10 Insurance Portfolio Management including Reinsurance
Teori Risiko
| Kontak | : \(\downarrow\) |
| clara.evania@student.matanauniversity.ac.id | |
| https://www.instagram.com/claraevania/ | |
| RPubs | https://rpubs.com/claradellaevania/ |
10.3 Risk Measures
Materi ini akan mempelajari :
Mendefinisikan ide koherensi dan menentukan apakah suatu ukuran risiko koheren atau tidak.
Mendefinisikan nilai-at-risiko dan menghitung kuantitas ini untuk distribusi tertentu.
Mendefinisikan nilai-at-risiko ekor dan menghitung besaran ini untuk distribusi tertentu.
Dapat menyatakan bahwa risiko yang terkait dengan satu distribusi lebih berbahaya (secara asimtotik) dibandingkan distribusi lainnya jika ekornya lebih berat. Namun, mengetahui bahwa satu risiko lebih berbahaya (secara asimtotik) daripada risiko lainnya mungkin tidak memberikan informasi yang cukup untuk tujuan manajemen risiko yang canggih, dan sebagai tambahan, kita juga tertarik untuk mengukur seberapa besar risiko tersebut. Faktanya, besarnya risiko yang terkait dengan distribusi kerugian yang diberikan merupakan input penting untuk banyak aplikasi asuransi, seperti penentuan harga aktuaria, pemesanan, lindung nilai, pengawasan peraturan asuransi, dan sebagainya.
10.3.1 Coherent Risk Measures
Untuk membandingkan besarnya risiko dengan cara yang praktis, kami mencari fungsi yang memetakan variabel acak kerugian yang diminati ke nilai numerik yang menunjukkan tingkat risiko, yang disebut ukuran risiko. Secara matematis, ukuran risiko secara sederhana meringkas fungsi distribusi variabel acak sebagai satu angka. Dua ukuran risiko sederhana adalah rata-rata \(\mathrm{E}[X]\) dan deviasi standar \(\mathrm{SD}(X)=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\). Contoh klasik lain dari ukuran risiko termasuk prinsip deviasi standar
\[ \begin{equation} H_{\mathrm{SD}}(X)=\mathrm{E}[X]+\alpha \mathrm{SD}(X),\text{ for } \alpha\geq 0, \tag{10.1} \end{equation} \]
dan prinsip varians
\[H_{\mathrm{Var}}(X)=\mathrm{E}[X]+\alpha \mathrm{Var}(X),\text{ for } \alpha\geq 0.\]
Untuk memeriksa bahwa semua fungsi yang disebutkan di atas dapat menggunakan ukuran risiko di mana dengan memasukkan variabel acak kerugian dan fungsi-fungsi tersebut menghasilkan nilai numerik. Dengan catatan yang berbeda, fungsi \(H^{\ast}(X)=\alpha X^{\beta}\) untuk setiap \(\alpha,\beta\neq 0\) yang bernilai riil, β≠0 bukan merupakan ukuran risiko karena \(H^{\ast}\) menghasilkan variabel acak lain dan bukan nilai numerik tunggal.
Karena ukuran risiko adalah ukuran skalar yang bertujuan untuk menggunakan nilai numerik tunggal untuk menggambarkan sifat stokastik dari variabel acak kerugian, maka tidak mengherankan jika tidak ada ukuran risiko yang dapat menangkap semua informasi risiko dari variabel acak yang terkait. Oleh karena itu, ketika mencari ukuran risiko yang berguna, dalam mengingat bahwa ukuran tersebut setidaknya
- harus dapat ditafsirkan secara praktis;
- dapat dihitung dengan mudah; dan
- mampu merefleksikan informasi risiko yang paling penting yang mendasari distribusi kerugian.
Beberapa ukuran risiko telah dikembangkan dalam literatur. Namun, tidak ada ukuran risiko terbaik yang dapat mengungguli yang lain, dan pemilihan ukuran risiko yang tepat sangat bergantung pada pertanyaan aplikasi yang dihadapi. Dalam hal ini, sangat penting untuk menekankan bahwa risiko adalah konsep yang subyektif, dan dengan demikian, bahkan dengan masalah yang sama, ada berbagai pendekatan untuk menilai risiko. Namun, untuk banyak aplikasi manajemen risiko, ada kesepakatan luas bahwa ukuran risiko yang masuk akal secara ekonomi harus memenuhi empat aksioma utama yang akan kami jelaskan secara rinci selanjutnya. Ukuran risiko yang memenuhi aksioma-aksioma ini disebut sebagai ukuran risiko yang koheren.
