Este curso proporcionará aos futuros participantes uma jornada envolvente no mundo da estatística aplicada, equipando-os com as habilidades para análise de dados em contextos de Ciência de Dados.
Inicialmente, exploraremos as distribuições de probabilidades, antecipando a compreensão da distribuição binomial, de Poisson e normal. Através de exemplos práticos e implementações futuras em R, os participantes mergulharão na aplicação dessas distribuições em cenários do mundo real.
Ao avançarmos, abordaremos a amostragem, discutindo conceitos de população, amostra e técnicas como amostragem aleatória simples, estratificada e por conglomerados. Antecipamos a aplicação destes princípios na garantia de amostras representativas para análises estatísticas.
Na fase de estimação, exploraremos o Teorema do Limite Central, níveis de confiança, significância e a aplicação prática de intervalos de confiança. Futuros estudantes compreenderão os erros inferenciais e sua influência nas conclusões estatísticas.
O curso culminará com a exploração do cálculo do tamanho da amostra, fornecendo as ferramentas necessárias para planejar estudos estatísticos robustos em populações infinitas e finitas.
A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade discreta que modela o número de sucessos em uma sequência fixa de tentativas independentes, onde cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. Os parâmetros fundamentais dessa distribuição são o número de tentativas (\(n\)) e a probabilidade de sucesso (\(p\)) em cada tentativa. A função de probabilidade \(P(k)\), que representa a probabilidade de obter exatamente \(k\) sucessos em \(n\) tentativas, é dada por:
\[\begin{equation} P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \end{equation}\]
onde \(\binom{n}{k}\) é o coeficiente binomial, que representa o número de combinações de \(n\) elementos tomados \(k\) a \(k\). A média (\(\mu\)) e a variância (\(\sigma^2\)) da distribuição binomial são dadas por:
\[\begin{equation} \mu = np \end{equation}\]
\[\begin{equation} \sigma^2 = np(1-p) \end{equation}\] amplamente utilizada em situações práticas, como em testes de sucesso/falha, experimentos de Bernoulli, entre outros.
Cálculos de Probabilidades e Média em R:
Para calcular probabilidades e a média para a distribuição binomial
em R, podemos usar as funções dbinom() e
mean() respectivamente. Vamos considerar um exemplo em que
lançamos um dado justo (com probabilidade de sucesso de \(p = \frac{1}{6}\)) 5 vezes e queremos
calcular a probabilidade de obter exatamente 2 sucessos e a média do
número de sucessos.
# Parâmetros da distribuição binomial
n <- 5
p <- 1/6
# Cálculo da probabilidade de obter exatamente 2 sucessos
probabilidade_2_sucessos <- dbinom(2, size = n, prob = p)
# Exibindo resultados
print(paste("Probabilidade de 2 sucessos:", probabilidade_2_sucessos))## [1] "Probabilidade de 2 sucessos: 0.160751028806584"Explicação do Exemplo:
No exemplo acima, definimos \(n =
5\) (lançamento do dado 5 vezes) e \(p
= \frac{1}{6}\) (probabilidade de obter um sucesso em cada
lançamento, pois o dado é justo). Utilizamos a função
dbinom(2, size = n, prob = p) para calcular a probabilidade
de obter exatamente 2 sucessos em 5 tentativas.
Esse exemplo ilustra como realizar cálculos específicos e simulações para entender melhor as propriedades da distribuição binomial e sua aplicação em situações práticas.
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade que modela o número de eventos raros que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Ela é caracterizada por um único parâmetro (\(\lambda\)), que representa a taxa média de ocorrência dos eventos. A função de probabilidade \(P(k)\), que representa a probabilidade de ocorrer exatamente \(k\) eventos em um dado intervalo, é dada por:
\[\begin{equation} P(k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \end{equation}\]
A média (\(\mu\)) e a variância (\(\sigma^2\)) da distribuição de Poisson são ambos iguais a \(\lambda\).
A distribuição de Poisson é frequentemente utilizada em situações em que os eventos são raros e independentes, como a contagem de chamadas em um call center durante um intervalo de tempo fixo.
Relação com a Distribuição Binomial:
Quando o número de tentativas (\(n\)) em uma distribuição binomial é grande e a probabilidade de sucesso (\(p\)) é pequena, a distribuição binomial se aproxima da distribuição de Poisson com \(\lambda = np\). Essa relação é especialmente útil quando lidamos com eventos raros em grandes populações.
