Números aleatorios
Alex J. Zambrano
alexzambrano@usantotomas.edu.co
Cálculo numérico y Simulación
¿Qué es simulación?
La simulación según Thomas H. Naylor es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos períodos de tiempo (Coss Bu 1996).
Etapas para realizar un estudio de simulación
Según Schmeiser (1990) en un proceso de simulación se debe tener en cuenta el siguiente esquema
- Obtener observaciones básicas de una fuente de números aleatorios.
- Transformar las observaciones básicas en entradas al modelo, según las especificaciones del mismo.
- Tranformar las entradas, a través del modelo, en salidas.
- Calcular estadísticas a partir de las salidas, para estimar las medidas de comportamiento.
Ventajas en el uso de simulación
Según Coss Bu (1996), Thomas H. Naylor ha sugerido que un estudio es muy recomendable porque presenta las siguientes ventajas:
- A través de un estudio de simulación, se puede estudiar el efecto de cambios internos y externos del sistema y observando los efectos de esas alteraciones en el comportamiento del sistema.
- Una observación detallada del sistema que se está simulando puede conducir a un mejor entendimiento del sistema y por consiguiente a sugerir estrategias que mejoren la operación y eficiencia del sistema.
- La técnica de simulación puede ser utilizada como un instrumento pedagógico para enseñar a estudiantes habilidades básicas en análisis estadístico, análisis teórico, etc.
- La simulación de sistemas complejos puede ayudar a entender mejor la operación del sistema, a detectar las variables más importantes que interactúan en el sistema y a entender mejor las interrelaciones entre estas variables.
- La técnica de simulación puede ser usada para experimentar con nuevas situaciones, sobre las cuales se tiene poca o ninguna información. A través de esta experimentación se puede anticipar mejor a posibles resultados no previstos.
- La técnica de simulación se puede utilizar también para entrenamiento de personal. En algunas ocasiones se puede tener una buena representación de un sistema (como por ejemplo los juegos de negocios), y entonces a través de él es posible entrenar y dar experiencia a cierto tipo de personal.
- Cuando nuevos elementos son introducidos en un sistema, la simulación puede ser usada para anticipar cuellos de botella o algún otro problema que puede surgir en el comportamiento del sistema.
Desventajas en el uso de simulación
- La técnica de simulación presenta problemas de requerir equipo computacional y recursos humanos costosos.
- Se requiere bastante tiempo para que un modelo de simulación sea desarrollado y perfecionado.
- Es posible que la alta administración de una organización no entienda esta técnica y esto crea dificultad en vender la idea.
Números aleatorios
Una sucesión de números \((u_i)\) distribuidos en \((0,1)\) es una sucesión de números aleatorios si satisfacen cierto conjunto de pruebas estadísticas.
Características de un generador de números aleatorios
- Uniformemente distribuidos.
- Estadísticamente independientes.
- Reproducibles.
- Período largo (sin repetición dentro de una longitud determinada de la sucesión),
- Generados a través de un método rápido.
- Generados a través de un método que no requiera mucha capacidad de almacenamiento de la computadora.
Por ello se presentan a continuación algunas pruebas estadísticas que han sido utilizadas para verificar si un generador de números aleatorios (por ejemplo el generador congruencial mixto \(x_{n+1}=(ax_n+b)\mod m\) donde se toma números aleatorios de la forma \(u_n=\frac{x_n}{m}\)) cumple con la definición de número aleatorio.
Pruebas de bondad de ajuste
Las pruebas de bondad de ajuste se plantea de la siguiente manera, dada una distribución teórica \(F(X)\), construir una muestra de observaciones \(X_1,X_2,\ldots,X_n\), que se ajusten a la distribución dada.
Entre las pruebas de bondad de ajuste tenemos las siguientes:
Pruebas gráficas
Las pruebas gráficas son de carácter informal y solo como una primera aproximación deben ser utilizadas en el contexto de la generación de números aleatorios uniformes.
Método gráfico o P–P
Se representan en un plano cartesiano las parejas \((H_i,F_i)\) para \(i=1,2,\ldots,n\) donde \(H_i\) representa la frecuencia relativa acumulada, \(F_i\) es la probabilidad acumulada hasta el punto \(X_i\). Si las observaciones se ajustan a la distribución teórica entonces \(H_i=F_i\) para todo punto, lo que traería como consecuencia una línea recta con pendiente de 45 grados, en este caso diremos que la distribución teórica que se desea probar se ajusta a los datos.
