Менять лекарство или нет?

Формулировка задачи

Есть два препарата, которые в общей популяции одинаково эффективны. Например, два антикоагулянта – Пиксара и Ривакса. Они снижают риск тромбозов, но не до нуля: у некоторых пациентов тромбозы все-таки случаются.

Итак, наш пациент принимает препарат Пиксара и у него случается тромбоз. Ничего об индивидуальных особенностях пациента, связанных с механизмом действия препарата, мы не знаем. Чтобы предотвратить последующие тромбозы у нас есть два варианта действий: оставить Пиксару или заменить ее на Риваксу. Какой вариант лучше?

Предпосылки

Мы будем исходить из того, что у конкретного пациента есть определенный риск тромбозов как на Риваксе, так и на Пиксаре, и отношение или хотя бы порядок этих рисков примерно постоянен. То есть если риск первого тромбоза на Риваксе у него был выше, чем на Пиксаре, то и риск павторного тромбоза у него будет выше на Риваксе, чем на Пиксаре. Это логичное допущение,

Решение

Тогда для нашего пациента есть три возможности.

1. Риск на Пиксаре и на Риваксе одинаков. Тогда что смена препарата, что продолжение приема Пиксары дадут одинаковый результат: для пациента они не отличаются.

2. Риск на Пиксаре выше, чем на Риваксе. Тогда смена препарата уменьшит его риски.

3. Риск на Риваксе выше, чем на Пиксаре. Тогда смена препарата увеличит его риски.

Первый вариант нас не интересует: выбор равнозначен. Во втором случае нужно менять препарат, в третьем – наоборот. Вопрос, можем ли мы исходя из скудных имеющихся данных (тромбоз случился на Пиксаре) оценить, какой из двух последних вариантов вероятнее?

Оказывается, можем.

Теорема Байеса

Тут нам придется прибегнуть к теореме Байеса (приведу ее с выводом). Кому совсем плохо от формул, можно сразу перейти к предпоследнему разделу.

Напомню, что вероятность сочетания двух событий, A и В, равна вероятности события A при условии B, помноженной на вероятность события B (это определение условной вероятности):

\[ P(A \cap B) = P(A | B) \times P(B)\] Поскольку ситуация симметрична относительно A и B, верно так же и следующее:

\[ P(B \cap A) = P(B | A) \times P(A)\] Поскольку \(P(B \cap A) = P(A \cap B)\), получаем:

\[P(A | B) \times P(B) = P(B | A) \times P(A)\] Перенося \(P(B)\) вправо, получаем классическую формулировку теоремы Байеса:

\[P(A | B) = \frac{P(B | A) \times P(A)}{P(B)}\] Теорема Байеса. Вероятность события А при условии события B равна вероятности события B при условии события A, помноженной на вероятность события A и деленной на вероятность события B.

Применение теоремы Байеса к нашему случаю

Рассмотрим два события: \(f\) (от failure) – тромбоз, \(D\) – пациент принимает препарат с меньшей индивидуальной эффективностью (возможность №2 из списка выше). Далее будем называть его плохим препаратом (плохой лично для него, мы не знаем, это Ривакса или Пиксара).

Тогда \(P(f|D)\) – вероятность тромбоза у пациента на фоне плохого препарата, а \(P(D|f)\) – вероятность того, что пациент получает плохой препарат при условии, что тромбоз уже случился.

По теореме Байеса:

\[ P(D|f) = \frac{P(f|D) \times P(D)}{P(f)}\] Нас на самом деле не интересует, какова вероятность того, что препарат плохой, нас интересует как эта вероятность соотносится с тем, что препарат хороший. То есть какая возможность из нашего списка, вторая или третья, более вероятна.

Поэтому мы введем еще одно событие, обратное к \(D\), обозначим его \(\overline{D}\). Оно означает, что пациент принимает хороший препарат.

По теореме Байеса вероятность того, что пациент принимает хороший препарат при условии, что тромбоз случился, будет такой:

\[ P(\overline{D}|f) = \frac{P(f|\overline{D}) \times P(\overline{D})}{P(f)}\] Если мы возьмем соотношение этих двух вероятностей, получится такая формула:

\[\frac{P(D|f)}{P(\overline{D}|f)} = \frac{P(f|D)}{P(f|\overline{D})} \times \frac{P(D)}{P(\overline{D})} \]

Что такое \(P(D)\) и \(P(\overline{D})\)? Это вероятности того, что пациент принимает хороший или плохой препарат до того, как мы знаем о тромбозе. Но мы не знаем об этом ничего, кроме того, что эти препараты в общей популяции одинаково эффективны. То есть для нас \(P(D) = P(\overline{D})\) Их отношение называется апиорным отношением шансов и если мы ничего не знаем, оно равно единице.

Тогда формула сокращается:

\[\frac{P(D|f)}{P(\overline{D}|f)} = \frac{P(f|D)}{P(f|\overline{D})}\] Но поскольку мы знаем (по определению), что на фоне плохого препарата вероятность тромбоза выше, чем на фоне хорошего (\(P(f|D)>P(f|\overline{D})\)), значит их отношение больше единицы: \[\frac{P(D|f)}{P(\overline{D}|f)} = \frac{P(f|D)}{P(f|\overline{D})} > 1\] То есть:

\[\frac{P(D|f)}{P(\overline{D}|f)} > 1 \]

И:

\[P(D|f) > P(\overline{D}|f)\] Иначе говоря, когда тромбоз уже случился, мы знаем, что вероятность того, что пациент принимал плохой препарат выше, чем вероятность того, что он принимал хороший препарат. Конечно, может оказаться и так, что он принимал хороший препарат, и тактика смены окажет ему плохую услугу, но вероятность такой возможности меньше, и при прочих равных практика смены препарата чаще будет верной.

Следует помнить, что когда мы говорим о вероятности, мы имеем в виду или общий случай (то есть множество таких пациентов), или нашу веру (в Байесовском смысле) в то, что происходит на самом деле. Но в каждом конкретном случае пациент принимал либо хороший препарат, либо плохой.

То же самое без формул

В любых рассуждениях, но особенно вероятностных, полезно представить себе крайние ситуации. Иногда они оказываются настолько иллюстративными, что позволяют избежать долгих рассуждений.

Представитм себе две нечестные монетки: одна почти всегда выпадает решкой, а другая почти всегда выпадает орлом. Мы не знаем, какая монетка у нас в руках, но она выпала решкой. Мы можем быть почти уверены, что это – первая монетка, поскольку тогда мы наблюдаем вероятное событие, которе для второй монетки было бы чем-то из маловероятным. А чудеса бывают, но очень редко и на практике ими можно пренебречь.

Такой же прием применим к нашим препаратам и тромбозу. Предположим, что для нашего пациента два препарата не просто отличаются, а отличаются радикально: на одном тромбозы почти невероятны, а на другом почти неизбежны. У нас случился тромбоз: конечно, возможно, что он случился на хорошем препарате, но куда правдоподобнее, что он случился на плохом препарате.

Итог

Таким образом, и здравый смысл, и теория вероятностей (что одно и то же) говорят нам, что правильная стратегия – менять препарат. А вот насколько количественно она будет правильной, то есть сколько мы выиграем, будет зависеть от того, насколько препараты по-разному действуют у пациента. Скорее всего, и возможный выигрыш и менее возможный проигрыш будут небольшими.