Pertimbangkan sebuah ukuran risiko \(H(\cdot)\). Ukuran ini dikatakan sebagai ukuran risiko yang koheren untuk dua variabel acak \(X\) dan \(Y\) jika aksioma-aksioma berikut ini terpenuhi.
- Aksioma 1. Subaditifitas:
\(H(X+Y)\leq H(X)+H(Y)\) Implikasi ekonomi dari aksioma ini adalah bahwa manfaat diversifikasi ada jika risiko-risiko yang berbeda digabungkan.
Aksioma 2. Monotonisitas: jika \(Pr[X≤Y]=1\). maka H(X)≤H(Y). Ingat bahwa X dan Y adalah variabel acak yang mewakili kerugian, implikasi ekonomi yang mendasarinya adalah bahwa kerugian yang lebih tinggi pada dasarnya mengarah ke tingkat risiko yang lebih tinggi.
Aksioma 3. Homogenitas positif: \(H(cX) = cH(X)\) untuk setiap konstanta positif c. Implikasi ekonomi yang potensial dari aksioma ini adalah bahwa ukuran risiko harus independen dari unit moneter yang digunakan untuk mengukur risiko. Sebagai contoh, misalkan c adalah nilai tukar mata uang antara dolar AS dan dolar Kanada, maka risiko kerugian acak yang diukur dalam satuan dolar AS (yaitu, X) dan dolar Kanada (yaitu, \(cX\)) seharusnya hanya berbeda sampai dengan nilai tukar c (yaitu, \(cH(x)=H(cX)\)).
Aksioma 4. Ketidakvariasian terjemahan:
\(H(X + c) = H(X) + c\) untuk setiap konstanta positif c. Jika konstanta c diinterpretasikan sebagai uang tunai bebas risiko dan X adalah portofolio asuransi, maka penambahan uang tunai ke dalam portofolio hanya meningkatkan risiko portofolio sebesar jumlah uang tunai.
Memverifikasi sifat koheren untuk beberapa ukuran risiko bisa sangat mudah, tetapi terkadang sangat menantang. Sebagai contoh, adalah hal yang mudah untuk memeriksa apakah rata-rata adalah ukuran risiko yang koheren.
SPECIAL CASE Rata-rata adalah ukuran risiko yang koheren.
Untuk setiap pasangan variabel acak X dan Y yang memiliki mean berhingga dan konstanta \(c>0\)
validasi subaditifitas: \(E[X+Y]=E[X]+E[Y]\)
validasi monotonitas: jika \(Pr[X≤Y]=1\) maka \(E[X]≤E[Y]\)
validasi homogenitas positif: \(E[cX]=cE[X]\)
validasi invariansi penerjemahan: \(E[X+c]=E[X]+c\)
Untuk melihat bahwa deviasi standar bukanlah ukuran risiko yang koheren, mulailah dengan memeriksa apakah deviasi standar memenuhi
Verification of the Special Case
Untuk melihat bahwa deviasi standar bukanlah ukuran risiko yang koheren, mulailah dengan memeriksa apakah deviasi standar memenuhi
- validasi subaditifitas:
\[ \begin{eqnarray*} \mathrm{SD}[X+Y]&=&\sqrt{\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)}\\ &\leq& \sqrt{\mathrm{SD}(X)^2+\mathrm{SD}(Y)^2+2\mathrm{SD}(X)\mathrm{SD}(Y)}\\ &=& \mathrm{SD}(X)+\mathrm{SD}(Y); \end{eqnarray*} \]
- validasi homogenitas positif:
\(\mathrm{SD}[cX]=c~\mathrm{SD}[X]\)
Namun, deviasi standar tidak memenuhi sifat invariansi terjemahan karena untuk setiap konstanta positif c
\(\mathrm{SD}(X+c)=\mathrm{SD}(X)<\mathrm{SD}(X)+c.\)
Selain itu, deviasi standar juga tidak memenuhi sifat monotonitas. Untuk melihat hal ini, pertimbangkan dua variabel acak berikut:
\[ \begin{eqnarray} X=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & \hbox{with probability $0.25$;} \\ 4, & \hbox{with probability $0.75$,} \end{array} \right. \tag{10.2} \end{eqnarray} \]
dan Y adalah variabel acak yang merosot sedemikian sehingga
\[ \begin{eqnarray} \Pr[Y = 4] = 1. \tag{10.3} \end{eqnarray} \]
Dapat Memeriksa \(\Pr[X\leq Y]=1\), tapi
\[ \mathrm{SD}(X)=\sqrt{4^2\cdot 0.25\cdot 0.75}=\sqrt{3}>\mathrm{SD}(Y)=0 \]
Special Case. The Standard Deviation Principle (10.1) is a Coherent Risk Measure.