Histogramas
Al elaborar un histograma este nos da idea de la ``forma’’ de la distribución de los datos. El histograma se logra dibujando una barra rectangular cuya base sea cada clase en la que hemos dividido los datos y cuya longitud o altura sea proporcional a la frecuencia relativa de la clase.
Prueba de Kolmogorov – Smirnov
Consiste en probar la hipótesis en el que la hipótesis nula afirma que los datos si se ajustan a la distribución \(F(X)\). El estadístico de prueba está dado por: \[
D=\max
\left\{\left|H_{i-1}-F_i\right|,\left|H_i-F_i\right|\right\},\quad
H_0=0
\] este valor se compara con un valor crítico tabulado en algunos de los libros de estadística. Se rechaza la hipótesis nula si \(D\) es mayor que el valor de tabla para el nivel de confianza y el tamaño de muestra que se estén considerando.
Prueba de la \(\chi^2\)
Esta prueba se presenta con frecuencia como la única forma de verificar el ajuste de unos datos a una distribución, y desafortunadamente, ha probado ser una prueba muy débil y que en muchas situaciones existen pruebas alternativas que son mucho mejores, como en el caso uniforme.
Se particiona el intervalo
\((0,1)\) en
\(k\) intervalos de la misma amplitud,
\(\frac{1}{k}\). La hipótesis nula
\(H_0\) establece que los
\(n\) números aleatorios se distribuyen uniformemente. Sea
\(f_i\) el número de observaciones que caen en la clase y el número esperado de observaciones
\(e_i\) bajo la distribución uniforme es decir
\(e_i=\frac{n}{k}\). Entonces,
\begin{align*}
\chi^2 &= \sum_{i=1}^k
\frac{\left(f_i-e_i\right)^2}{e_i}=\sum_{i=1}^k\frac{\left(f_i-\frac{n}{k}\right)^2}{\frac{n}{k}}\\
&=\frac{k}{n}\sum_{i=1}^k\left(f_i-\frac{n}{k}\right)^2\sim\chi_{(k-1)}^2.
\end{align*}
Pruebas de aleatoriedad
Prueba de rachas
Dada la sucesión de \(n\) números aleatorios \(u_1,u_2,\ldots,u_n\), construimos la sucesión \[
s_i=\begin{cases} 1 & \text{si $u_i \leq u_{i+1}$} \\ 0 & \text{si
$u_i > u_{i+1}$} \\\end{cases} \quad i=1,2,\ldots,n-1.
\] si \(k\) valores de \(s\) son iguales a uno, entonces tenemos una racha arriba de longitud \(k\); una sucesión de \(k\) ceros consecutivos es una racha abajo de longitud \(k\). Calculamos \(h\) como el número de rachas arriba (\(U\)) y abajo (\(D\)) observadas, es decir, \(h=U+D\).
Para una sucesión verdaderamente aleatoria de \(n\) números su distribución viene dada por \[
h\sim\mathcal{N}\left(\frac{2n-1}{3},\frac{16n-29}{90}\right)
\]
Calculamos el estadístico \(z=\frac{h-E(h)}{\sqrt{V(h)}}\), por lo cual si \(z\) es mayor que valor crítico \(Z_{\alpha/2}\) rechazamos la aleatoriedad de los datos.
Pruebas de independencia
Las pruebas de independencia consisten en demostrar que los números generados son estadísticamente independiente entre sí, que no depende uno de otro.