Casos Práticos e Modelagem em R:
Vamos considerar um exemplo prático: suponha que, em média, 4 carros passem por um cruzamento a cada 10 minutos. Podemos modelar se podemo ster 3 carros passando pelo cruzamento em 5 minutos usando uma distribuição de Poisson com \(\mu = \lambda = 2\).
# Parâmetro da distribuição de Poisson, já estamos querendo a metade.
lambda <- 2
# Cálculo da probabilidade de ocorrer exatamente 3 eventos em 5 minutos
probabilidade_3_eventos <- dpois(3, lambda)
print(paste("Probabilidade de 3 eventos em 5 minutos: ", probabilidade_3_eventos))## [1] "Probabilidade de 3 eventos em 5 minutos: 0.180447044315484"# Arrendondando e colocando em percentual
print(paste("Em percentual temos: ", round(probabilidade_3_eventos*100,2), "%"))## [1] "Em percentual temos: 18.04 %"Explicação do Exemplo:
No exemplo acima, utilizamos a função dpois(3, lambda)
para calcular a probabilidade de ocorrerem exatamente 3 eventos em 5
minutos, considerando uma taxa média (\(\lambda\)) de 2 eventos por 5 minutos.
Este exemplo destaca como a distribuição de Poisson pode ser aplicada para modelar eventos raros em um intervalo de tempo fixo, proporcionando uma compreensão mais aprofundada de suas propriedades e aplicações práticas.
A distribuição normal, também conhecida como distribuição gaussiana, é uma distribuição contínua que descreve a forma como muitos fenômenos naturais se distribuem. Caracteriza-se por sua forma de sino e é completamente definida por dois parâmetros: média (\(\mu\)) e desvio padrão (\(\sigma\)). A função de densidade de probabilidade da distribuição normal é dada por:
\[\begin{equation} f(x | \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \end{equation}\]
A distribuição normal padrão (\(Z\)) é uma versão específica com média (\(\mu\)) igual a 0 e desvio padrão (\(\sigma\)) igual a 1.
Características da Distribuição Normal:
Padronização e Cálculo de Probabilidades:
Para calcular probabilidades em uma distribuição normal, muitas vezes é útil padronizar as variáveis, transformando-as em valores Z. A fórmula para padronização é dada por:
\[\begin{equation} Z = \frac{(X - \mu)}{\sigma} \end{equation}\]
Onde \(X\) é a variável aleatória original, \(\mu\) é a média e \(\sigma\) é o desvio padrão.
Aplicações em Situações Reais:
A distribuição normal é utilizada em estatística devido ao Teorema do Limite Central, que afirma que, mesmo que as variáveis aleatórias originais não sejam normalmente distribuídas, a média de uma amostra grande de tais variáveis se aproximará de uma distribuição normal.
Padronização e Cálculo de Probabilidades em R:
Vamos considerar um exemplo onde queremos calcular a probabilidade de uma variável normal \(X\) ser menor que 2.5, dado que a média (\(\mu\)) é 3 e o desvio padrão (\(\sigma\)) é 1.2.
# Parâmetros da distribuição normal
mu <- 3
sigma <- 1.2
# Cálculo da probabilidade de X ser menor que 2.5
probabilidade_menor_2.5 <- pnorm(2.5, mean = mu, sd = sigma)
# Exibindo resultado
print(paste("Probabilidade de X ser menor que 2.5:",
probabilidade_menor_2.5))## [1] "Probabilidade de X ser menor que 2.5: 0.33846111951069"Explicação do Exemplo:
Neste exemplo, utilizamos a função
pnorm(2.5, mean = mu, sd = sigma) para calcular a
probabilidade de uma variável normal (\(X\)) ser menor que 2.5, dado que a média
(\(\mu\)) é 3 e o desvio padrão (\(\sigma\)) é 1.2. A padronização é realizada
automaticamente pela função pnorm(). Esse cálculo é útil em
muitas aplicações, como prever a probabilidade de um valor estar abaixo
ou acima de um determinado limiar em um conjunto de dados normalmente
distribuído.
lower.tail = F)lower.tail = F)lower.tail = F)Definição de População e Amostra:
Na estatística, a população é o conjunto completo de elementos que possuem uma característica em comum e sobre os quais se deseja fazer inferências. Por outro lado, a amostra é um subconjunto representativo da população, selecionado com o objetivo de estudar suas propriedades e fazer inferências sobre a população mais ampla.
