    3
## [27,]    3    3    4
## [28,]    3    3    5
## [29,]    3    4    4
## [30,]    3    4    5
## [31,]    3    5    5
## [32,]    4    4    4
## [33,]    4    4    5
## [34,]    4    5    5
## [35,]    5    5    5

La cantidad de combinaciones posibles con repeticion es de 35.

C. La cantidad de permutaciones y combinaciones con n = 39 y r = 25 sin repetición.

#Permutacion Sin repetición (*No se utiliza función ya que computador no tiene la memoria suficiente para desarrollar la acción).
permutacion_c = factorial(39)/factorial(39-25)
permutacion_c
## [1] 2.339789e+35

La cantidad de permutaciones sin repeticion es de 2.339789e+35

#Combinacion Sin repetición(*No se utiliza función ya que computador no tiene la memoria suficiente para desarrollar la acción).
combinacion_c = (factorial(39))/(factorial(25)*factorial(39-25))
combinacion_c
## [1] 15084504396

La cantidad de combinaciones sin repeticion es de 15084504396

5: Considere un problema de una vendedora viajera que debe recorrer 50 ciudades y volver al origen sin pasar dos veces por la misma ciudad.

Cantidad de rutas posibles : \(rutas = (n-1)!\)

rutas = factorial(50-1)
print(rutas)
## [1] 6.082819e+62

La cantidad de rutas posibles es de 6.082819e+62

A. Considerando que solo existe una ruta óptima, si se selecciona una ruta al azar ¿cuál es la probabilidad de que sea la ruta óptima?

probabilidadRuta= 1/factorial(50-1)
print(probabilidadRuta)
## [1] 1.643975e-63

La probabilidad de que 1 ruta seleccionada sea la más optima es de 1.643975e-63

B. Si se selecciona una ruta al azar que es distinta a la anterior ¿cuál es la probabilidad de que sea la ruta óptima?

probabilidadRuta2= 1/(factorial(50-1)-1)
probabilidadRuta2
## [1] 1.643975e-63

La probabilidad es de 1.643975e-63

6: Una bencinera tiene 5 funcionarios que deben limpiar el parabrisas de cada cliente que es atendido. Janet da servicio al 10 % de los clientes y no limpia 1 de cada 20 parabrisas; Tomás da servicio al 60 % de los clientes y no limpia 1 de cada 10 parabrisas; Georgina da servicio al 15 % de los clientes y no limpia 1 de cada 10 parabrisas; Pedro da servicio al 5 % de los clientes y no limpia 1 de cada 20 parabrisas; Marcela da servicio al 10 % de los clientes y no limpia 3 de cada 5 parabrisas. Si un cliente envía una nota de agradecimiento porque su parabrisas quedó como nuevo.

A. Exprese la ecuación con la que se puede resolver el problema.

La ecuación para calcular el porcentaje total de los clientes atendidos a los cuales se les limpian los vidrios por trabajador corresponde a :

\(P (T/L) = P(L/T) * P(T)/ Σ P(L/T1)*P(T1)+P(L/T2)*P(T2)...P(L/Tn)*P(Tn)\)

Donde, P(T/L) corresponde a la probabilidad por trabajador de haber antendido a un cliente y además haber limpiado sus vidrios, P(L/T) es la probabilidad de limpiar los vidrios de cada trabajador (para el calculo, 1- probabilidad de no limpiar vidrios), P(T) es la probabilidad de haber atendido a un cliente. Todo este calculo se divide en la sumatoria de probabilidad de limpiar los vidrios por probabilidad de haber atendido a un cliente por cada trabajador.

B.¿Cuál es la probabilidad de que haya sido atendido por Pedro?

PpedroL = ((19/20)*0.05)/(((19/20)*0.05)+((19/20)*0.1)+((9/10)*0.6)+((9/10)*0.15)+((2/5)*0.1))
print(PpedroL)
## [1] 0.05539359

La probabilidad de que el trabajador haya sido Pedro es de 5,54%

C.¿Cuál es la probabilidad de que haya sido atendido por Janet o Georgina?

PjanetL = ((19/20)*0.1)/(((19/20)*0.05)+((19/20)*0.1)+((9/10)*0.6)+((9/10)*0.15)+((2/5)*0.1))
PgeorginaL= ((9/10)*0.15)/(((19/20)*0.05)+((19/20)*0.1)+((9/10)*0.6)+((9/10)*0.15)+((2/5)*0.1))
janetOgeorgina = PjanetL + PgeorginaL
print(janetOgeorgina)
## [1] 0.2682216

La probabilidad de que haya sido atendido por Janet o Georgina es de 26,82%

D.Calcule la probabilidad de que haya sido atendido por Janet, Georgina, Tomás,Pedro o Marcela. ¿Qué se puede observar?

PjanetL = ((19/20)*0.1)/(((19/20)*0.05)+((19/20)*0.1)+((9/10)*0.6)+((9/10)*0.15)+((2/5)*0.1))
PgeorginaL= ((9/10)*0.15)/(((19/20)*0.05)+((19/20)*0.1)+((9/10)*0.6)+((9/10)*0.15)+((2/5)*0.1))
PpedroL = ((19/20)*0.05)/(((19/20)*0.05)+((19/20)*0.1)+((9/10)*0.6)+((9/10)*0.15)+((2/5)*0.1))
PtomasL = ((9/10)*0.6)/(((19/20)*0.05)+((19/20)*0.1)+((9/10)*0.6)+((9/10)*0.15)+((2/5)*0.1))
PmarcelaL = ((2/5)*0.1)/(((19/20)*0.05)+((19/20)*0.1)+((9/10)*0.6)+((9/10)*0.15)+((2/5)*0.1))
Total = PjanetL + PgeorginaL + PpedroL + PtomasL + PmarcelaL
print(Total)
## [1] 1

La probabilidad de que haya sido atendido por cualquier trabajador de la bencinera es de 1 (100%), este resultado corresponde a la totalidad de la muestra, es por ello que expresa la probabilidad de 1.

7: De un grupo de 40 personas se quiere saber la opinión de 3 personas (seleccionadas al azar) acerca del apruebo o rechazo de la nueva constitución. Si se sabe que 22 personas aprueban y 18 rechazan ¿cuál es la probabilidad de que las dos personas seleccionadas rechacen?

  1. La primera probabilidad es que los dos primeros rechacen es de: (RRA)
rechazoPrimera= (18/40)
rechazoSegunda= (17/39)
rechazoA= rechazoPrimera*rechazoSegunda
rechazoA
## [1] 0.1961538
  1. La siguiente probabilidad es que el primero y el ultimo rechacen: (RAR)
rechazoPrimera= (18/40)
rechazoTercero= (17/38)
rechazoB= rechazoPrimera*rechazoTercero
rechazoB
## [1] 0.2013158
  1. La probabilidad de que el primero apruebe y los siguentes rechacen (ARR)
rechazoSegundoc= (18/39)
rechazoTercero= (17/38)
rechazoC= rechazoPrimera*rechazoTercero
rechazoC
## [1] 0.2013158