Untuk tujuan ini, untuk sebuah \(α>0\) dapat meriksa empat aksioma untuk \(H_{SD}(X+Y)\) satu per satu:
- validasi subaditifitas :
\[ \begin{eqnarray*} H_{\mathrm{SD}}(X+Y) &=& \mathrm{E}[X+Y]+\alpha \mathrm{SD}(X+Y) \\ &\leq& \mathrm{E}[X]+\mathrm{E}[Y]+\alpha [\mathrm{SD}(X) +\mathrm{SD}(Y)]\\ &=& H_{\mathrm{SD}}(X)+ H_{\mathrm{SD}}(Y); \end{eqnarray*} \] - validasi homogenitas positif:
\(H_{\mathrm{SD}}(cX)=c\mathrm{E}[X]+c\alpha\mathrm{SD}(X)=cH_{\mathrm{SD}}(X);\)
- validasi invariansi terjemahan:
\(H_{\mathrm{SD}}(X+c)=\mathrm{E}[X]+c+\alpha\mathrm{SD}(X)=H_{\mathrm{SD}}(X)+c.\)
Hanya untuk memverifikasi properti monotonitas, yang mungkin terpenuhi atau tidak, tergantung pada nilai α. Untuk melihat hal ini, mempertimbangkan rumus diatas di mana \(Pr[X≤Y]=1\). Dengan memisalkan \(\alpha=0.1\cdot \sqrt{3}\) maka \(H_{\mathrm{SD}}(X)=3+0.3=3.3< H_{\mathrm{SD}}(Y)=4\) dan kondisi monotonitas terpenuhi. Di sisi lain, misalkan \(\alpha=\sqrt{3}\). maka \(H_{\mathrm{SD}}(X)=3+3=6> H_{\mathrm{SD}}(Y)=4\) dan kondisi monotonitas tidak terpenuhi. Lebih tepatnya, dengan menetapkan
\[ H_{\mathrm{SD}}(X) = 3+\alpha\sqrt{3} \leq4= H_{\mathrm{SD}}(Y) \]
Dapt menemukan bahwa kondisi monotonitas hanya terpenuhi untuk \(0\leq\alpha\leq 1/\sqrt{3}\) dan dengan demikian prinsip deviasi standar \(H_{SD}\) adalah koheren. Hasil ini tampak sangat intuitif bagi kami karena prinsip deviasi standar \(H_{SD}\) adalah kombinasi linier dari dua ukuran risiko yang satu koheren dan yang lainnya tidak koheren. Jika \(\alpha\leq 1/\sqrt{3}\) maka ukuran yang koheren mendominasi ukuran yang tidak koheren, sehingga ukuran yang dihasilkan \(H_{SD}\) yang dihasilkan adalah koheren dan sebaliknya. Perlu dicatat bahwa kesimpulan di atas tidak dapat digeneralisasi untuk setiap pasangan variabel acak X dan Y.
Literatur mengenai ukuran risiko telah berkembang pesat dalam hal popularitas dan kepentingannya. Dalam dua subbab berikutnya, kami memperkenalkan dua indeks yang baru-baru ini mendapatkan perhatian yang belum pernah terjadi sebelumnya di antara para ahli teori, praktisi, dan regulator. Kedua indeks tersebut adalah Value-at-Risk (\(VaR\)) dan Tail Value-at-Risk (\(TVaR\)). Alasan ekonomi di balik dua ukuran risiko populer ini mirip dengan metode klasifikasi ekor yang diperkenalkan pada bagian sebelumnya, yang dengannya kami berharap dapat menangkap risiko kerugian ekstrem yang diwakili oleh ekor distribusi.