Em muitos casos, é impraticável ou impossível estudar toda a população de interesse, tornando a amostragem uma abordagem eficiente e eficaz para inferências estatísticas.
Tipos de Amostragem:
Exemplo de Amostragem em R:
Vamos considerar um exemplo prático de amostragem aleatória simples em R, utilizando uma população fictícia de idades.
# População de idades
populacao <- c(25, 30, 22, 40, 35, 28, 18, 50, 32, 45)
# Amostra aleatória simples de tamanho 3
amostra <- sample(populacao, size = 3)
# Exibindo resultados
print("População:")## [1] "População:"print(populacao)## [1] 25 30 22 40 35 28 18 50 32 45print("Amostra Aleatória Simples:")## [1] "Amostra Aleatória Simples:"print(amostra)## [1] 25 32 30Explicação do Exemplo:
Neste exemplo, temos uma população fictícia de idades representada
pelo vetor populacao. Utilizamos a função
sample(populacao, size = 3) para selecionar aleatoriamente
uma amostra de tamanho 3. Este exemplo ilustra como realizar uma
amostragem aleatória simples em R, mas os mesmos princípios podem ser
aplicados aos outros métodos de amostragem mencionados. A escolha do
método de amostragem dependerá das características específicas da
população e dos objetivos da pesquisa.
Critérios para Escolha entre População e Amostra:
A decisão de trabalhar com uma população completa ou com uma amostra depende de diversos fatores, e a escolha é muitas vezes guiada pelos objetivos da pesquisa, recursos disponíveis e viabilidade prática. Alguns critérios para ajudar na tomada de decisão incluem:
Vantagens e Desvantagens da Utilização de Amostras:
Vantagens:
Desvantagens:
A escolha entre estudar uma população completa ou uma amostra depende da natureza da pesquisa, dos objetivos e das restrições práticas.
Conceitos e Procedimentos:
A amostragem aleatória simples (AAS) é um método em que cada elemento da população tem uma probabilidade igual de ser escolhido para a amostra. Esse método é caracterizado por sua simplicidade e garantia de que cada combinação possível de elementos tenha uma chance igual de ser selecionada. Os procedimentos básicos para a amostragem aleatória simples são os seguintes:
A amostragem aleatória simples é especialmente útil quando a população é homogênea, e não há estratificação ou agrupamento significativo.
Implementação Prática em R:
Vamos considerar um exemplo prático de amostragem aleatória simples em R, utilizando uma população fictícia de notas de estudantes.
# População de notas de estudantes
populacao_notas <- c(78, 85, 92, 68, 75, 89, 95, 72, 81, 88)
# Amostra aleatória simples de tamanho 4
amostra <- sample(populacao_notas, size = 4)
# Exibindo resultados
print("População de Notas:")## [1] "População de Notas:"print(populacao_notas)## [1] 78 85 92 68 75 89 95 72 81 88print("Amostra Aleatória Simples:")## [1] "Amostra Aleatória Simples:"print(amostra)## [1] 95 68 78 75Explicação do Exemplo:
Neste exemplo, temos uma população fictícia de notas de estudantes
representada pelo vetor populacao_notas. Utilizamos a
função sample(populacao_notas, size = 4) para selecionar
aleatoriamente uma amostra de tamanho 4. A função sample()
realiza a amostragem aleatória simples, garantindo que cada nota tenha
uma chance igual de ser escolhida. Este exemplo ilustra como implementar
a amostragem aleatória simples em R, sendo um método fundamental na
obtenção de amostras representativas de uma população.
Princípios e Aplicações:
A amostragem estratificada é uma técnica em que a população é dividida em subgrupos homogêneos chamados estratos, e uma amostra é selecionada de cada estrato. O principal objetivo é garantir que cada estrato seja representado na amostra final. Os princípios e procedimentos básicos são os seguintes:
A amostragem estratificada é particularmente útil quando há variação significativa dentro da população e estratos distintos podem ser identificados.
