Modelo de probabilidad de Cauchy

Maria Natalia Vasquez, ,


Origen de la distribución

La distribución Cauchy es una distribución de probabilidad continua descubierta por el matemático francés Augustin-Louis Cauchy en 1827. Cauchy estudio por primera vez de la convergencia de las soluciones de ciertas clases de ecuaciones diferenciales obtenidas mediante desarrollos en serie por la técnica de los coeficientes indeterminados.

Carácteristicas principales

  1. f(x): la densidad esta definida por la formula: \[f(x)= \frac{1}{\pi\gamma[1+({\frac{x-x_{0}}{\gamma}})^{2}]}\] donde x{0} es la media y gamma es el parametro de escala
  2. F(x): la distribucion acumulada esta dada por la formula: \[F(x)= \frac{1}{\pi} arctan\left(\frac{x-x_{0}}{\gamma}\right) + \frac{1}{2}\]
  3. E(x): el valor esperado de la distribución de Cauchy no existe, ya que la integral correspondiente no converge.
  4. V(x): la varianza de distribucion no existe ya que la distribución no es integrable en el sentido de segundo orden.
  5. La representación gráfica de la distribución de Cauchy es una curva en forma de campana con un pico bajo y largas colas que se extienden hacia los extremos.

Representacion Gráfica

La distribución de Cauchy tiene una representación gráfica en forma de campana con un pico bajo y largas colas que se extienden hacia los extremos. La forma de la curva se debe a la propiedad de simetría alrededor de su punto medio, pero que se extiende infinitamente hacia ambos lados. Ejemplo de grafica de distribución de Cauchy con parámetros x0 = 0 y gamma = 1

Dato Importante

Se debe tener en cuenta que la distribución de Cauchy es muy sensible a los valores atípicos y puede no ser adecuada para todos los tipos de análisis estadísticos. Además, su media indefinida y varianza infinita la hacen poco adecuada para modelos de regresión lineal.

Ejemplo Practico

Un ejemplo de la distribución de Cauchy es la medición de la posición de un electrón en un campo magnético variable. La posición del electrón se puede modelar utilizando la ecuación diferencial de movimiento del electrón y la distribución de Cauchy se puede utilizar para describir la probabilidad de encontrar al electrón en una posición determinada.

En R, se puede generar una muestra de la distribución de Cauchy utilizando la función rcauchy. Por ejemplo, para generar una muestra de 100 observaciones con una mediana de 0 y un parámetro de escala de 1, se puede usar el siguiente código:

# Generar muestra de la distribución de Cauchy
set.seed(123)
datos_cauchy = rcauchy(100, 0, 1)

# Ver los primeros 10 valores generados
head(datos_cauchy, 10)
##  [1]   1.2691296  -0.7842432   3.4011811  -0.3850032  -0.1892392   0.1441052
##  [7] -11.2960947  -0.3514607  -6.1346270   7.2913309

También se puede graficar la densidad de probabilidad y la función de distribución acumulada de la distribución de Cauchy utilizando las funciones dcauchy y pcauchy, respectivamente. Por ejemplo, para graficar la densidad de probabilidad y la función de distribución acumulada de una distribución de Cauchy con una mediana de 0 y un parámetro de escala de 1, se puede usar el siguiente código:

# Graficar densidad de probabilidad y función de distribución acumulada
x = seq(-10, 10, length = 1000)
densidad = dcauchy(x, 0, 1)
plot(x, densidad, type = "l", col="purple", lwd = 2, ylab = "Densidad de probabilidad", 
     main = "Distribución de Cauchy")

acumulada = pcauchy(x, 0, 1)
plot(x, acumulada, type = "l", col="pink", lwd = 2, ylab = "Función de distribución acumulada", 
     main = "Distribución de Cauchy")

Aplicaciones para distintos campos

En ingeniería: La distribución de Cauchy se utiliza en ingeniería para modelar variables de resistencia, fallas y fatiga, y para modelar el tiempo de vida útil de los componentes electrónicos.

En ciencias sociales y económicas: La distribución de Cauchy se utiliza en econometría para modelar las relaciones de causalidad entre variables, y en ciencias sociales para modelar el comportamiento humano en experimentos psicológicos.

En salud: La distribución de Cauchy se utiliza en medicina para modelar la distribución de los tiempos de espera de pacientes en la sala de emergencias.

En finanzas: La distribución de Cauchy se utiliza en finanzas para modelar la volatilidad de los precios de los activos financieros.

References

Moreno Ruiz, A. (2018). Distribución de Cauchy: Características y Aplicaciones (Trabajo de grado de grado). Universidad de Sevilla. Cauchy Distribution. (n.d.). Wolfram MathWorld. Retrieved September 17, 2021 Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions (Vol. 1, 2nd ed.). John Wiley & Sons.