10.3.2 Value-at-Risk
Dengan mempertimbangkan variabel acak kerugian asuransi \(X\) . Ukuran nilai-at-risiko dari \(X\) dengan tingkat kepercayaan \(q∈(0,1)\) dirumuskan sebagai
\[ \begin{eqnarray} VaR_q[X]=\inf\{x:F_X(x)\geq q\}. \tag{10.4} \end{eqnarray} \]
Di sini, \(inf\) adalah operator infimum sehingga ukuran \(VaR\) menghasilkan nilai terkecil dari \(X\) sedemikian rupa sehingga cdf yang terkait pertama kali melebihi atau sama dengan q .
Selanjutnya dapat menginterpretasikan VaR dalam konteks aplikasi aktuarial. VaR adalah ukuran dari ‘kerugian maksimal’ yang mungkin terjadi pada produk asuransi/portfolio atau investasi berisiko, terjadi sebesar q × 100% waktu, selama periode waktu tertentu (biasanya satu tahun). Misalnya, jika X adalah variabel acak kerugian tahunan dari produk asuransi, VaR0.95 [X] = 100 juta berarti tidak lebih dari 5% peluang bahwa kerugian akan melebihi 100 juta selama satu tahun tertentu. Karena interpretasi yang bermakna ini, VaR telah menjadi standar industri untuk mengukur risiko keuangan dan asuransi sejak tahun 1990-an. Konglomerasi keuangan, regulator, dan akademisi sering menggunakan VaR untuk mengukur modal risiko, memastikan kepatuhan dengan aturan regulasi, dan mengungkapkan posisi keuangan.
Example 10.3.1. VaR for the exponential distribution
Dengan mempertimbangkan variabel acak kerugian asuransi X dengan distribusi eksponensial yang memiliki parameter \(θ\) untuk \(θ>0\), maka cdf dari \(X\) diberikan oleh
\[ F_X(x)=1-e^{-x/\theta}, \text{ for } x>0. \]
Mencari ekspresi bentuk tertutup untuk VaR
JAWAB
Karena distribusi eksponensial adalah distribusi kontinu, nilai terkecil di mana cdf pertama kali melebihi atau sama dengan \(q ∈ (0,1)\) harus berada pada titik xq yang memenuhi.
\(q=F_X(x_q)=1-\exp\{-x_q/\theta \}.\)
Maka
\(VaR_q[X]=F_X^{-1}(q)=-\theta[\log(1-q)].\)
Hasil yang didapat pada rumus diatas dapat digeneralisasikan untuk variabel acak kontinu apa pun yang memiliki cdf yang ketat meningkat. Secara khusus, \(VaR\) dari variabel acak kontinu mana pun adalah kebalikan dari cdf yang sesuai. Mari kita pertimbangkan contoh lain dari variabel acak kontinu yang memiliki dukungan dari negatif tak terhingga hingga positif tak terhingga.
Example 10.3.2. VaR for the normal distribution.
Dengan mempertimbangkan variabel acak kerugian asuransi \(X\sim Normal(\mu,\sigma^2)\) dengan \(σ>0\). Dalam kasus ini, seseorang dapat menginterpretasikan nilai negatif dari X sebagai keuntungan atau pendapatan. Berikan ekspresi bentuk tertutup untuk VaR.
Karena distribusi normal adalah distribusi kontinu, maka VaR dari X harus memenuhi
\[ \begin{eqnarray*} q &=& F_X(VaR_q[X])\\ &=&\Pr\left[(X-\mu)/\sigma\leq (VaR_q[X]-\mu)/\sigma\right]\\ &=&\Phi((VaR_q[X]-\mu)/\sigma). \end{eqnarray*} \] Maka didapat
\[ VaR_q[X]=\Phi^{-1}(q)\ \sigma+\mu. \]
Dalam banyak aplikasi asuransi, kita harus menangani transformasi dari variabel acak. Misalnya, pada Contoh 10.3.2, variabel acak kerugian \(X\sim Normal(\mu, \sigma^2)\) dapat dilihat sebagai transformasi linier dari variabel acak normal standar \(Z\sim Normal(0,1)\), yaitu \(X=Z\sigma+\mu\). Dengan mengatur \(μ = 0\) dan \(σ = 1\), Dapar mempermudah untuk memeriksa \(VaR_q[Z]=\Phi^{-1}(q).\). Transformasi linier dari variabel acak normal setara dengan transformasi linier dari VaR dari variabel acak asli. Temuan ini dapat digeneralisasikan lebih lanjut ke variabel acak mana pun selama transformasinya ketat meningkat.