Comparação com Amostragem Aleatória Simples:
A principal diferença entre a amostragem estratificada e a amostragem aleatória simples (AAS) reside na forma como a população é abordada. Enquanto a AAS seleciona aleatoriamente elementos individuais sem considerar características específicas, a amostragem estratificada reconhece a heterogeneidade da população e procura garantir que cada subgrupo seja adequadamente representado.
Vantagens da Amostragem Estratificada:
Desvantagens da Amostragem Estratificada:
Exemplo de Amostragem Estratificada em R:
Vamos considerar um exemplo prático de amostragem estratificada em R, utilizando uma população fictícia de alunos de duas escolas diferentes.
# População de notas de alunos de duas escolas
populacao_escola1 <- c(78, 85, 92, 68, 75)
populacao_escola2 <- c(89, 95, 72, 81, 88)
# Amostragem estratificada de tamanho 3 em cada escola
amostra_escola1 <- sample(populacao_escola1, size = 3)
amostra_escola2 <- sample(populacao_escola2, size = 3)
# Exibindo resultados
print("População da Escola 1:")## [1] "População da Escola 1:"print(populacao_escola1)## [1] 78 85 92 68 75print("Amostra Estratificada da Escola 1:")## [1] "Amostra Estratificada da Escola 1:"print(amostra_escola1)## [1] 68 85 78print("População da Escola 2:")## [1] "População da Escola 2:"print(populacao_escola2)## [1] 89 95 72 81 88print("Amostra Estratificada da Escola 2:")## [1] "Amostra Estratificada da Escola 2:"print(amostra_escola2)## [1] 81 72 88Explicação do Exemplo:
Neste exemplo, temos uma população fictícia de notas de alunos de
duas escolas diferentes, representadas pelos vetores
populacao_escola1 e populacao_escola2.
Realizamos uma amostragem estratificada selecionando aleatoriamente 3
alunos de cada escola usando a função sample(). Esse
exemplo ilustra como implementar a amostragem estratificada em R,
considerando características específicas (nesse caso, a escola) ao
formar a amostra.
Definição e Características:
A amostragem por conglomerados é uma técnica em que a população é dividida em grupos naturais chamados conglomerados, e alguns desses conglomerados são escolhidos aleatoriamente para formar a amostra. Cada conglomerado deve ser heterogêneo internamente, mas homogêneo em relação aos outros conglomerados. As características principais da amostragem por conglomerados incluem:
Exemplos Práticos:
Vamos considerar um exemplo prático de amostragem por conglomerados, utilizando uma população fictícia de bairros em uma cidade.
# População de bairros com médias de renda
populacao_bairros <- data.frame(
bairro = c("Bairro A", "Bairro B", "Bairro C", "Bairro D", "Bairro E"),
renda_media = c(50000, 55000, 48000, 52000, 49000)
)
# Amostragem por conglomerados de 2 bairros
conglomerados_selecionados <- sample(populacao_bairros$bairro, size = 2)
# Exibindo resultados
print("População de Bairros:")## [1] "População de Bairros:"print(populacao_bairros)## bairro renda_media
## 1 Bairro A 50000
## 2 Bairro B 55000
## 3 Bairro C 48000
## 4 Bairro D 52000
## 5 Bairro E 49000print("Conglomerados Selecionados:")## [1] "Conglomerados Selecionados:"print(conglomerados_selecionados)## [1] "Bairro D" "Bairro C"Explicação do Exemplo:
Neste exemplo, temos uma população fictícia de bairros em uma cidade,
representada pelo conjunto de dados populacao_bairros.
Utilizamos a função
sample(populacao_bairros$bairro, size = 2) para selecionar
aleatoriamente 2 bairros como conglomerados. A amostra final consistiria
na coleta de dados de todos os elementos (por exemplo, famílias) dentro
desses conglomerados escolhidos.
Este exemplo ilustra como a amostragem por conglomerados pode ser aplicada em situações em que é mais prático e eficiente agrupar elementos antes da seleção da amostra. Essa abordagem é particularmente útil quando a população é extensa e a obtenção de uma lista completa é desafiadora.