Prueba de pares de números aleatorios (Prueba de series)
Considere los
\(n-1\) pares
\((u_1,u_2),(u_2,u_3),\ldots,(u_{n-1},u_n)\). Particionamos tanto el eje
\(x\) y el eje
\(y\) en
\(k\) subintervalos de igual longitud. El número esperado de parejas por cuadro es
\(e_{ij}=\frac{n-1}{k^2}\). Sea
\(f_{ij}\) el número de puntos que caen realmente en el
\((i,j)\)–ésimo cuadrado, con
\(i,j=1,2,\ldots,k\). Calculamos el estadístico
\begin{align*}
\psi^2 &=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k\frac{\left(f_{ij}-e_{ij}\right)^2}{e_{ij}}=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k\frac{\left(f_{ij}-\frac{n-1}{k^2}\right)^2}{\frac{n-1}{k^2}}\\
&=\frac{k^2}{n-1}\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k\left(f_{ij}-\frac{n-1}{k^2}\right)^2
\end{align*}
Este estadístico no tiene una distribución \(\chi^2\), ya que las \(f_{ij}\) son dependientes. Por lo tanto podemos considerar los \(n/2\) pares \((u_1,u_2),(u_3,u_4),\ldots,(u_{n-1},u_n)\) (suponiendo \(n\) par). El estadístico \[
\chi^2=\frac{k^2}{n/2}\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^k\left(f_{ij}-\frac{n/2}{k^2}\right)^2\sim\chi^2_{k^2-1}.
\]
Prueba de correlación
El coeficiente de correlación entre un par de variables aleatorias se define como \[
\rho=\frac{cov(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}
\] donde \(cov(X,Y)=E\left[\left(X-\mu_X\right)\left(Y-\mu_Y\right)\right]\). Si el \(i\)–ésimo y el \((i+j)\)–ésimo números aleatorios de una sucesión de \(u_i\) se distribuyen independientemente, entonces \[
\rho_j=E\left[\left(u_i-.5\right)\left(u_{i+j}-.5\right)\right]=0,
\quad \text{para $j>0$},
\] donde \(E(u_i)=E(u_{i+j})=.5\), ya que se asume uniformemente distribuidas en el intervalo \((0,1)\). La covarianza del rezago \(j\) puede estimarse como \[
\hat{\rho}_j=\frac{1}{n-j}\sum_{i=1}^{n-j}\left[\left(u_i-.5\right)\left(u_{i+j}-.5\right)
\right]
\]
Se ha mostrado que \(\hat{\rho}_j\) es asintóticamente normal \(\mathcal{AN}\left(0,\frac{1}{144(n-j)}\right)\).
Ejemplo 1
Mediante la siguiente función se genera números aleatorios mediante el método congurencial mixto.
metodo.congruencial <-function(seed,a,c,m){
x <- (a*seed + c)%%m
u <- x/m
for(i in 2:m){
x[i] <- (a*x[i-1] + c)%%m
u[i] <- x[i]/m
}
u
}
Si \(X_0=15\) y \(X_{n+1}=(1365X_n+1)\mod 2047\) encuentre \(X_1,\ldots,X_{2047}\)
R <- metodo.congruencial(seed = 15,a = 1365,c = 1,m = 2047)
head(R)
## [1] 0.0029311187 0.0014655594 0.0009770396 0.3341475330 0.1118710308
## [6] 0.7044455300
Pruebas de bondad
Histograma
Método gráfico
qqplot(R,punif(ppoints(R)))
abline(0,1,col=1,lty=2)
Kolmogorov-Smirnov
## Warning in ks.test(R, "punif"): ties should not be present for the
## Kolmogorov-Smirnov test
##
## One-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: R
## D = 0.12799, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two-sided
Prueba de la \(\chi^2\)
k=8 # número de particiones
tabla<-table(cut(R,breaks = seq(from=0,to = 1,by = 1/k),right = F))
tabla
##
## [0,0.125) [0.125,0.25) [0.25,0.375) [0.375,0.5) [0.5,0.625)
## 281 396 209 350 139
## [0.625,0.75) [0.75,0.875) [0.875,1)
## 279 254 139
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: tabla
## X-squared = 231.29, df = 7, p-value < 2.2e-16
Pruebas de aleatoriedad
Prueba de rachas
## $rachas
## [1] 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0
## [35] 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0
## [69] 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1
## [103] 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0
## [137] 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0
## [171] 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0
## [205] 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
## [239] 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1
## [273] 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1
## [307] 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
## [341] 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0
## [375] 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0
## [409] 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [443] 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1
## [477] 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0
## [511] 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1
## [545] 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1
## [579] 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
## [613] 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1
## [647] 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0
## [681] 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
## [715] 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1
## [749] 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1
## [783] 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1
## [817] 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1
## [851] 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
## [885] 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0
## [919] 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0
## [953] 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0
## [987] 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0
## [1021] 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0
