Distribución Uniforme Continua

Santiago Silva


Pontificia Universidad Javeriana

Introducción

En el siguiente poster se presentará información sobre el modelo de probabilidad uniforme, tales como de donde proviene este método, algunas de sus principales características, ejemplos y la aplicación que tiene en la vida profesional.

Historia

La distribución uniforme ha sido objeto de estudio y uso en la estadística y las matemáticas durante siglos. El matemático alemán Jakob Bernoulli, uno de los fundadores de la teoría de la probabilidad, describió la distribución uniforme en su obra “Ars Conjectandi” en 1713.

La distribución uniforme se basa en la idea de que cada valor dentro de un rango dado tiene la misma probabilidad de ocurrir. Esta idea se remonta a los juegos de azar y las apuestas, donde los jugadores necesitan estimar las probabilidades de que ciertos resultados ocurran para poder hacer apuestas informadas.

Con el llegada de la informática y la estadística computacional en el siglo XX, la distribución uniforme ha seguido siendo una herramienta importante en la modelización de eventos aleatorios. Junto con otras distribuciones de probabilidad, la distribución uniforme ha sido incorporada en una variedad de programas de software estadístico y matemático, lo que la hace accesible para una amplia gama de usuarios.

Características

Es la más simple de todas las distribuciones modelo y en ella la variable aleatoria asume cada uno de los valores con una probabilidad idéntica.

1.Igual probabilidad: En una distribución uniforme, todos los valores dentro del rango tienen la misma probabilidad de ocurrir. Esto significa que la probabilidad de que un valor caiga dentro de cualquier subconjunto del rango es proporcional al tamaño del subconjunto.

2.Rango fijo: La distribución uniforme se define en un rango fijo y limitado. Todos los valores fuera de este rango tienen una probabilidad de cero.

3.Función de densidad constante: La función de densidad de probabilidad de una distribución uniforme es constante dentro del rango y cero fuera de él. Esto refleja el hecho de que todos los valores dentro del rango son igualmente probables.

4.Media y varianza simples: La media de una distribución uniforme en el rango \([a, b] \ es \ \frac{a+b}{2}\), y su varianza es \(\frac{{(b-a)}^2}{12}\). Esto significa que la distribución uniforme es fácil de entender y calcular.

5.Independencia: Las variables aleatorias distribuidas uniformemente en diferentes rangos son independientes entre sí. Esto significa que la ocurrencia de un valor en un rango no afecta la probabilidad de que ocurra un valor en otro rango.

Una peculiaridad importante de esta distribución es que la probabilidad de un suceso depende exclusivamente de la amplitud del intervalo considerado y no de su posición en el campo de variación de la variable.

Cualquiera que sea la distribución F de cierta variable X, la variable transformada Y = F(X) sigue una distribución uniforme en el intervalo (0,1). Esta propiedad es fundamental por ser la base para la generación de números aleatorios de cualquier distribución en las técnicas de simulación, y recibe el nombre de método de inversión.

Campo de variación:

a < x < b

Parámetros:

a: Valor mínimo, -∞ < a < ∞

b: Valor máximo, -∞ < b < ∞ con a < b

Una variable aleatoria X, de tipo continuo, tiene una distribución uniforme en el intervalo [a, b], con −∞ < a < b < +∞, si su función de densidad es constante en dicho intervalo o, equivalentemente:

\[f(x)= \frac{1}{b-a}\ para \ a ≤ x ≤ b\ y \ 0 \ en \ otro \ caso\]

Ejemplos

Un ejemplo de aplicación de la distribución uniforme en la ingeniería civil es en la generación de cargas aleatorias en puentes y estructuras. En muchos casos, las cargas en una estructura son variables aleatorias, lo que significa que no se pueden predecir con certeza. En tales casos, se utilizan distribuciones de probabilidad para modelar la variabilidad de las cargas y evaluar la respuesta de la estructura a diferentes niveles de carga.

Supongamos que se está diseñando un puente y se desea evaluar su resistencia bajo cargas máximas aleatorias. Se puede asumir que la carga máxima se distribuye uniformemente entre dos valores límites, como 500 kN y 1000 kN. Para simular esta distribución de carga, se puede utilizar la función “runif” de R para generar muestras aleatorias de una distribución uniforme en el intervalo [500,1000].

# Generar 1000 cargas aleatorias uniformes
# entre 500 kN y 1000 kN
cargas <- runif(1000, min = 500, max = 1000)

# Calcular la carga máxima
carga_maxima <- max(cargas)
print(paste("La carga máxima es:", carga_maxima, "kN"))

[1] "La carga máxima es: 999.964302172884 kN"

Aplicaciones en los diversos campos

A lo largo de los siglos, la distribución uniforme ha sido aplicada en una amplia variedad de campos, incluyendo la física, la ingeniería, la economía y las ciencias sociales. Por ejemplo, la distribución uniforme se utiliza para modelar la distribución espacial de partículas en la física, la variabilidad en los procesos de producción en la ingeniería, y la aleatoriedad en la selección de muestras en la estadística.

Relación con otras distribuciones

La distribución uniforme tiene una relación interesante con otras distribuciones. La distribución triangular puede ser vista como una combinación lineal de dos distribuciones uniformes, mientras que la distribución normal se aproxima a la media de muchas muestras de una distribución uniforme. La distribución exponencial y la distribución de Poisson también están relacionadas con la distribución uniforme en ciertos aspectos.