Formulação:
O Teorema do Limite Central (TLC) é um dos resultados fundamentais da teoria da probabilidade e da estatística. Ele afirma que, independentemente da forma da distribuição da população original, a média de uma grande amostra da população se aproxima de uma distribuição normal à medida que o tamanho da amostra aumenta. O TLC é formulado da seguinte maneira:
Se \(X_1, X_2, ..., X_n\) são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com uma média (\(\mu\)) e um desvio padrão (\(\sigma\)), então, à medida que \(n\) se aproxima do infinito, a distribuição das médias amostrais se aproxima de uma distribuição normal com média \(\mu\) e desvio padrão \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\).
Implicações:
Importância na Inferência Estatística:
O Teorema do Limite Central é um conceito importante na teoria estatística, permitindo que os estatísticos façam inferências sobre as médias de amostras, mesmo quando a população original não é normalmente distribuída. Sua aplicação é ampla e fundamental para a compreensão e prática da inferência estatística
Conceitos e Interpretações:
Relação com Erros de Tipo I e II:
Exemplo Prático:
Vamos considerar um exemplo prático relacionado a um teste de hipóteses sobre a média de uma população:
Se, ao realizar o teste de hipóteses, rejeitarmos a hipótese nula com um nível de significância de 0,05, isso significa que há 5% de chance de estarmos cometendo um erro de tipo I. Se construirmos um intervalo de confiança de 95%, isso implica que, em repetidas amostragens, 95% desses intervalos conterão a verdadeira média populacional.
Interpretação:
Um nível de confiança mais alto implica em um intervalo de confiança mais amplo, proporcionando uma maior probabilidade de capturar o verdadeiro parâmetro, mas ao custo de ser menos preciso.
Um nível de significância mais baixo (por exemplo, \(\alpha = 0,01\)) reduz a probabilidade de um erro de tipo I, mas aumenta a probabilidade de um erro de tipo II.
A escolha entre níveis de confiança e significância depende das metas da pesquisa, do equilíbrio entre os tipos de erro e da tolerância a esses erros.
Os níveis de confiança e significância são conceitos importantes na inferência estatística. A compreensão desses conceitos e de sua relação com os erros de tipo I e II é essencial para a interpretação correta de intervalos de confiança e resultados de testes de hipóteses.
Compreensão dos Erros de Amostragem:
O erro inferencial refere-se à discrepância entre as estimativas amostrais e os verdadeiros parâmetros populacionais. Dois tipos principais de erros de amostragem são comuns na inferência estatística:
Estratégias para Minimização:
Exemplo Prático:
Vamos considerar um exemplo prático relacionado a um estudo de pesquisa sobre a média de renda em duas cidades diferentes. Um teste de hipóteses é realizado para verificar se há uma diferença significativa nas médias de renda.
# Definindo os dados de renda para as duas cidades
renda_cidade1 <- c(50000, 60000, 70000, 55000, 65000)
renda_cidade2 <- c(52000, 58000, 69000, 56000, 64000)
# Realizando o teste t para comparar as médias
teste_t <- t.test(renda_cidade1, renda_cidade2)
# Exibindo o resultado do teste
print(teste_t)##
## Welch Two Sample t-test
##
## data: renda_cidade1 and renda_cidade2
## t = 0.043093, df = 7.7988, p-value = 0.9667
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## -10550.7 10950.7
## sample estimates:
## mean of x mean of y
## 60000 59800Pelo \(p-value = 0.9667\), rejeitamos a hipótese alternativa e mantemos a hipótese nula de que as médias entre as duas cidades são semelhantes, e sua diferença é explicada pelo acaso. Este exemplo é apenas ilustrativo, no próximo capítulo iremos estudar estes testes mais detalhadamente.
A minimização dos erros inferenciais é crucial para garantir que as conclusões obtidas a partir de uma amostra se apliquem de maneira confiável à população maior. O uso de estratégias apropriadas, conhecimento do domínio e cautela na interpretação dos resultados são passos fundamentais na redução desses erros.
Construção e Interpretação:
Um intervalo de confiança (IC) é uma faixa estimada que, com uma determinada probabilidade (o nível de confiança), contém o verdadeiro valor do parâmetro populacional. Para a média populacional, o IC é frequentemente construído da seguinte maneira:
\[\begin{equation} \bar{X} \pm \left( z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \end{equation}\]
Aplicações Práticas em R:
Vamos considerar um exemplo prático de construção de intervalo de confiança para a média populacional em R, usando uma amostra fictícia de notas de estudantes.