## [1055] 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0
## [1089] 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0
## [1123] 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
## [1157] 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0
## [1191] 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1
## [1225] 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0
## [1259] 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1
## [1293] 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0
## [1327] 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0
## [1361] 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
## [1395] 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1
## [1429] 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0
## [1463] 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
## [1497] 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0
## [1531] 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0
## [1565] 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1
## [1599] 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0
## [1633] 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0
## [1667] 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0
## [1701] 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
## [1735] 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1
## [1769] 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1
## [1803] 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
## [1837] 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0
## [1871] 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0
## [1905] 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [1939] 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1
## [1973] 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0
## [2007] 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1
## [2041] 0 0 1 1 1 0
##
## $num.rachas
## [1] 1349
##
## $statistic
## [1] -0.8041393
##
## $p.value
## [1] 0.4213165
##
## $res
## [1] "Los datos son aleatorios"
Pruebas de independencia
Prueba de series
## $tabla
## y
## x [0,0.125) [0.125,0.25) [0.25,0.375) [0.375,0.5) [0.5,0.625)
## [0,0.125) 140 0 48 0 0
## [0.125,0.25) 116 0 0 164 0
## [0.25,0.375) 24 0 0 115 0
## [0.375,0.5) 0 164 0 71 0
## [0.5,0.625) 0 47 0 0 23
## [0.625,0.75) 0 185 0 0 47
## [0.75,0.875) 0 0 115 0 69
## [0.875,1) 0 0 46 0 0
## y
## x [0.625,0.75) [0.75,0.875) [0.875,1)
## [0,0.125) 93 0 0
## [0.125,0.25) 116 0 0
## [0.25,0.375) 0 70 0
## [0.375,0.5) 0 115 0
## [0.5,0.625) 0 69 0
## [0.625,0.75) 0 0 46
## [0.75,0.875) 0 0 70
## [0.875,1) 70 0 23
##
## $prueba
##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: tabla
## X-squared = 3840.9, df = 49, p-value < 2.2e-16
##
##
## $res
## [1] "Los datos no son independientes"
##
## $cortes
## [1] 8
Prueba de correlación
Gráfico de auto-correlación
acf(R,type="correlation")
Ejemplo 2
Generar números aleatorios en R medainte la función , genere 2000, determine que tan bueno es esté generador.
set.seed(20150902)
R <- runif(2000)
head(R)
## [1] 0.6843331 0.9495332 0.6590943 0.4997519 0.2998565 0.1121852
Pruebas de bondad
Histograma
Método gráfico
qqplot(R,punif(ppoints(R)))
abline(0,1,col=1,lty=2)
Kolmogorov-Smirnov
##
## One-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: R
## D = 0.016422, p-value = 0.6535
## alternative hypothesis: two-sided
Prueba de la \(\chi^2\)
k=8 # número de particiones
tabla<-table(cut(R,breaks = seq(from=0,to = 1,by = 1/k),right = F))
tabla
##
## [0,0.125) [0.125,0.25) [0.25,0.375) [0.375,0.5) [0.5,0.625)
## 273 256 234 241 248
## [0.625,0.75) [0.75,0.875) [0.875,1)
## 274 224 250
##
## Chi-squared test for given probabilities
##
## data: tabla
## X-squared = 8.632, df = 7, p-value = 0.2802
Pruebas de aleatoriedad
Prueba de rachas
## $rachas
## [1] 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0
## [35] 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1
## [69] 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
## [103] 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1
## [137] 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0
## [171] 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
## [205] 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0
## [239] 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1
## [273] 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1
## [307] 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1
## [341] 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1
## [375] 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1
## [409] 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1
## [443] 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0
## [477] 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0
## [511] 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1
## [545] 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1
## [579] 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
## [613] 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
## [647] 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0
## [681] 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0
## [715] 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0
## [749] 