Example 10.3.3. VaR for transformed variables.
Pertimbangkan variabel acak kerugian asuransi Y dengan distribusi lognormal dengan parameter \(μ∈R\) dan \(σ^2>0\) Mencari ekspresi \(VaR\) dari Y dalam hal invers cdf normal standar.
Dengan memperhatikan bahwa \(\log Y\sim Normal(\mu,\sigma^2)\), atau setara dengan membiarkan \(X\sim Normal(\mu,\sigma^2)\), maka \(Y\overset{d}{=}e^{X}\) yang merupakan transformasi ketat meningkat. Di sini, notasi \(\overset{d}{=}\) berarti kesamaan dalam distribusi. \(VaR\) dari\(Y\) diberikan oleh transformasi eksponensial dari VaR dari X. Secara tepat, untuk \(q∈(0,1)\),
\(VaR_{q}[Y]= e^{VaR_q[X]}=\exp\{\Phi^{-1}(q)\ \sigma+\mu\}.\)
Sejauh ini telah melihat beberapa contoh tentang VaR untuk variabel acak kontinu, selanjutnya dengan mempertimbangkan contoh mengenai VaR untuk variabel acak diskrit.
Example 10.3.4. VaR for a discrete random variable
Dengan mempertimbangkan variabel acak kerugian asuransi dengan distribusi probabilitas sebagai berikut:
\[ {\small \Pr[X=x] = \left\{ \begin{array}{ll} 0.75, & \text{for }x=1 \\ 0.20, & \text{for }x=3 \\ 0.05, & \text{for }x=4. \end{array} \right. } \]
Menemukan \(VaR\) pada \(q = 0.6, 0.9, 0.95, 0.95001\)
JAWAB
Nilai cdf yang sesuai dari X adalah
\[ F_X(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & \hbox{ $x<1$;} \\ 0.75, & \hbox{ $1\leq x<3$;} \\ 0.95, & \hbox{ $3\leq x<4$;} \\ 1, & \hbox{ $4\leq x$.} \end{array} \right. \] Berdasarkan definisi VaR dengan demikian, maka memiliki
\(VaR_{0.6}[X]=1\)
\(VaR_{0.9}[X]=3\)
\(VaR_{0.95}[X]=3\)
\(VaR_{0.950001}[X]=4\)
Selanjutnya adalah ringkasan dari bagian tentang ukuran VaR. Beberapa keuntungan dalam menggunakan VaR antara lain:
memiliki interpretasi yang bermakna secara praktis;
relatif mudah untuk dihitung untuk banyak distribusi dengan fungsi distribusi tertutup;
tidak ada asumsi tambahan yang diperlukan untuk penghitungan VaR.
Namun, ada beberapa keterbatasan dalam penggunaan VaR dalam praktik manajemen risiko, di antaranya adalah:
pemilihan tingkat kepercayaan \(q∈(0,1)\) sangat subjektif, sementara \(VaR\) dapat sangat sensitif terhadap pilihan q
skenario/informasi kerugian yang berada di atas \((1-q)\times 100\%\) peristiwa terburuk, sepenuhnya diabaikan;
VaR bukanlah ukuran risiko yang koheren (terutama, ukuran VaR tidak memenuhi aksioma subadditivitas, artinya manfaat diversifikasi mungkin tidak sepenuhnya tercermin).
10.3.3 Tail Value-at-Risk
Dengan mengingat bahwa VaR mewakili kerugian maksimal dengan peluang \((1-q)\times 100\%\). Seperti yang disebutkan pada bagian sebelumnya, satu kelemahan utama dari pengukuran VaR adalah tidak mencerminkan kerugian ekstrem yang terjadi di luar skenario terburuk dengan peluang \((1-q)\times 100\%\). Untuk tujuan ilustrasi, mari kita pertimbangkan contoh yang sedikit tidak realistis namun inspiratif berikut.