# População de notas de estudantes
populacao_notas <- c(78, 85, 92, 68, 75, 89, 95, 72, 81, 88)
# Construção de um intervalo de confiança de 95% para a média
n <- length(populacao_notas)
media_amostral <- mean(populacao_notas)
desvio_padrao_populacional <- sd(populacao_notas)
nivel_confianca <- 0.95
# Cálculo do intervalo de confiança
erro_padrao <- desvio_padrao_populacional / sqrt(n)
margem_erro <- qnorm((1 + nivel_confianca) / 2) * erro_padrao
intervalo_confianca <- c(media_amostral - margem_erro,
media_amostral + margem_erro)
# Exibindo resultados
print("Intervalo de Confiança para a Média Populacional:")## [1] "Intervalo de Confiança para a Média Populacional:"print(intervalo_confianca)## [1] 76.74062 87.85938Explicação do Exemplo:
Neste exemplo, calculamos um intervalo de confiança de 95% para a
média populacional das notas de estudantes. Utilizamos a fórmula
mencionada anteriormente, com a função qnorm() para obter o
valor crítico da distribuição normal. O intervalo resultante é uma
estimativa da faixa em que a verdadeira média populacional provavelmente
se encontra com 95% de confiança.
Aplicações Práticas em R:
Os intervalos de confiança são amplamente utilizados em diversas áreas, como economia, medicina e ciências sociais. Eles fornecem uma medida de incerteza associada a uma estimativa amostral e auxiliam na tomada de decisões informadas. A capacidade de construir e interpretar intervalos de confiança é uma habilidade essencial na análise estatística.
Fórmulas e Procedimentos:
Quando lidamos com variáveis quantitativas em uma população infinita, a estimação da média populacional (\(\mu\)) é realizada usando a seguinte fórmula:
\[ \bar{X} \pm z \cdot \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]
Suponhamos que queremos estimar a média do tempo de espera em uma fila de atendimento ao cliente. Uma amostra aleatória de 30 clientes é selecionada, e a média amostral (\(\bar{X}\)) é de 10 minutos, com um desvio padrão amostral de 2 minutos. Desejamos construir um intervalo de confiança de 95%. \[ \text{Intervalo de Confiança} = \bar{X} \pm z \cdot \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) \]
Substituindo os valores conhecidos, assumindo um nível de confiança de 95% (\(z \approx 1.96\) para este caso):
\[ \text{Intervalo de Confiança} = 10 \pm 1.96 \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{30}} \right) \] Assim, podemos garantir que o intervalo de confiança para essa média populacional será: \(9.284322 \leq \mu \leq 10.715678\).
Exemplo Numérico Detalhado em R:
Vamos utilizar R para calcular o intervalo de confiança para o exemplo mencionado.
# Dados do exemplo
media_amostral <- 10
desvio_padrao_amostral <- 2
n <- 30
nivel_confianca <- 0.95
# Cálculo do intervalo de confiança
erro_padrao <- desvio_padrao_amostral / sqrt(n)
margem_erro <- qnorm((1 + nivel_confianca) / 2) * erro_padrao
intervalo_confianca <- c(media_amostral - margem_erro,
media_amostral + margem_erro)
# Exibindo resultados
print("Intervalo de Confiança para a Média Populacional:")## [1] "Intervalo de Confiança para a Média Populacional:"print(intervalo_confianca)## [1] 9.284322 10.715678Explicação do Exemplo:
Neste exemplo em R, substituímos os valores conhecidos na fórmula do intervalo de confiança. O resultado é um intervalo de confiança para a média populacional do tempo de espera na fila de atendimento ao cliente. A interpretação do intervalo seria que, com 95% de confiança, a verdadeira média do tempo de espera na população está contida nesse intervalo.
Este procedimento é útil quando a população é infinita, e a distribuição amostral da média se aproxima de uma distribuição normal devido ao Teorema do Limite Central. Essa abordagem é comumente aplicada em situações em que a população é muito grande.