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0
## [783] 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0
## [817] 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1
## [851] 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1
## [885] 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0
## [919] 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1
## [953] 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1
## [987] 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
## [1021] 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
## [1055] 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
## [1089] 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1
## [1123] 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1
## [1157] 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1
## [1191] 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1
## [1225] 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0
## [1259] 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0
## [1293] 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
## [1327] 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
## [1361] 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0
## [1395] 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1
## [1429] 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0
## [1463] 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0
## [1497] 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1
## [1531] 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
## [1565] 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1
## [1599] 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0
## [1633] 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1
## [1667] 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1
## [1701] 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0
## [1735] 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0
## [1769] 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0
## [1803] 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0
## [1837] 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1
## [1871] 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
## [1905] 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1
## [1939] 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0
## [1973] 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
##
## $num.rachas
## [1] 1331
##
## $statistic
## [1] -0.1061141
##
## $p.value
## [1] 0.9154918
##
## $res
## [1] "Los datos son aleatorios"
Pruebas de independencia
Prueba de series
## $tabla
## y
## x [0,0.125) [0.125,0.25) [0.25,0.375) [0.375,0.5) [0.5,0.625)
## [0,0.125) 29 34 30 36 34
## [0.125,0.25) 33 26 28 42 39
## [0.25,0.375) 39 31 25 21 32
## [0.375,0.5) 28 34 33 29 28
## [0.5,0.625) 35 28 35 28 36
## [0.625,0.75) 30 40 32 28 30
## [0.75,0.875) 30 36 30 17 19
## [0.875,1) 49 27 21 40 30
## y
## x [0.625,0.75) [0.75,0.875) [0.875,1)
## [0,0.125) 41 32 37
## [0.125,0.25) 28 25 35
## [0.25,0.375) 34 27 25
## [0.375,0.5) 27 22 40
## [0.5,0.625) 35 25 25
## [0.625,0.75) 45 34 35
## [0.75,0.875) 32 29 31
## [0.875,1) 31 30 22
##
## $prueba
##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: tabla
## X-squared = 59.757, df = 49, p-value = 0.1396
##
##
## $res
## [1] "Los datos son independientes"
##
## $cortes
## [1] 8
Prueba de correlación
Gráfico de auto-correlación
acf(R,type="correlation")
Actividad
Realizando el mismo ejercicio, determine si los siguientes generadores son buenos
- Generador de cuadrados medios Von Neumann introdujo le siguiente generador. Supongamos que deseamos sucesiones de cuatro dígitos. Escogemos un número de cuatro dígitos, lo elevamos al cuadro y nos quedamos con los cuatro dígitos centrales. ¿Es éste un buen generador?
- Generador congruencial mixto Estudiar el generador congruencial de módulo 2048. para \(a=1365\) y \(b=1\)
- Generador de fibonacci Genere números aleatorios con el generador fibonacci \[X_n=(X_{n-L}+X_{n-k})\mod m\] e indique si este es un buen generador.
- Generador de Excel Mediante la función de Excel, genere \(2000\) datos e indique si este es un buen generador.
- Generador Congruencial Matricial Genere números aleatorios definido por \[X_i=BX_{i-1}\mod p \text{, para }i\geq 1,\] donde los \(X_i\)’s son vectores k-dimensionales,\(X_0 \neq 0\) es un vector inicial, \(B\) es una matriz de dimensión \(k\times k\), y \(p\) generalmente se selecciona como un primo grande. El máximo período del es \(p^k-1\). Mediante un ejemplo para \(3\) dimensiones genere una muestra de v.a. uniformes \((0,1)\).
- Con los siguientes datos pruebe en forma manual si los datos provienen de una distribución uniforme
\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
\hline
0.90 & 0.77 & 0.36 & 0.69 & 0.21 \\
0.33 & 0.07 & 0.06 & 0.87 & 0.71 \\
0.95 & 0.71 & 0.37 & 0.73 & 0.29 \\
0.10 & 0.80 & 0.15 & 0.62 & 0.06 \\
0.15 & 0.97 & 0.77 & 0.76 & 0.38 \\
0.15 & 0.53 & 0.35 & 0.25 & 0.18 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
- Pruebe en forma manual si los datos anteriores son tomados en forma aleatoria e independientes.
References
Coss Bu, Raúl. 1996. Simulación: Un Enfoque Práctico. Editorial Limusa.
Schmeiser, B. 1990. “Stochastic Models.” In, edited by Sobel Heyman. Nort Holland.