Example 10.3.5
Dengan mempertimbangkan dua variabel kerugian, \(X\sim Uniform [0,100]\), dan \(Y\) dengan distribusi eksponensial yang memiliki parameter \(θ = 31,71\). Kami menggunakan \(VaR\) pada tingkat kepercayaan \(95%\) untuk mengukur tingkat risiko dari \(X\) dan \(Y\). Perhitungan sederhana memberikan
\[ VaR_{0.95}[X]=VaR_{0.95}[Y]=95, \]
dan dengan demikian kedua distribusi kerugian ini memiliki tingkat risiko yang sama menurut \(VaR_{0.95}\). Namun, Y lebih berisiko daripada X jika kerugian ekstrem menjadi masalah utama karena X dibatasi di atas sedangkan Y tidak dibatasi. Hanya memperkirakan risiko dengan menggunakan VaR pada tingkat kepercayaan tertentu bisa menyesatkan dan mungkin tidak mencerminkan sifat sebenarnya dari risiko.
Sebagai solusinya, Tail Value-at-Risk (\(TVaR\)) diusulkan untuk mengukur kerugian ekstrem yang berada di atas suatu tingkat \(VaR\) tertentu sebagai rata-rata. Kami mendokumentasikan definisi TVaR dalam apa yang mengikuti. Untuk kesederhanaan, kami akan membatasi diri pada variabel acak positif kontinu saja, yang lebih sering digunakan dalam konteks manajemen risiko asuransi. Kami merujuk pembaca yang tertarik ke Hardy (2006) untuk diskusi yang lebih komprehensif tentang TVaR untuk variabel acak diskrit dan kontinu.
Menetapkan \(q ∈ (0,1)\), nilai Tail Value-at-Risk dari variabel acak (kontinu) X dirumuskan sebagai
\[ \begin{eqnarray*} TVaR_q[X] &=& \mathrm{E}[X|X>VaR_q[X]], \end{eqnarray*} \]
yang diasumsikan harapan eksistensi.
Perhitungan \(TVaR\) biasanya terdiri dari dua komponen utama - \(VaR\) dan rata-rata kerugian yang berada di atas \(VaR\). \(TVaR\) dapat dihitung melalui sejumlah formula. Pertimbangkan variabel acak positif kontinu X, untuk kenyamanan notional, mari kita tulis \(\pi_q=VaR_q[X]\). Sesuai definisi, \(TVaR\) dapat dihitung melalui
\[ \begin{eqnarray} TVaR_{q}[X]=\frac{1}{(1-q)}\int_{\pi_q}^{\infty}xf_X(x)dx. \tag{10.5} \end{eqnarray} \]
Example 10.3.6. TVaR for a normal distribution
Dengan mempertimbangkan variabel acak kerugian asuransi \(X\sim Normal (\mu,\sigma^2)\) dengan μ ∈ R dan \(σ > 0\). Mencari ekspresi \(TVaR\)
Biarkan Z adalah variabel acak normal standar. Untuk \(q∈(0,1)\) , maka \(TVaR\) dari \(X\) dapat dihitung melalui
\[ \begin{eqnarray*} TVaR_q[X] &=& \mathrm{E}[X|X>VaR_q[X]]\\ &=&\mathrm{E}[\sigma Z+\mu|\sigma Z+\mu>VaR_q[X]]\\ &=& \sigma\mathrm{E}[Z|Z>(VaR_q[X]-\mu)/\sigma]+\mu\\ &\overset{(1)}{=}& \sigma\mathrm{E}[Z|Z>VaR_q[Z]]+\mu, \end{eqnarray*} \]
dimana \(\overset{(1)}{=}\) berlaku karena hasil yang dilaporkan pada contoh diatas. Selanjutnya, kita beralih untuk mempelajari \(TVaR_q[Z]=\mathrm{E}[Z|Z>VaR_q[Z]]\) dengan \(\omega(q)=(\Phi^{-1}(q))^2/2\), maka kami dapat
\[ \begin{eqnarray*} (1-q)\ TVaR_q[Z] &=& \int_{\Phi^{-1}(q)}^{\infty} z \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}dz\\ &=& \int_{\omega(q)}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x}dx\\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\omega(q)}\\ &=& \phi(\Phi^{-1}(q)). \end{eqnarray*} \] Maka
\(TVaR_q[X]=\sigma\frac{\phi(\Phi^{-1}(q))}{1-q}+\mu.\)
Sebelumya telah diseebutkan pada subseksi sebelumnya bahwa VaR dari fungsi acak yang ketat meningkat sama dengan fungsi VaR dari variabel acak asli.Seseorang dapat menunjukkan bahwa TVaR dari transformasi linier variabel acak yang ketat meningkat sama dengan fungsi VaR dari variabel acak asli. Hal ini disebabkan oleh sifat linearitas dari harapan. Namun, temuan tersebut tidak dapat diperluas ke fungsi non-linear. Contoh variabel acak lognormal berikut menjadi contoh yang berlawanan.