Adaptações nas Fórmulas:
Quando lidamos com variáveis quantitativas em uma população finita, algumas adaptações nas fórmulas de estimação são necessárias. Para a média populacional (\(\mu\)), a fórmula do intervalo de confiança é ajustada considerando o tamanho finito da população (\(N\)):
\[\begin{equation} \bar{X} \pm z \cdot \left( \frac{\sigma}{\sqrt{\frac{N-n}{N-1} \cdot n}} \right) \end{equation}\]
onde:
Considerações Práticas:
Exemplo Numérico:
Vamos considerar um exemplo prático em que queremos estimar a média de altura de uma população de estudantes universitários, onde a população total é de 1500 estudantes. Uma amostra aleatória de 50 estudantes é selecionada, e a média amostral (\(\bar{X}\)) é de 170 cm, com um desvio padrão amostral de 5 cm. Desejamos construir um intervalo de confiança de 95%.
\[\begin{equation} \text{Intervalo de Confiança} = \bar{X} \pm z \cdot \left( \frac{\sigma}{\sqrt{\frac{N-n}{N-1} \cdot n}} \right) \end{equation}\]
Substituindo os valores conhecidos, assumindo um nível de confiança de 95% (\(z \approx 1.96\) para este caso):
\[ \text{Intervalo de Confiança} = 170 \pm 1.96 \cdot \left( \frac{5}{\sqrt{\frac{1500-50}{1500-1} \cdot 50}} \right) \]
Esta fórmula ajustada leva em consideração o tamanho finito da população ao estimar o intervalo de confiança para a média populacional de altura.
Exemplo Numérico Detalhado em R:
Vamos agora utilizar R para calcular o intervalo de confiança ajustado para uma população finita no exemplo mencionado.
# Dados do exemplo
media_amostral <- 170
desvio_padrao_amostral <- 5
n <- 50
N <- 1500
nivel_confianca <- 0.95
# Cálculo do intervalo de confiança ajustado para população finita
correcao_populacional <- sqrt((N - n) / (N - 1) * n)
erro_padrao <- desvio_padrao_amostral / sqrt(n) *
correcao_populacional
margem_erro <- qnorm((1 + nivel_confianca) / 2) * erro_padrao
intervalo_confianca <- c(media_amostral - margem_erro,
media_amostral + margem_erro)
# Exibindo resultados
print("Intervalo de Confiança Ajustado para População Finita:")## [1] "Intervalo de Confiança Ajustado para População Finita:"print(intervalo_confianca)## [1] 160.3617 179.6383Explicação do Exemplo:
Neste exemplo em R, incorporamos a correção para o tamanho finito da população na fórmula do intervalo de confiança. A correção é aplicada multiplicando o erro padrão amostral pela raiz quadrada do fator de correção \(\sqrt{\frac{N-n}{N-1} \cdot n}\). O intervalo resultante é uma estimativa da faixa em que a verdadeira média da altura dos estudantes universitários está contida com 95% de confiança.
A prática de ajustar as fórmulas para considerar o tamanho finito da população é crucial em situações em que o número total de elementos na população é relativamente pequeno, garantindo estimativas mais precisas e éticas.
Determinar o tamanho adequado da amostra é uma etapa crucial no planejamento de pesquisas, pois afeta diretamente a precisão e confiabilidade dos resultados obtidos. O tamanho da amostra é influenciado por fatores como a margem de erro desejada, o nível de confiança, a variabilidade dos dados e, em alguns casos, o tamanho da população.
Quando a população é infinita e conhecemos o desvio padrão da população usaremos a seguinte equação, caso não o conhecemos o desvio devemos utilizar uma amostra inicial para determinar esse desvio.
\[\begin{equation} n = \left(z\frac{s}{e}\right)^2 \end{equation}\]
Exemplo de aplicação:
Uma amostra com 40 cupons fiscais, coletados aleatoriamente em um shopping center, apresentou um desvio padrão do total pago igual a R$ 42,00. A associação de lojistas precisa estimar a média populacional das vendas, com um erro máximo igual a R$ 6,00 e empregando um nível de confiança igual a 90%. Qual o tamanho da amostra a analisar?