Example 10.3.7. TVaR of a lognormal distribution
Dengan memertimbangkan sebuah variabel acak kerugian asuransi \(X\) dengan distribusi lognormal dengan parameter \(μ∈R\) dan \(σ>0\). dapat menunjukkan
\(TVaR_q[X] = \frac{e^{\mu+\sigma^2/2}}{(1-q)} \Phi(\Phi^{-1}(q)-\sigma).\)
JAWAB
Dengan mengingat bahwa pdf dari distribusi lognormal dirumuskan sebagai
\[ f_X(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi} x}\exp\{-(\log x-\mu )^2/2\sigma^2 \}, \text{ for } x>0. \]
Menetapkan \(q∈(0,1)\), maka \(TVaR\) dari \(X\) dapat dihitung melalui
\[ \begin{eqnarray} TVaR_q[X] &=& \frac{1}{(1-q)} \int_{\pi_q}^{\infty} x f_X(x)dx \nonumber\\ &=&\frac{1}{(1-q)} \int_{\pi_q}^{\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left\{ -\frac{(\log x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right\}dx\nonumber\\ &\overset{(1)}{=}&\frac{1}{(1-q)} \int_{\omega(q)}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2}w^2+\sigma w+\mu}dw\nonumber\\ &=&\frac{e^{\mu+\sigma^2/2}}{(1-q)} \int_{\omega(q)}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2}(w-\sigma)^2}dw\nonumber\\ &=&\frac{e^{\mu+\sigma^2/2}}{(1-q)} \Phi(\omega(q)-\sigma), \tag{10.6} \end{eqnarray} \]
Di sini, \(\overset{(1)}{=}\) terpenuhi dengan menerapkan perubahan variabel \(w=(logx−μ)/σ\), dan \(ω(q)=(logπq−μ)/σ\). Dengan memanggil rumus \(VaR\) untuk variabel acak lognormal dapat menyederhanakan menjadi
\[ \begin{eqnarray*} TVaR_q[X] &=& \frac{e^{\mu+\sigma^2/2}}{(1-q)} \Phi(\Phi^{-1}(q)-\sigma). \end{eqnarray*} \] \(TVaR\) dari variabel acak lognormal bukanlah eksponensial dari \(TVaR\) dari variabel acak normal.
Untuk distribusi di mana fungsi distribusi kelangsungan hidupnya lebih mudah untuk dikerjakan, dapat menerapkan teknik integrasi dengan bagian (asumsikan rata-ratanya terbatas) untuk menulis ulang persamaan (10.5) sebagai
\[ \begin{eqnarray*} TVaR_{q}[X]&=&\left[-x S_X(x)\big |_{\pi_q}^{\infty}+\int_{\pi_q}^{\infty}S_X(x)dx\right]\frac{1}{(1-q)}\\ &=& \pi_q +\frac{1}{(1-q)}\int_{\pi_q}^{\infty}S_X(x)dx. \end{eqnarray*} \]
Example 10.3.8. TVaR of an exponential distribution
Pertimbangkan sebuah variabel acak kerugian asuransi X dengan distribusi eksponensial yang memiliki parameter θ untuk \(θ>0\). Mencari suatu ekspresi untuk TVaR.
JAWAB
Dari subseksi sebelumnya, telah melihat bahwa
\(\pi_q=-\theta[\log(1-q)].\)
Dengan mempertimbangkan \(TVaR\):
\[ \begin{eqnarray*} TVaR_q[X] &=& \pi_q+\int_{\pi_q}^{\infty} e^{-x/\theta}dx/(1-q)\\ &=& \pi_q+\theta e^{-\pi_q/\theta}/(1-q)\\ &=& \pi_q+\theta. \end{eqnarray*} \]
Pengukuran berikut erat kaitannya dengan TVaR Juga dapat membantu untuk menyatakan \(TVaR\) dalam bentuk nilai harapan terbatas. Secara khusus, kita memiliki
\[ \begin{eqnarray} TVaR_q[X] &=& \int_{\pi_q}^{\infty} (x-\pi_q+\pi_q)f_X(x)dx/(1-q) \nonumber\\ &=& \pi_q+\frac{1}{(1-q)}\int_{\pi_q}^{\infty} (x-\pi_q)f_X(x)dx\nonumber\\ &=& \pi_q+e_X(\pi_q)\nonumber\\ &=& \pi_q +\frac{\left({\mathrm{E}[X]-\mathrm{E}[X\wedge\pi_q]}\right)}{(1-q)}, \tag{10.7} \end{eqnarray} \]
Dimana \(e_X(d)=\mathrm{E}[X-d|X>d]\) untuk \(d>0\) menyatakan fungsi kerugian berlebih rata-rata. Untuk banyak distribusi parametrik yang umum digunakan, rumus-rumus untuk menghitung \(E[X\)] dan \(E[X∧π_q]\) dapat ditemukan dalam tabel distribusi.