# Definindo o número desvio padrão
sigma <- 42
# Definindo o erro máximo
e <- 6
# Definindo a confiança
confianca <- 0.90
# Definindo o valor de z
z <- qnorm(0.5+(confianca/2))
# Estimando n
n <- (z * (sigma /e))**2
round(n)## [1] 133Explicação:
qnorm.Variáveis Quantitativas e População Finita está relacionado à inferência estatística quando lidamos com dados quantitativos (numéricos) e temos conhecimento sobre o tamanho total da população. Vamos explorar os principais conceitos envolvidos:
Variáveis quantitativas são aquelas que representam quantidades mensuráveis e podem ser expressas numericamente. Exemplos incluem idade, peso, altura, renda, entre outras. Essas variáveis fornecem informações sobre a quantidade de algo.
A população finita refere-se a um conjunto específico e delimitado de elementos que estão sob investigação. Em contraste, uma população infinita seria teoricamente ilimitada. Por exemplo, se estivermos interessados nas alturas de estudantes em uma escola específica, a população seria finita, pois tem um número definido de estudantes.
Quando lidamos com uma população finita, é importante levar em conta a correção para população finita ao calcular intervalos de confiança ou realizar testes de hipóteses. Essa correção ajusta os cálculos para levar em consideração o fato de que, ao retirar uma amostra, a composição da população diminui.
Fórmulas para População Finita:
\[\begin{equation} n = \frac{z^2 s^2 N}{z^2 s^2 + e^2(N-1)} \end{equation}\]
Exemplo prático
Em um lote de 10.000 latas de refrigerante foi realizada uma amostra aleatória simples de 100 latas e foi obtido o desvio padrão amostral do conteúdo das latas igual a 12 ml. O fabricante estipula um erro máximo sobre a média populacional de apenas 5 ml. Para garantir um nível de confiança de 95% qual o tamanho de amostra deve ser selecionado para este estudo?
Resolvendo com o R
# Obtendo N
N <- 10000
# Obtendo Z
z <- qnorm((0.5 + (0.95 / 2)))
# Obtendo o desvio padrão
s <- 12
# Obtendo o erro aceitável
e <- 5
# Encontrando o tamanho da amostra
n <- ((z ** 2) * (s ** 2) * (N)) /
(((z ** 2) * (s ** 2)) + ((e ** 2) * (N - 1)))
round(n)## [1] 22Veja que interessante, apenas 22 latas de refrigerante podem garantir a confiança na análise amostral das 10000 latas. Isso representa uma economia significativa nos custos de controle de qualidade da empresa.
BENGFORT, B.; KIM, J. Análise de dados com Hadoop: Uma introdução para Cientista de Dados. 1ª Edição. São Paulo - SP: Novatec, 2016.
BRUCE, P.; BRUCE, A. Estatística para Cientista de Dados: 50 conceitos iniciais. 1ª Edição. Rio de Janeiro - RJ: Alta Books, 2019.
DIAS, Rodrigo fernando. Estaística com R. Alura. 2022. disponível em: https://cursos.alura.com.br/course/estatistica-r-frequencias-medidas
GOLDSCHMIDT, R.; PASSOS, E.; BEZERRA, E. Data Mining: Conceitos, técnicas, orientações e aplicações. 2ª Edição. Rio de Janeiro - RJ: ELSEVIER, 2015.
HADLEY, W.; GARRETT, G. R para Data Science: Importe, arrume, transforme, visualize e modele dados. 1ª Edição. Rio de Janeiro - RJ: Alta Books, 2019.
MUELLER, J. P.; MASSARON, L. Aprendizado de Máquina para leigos. 1ª Edição. Rio de Janeiro - RJ: Alta Books, 2019.
OLIVEIRA, Francisco Estevam Martins de. Estatistica e Probabilidade - Exercicios Resolvidos e Propostos, 3ª edição. [Digite o Local da Editora]: Grupo GEN, 2017. E-book. ISBN 9788521633846. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521633846/. Acesso em: 06 abr. 2023.
ROSS, Sheldon. Probabilidade. [Digite o Local da Editora]: Grupo A, 2010. E-book. ISBN 9788577806881. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577806881/. Acesso em: 06 abr. 2023.
UCS - Universidade Caxias do Sul. Big Data: o que é, para que serve, como aplicar e exemplos. Disponível em: https://ead.ucs.br/blog/big-data Acesso em: 12, setembro de 2022.
TAULLI, T. Introdução à Inteligência Artificial: Uma abordagem não técnica. 1ª Edição. São Paulo - SP: Novatec, 2020.