Example 10.3.9. TVaR of a Pareto distribution
Pertimbangkan sebuah variabel acak kerugian \(X\sim Pareto(\theta,\alpha)\) dengan \(θ>0\) dan \(α>0\). Fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari X diberikan oleh
\(F_X(x)=1-\left(\frac{\theta}{\theta+x} \right)^{\alpha}, \text{ for } x>0 .\)
menetapkan \(q∈(0,1)\) dan atur \(F_X(π_q)=q\) , maka kita dapat dengan mudah memperoleh
\[ \begin{eqnarray} \pi_q=\theta\left[(1-q)^{-1/\alpha}-1 \right]. \tag{10.8} \end{eqnarray} \]
Sebelumnya diketahui bahwa
\[ \mathrm{E}[X]=\frac{\theta}{\alpha-1}, \]
dan
\[ \mathrm{E}[X\wedge \pi_q]=\frac{\theta}{\alpha-1}\left[ 1-\left(\frac{\theta}{\theta+\pi_q}\right)^{\alpha-1} \right]. \]
Dengan memanfaatkan persamaan sebelumnya menghasilkan
\[ \begin{eqnarray*} TVaR_q[X] &=& \pi_q+\frac{\theta}{\alpha-1} \frac{(\theta/(\theta+\pi_q))^{\alpha-1}} {(\theta/(\theta+\pi_q))^{\alpha}}\\ &=&\pi_q +\frac{\theta}{\alpha-1}\left( \frac{\pi_q+\theta}{\theta} \right)\\ &=& \pi_q+\frac{\pi_q+\theta}{\alpha-1}, \end{eqnarray*} \]
Menyesuaikan \(q∈(0,1)\), nilai risiko bersyarat untuk sebuah variabel acak X diformulasikan sebagai
\[CVaR_q[X] = \frac{1}{1-q}\int_{q}^{1} VaR_{\alpha}[X]\ d\alpha .\]
Nilai risiko bersyarat juga dikenal sebagai rata-rata nilai risiko (\(AVaR\)) dan kegagalan yang diharapkan (\(ES\)). Dapat ditunjukkan bahwa \(CVaR_q[X] = TVaR_q[X]\) ketika \(\Pr(X=VaR_q[X])=0\), yang berlaku untuk variabel acak kontinu. Artinya, jika X kontinu, maka melalui perubahan variabel, kita dapat menulis ulang persamaan sebagai
\[ \begin{eqnarray} TVaR_{q}[X] &=& \frac{1}{1-q}\int_{q}^{1} VaR_{\alpha}[X]\ d\alpha. \tag{10.9} \end{eqnarray} \]
Formula alternatif (10.9) ini memberitahu bahwa \(TVaR\) adalah rata-rata dari \(VaR_α[X]\) dengan tingkat kepercayaan yang bervariasi di atas \(α∈[q,1]\). Oleh karena itu, \(TVaR\) secara efektif menyelesaikan sebagian besar keterbatasan dari VaR yang diuraikan pada subbab sebelumnya. Pertama, karena efek rata-rata, TVaR mungkin kurang sensitif terhadap perubahan tingkat kepercayaan dibandingkan dengan VaR. Kedua, semua kerugian ekstrem yang berada di atas peristiwa terburuk \((1-q)\times 100\%\) yang paling mungkin dihitung.
Dalam hal ini, seseorang dapat melihat bahwa untuk setiap \(q∈(0,1)\)
\(TVaR_q[X]\geq VaR_q[X].\)
Ketiga dan mungkin yang paling penting, TVaR adalah ukuran risiko koheren dan dengan demikian mampu menangkap efek diversifikasi dari portofolio asuransi dengan lebih akurat.